第24章 圆(随堂反馈)-PDF部分书稿【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年九年级上册数学（人教版）

第二十四章圆 当堂练习 第二十五章概率初步 24.1圆的有关性质 1A2D32m或8m43<≤4或一号5解：过点O作ODLAB于点D, 25.1随机事件与概率 24.1.1圆 ∠A=90,∠C=60,∠B=30.B0=0D=号x令号x=2,得x=4当0< 25.1.1随机事件 知识梳理 当堂练习 ②任意两点直径③两点闻的部分半剑优弧劣弧④等圆等弧 x<4时，AB所在的直线与⊙O相交：当x=4时，AB所在的直线与⊙O相切：当>4 1.D2.B3.C4.D5.蓝 当堂练习 时，AB所在的直线与⊙O相离. 25.1.2概率 1.B2.B3.10°4.535.22° 第2课时切线的判定与性质 当堂练习 24.1.2垂直于弦的直径 知识梳理 知识梳理 0垂直于这条半径②过切，点的半径 1C2C3A4号5=6专3.号 ①轴直线②平分平分垂直平分 当堂练习 25.2用列举法求概率 当堂练习 LA2.A3.A4.49°5.44°6，证明：AB是⊙O的直径.∴∠ACB=∠ACD 1.B2,A3过圆心的直线圆心4.65，解：过点O作(OE⊥AB于点E,(OF⊥CD 90,,点F是DE的中点，CF-EF-DF,.∠AEