专题05 圆（期末复习-知识回顾+14个高频易错真题讲练+真题演拔尖练 共43题）-2025-2026学年人教版数学六年级上册培优讲练

专题05 圆 （知识回顾+14个高频易错真题讲练+真题拔尖练 共43题） 【解析版】 知识梳理 1 知识点梳理01：圆的认识 2 知识点梳理02：用圆规画圆 2 知识点梳理03：圆的周长 3 知识点梳理04：圆的面积 3 知识点梳理05：扇形的认识 4 知识点梳理06：圆的知识的实际应用 4 知识点梳理07：易错点提示 5 易错考点讲练 5 易错讲练1 圆的周长 5 易错讲练2 半圆的周长 6 易错讲练3 圆的周长的应用 7 易错讲练4 含圆的组合图形的周长 8 易错讲练5 圆的面积 8 易错讲练6 圆的面积的应用 9 易错讲练7 圆环的面积 10 易错讲练8 求最大面积 10 易错讲练9 含圆的组合图形的面积 11 易错讲练10 方中國和圆中方的面积问题 11 易错讲练11 用转化法求圆的组合图形的周长与面积 12 易错讲练12 弧、圆心角、扇形的认识 13 易错讲练13 画扇形 13 易错讲练14 扇形的周长和面积 15 真题拔尖练15题 15 知识点梳理01：圆的认识 1.圆的定义： 一条线段绕着它固定的一个端点在平面上旋转一周，另一个端点所经过的封闭曲线叫做圆。这个固定的点叫做圆心。 2.圆的各部分名称及特征： （1）圆心 (O)： 圆中心的一点，它决定圆的位置。 （2）半径 (r)： 连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径。 ①一个圆有无数条半径。 ②在同圆或等圆中，所有半径的长度都相等。 ③半径决定圆的大小。 （3）直径 (d)： 通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。 ①一个圆有无数条直径。 ②在同圆或等圆中，所有直径的长度都相等。 （4）半径与直径的关系： 在同圆或等圆中，直径的长度是半径的2倍，即 或 。 3.圆的对称性： （1）圆是轴对称图形，它有无数条对称轴。 （2）每条对称轴都是直径所在的直线。 知识点梳理02：用圆规画圆 1.画圆步骤： （1）定圆心：把圆规的两脚分开，有针尖的一脚固定在一点上，这个点就是圆心。 （2）定半径：根据所画圆的大小，调整圆规两脚之间的距离，这个距离就是半径。 （3）旋转一周：把装有铅笔尖的一脚绕圆心旋转一周，就画出一个圆。 2.注意事项： （1）画圆时，圆规两脚之间的距离不能改变。 （2）针尖要固定好，不能移动。 （3）旋转时要平稳，用力均匀。 知识点梳理03：圆的周长 1.圆的周长 (C) 的意义： 围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。 2.圆周率 (π)： （1）任意一个圆的周长与它的直径的比值是一个固定的数，我们把它叫做圆周率，用字母 π (pài) 表示。 （2）π是一个无限不循环小数，π ≈ 3.1415926535...，在小学阶段的计算中，通常取 π ≈ 3.14。 3.圆的周长计算公式： （1）已知直径 (d)，求周长： （2）已知半径 (r)，求周长： 4.半圆的周长： 半圆的周长等于圆周长的一半加上一条直径。 （1） 或 5.圆的周长公式的应用： （1）已知周长求直径： （2）已知周长求半径： 知识点梳理04：圆的面积 1.圆的面积 (S) 的意义： 圆所占平面的大小叫做圆的面积。 2.圆的面积计算公式的推导： 通常采用“转化”的方法，将圆等分成若干个小扇形，然后拼成一个近似的长方形。这个长方形的长近似于圆周长的一半 ()，宽近似于圆的半径 (r)。因为长方形的面积 = 长 × 宽，所以圆的面积 。 3.圆的面积计算公式： 4.圆的面积公式的应用： （1）已知半径求面积： （2）已知直径求面积：先求半径 ，再用 （3）已知周长求面积：先求半径 ，再用 5.环形（圆环）的面积： 环形面积 = 外圆面积 - 内圆面积。 （1）设外圆半径为 R，内圆半径为 r，则 知识点梳理05：扇形的认识 1.扇形的定义：一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。 2.圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角（如∠AOB）。扇形的大小与圆心角的大小和半径的长短有关。 3.扇形的各部分名称：半径（两条）、弧（一条曲线）、圆心角。 4.特殊扇形： （1）圆心角是180°的扇形是一个半圆。 （2）圆心角是90°的扇形是一个四分之一圆。 知识点梳理06：圆的知识的实际应用 1.解决与圆的周长有关的实际问题：车轮滚动一周前进的路程（车轮周长）、围绕圆形花坛跑一圈的长度、钟面上时针/分针尖端走过的路程等。 2.解决与圆的面积有关的实际问题：圆形草坪的占地面积、圆形铁片的面积、给圆形桌面配玻璃等。 3.组合图形的周长与面积： （1）周长： 注意区分是哪些边的长度之和，特别是组合图形中“内边”是否计算。 （2）面积： 通常采用“割补法”或“加减法”，将组合图形转化为基本图形（如圆、长方形、正方形、三角形等）的面积之和或差。例如：求“外方内圆”、“外圆内方”中正方形与圆之间部分的面积。 知识点梳理07：易错点提示 1.概念混淆： 半径和直径的概念及关系（易忽略“同圆或等圆中”）；周长和面积的概念（一个是长度，一个是面积）。 2.圆周率 (π) 的取值： 计算时要明确题目要求，π取3.14还是保留π。 3.公式运用错误： 周长和面积公式混淆；已知直径或周长求面积时，忘记先求半径。 4.半圆周长与圆周长一半的区别： 半圆周长包括直径，圆周长的一半不包括直径。 5.单位问题： 长度单位（如厘米、米）和面积单位（如平方厘米、平方米）的区分和正确使用。 6.计算粗心： 涉及π的计算较繁琐，容易出错；平方的计算（如 是 r × r，不是 r × 2）。 7.环形面积计算： 容易写成 ，正确应为 。 8.审题不清： 如“占地面积”是求面积，“走了多少米”是求周长；“半圆”和“半圆形”在具体问题中的含义。 易错讲练1 圆的周长 1．（24-25六年级上·湖南岳阳·期末）小明将一个圆形的纸卡片沿直尺的边滚动了一周（如图）这个圆的直径大约是( )厘米。（结果保留整厘米数） 2．（24-25六年级上·湖北襄阳·期末）下图是王林在研究圆的面积计算公式时用的方法，此时近似梯形的上底与下底的和相当于圆的（    ）。 A．半径 B．直径 C．周长 D．周长的 易错讲练2 半圆的周长 3．（24-25六年级上·重庆巴南·期末）要在一个长方形的纸片上剪出一个周长是的半圆，则这张长方形纸片的面积至少是（    ）。 A． B． C． D．无法判断 4．（24-25六年级上·浙江宁波·期末）图1是一个半径为50米的半圆形花坛，李爷爷习惯饭后绕着它的周边匀速散步。李爷爷从O点出发，按箭头所指的方向步行，最后回到出发点。他步行过程中距离与时间的关系如图2所示。 （1）李爷爷绕半圆形花坛散步一圈需要多少米？ （2）观察图2，请你计算李爷爷散步的速度？ （3）如果李爷爷只在散步途中休息了一次，请看图分析，在图1上用“☆”标出休息的位置。 易错讲练3 圆的周长的应用 5．（24-25六年级上·湖南湘西·期末）有两辆轮胎不一样大小的客车，甲车轮胎直径是0.8米，乙车轮胎直径是0.6米。甲车轮胎一分钟转300圈，乙车轮胎一分钟转400圈。现甲、乙两车从桥头同时出发（车长大约8米），桥全长3760米。小东、莉莉和小文为此展开关于哪辆车会先通过这座桥的讨论： 小东：甲车先通过，因为甲车的轮胎大。 莉莉：乙车先通过，因为乙车每分钟转的圈数多。 小文：甲、乙两车同时通过，因为它们的速度一样。 谁的结论说的正确？根据上面的结论，算出甲、乙两车通过这座桥所需要的时间。 6．（24-25六年级下·海南海口·期末）在现代科技中，数学的应用也是无处不在，如下面飞行器中的数学问题。飞行器甲的发射轨道与飞行器乙的运行轨道分别是以点O和点O'为圆心的两个圆形轨道（如图）。已知飞行器甲的飞行速度为40千米/分，飞行器乙的飞行速度为20千米/分，某行星在B点（假定不动），弧BC与弧AC的长度差为3600千米。早上9：00飞行器甲准时发射，此时飞行器乙正好在A点，要求在C点处对接。 （1）请你计算两个飞行器在几时对接。 （2）飞行器甲的发射轨道与飞行器乙的运行轨道的半径各是多少千米？（结果取整数） 易错讲练4 含圆的组合图形的周长 7．（24-25六年级下·内蒙古赤峰·期末）当今时代，科技的发展日新月异，扫地机器人以其外观较小，强大的自主感知、规划能力，已经成为新时代人们日常生活的重要助手，受到越来越多的消费者的青睐。如图，一个底面是圆形的扫地机器人紧贴一块地毯边缘行进一周。这块地毯的两端是半圆形，中间是长方形，扫地机器人圆形底面的半径是1.5分米。请你计算扫地机器人的底面圆心走过的路线长是多少分米？ 8．（20-21六年级上·四川·期末）如图，从地到地，走路线①比走路线②近。( )（判断对错） 易错讲练5 圆的面积 9．（24-25六年级上·河北衡水·期末）下面两个图形的阴影部分面积相比，（    ）。（单位：厘米） A．甲图形面积大 B．乙图形面积大 C．一样大 10．（24-25六年级上·河南郑州·期末）如图，小扬同学用两张相同的正方形卡纸剪图形，剪了一个最大的扇形和一个最大的圆，剩下的卡纸（    ） A．甲最多 B．乙最多 C．一样多 易错讲练6 圆的面积的应用 11．（24-25六年级上·湖南湘西·期末）下面四幅图中，正方形的边长都是10cm。关于四幅图中阴影面积的大小，说法（    ）是正确的。 A．四幅图的阴影部分面积都相等 B．甲、丙的阴影部分面积相等，但与乙、丁的阴影部分面积不相等 C．丁的阴影部分面积最小 D．乙的阴影部分面积最大 12．（24-25六年级上·浙江杭州·期末）如图，AB＝BC＝CD＝4厘米，∠ABC和∠BCD都是直角。一枚半径为1厘米的游戏币从点A出发，沿A——BC——D的路径无滑动地滚动到点D。 （1）计算游戏币从A滚动到D的过程中圆心走过的路径长度。 （2）游戏币从A滚动到C的过程中扫过的面积是多少？ 易错讲练7 圆环的面积 13．（24-25六年级上·山西长治·期末）如图是寓意“海上生明月，天涯共此时”的“月光环”景观灯，其外直径是36m，内直径是22m，计算“月光环”正面的近似面积的正确算式是（    ）。 A． B． C． D． 14．（24-25六年级上·吉林四平·期末）求出阴影部分的周长和面积。 易错讲练8 求最大面积 15．（23-24六年级上·湖南怀化·期末）用10m长的绳子，分别围成长方形，正方形、圆，面积最大的（    ）。 A．正方形 B．长方形 C．圆 D．一样大 16．（22-23六年级上·湖北武汉·期末）一块长方形草地的一个角上有一根木桩，木桩上拴着一只羊，如果拴羊的绳子长4米，这只羊无法吃到的草地面积是多少平方米？ 易错讲练9 含圆的组合图形的面积 17．（24-25六年级上·河南漯河·期末）求阴影部分的面积。（单位：厘米） 18．（22-23六年级上·河南郑州·期末）下图中阴影部分的面积最大的是（    ）。 A．  B．   C．   易错讲练10 方中國和圆中方的面积问题 19．（24-25六年级上·广东汕头·期末）剪一个面积是28.26平方厘米的圆，至少需要边长是（    ）厘米的正方形。 A．9 B．3 C．6 D．12 20．（22-23六年级上·河北沧州·期末）如图，小圆面积是正方形的（    ），大圆面积是正方形的（    ）。 A．；2倍 B．； C．2倍；2倍 D．不能确定 易错讲练11 用转化法求圆的组合图形的周长与面积 21．（24-25六年级上·重庆渝中·期末）在一个边长为8厘米的正方形中画一条对角线、一个半圆和一个四分之一圆（如图所示），阴影部分的面积是( )平方厘米。 22．（24-25六年级上·安徽黄山·期末）科创社团准备举行四驱车比赛，比赛场地示意图如下图。场地外围为赛道，如需给比赛场地铺草皮，需要准备多少平方米草皮？王新同学制作的四驱车速度约为2米/秒，如沿赛道跑一周需要多长时间？ 易错讲练12 弧、圆心角、扇形的认识 23．（24-25六年级上·山西晋中·期末）操作。 （1）以图中O点为圆心，画一个半径是的圆。 （2）在圆里画一条直径，使直径的一个端点A在处，用数对表示A（    ），B（    ）。 （3）在所画圆中画一个扇形，使扇形的面积正好是圆面积的。该扇形的圆心角是（    ）°。 24．（24-25六年级上·重庆渝中·期末）弧度制规定：长度等于半径的圆弧，所对的圆心角为1弧度（图示），那么1弧度约等于（    ）度。 A．1 B．57.3 C．60 D．62.3 易错讲练13 画扇形 25．（24-25六年级上·河南郑州·期末）如果A、B、C三个点都在圆上，这个圆的圆心应该在哪里？ （1）请在图中标出圆心的位置，并用字母O表示。 （2）画出这个圆。 （3）在圆中画一个圆心角是135°的扇形，并涂上阴影。 26．（24-25六年级上·江西吉安·期末）根据要求画一画。 （1）以点（5，4）为圆心O，在图中画一个半径为4cm的圆。 （2）在这个圆中画一个扇形并涂色，使扇形的面积正好是圆面积的。 易错讲练14 扇形的周长和面积 27．（24-25六年级上·江西吉安·期末）如图，圆的半径都为r，圆的圆心都在三角形的顶点上，涂色部分的面积为（    ）。 A． B． C． D． 28．（22-23六年级上·北京怀柔·期末）如图，甲、乙、丙三位同学用相同的正方形卡纸剪图形，甲剪了一个最大的扇形，乙剪了一个最大的圆，丙剪了四个最大的圆，三个人剩下的卡纸（    ）。 A．甲最多 B．乙最多 C．丙最多 D．一样多 一、选择题 1．（24-25六年级上·湖南湘西·期末）如图，阴影部分的面积是20cm2，那么圆环的面积是（    ）cm2。 A．251.2 B．62.8 C．20 D．10 2．（24-25六年级上·湖南湘西·期末）下图是“禁止驶入”的交通标志，阴影部分是红色，空白长方形是白色，长70cm，宽10cm。要计算红色部分的面积，列式正确的是（    ）。 A． B． C． D． 3．（21-22六年级上·浙江宁波·期末）左边①号图形是由2个相同的小半圆、1个中半圆、1个大半圆组成，右边②号是由正方形和多个半圆组成。①号、②号阴影部分图形的周长相比（    ）。 A．①号周长长 B．②号周长长 C．周长一样长 D．无法确定 二、填空题 4．（24-25六年级上·重庆渝中·期末）一个羊圈依墙而建，呈半圆形（如图所示），半径4m。修这个羊圈需要栅栏( )m，这个羊圈的面积是( )m2。 5．（24-25六年级上·重庆永川·期末）白居易《府西池》中的诗句“池有波纹冰尽开”描绘了春雨打在水面荡开层层波纹的场景。若雨滴落入一个长10米，宽6米的长方形池子中，所形成最大的整圆波纹的直径是( )m，面积是( )。 6．（25-26六年级上·浙江杭州·期末）如图中，每个小圆的直径是4cm，那么正六边形的周长是( )cm；阴影部分的面积是( )cm2。 三、判断题 7．（23-24六年级上·湖北鄂州·期末）时针长的挂钟，经过12时，时针针尖经过的路程和时针扫过的面积恰好相等。( ) 8．（23-24六年级上·江西南昌·期末）一个圆的周长是62.8m，半径增加2m后，周长增加了12.56m。( ) 9．（19-20六年级上·湖北武汉·期末）用三张同样大小的正方形白铁皮，分别按下面三种方式裁剪出不同规格的圆片。剪完圆片后，第三种裁剪方式剩下的废料最多。( ) 四、计算题 10．（24-25六年级上·重庆万州·期末）下图中空白部分为正方形，求阴影部分的面积。（单位：厘米） 11．（23-24六年级上·浙江嘉兴·期末）如图，等腰直角三角形的一条直角边和半圆的直径重合，求阴影部分的面积。 五、解答题 12．（24-25六年级上·湖北十堰·期末）光明小区有一个圆形花坛，沿着它的外沿修一圈2米宽的石子路，花坛的直径是6米，那么石子路路面的面积是多少平方米？ 13．（24-25六年级上·湖北荆州·期末）为了落实阳光体育运动”，丰富学生的课余生活，沙北实验学校张老师和同学们一起开展课间游戏，把4米长的绳子拉直在操场上画了一个圆，后来发现圆画小了，于是把绳子加长了2米，拉直后重新画了一个同心圆，你知道现在圆的面积比原来增加了多少？ 14．（24-25六年级上·河南三门峡·期末）一个冰球比赛场地（如下示意图），四角为半径8米、圆心角90度的扇形圆弧。请你借助示意图画一画，标一标，并计算出这个冰球比赛场地的使用面积。 15．（24-25六年级上·北京海淀·期末）王叔叔买了一张可折叠的餐桌，中间是长100厘米，宽20厘米的长方形，两侧是半圆形，如图1所示。这张餐桌完全展开后，如图2所示，桌面的面积有多大？（取3.14） 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 圆 （知识回顾+14个高频易错真题讲练+真题拔尖练 共43题） 【解析版】 知识梳理 1 知识点梳理01：圆的认识 2 知识点梳理02：用圆规画圆 2 知识点梳理03：圆的周长 3 知识点梳理04：圆的面积 3 知识点梳理05：扇形的认识 4 知识点梳理06：圆的知识的实际应用 4 知识点梳理07：易错点提示 5 易错考点讲练 5 易错讲练1 圆的周长 5 易错讲练2 半圆的周长 6 易错讲练3 圆的周长的应用 8 易错讲练4 含圆的组合图形的周长 10 易错讲练5 圆的面积 12 易错讲练6 圆的面积的应用 13 易错讲练7 圆环的面积 16 易错讲练8 求最大面积 17 易错讲练9 含圆的组合图形的面积 19 易错讲练10 方中國和圆中方的面积问题 21 易错讲练11 用转化法求圆的组合图形的周长与面积 22 易错讲练12 弧、圆心角、扇形的认识 24 易错讲练13 画扇形 26 易错讲练14 扇形的周长和面积 28 真题拔尖练15题 30 知识点梳理01：圆的认识 1.圆的定义： 一条线段绕着它固定的一个端点在平面上旋转一周，另一个端点所经过的封闭曲线叫做圆。这个固定的点叫做圆心。 2.圆的各部分名称及特征： （1）圆心 (O)： 圆中心的一点，它决定圆的位置。 （2）半径 (r)： 连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径。 ①一个圆有无数条半径。 ②在同圆或等圆中，所有半径的长度都相等。 ③半径决定圆的大小。 （3）直径 (d)： 通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。 ①一个圆有无数条直径。 ②在同圆或等圆中，所有直径的长度都相等。 （4）半径与直径的关系： 在同圆或等圆中，直径的长度是半径的2倍，即 或 。 3.圆的对称性： （1）圆是轴对称图形，它有无数条对称轴。 （2）每条对称轴都是直径所在的直线。 知识点梳理02：用圆规画圆 1.画圆步骤： （1）定圆心：把圆规的两脚分开，有针尖的一脚固定在一点上，这个点就是圆心。 （2）定半径：根据所画圆的大小，调整圆规两脚之间的距离，这个距离就是半径。 （3）旋转一周：把装有铅笔尖的一脚绕圆心旋转一周，就画出一个圆。 2.注意事项： （1）画圆时，圆规两脚之间的距离不能改变。 （2）针尖要固定好，不能移动。 （3）旋转时要平稳，用力均匀。 知识点梳理03：圆的周长 1.圆的周长 (C) 的意义： 围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。 2.圆周率 (π)： （1）任意一个圆的周长与它的直径的比值是一个固定的数，我们把它叫做圆周率，用字母 π (pài) 表示。 （2）π是一个无限不循环小数，π ≈ 3.1415926535...，在小学阶段的计算中，通常取 π ≈ 3.14。 3.圆的周长计算公式： （1）已知直径 (d)，求周长： （2）已知半径 (r)，求周长： 4.半圆的周长： 半圆的周长等于圆周长的一半加上一条直径。 （1） 或 5.圆的周长公式的应用： （1）已知周长求直径： （2）已知周长求半径： 知识点梳理04：圆的面积 1.圆的面积 (S) 的意义： 圆所占平面的大小叫做圆的面积。 2.圆的面积计算公式的推导： 通常采用“转化”的方法，将圆等分成若干个小扇形，然后拼成一个近似的长方形。这个长方形的长近似于圆周长的一半 ()，宽近似于圆的半径 (r)。因为长方形的面积 = 长 × 宽，所以圆的面积 。 3.圆的面积计算公式： 4.圆的面积公式的应用： （1）已知半径求面积： （2）已知直径求面积：先求半径 ，再用 （3）已知周长求面积：先求半径 ，再用 5.环形（圆环）的面积： 环形面积 = 外圆面积 - 内圆面积。 （1）设外圆半径为 R，内圆半径为 r，则 知识点梳理05：扇形的认识 1.扇形的定义：一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。 2.圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角（如∠AOB）。扇形的大小与圆心角的大小和半径的长短有关。 3.扇形的各部分名称：半径（两条）、弧（一条曲线）、圆心角。 4.特殊扇形： （1）圆心角是180°的扇形是一个半圆。 （2）圆心角是90°的扇形是一个四分之一圆。 知识点梳理06：圆的知识的实际应用 1.解决与圆的周长有关的实际问题：车轮滚动一周前进的路程（车轮周长）、围绕圆形花坛跑一圈的长度、钟面上时针/分针尖端走过的路程等。 2.解决与圆的面积有关的实际问题：圆形草坪的占地面积、圆形铁片的面积、给圆形桌面配玻璃等。 3.组合图形的周长与面积： （1）周长： 注意区分是哪些边的长度之和，特别是组合图形中“内边”是否计算。 （2）面积： 通常采用“割补法”或“加减法”，将组合图形转化为基本图形（如圆、长方形、正方形、三角形等）的面积之和或差。例如：求“外方内圆”、“外圆内方”中正方形与圆之间部分的面积。 知识点梳理07：易错点提示 1.概念混淆： 半径和直径的概念及关系（易忽略“同圆或等圆中”）；周长和面积的概念（一个是长度，一个是面积）。 2.圆周率 (π) 的取值： 计算时要明确题目要求，π取3.14还是保留π。 3.公式运用错误： 周长和面积公式混淆；已知直径或周长求面积时，忘记先求半径。 4.半圆周长与圆周长一半的区别： 半圆周长包括直径，圆周长的一半不包括直径。 5.单位问题： 长度单位（如厘米、米）和面积单位（如平方厘米、平方米）的区分和正确使用。 6.计算粗心： 涉及π的计算较繁琐，容易出错；平方的计算（如 是 r × r，不是 r × 2）。 7.环形面积计算： 容易写成 ，正确应为 。 8.审题不清： 如“占地面积”是求面积，“走了多少米”是求周长；“半圆”和“半圆形”在具体问题中的含义。 易错讲练1 圆的周长 1．（24-25六年级上·湖南岳阳·期末）小明将一个圆形的纸卡片沿直尺的边滚动了一周（如图）这个圆的直径大约是( )厘米。（结果保留整厘米数） 【答案】3 【思路引导】圆形纸卡片沿直尺滚动一周，滚动的距离就是圆的周长。从图中直尺刻度可知，滚动前圆与直尺接触点大概在0厘米处，滚动后大概在9.4厘米处，所以圆的周长C≈9.4厘米。 圆的周长公式为C＝πd，变形可得d＝C÷π。把C≈9.4厘米，π≈3.14代入公式，算出结果（得数保留整数）。 【规范解答】由图可知：C≈9.4厘米 d＝C÷π ＝9.4÷3.14 ≈2.99 ≈3（厘米） 这个圆的直径大约是3厘米。 2．（24-25六年级上·湖北襄阳·期末）下图是王林在研究圆的面积计算公式时用的方法，此时近似梯形的上底与下底的和相当于圆的（    ）。 A．半径 B．直径 C．周长 D．周长的 【答案】D 【思路引导】右侧梯形中所有阴影三角形的底边长之和可看作所拼成梯形的上底与下底之和，而左侧圆形中阴影三角形边长对应圆的边长的一半，据此解答即可。 【规范解答】由右侧梯形图可知，梯形上底由3个阴影三角形的底边组成， 梯形下底由5个阴影三角形的底边组成， 由左侧圆形又知，圆周长的一半由8个阴影三角形的底边组成， 即此时近似梯形的上底与下底的和相当于圆的周长的。 故答案为：D 易错讲练2 半圆的周长 3．（24-25六年级上·重庆巴南·期末）要在一个长方形的纸片上剪出一个周长是的半圆，则这张长方形纸片的面积至少是（    ）。 A． B． C． D．无法判断 【答案】B 【思路引导】根据半圆的周长公式：周长＝半径×π＋半径×2；半径＝周长÷（π＋2），代入数据，求出据半径，因为长方形的纸片上剪半圆，所以长方形的长等于圆的直径；长方形的宽至少等于圆的半径，根据长方形面积公式：面积＝长×宽，代入数据，求出长方形纸片的面积，据此解答。 【规范解答】15.42÷（3.14＋2） ＝15.42÷5.14 ＝3（cm） （3×2）×3 ＝6×3 ＝18（cm2） 要在一个长方形的纸片上剪出一个周长是15.42cm的半圆，则这张长方形纸片的面积至少是18cm2。 故答案为：B 4．（24-25六年级上·浙江宁波·期末）图1是一个半径为50米的半圆形花坛，李爷爷习惯饭后绕着它的周边匀速散步。李爷爷从O点出发，按箭头所指的方向步行，最后回到出发点。他步行过程中距离与时间的关系如图2所示。 （1）李爷爷绕半圆形花坛散步一圈需要多少米？ （2）观察图2，请你计算李爷爷散步的速度？ （3）如果李爷爷只在散步途中休息了一次，请看图分析，在图1上用“☆”标出休息的位置。 【答案】（1）257米 （2）50米/分 （3）图见详解 【思路引导】（1）根据题意和图意可知，求李爷爷绕半圆形花坛散步一圈的长度，就是求半圆的周长；根据半圆的周长＝直径＋圆周长的一半，其中圆的直径＝半径×2，圆的周长公式C＝2πr，代入数据计算求解。 （2）观察李爷爷步行过程中距离与时间的关系图可知，他步行50米，用时1分钟，根据“速度＝路程÷时间”求出他散步的速度。 （3）从关系图中可知，李爷爷在从B点返回O点的中途休息了一次，据此在图1上用“☆”标出休息的位置。 【规范解答】（1）50×2＋2×3.14×50× ＝100＋157 ＝257（米） 答：李爷爷绕半圆形花坛散步一圈需要257米。 （2）50÷1＝50（米/分） 答：李爷爷散步的速度是50米/分。 （3）如图： 易错讲练3 圆的周长的应用 5．（24-25六年级上·湖南湘西·期末）有两辆轮胎不一样大小的客车，甲车轮胎直径是0.8米，乙车轮胎直径是0.6米。甲车轮胎一分钟转300圈，乙车轮胎一分钟转400圈。现甲、乙两车从桥头同时出发（车长大约8米），桥全长3760米。小东、莉莉和小文为此展开关于哪辆车会先通过这座桥的讨论： 小东：甲车先通过，因为甲车的轮胎大。 莉莉：乙车先通过，因为乙车每分钟转的圈数多。 小文：甲、乙两车同时通过，因为它们的速度一样。 谁的结论说的正确？根据上面的结论，算出甲、乙两车通过这座桥所需要的时间。 【答案】小文；5分钟 【思路引导】轮胎周长决定每转一圈行驶的距离，轮胎是圆形，周长公式为C＝πd（d为直径，π取3.14），甲车轮胎直径是0.8米，周长为3.14×0.8＝2.512米（每转1圈，甲车前进2.512米）；乙车轮胎直径是0.6米，周长为3.14×0.6＝1.884米（每转1圈，乙车前进1.884米）。 根据速度＝周长×每分钟转数，甲车轮胎一分钟转300圈，速度为2.512×300＝753.6米/分钟；乙车轮胎一分钟转400圈，速度为1.884×400＝753.6米/分钟。所以甲、乙两车速度相等，因此小东和莉莉结论错误；小文“速度一样，同时通过”的结论正确。 桥全长3760米，车长大约8米，那么总路程为：3760＋8＝3768米；甲车通过时间为3768÷753.6＝5分钟；乙车通过时间为3768÷753.6＝5分钟。 【规范解答】甲：（米/分钟） 乙：（米/分钟） 3760＋8＝3768（米） （分钟） 答：小文说的结论正确。甲、乙两车通过这座桥所需的时间均为5分钟。 6．（24-25六年级下·海南海口·期末）在现代科技中，数学的应用也是无处不在，如下面飞行器中的数学问题。飞行器甲的发射轨道与飞行器乙的运行轨道分别是以点O和点O'为圆心的两个圆形轨道（如图）。已知飞行器甲的飞行速度为40千米/分，飞行器乙的飞行速度为20千米/分，某行星在B点（假定不动），弧BC与弧AC的长度差为3600千米。早上9：00飞行器甲准时发射，此时飞行器乙正好在A点，要求在C点处对接。 （1）请你计算两个飞行器在几时对接。 （2）飞行器甲的发射轨道与飞行器乙的运行轨道的半径各是多少千米？（结果取整数） 【答案】（1）12：00 （2）飞行器甲1529千米；飞行器乙2293千米 【思路引导】（1）已知飞行器甲、乙的飞行速度分别是40千米/分、20千米/分，弧BC与弧AC的长度差为3600千米，即两个飞行器在C点处对接时飞行的路程差是3600千米，根据追及时间＝路程差÷速度差，求出两个飞行器从出发到对接所需的时间，再加上发射的时刻，即可求出两个飞行器的对接时刻。注意单位的换算：1小时＝60分。 （2）先根据“速度×时间＝路程”分别求出对接时飞行器甲、乙飞行的路程，即弧BC与弧AC的长度； 从图中可知，弧BC的长度占它的圆周长的，弧AC的长度占它的圆周长的，分别把两个圆的周长看作单位“1”，单位“1”未知，根据分数除法的意义求出两个圆的周长； 由圆的周长公式C＝2πr，可知r＝C÷π÷2，据此求出飞行器甲的发射轨道的半径与飞行器乙的运行轨道的半径。 【规范解答】（1）3600÷（40－20） ＝3600÷20 ＝180（分） 180分＝3小时 9时＋3小时＝12时 答：两个飞行器在12：00对接。 （2）弧BC的长度：40×180＝7200（千米） 弧AC的长度：20×180＝3600（千米） 飞行器甲运行一圈长： 7200÷ ＝7200× ＝9600（千米） 飞行器甲的发射轨道的半径： 9600÷3.14÷2≈1529（千米） 飞行器乙运行一圈长： 3600÷ ＝3600×4 ＝14400（千米） 飞行器乙的运行轨道的半径： 14400÷3.14÷2≈2293（千米） 答：飞行器甲的发射轨道的半径约是1529千米，飞行器乙的运行轨道的半径约是2293千米。 【考点剖析】解答本题的关键是先根据追及问题的公式求出追及时间，再根据路珵＝速度×时间，分别求出两个飞行器在对接时飞行的路程，也就是两个弧长，从图中得出两个弧长分别占它们圆周长的几分之几，根据分数除法的意义求出两个圆的周长，最后利用圆的周长公式求出两个圆的半径。 易错讲练4 含圆的组合图形的周长 7．（24-25六年级下·内蒙古赤峰·期末）当今时代，科技的发展日新月异，扫地机器人以其外观较小，强大的自主感知、规划能力，已经成为新时代人们日常生活的重要助手，受到越来越多的消费者的青睐。如图，一个底面是圆形的扫地机器人紧贴一块地毯边缘行进一周。这块地毯的两端是半圆形，中间是长方形，扫地机器人圆形底面的半径是1.5分米。请你计算扫地机器人的底面圆心走过的路线长是多少分米？ 【答案】76.82分米 【思路引导】通过观察图形可知扫地机器人的底面圆心走过的路线等于半径是（5＋1.5）分米的圆的周长加上2个18分米，根据圆的周长公式：C＝2πr，把数据代入公式解答。 【规范解答】2×3.14×（5＋1.5）＋18×2 ＝6.28×6.5＋36 ＝40.82＋36 ＝76.82（分米） 答：扫地机器人的底面圆心走过的路线长是76.82分米。 8．（20-21六年级上·四川·期末）如图，从地到地，走路线①比走路线②近。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】如下图：根据圆周长的计算公式分别求出路线①以为直径的半圆形，路线②分别以、、为直径的半圆组成的路线的长度，再比较即可解答。 【规范解答】如图： 路线①长度： 路线②长度： 所以路线①和路线②一样近。 故答案为：× 【考点剖析】本题主要考查借助圆的周长公式比较长度，解答本题的关键是乘法分配律的应用。 易错讲练5 圆的面积 9．（24-25六年级上·河北衡水·期末）下面两个图形的阴影部分面积相比，（    ）。（单位：厘米） A．甲图形面积大 B．乙图形面积大 C．一样大 【答案】C 【思路引导】观察两个图形可知，阴影部分的面积＝大圆的面积－小圆的面积，根据圆的面积公式S＝πr2，代入数据计算，求出两个图形阴影部分的面积，再比较，得出结论。 【规范解答】甲阴影部分的面积： π×82－π×（8÷2）2 ＝π×82－π×42 ＝π×64－π×16 ＝48π（平方厘米） 乙阴影部分的面积： π×82－π×42 ＝π×64－π×16 ＝48π（平方厘米） 48π＝48π 两个图形的阴影部分面积相比，一样大。 故答案为：C 10．（24-25六年级上·河南郑州·期末）如图，小扬同学用两张相同的正方形卡纸剪图形，剪了一个最大的扇形和一个最大的圆，剩下的卡纸（    ） A．甲最多 B．乙最多 C．一样多 【答案】C 【思路引导】根据题意，设正方形的边长为a。分别计算甲、乙中阴影部分的面积，再用正方形面积减去阴影部分面积得到剩下卡纸的面积，最后比较两者剩下面积的大小。据此解答。 【规范解答】设正方形的边长为a，正方形的面积为a2。 甲中，最大扇形的半径为a，扇形面积为×π×a2，则甲剩下的卡纸面积为a2－πa2。 乙中，最大圆的直径为a，半径为，圆的面积为π×2＝πa2，则乙剩下的卡纸面积为a2－πa2。所以甲和乙剩下的卡纸面积一样多。 故答案为：C 易错讲练6 圆的面积的应用 11．（24-25六年级上·湖南湘西·期末）下面四幅图中，正方形的边长都是10cm。关于四幅图中阴影面积的大小，说法（    ）是正确的。 A．四幅图的阴影部分面积都相等 B．甲、丙的阴影部分面积相等，但与乙、丁的阴影部分面积不相等 C．丁的阴影部分面积最小 D．乙的阴影部分面积最大 【答案】A 【思路引导】图甲，圆的直径等于正方形的边长10cm，甲的阴影面积＝正方形的面积－圆的面积； 图乙，2个圆的直径之和等于正方形的边长10cm，据此得出1个圆的半径是10÷2÷2＝2.5cm；乙的阴影面积＝正方形的面积－4个圆的面积； 图丙，半圆的直径等于正方形的边长10cm，丙的阴影面积＝正方形的面积－2个半圆的面积； 图丁，圆的半径等于正方形的边长10cm，丁的阴影面积＝正方形的面积－圆的面积的； 根据正方形的面积公式S＝a2，圆的面积公式S＝πr2，代入数据计算，求出四幅图阴影部分的面积，再比较大小，得出结论。 【规范解答】甲的阴影面积： 10×10－3.14×（10÷2）2 ＝10×10－3.14×52 ＝10×10－3.14×25 ＝100－78.5 ＝21.5（cm2） 乙的阴影面积： 10×10－3.14×（10÷2÷2）2×4 ＝10×10－3.14×2.52×4 ＝10×10－3.14×6.25×4 ＝100－78.5 ＝21.5（cm2） 丙的阴影面积： 10×10－3.14×（10÷2）2÷2×2 ＝10×10－3.14×52÷2×2 ＝10×10－3.14×25÷2×2 ＝100－78.5 ＝21.5（cm2） 丁的阴影面积： 10×10－3.14×102× ＝10×10－3.14×100× ＝100－78.5 ＝21.5（cm2） 综上所述，四幅图的阴影部分面积都相等。 故答案为：A 12．（24-25六年级上·浙江杭州·期末）如图，AB＝BC＝CD＝4厘米，∠ABC和∠BCD都是直角。一枚半径为1厘米的游戏币从点A出发，沿A——BC——D的路径无滑动地滚动到点D。 （1）计算游戏币从A滚动到D的过程中圆心走过的路径长度。 （2）游戏币从A滚动到C的过程中扫过的面积是多少？ 【答案】（1）11.57厘米 （2）20.28平方厘米 【思路引导】（1）游戏币从A滚动到D的过程中圆心走过的路径长度可分为四段：第一段从点A到点B上方平行的线段，也就是线段AB的长度；第二段是以点B为圆心，半径为1厘米的圆弧长；第三段是点B 到点C的线段减去游戏币的半径；第四段为点C到点D的线段减去游戏币的半径；最后根据圆的周长＝2πr，把这四段的相加，即为游戏币从A滚动到D过程中圆心走过的路径长度。 （2）如图所示，游戏币从A滚动到C的过程中扫过的面积＝1个圆的面积＋长方形ABMK的面积＋扇形BNM的面积＋长方形BTFN；最后根据长方形面积＝长×宽，圆的面积＝πr2，代入相应数值计算，所得结果即为游戏币从A滚动到C的过程中扫过的面积。 【规范解答】（1） （厘米） 答：游戏币从A滚动到D的过程中圆心走过的路径长度是11.57厘米。 （2） （平方厘米） 答：游戏币从A滚动到C的过程中扫过的面积是20.28平方厘米。 【考点剖析】无论是计算圆心走过的路径长度还是滚动过程扫过的面积，解答的关键是分段列出路径长度和扫过面积的组成部分，注意不要忽视了在B点处滚动圆心走过的弧形长度和扫过的扇形面积。 易错讲练7 圆环的面积 13．（24-25六年级上·山西长治·期末）如图是寓意“海上生明月，天涯共此时”的“月光环”景观灯，其外直径是36m，内直径是22m，计算“月光环”正面的近似面积的正确算式是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】根据题意得：“月光环”是一个圆环，大圆直径D为36米，小圆直径d为22米，则圆环面积＝，据此计算可得出答案。 【规范解答】“月光环”正面的近似面积为： 故答案为：D 14．（24-25六年级上·吉林四平·期末）求出阴影部分的周长和面积。 【答案】周长：25.98dm；面积：10.99dm2 【思路引导】看图可知，大圆半径－1＝小圆半径，阴影部分的周长＝大圆周长的一半＋小圆周长的一半＋两个圆的半径差×4，圆周长的一半＝圆周率×半径； 阴影部分的面积＝圆环的面积÷2，圆环的面积＝圆周率×（大圆半径的平方－小圆半径的平方）。 【规范解答】4－1＝3（dm） 周长：3.14×4＋3.14×3＋1×4 ＝12.56＋9.42＋4 ＝25.98（dm） 面积：3.14×（42－32）÷2 ＝3.14×（16－9）÷2 ＝3.14×7÷2 ＝10.99（dm2） 阴影部分的周长和面积分别是25.98dm、10.99dm2。 【考点剖析】关键是看懂图示，掌握并灵活运用圆的周长和圆环面积公式。 易错讲练8 求最大面积 15．（23-24六年级上·湖南怀化·期末）用10m长的绳子，分别围成长方形，正方形、圆，面积最大的（    ）。 A．正方形 B．长方形 C．圆 D．一样大 【答案】C 【思路引导】已知用10m长的绳子，分别围成长方形，正方形、圆，则它们的周长都是10m，然后根据长方形、正方形、圆的面积公式分别求出正方形，长方形，圆的面积进行比较即可。 【规范解答】由分析可知： 长方形：设长为3m，宽为2m，3×2＝6（平方米） 正方形：10÷4＝2.5（米），2.5×2.5＝6.25（平方米） 圆：10÷3.14÷2≈1.6（米），3.14×1.62＝8.0384（平方米） 8.0384＞6.25＞6，所以圆的面积最大。 故选：C 【考点剖析】本题考查了圆，正方形以及长方形的周长与面积公式。结论：在周长相等的情况下，圆的面积最大。 16．（22-23六年级上·湖北武汉·期末）一块长方形草地的一个角上有一根木桩，木桩上拴着一只羊，如果拴羊的绳子长4米，这只羊无法吃到的草地面积是多少平方米？ 【答案】47.44平方米 【思路引导】如图： 观察图形可知，这只羊能吃到草的面积等于半径为4米圆的的面积，那么这只羊无法吃到的草地面积＝长方形的面积－圆的面积；根据长方形的面积公式S＝ab，圆的面积公式S＝πr2，代入数据计算即可。 【规范解答】长方形草地的面积： 10×6＝60（平方米） 能吃到草的面积（圆的面积）： 3.14×42× ＝3.14×16× ＝3.14×4 ＝12.56（平方米） 无法吃到的草地面积： 60－12.56＝47.44（平方米） 答：这只羊无法吃到的草地面积是47.44平方米。 【考点剖析】画出图形帮助理解题意，先分析出羊能吃到草的面积是一个圆的面积，进而得出羊无法吃到的草地面积是由哪些图形面积相加或相减得到，再根据图形的面积公式解答。 易错讲练9 含圆的组合图形的面积 17．（24-25六年级上·河南漯河·期末）求阴影部分的面积。（单位：厘米） 【答案】11.69平方厘米 【思路引导】观察图形可知，阴影部分的面积可以看作是半径为5厘米的圆的面积，加上半径为3厘米的圆的面积，再减去长为5厘米、宽为3厘米的长方形的面积。 半径为3厘米的圆的面积：根据圆的面积公式S＝πr2（r为半径，π取3.14），可得该部分面积为×3.14×52＝19.625平方厘米。半径为3厘米的圆的面积：同理，该部分面积为×3.14×32＝7.065平方厘米。长为5厘米、宽为3厘米的长方形的面积：根据长方形的面积公式S＝a×b（a为长，b为宽），可得该部分面积为5×3＝15平方厘米。那么阴影部分的面积就是19.625＋7.065－15＝11.69平方厘米。 【规范解答】阴影部分的面积是半径为5厘米的圆的面积，加上半径为3厘米的圆的面积，减去长方形的面积。 ×3.14×52 ＝×3.14×25 ＝×3.14 ＝19.625（平方厘米） ×3.14×32 ＝×3.14×9 ＝×3.14 ＝7.065（平方厘米） 5×3＝15（平方厘米） 19.625＋7.065－15＝11.69（平方厘米） 阴影部分的面积是11.69平方厘米。 18．（22-23六年级上·河南郑州·期末）下图中阴影部分的面积最大的是（    ）。 A．  B．   C．   【答案】C 【思路引导】A．阴影部分的面积＝正方形的面积－圆的面积；其中正方形的边长等于圆的直径； B．阴影部分的面积＝圆的面积－正方形的面积；把正方形分成两个一样的三角形，三角形的底等于圆的直径，高等于圆的半径； C．阴影部分的面积＝大圆的面积－小圆的面积； 根据正方形的面积公式S＝a2，三角形的面积公式S＝ah÷2，圆的面积公式S＝πr2，代入数据计算，求出各选项图中阴影部分面积，再比较大小，得出结论。 【规范解答】A．（2×2）×（2×2）－3.14×22 ＝4×4－3.14×4 ＝16－12.56 ＝3.44 B．3.14×22－（2×2）×2÷2×2 ＝3.14×4－4×2÷2×2 ＝12.56－8 ＝4.56 C．3.14×22－3.14×12 ＝3.14×4－3.14×1 ＝12.56－3.14 ＝9.42 9.42＞4.56＞3.44 所以，阴影部分的面积最大是9.42。 故答案为：C 【考点剖析】本题考查组合图形面积的求法，分析出组合图形是由哪些基本图形组成，然后看是求几种图形的面积和还是求面积差，根据图形面积公式解答。 易错讲练10 方中國和圆中方的面积问题 19．（24-25六年级上·广东汕头·期末）剪一个面积是28.26平方厘米的圆，至少需要边长是（    ）厘米的正方形。 A．9 B．3 C．6 D．12 【答案】C 【思路引导】在正方形内剪一个最大的圆，这个圆的直径＝正方形的边长，其中，这个圆半径的平方＝圆的面积÷π，直径＝半径×2。 【规范解答】＝28.26÷3.14＝9 9＝3×3 3×2＝6（厘米） 剪一个面积是28.26平方厘米的圆，至少需要边长是6厘米的正方形。 故答案为：C 20．（22-23六年级上·河北沧州·期末）如图，小圆面积是正方形的（    ），大圆面积是正方形的（    ）。 A．；2倍 B．； C．2倍；2倍 D．不能确定 【答案】B 【思路引导】如图： 设大圆半径为R，小圆半径为r，那么正方形ABCD的边长为2r，根据正方形面积公式：S＝a2，圆的面积公式：S＝πr2，即可求出正方形的面积为：2r×2r＝4r2，小圆的面积为：πr2，再用小圆面积除以正方形面积，即可求出小圆面积是正方形面积的几分之几；接着把正方形分成如图所示的两个三角形，三角形ABD以大圆直径为底，即底为：2R，大圆半径为高，即高为：R；根据三角形面积＝底×高÷2，求出三角形ABD的面积为∶2R×R÷2＝R2，再用三角形ABD的面积乘2，即能求出正方形的面积是：2R2；根据圆的面积公式：S＝πr2，求出大圆的面积是：π×R2＝πR2；最后再用求出的圆面积除以正方形面积，即能求出大圆面积是正方形面积的几分之几。 【规范解答】设大圆半径为R，小圆半径为r，那么正方形ABCD的边长为2r。 2r×2r＝4r2 πr2÷4r2＝ 2R×R÷2 ＝2R2÷2 ＝R2 R2×2＝2R2 πR2÷2R2＝ 小圆面积是正方形面积的，大圆面积是正方形面积的。 故答案为：B 【考点剖析】解决本题的关键在于根据用小圆半径和大圆半径分别求出正方形面积。 易错讲练11 用转化法求圆的组合图形的周长与面积 21．（24-25六年级上·重庆渝中·期末）在一个边长为8厘米的正方形中画一条对角线、一个半圆和一个四分之一圆（如图所示），阴影部分的面积是( )平方厘米。 【答案】16 【思路引导】 由图可知，①和②的形状相同，面积相等，③和④的形状相同，面积相等，则①＋③＋⑤＝②＋④＋⑤，②④⑤面积的和等于三角形BCE的面积，三角形BCE的面积等于正方形ABCD面积的，所以阴影部分的面积等于正方形面积的，据此解答。 【规范解答】8×8× ＝64× ＝16（平方厘米） 所以，阴影部分的面积是16平方厘米。 22．（24-25六年级上·安徽黄山·期末）科创社团准备举行四驱车比赛，比赛场地示意图如下图。场地外围为赛道，如需给比赛场地铺草皮，需要准备多少平方米草皮？王新同学制作的四驱车速度约为2米/秒，如沿赛道跑一周需要多长时间？ 【答案】39.25平方米；15.7秒 【思路引导】观察图形可知：比赛场地是一个不规则图形，右下角的小半圆可以填补到左边的空白半圆处，这样比赛场地就变为一个以10米为直径的半圆，根据圆的面积＝πr2，求出圆的面积，再除以2即可求出需要草皮的面积。 观察图形可知：比赛场地周长的上半部分是以10米为直径的圆的周长的一半，下半部分的两条半圆弧可以组成以（10÷2）米为直径的圆。根据圆的周长＝πd，分别求出两部分的长度，再把它们相加可以求出比赛场地的周长。最后根据路程÷速度＝时间，用场地的周长除以2，即可求出沿赛道跑一周需要多长时间。 【规范解答】（10÷2）2×3.14÷2 ＝52×3.14÷2 ＝25×3.14÷2 ＝39.25（平方米） 10×3.14÷2＋10÷2×3.14 ＝15.7＋15.7 ＝31.4（米） 31.4÷2＝15.7（秒） 答：需要准备39.25平方米草皮；沿赛道跑一周需要15.7秒。 易错讲练12 弧、圆心角、扇形的认识 23．（24-25六年级上·山西晋中·期末）操作。 （1）以图中O点为圆心，画一个半径是的圆。 （2）在圆里画一条直径，使直径的一个端点A在处，用数对表示A（    ），B（    ）。 （3）在所画圆中画一个扇形，使扇形的面积正好是圆面积的。该扇形的圆心角是（    ）°。 【答案】（1）图见详解 （2）A（9，6）；B（15，6） （3）图见详解；60 【思路引导】（1）把圆规的两脚分开，定好两脚的距离，即半径；把有针尖的一只脚固定在一点上，即圆心；把装有铅笔尖的一只脚旋转一周，就是画出的圆。 （2）根据数对表示位置的方法：第一个数字表示列，第二个数字表示行；由于直径的一个端点在（9，x）处，由图即可知道x＝6，由此即可判断另一个端点的位置。 （3）根据分数的意义，把这个圆平均分成6份，取1份，用阴影部分表示即可。再用360°÷6，即可求出扇形圆心角，据此解答。 【规范解答】（1）如下图： （2）x＝6； A（9，6），B（15，6） 在圆里画一条直径，使直径的一个端点A在（9，x）处，用数对表示A（9，6），B（15，5）。 （3）360°÷6＝60° 图如下： （扇形位置不唯一） 24．（24-25六年级上·重庆渝中·期末）弧度制规定：长度等于半径的圆弧，所对的圆心角为1弧度（图示），那么1弧度约等于（    ）度。 A．1 B．57.3 C．60 D．62.3 【答案】B 【思路引导】圆的周长＝2×圆周率×半径，将圆的周长看作单位“1”，1弧度是圆周长的，圆心角×1弧度对应分率＝1弧度的度数，π取3.14，计算即可。 【规范解答】r÷2πr＝＝ 360×＝360×＝360×≈57.3（度） 1弧度约等于57.3度。 故答案为：B 易错讲练13 画扇形 25．（24-25六年级上·河南郑州·期末）如果A、B、C三个点都在圆上，这个圆的圆心应该在哪里？ （1）请在图中标出圆心的位置，并用字母O表示。 （2）画出这个圆。 （3）在圆中画一个圆心角是135°的扇形，并涂上阴影。 【答案】见详解 【思路引导】圆的特点是圆心到圆上任意一点距离相等（也就是半径相等）。如果A、B、C三个点都在圆上，那么圆心到A、B、C的距离相等。 （1）由图可发现∠C是直角，直角三角形外接圆的圆心，是斜边的中点。 （2）用圆规画圆，圆规针尖对准圆心O，调整两脚间的距离等于半径也就是OA或者OB的长度，旋转一周画出完整的圆。 （3）用量角器：把量角器中心对准圆心O，让量角器的0°刻度线和圆的任意一条半径重合（比如和OA重合）。在量角器上找到135°的刻度，在圆上对应位置点个点，然后把这个点和O连接起来，这样就形成了一个圆心角是135°的扇形。最后用彩笔或铅笔把这个扇形区域涂上阴影。 【规范解答】 26．（24-25六年级上·江西吉安·期末）根据要求画一画。 （1）以点（5，4）为圆心O，在图中画一个半径为4cm的圆。 （2）在这个圆中画一个扇形并涂色，使扇形的面积正好是圆面积的。 【答案】（画法不唯一） 【思路引导】（1）数对（5，4）表示第5列第4行，据此找出点O的位置，再根据圆的半径即可画出圆。 （2）要使扇形面积（涂上阴影）正好是圆面积的，则扇形的圆心角是360°÷4＝90°，据此画出扇形（画法不唯一）。 【规范解答】（1）如图所示： （2）如图所示： （画法不唯一） 易错讲练14 扇形的周长和面积 27．（24-25六年级上·江西吉安·期末）如图，圆的半径都为r，圆的圆心都在三角形的顶点上，涂色部分的面积为（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】根据三角形的内角和是180°可知，三个白色扇形的面积和刚好是半径为r的圆的面积的一半，则涂色部分的面积等于三个半径为r的圆的面积的和减一个半径为r的圆的面积的，根据圆的面积公式，列式并化简即可。 【规范解答】 圆的半径都为r，圆的圆心都在三角形的顶点上，涂色部分的面积为。 故答案为：C 28．（22-23六年级上·北京怀柔·期末）如图，甲、乙、丙三位同学用相同的正方形卡纸剪图形，甲剪了一个最大的扇形，乙剪了一个最大的圆，丙剪了四个最大的圆，三个人剩下的卡纸（    ）。 A．甲最多 B．乙最多 C．丙最多 D．一样多 【答案】D 【思路引导】假设出正方形的边长，甲中扇形的半径等于正方形的边长，乙中圆的半径等于正方形边长的一半，丙中小圆的半径等于正方形边长的，利用“”分别求出三位同学所剪图形的面积，所剪的图形面积越大剩下的卡纸面积越小，所剪的图形面积相等时剩下卡纸的面积也相等，所剪的图形面积越小剩下的卡纸面积越大，据此解答。 【规范解答】假设正方形的边长为2。 甲： ＝ ＝ 乙： ＝ ＝ 丙： ＝ ＝ ＝ 由上可知，甲、乙、丙三位同学剪的图形面积相等，所以三个人剩下的卡纸一样多。 故答案为：D 【考点剖析】熟练掌握圆的面积计算公式并求出三个图形的面积是解答题目的关键。 一、选择题 1．（24-25六年级上·湖南湘西·期末）如图，阴影部分的面积是20cm2，那么圆环的面积是（    ）cm2。 A．251.2 B．62.8 C．20 D．10 【答案】B 【思路引导】圆环的面积＝×（－），阴影部分的面积＝－＝20，由此可知圆环的面积等于×20。 【规范解答】3.14×20＝62.8（） 所以圆环的面积是62.8。 故答案为：B 2．（24-25六年级上·湖南湘西·期末）下图是“禁止驶入”的交通标志，阴影部分是红色，空白长方形是白色，长70cm，宽10cm。要计算红色部分的面积，列式正确的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】观察图形可知，红色部分的面积等于圆的面积减去空白长方形的面积。圆的直径为80cm，所以半径为（80÷2）cm。根据圆的面积公式S＝πr2（r为半径），可得圆的面积为π×（80÷2）2。已知长方形长70cm，宽10cm，根据长方形的面积公式S＝a×b（a为长，b为宽），可得长方形的面积为：70×10。红色部分的面积为圆的面积减去长方形的面积，即。 【规范解答】红色部分的面积＝圆的面积－空白长方形的面积 圆的面积：π×（80÷2）2（cm2） 长方形面积：70×10（cm2） 红色部分面积：π×（80÷2）2－70×10（cm2） 所以列式正确的是选项C中的“”。 故答案为：C 3．（21-22六年级上·浙江宁波·期末）左边①号图形是由2个相同的小半圆、1个中半圆、1个大半圆组成，右边②号是由正方形和多个半圆组成。①号、②号阴影部分图形的周长相比（    ）。 A．①号周长长 B．②号周长长 C．周长一样长 D．无法确定 【答案】C 【思路引导】看图，①的周长＝大半圆周长÷2＋三个小半圆周长÷2，②的周长＝圆周长×2，圆周长＝3.14×直径。将①的三个小半圆直径设为未知数，再将数据分别代入求出①和②的周长公式，从而比较。 【规范解答】①的周长： 设三个小半圆的直径分别是a、b、c a＋b＋c ＝5×2 ＝10（cm） 2×3.14×5÷2＋3.14×a÷2＋3.14×b÷2＋3.14×c÷2 ＝15.7＋1.57×a＋1.57×b＋1.57×c ＝15.7＋1.57×（a＋b＋c） ＝15.7＋1.57×10 ＝15.7＋15.7 ＝31.4（cm） ②的周长：5×3.14×2＝31.4（cm） 所以，①和②的周长一样长。 故答案为：C 【考点剖析】本题考查了阴影部分的周长，有一定观察能力，熟记圆的周长公式是解题的关键。 二、填空题 4．（24-25六年级上·重庆渝中·期末）一个羊圈依墙而建，呈半圆形（如图所示），半径4m。修这个羊圈需要栅栏( )m，这个羊圈的面积是( )m2。 【答案】 12.56 25.12 【思路引导】已知半径为4m的半圆形羊圈依墙而建，求修这个羊圈需要栅栏的长度，就是求圆周长的一半，根据圆的周长公式C＝2πr，代入数据计算求解。 求这个羊圈的面积，就是求半圆的面积；根据圆的面积公式S＝πr2，代入数据计算求解。 【规范解答】2×3.14×4÷2＝12.56（m） 3.14×42÷2 ＝3.14×16÷2 ＝25.12（m2） 填空如下： 修这个羊圈需要栅栏（12.56）m，这个羊圈的面积是（25.12）m2。 5．（24-25六年级上·重庆永川·期末）白居易《府西池》中的诗句“池有波纹冰尽开”描绘了春雨打在水面荡开层层波纹的场景。若雨滴落入一个长10米，宽6米的长方形池子中，所形成最大的整圆波纹的直径是( )m，面积是( )。 【答案】 6 28.26 【思路引导】根据题意，若雨滴落入一个长10米、宽6米的长方形池子中，所形成最大的整圆波纹的直径等于长方形的宽6米；根据圆的面积公式：S＝πr2，代入数据，求出圆形波纹的面积。 【规范解答】最大的整圆波纹的直径是6m。 3.14×（6÷2）2 ＝3.14×32 ＝3.14×9 ＝28.26（m2） 若雨滴落入一个长10米，宽6米的长方形池子中，所形成最大的整圆波纹的直径是6m，面积是28.26。 6．（25-26六年级上·浙江杭州·期末）如图中，每个小圆的直径是4cm，那么正六边形的周长是( )cm；阴影部分的面积是( )cm2。 【答案】 24 25.12 【思路引导】（1）由图可知，正六边形的边长等于小圆的直径，已知每个小圆的直径是4cm，正六边形有6条边且每条边长度相等，根据正六边形的周长＝边长×6，可得正六边形周长。 （2）观察可知，阴影部分可拼接成两个完整的圆（正六边形的6个阴影扇形，可组合成2个直径为4cm的圆）。根据圆的面积公式：，代入数据计算即可。 【规范解答】4×6＝24（cm） 。 ＝3.14×4×2 ＝12.56×2 ＝25.12（cm2） 如题图中，每个小圆的直径是4cm，那么正六边形的周长是24cm；阴影部分的面积是25.12cm2。 【考点剖析】对于阴影部分面积，观察发现阴影扇形可拼接成2个完整的圆，进而利用圆的面积公式计算是解题关键。 三、判断题 7．（23-24六年级上·湖北鄂州·期末）时针长的挂钟，经过12时，时针针尖经过的路程和时针扫过的面积恰好相等。( ) 【答案】× 【思路引导】钟面时针，经过12时，刚好旋转一周，是个圆，圆的周长＝2×圆周率×半径，圆的面积＝圆周率×半径的平方，据此计算出的得数虽然一样，但是周长指的是封闭图形一周的长度，面积指的是封闭图形的大小，无法比较，据此分析。 【规范解答】2×3.14×2＝12.56（dm） 3.14×22 ＝3.14×4 ＝12.56（dm2） 时针长的挂钟，经过12时，时针针尖经过的路程是12.56dm，时针扫过的面积是12.56dm2，长度和面积无法比较，所以原题说法错误。 故答案为：× 8．（23-24六年级上·江西南昌·期末）一个圆的周长是62.8m，半径增加2m后，周长增加了12.56m。( ) 【答案】√ 【思路引导】根据圆的半径＝周长÷圆周率÷2，求出原来圆的半径，原来圆的半径＋2＝半径增加2m后的半径，再根据圆的周长＝2×圆周率×半径，求出半径增加2m后的周长，与原来的周长求差即可。 【规范解答】62.8÷3.14÷2＝10（m） 10＋2＝12（m） 2×3.14×12－62.8 ＝75.36－62.8 ＝12.56（m） 一个圆的周长是62.8m，半径增加2m后，周长增加了12.56m，说法正确。 故答案为：√ 9．（19-20六年级上·湖北武汉·期末）用三张同样大小的正方形白铁皮，分别按下面三种方式裁剪出不同规格的圆片。剪完圆片后，第三种裁剪方式剩下的废料最多。( ) 【答案】× 【思路引导】用赋值法，假设正方形的边长是6，据此分别求出三种方式圆片的面积，比较即可。 【规范解答】假设正方形的边长是6 方式1圆片面积：π×（6÷2）2＝9π； 方式2圆片面积：π×（6÷2÷2）2×4＝9π； 方式3圆片面积：π×（6÷3÷2）2×9＝9π 三种方式圆片的面积相等，剩下废料的面积也相等。 故答案为：× 【考点剖析】掌握圆的面积计算公式，并学会灵活运用。 四、计算题 10．（24-25六年级上·重庆万州·期末）下图中空白部分为正方形，求阴影部分的面积。（单位：厘米） 【答案】7.125平方厘米 【思路引导】 如图，阴影部分的面积＝（半径5厘米的圆的面积－中间正方形的面积）÷4，圆的面积＝圆周率×半径的平方，正方形可以看成2个等腰三角形，三角形的底＝圆的直径，三角形的高＝圆的半径，三角形面积＝底×高÷2，求出一个三角形的面积，乘2就是正方形的面积，据此列式计算。 【规范解答】5×2＝10（厘米） （3.14×52－10×5÷2×2）÷4 ＝（3.14×25－50）÷4 ＝（78.5－50）÷4 ＝28.5÷4 ＝7.125（平方厘米） 阴影部分的面积是7.125平方厘米。 11．（23-24六年级上·浙江嘉兴·期末）如图，等腰直角三角形的一条直角边和半圆的直径重合，求阴影部分的面积。 【答案】25平方厘米 【思路引导】 如上图，添加两道红色辅助线，将A处阴影面积割补到B处后，阴影面积是一个底为10厘米，高为5厘米的等腰三角形面积。据此三角形面积=底×高÷2，将数值代入计算即可。 【规范解答】10×5÷2 =50÷2 ＝25（平方厘米） 阴影部分的面积是25平方厘米。 【考点剖析】根据等腰三角形特征，利用割补法，将不规则的阴影面积转换为规则图形的面积是解答的关键。 五、解答题 12．（24-25六年级上·湖北十堰·期末）光明小区有一个圆形花坛，沿着它的外沿修一圈2米宽的石子路，花坛的直径是6米，那么石子路路面的面积是多少平方米？ 【答案】50.24平方米 【思路引导】求石子路路面的面积就是求圆环的面积。根据圆环的面积公式：S＝π（R²−r²），题中的内圆半径＝直径÷2，代入花坛直径数值求出是3米，外圆的半径就是用内圆的半径＋环宽，即内圆半径＋石子路宽就能求出外圆半径，代入圆环面积公式求面积即可。 【规范解答】6÷2＝3（米） 3＋2＝5（米） 3.14×（52－32） ＝3.14×（25－9） ＝3.14×16 ＝50.24（平方米） 答：石子路路面的面积是50.24平方米。 13．（24-25六年级上·湖北荆州·期末）为了落实阳光体育运动”，丰富学生的课余生活，沙北实验学校张老师和同学们一起开展课间游戏，把4米长的绳子拉直在操场上画了一个圆，后来发现圆画小了，于是把绳子加长了2米，拉直后重新画了一个同心圆，你知道现在圆的面积比原来增加了多少？ 【答案】62.8平方米 【思路引导】一开始用4米长的绳子拉着画圆，这个圆的半径是4米，根据圆的面积＝，得出圆的面积；后来加长2米，就是6米长的绳子拉着画圆，这个圆的半径是6米，根据圆的面积公式得出此时圆的面积；最后将前后两个圆的面积相减即可。 【规范解答】 （平方米） 答：现在圆的面积比原来增加了62.8平方米。 14．（24-25六年级上·河南三门峡·期末）一个冰球比赛场地（如下示意图），四角为半径8米、圆心角90度的扇形圆弧。请你借助示意图画一画，标一标，并计算出这个冰球比赛场地的使用面积。 【答案】图见详解；1774.96平方米 【思路引导】如下图，把这个冰球场地分成4个半径为8米的圆、中间是一个长61米、宽（30－8－8）米的长方形、上下是两个完全一样的长为（61－8－8）米、宽为8米的长方形；根据圆的面积公式S＝πr2，长方形的面积公式S＝ab，代入数据计算求解。 【规范解答】如图： 3.14×82××4 ＝3.14×64××4 ＝200.96（平方米） 61×（30－8－8） ＝61×14 ＝854（平方米） （61－8－8）×8×2 ＝45×8×2 ＝720（平方米） 200.96＋854＋720 ＝1054.96＋720 ＝1774.96（平方米） 答：这个冰球比赛场地的使用面积是1774.96平方米。 15．（24-25六年级上·北京海淀·期末）王叔叔买了一张可折叠的餐桌，中间是长100厘米，宽20厘米的长方形，两侧是半圆形，如图1所示。这张餐桌完全展开后，如图2所示，桌面的面积有多大？（取3.14） 【答案】9850平方厘米 【思路引导】这个桌面的面积＝两个半圆形的面积＋中间长方形的面积；根据圆的面积＝πr2，长方形的面积＝长×宽，代入相应数值计算，即可解答。 【规范解答】3.14×（100÷2）2÷2×2＋100×20 ＝3.14×502÷2×2＋2000 ＝3.14×2500÷2×2＋2000 ＝7850÷2×2＋2000 ＝3925×2＋2000 ＝7850＋2000 ＝9850（平方厘米） 答：桌面的面积有9850平方厘米。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $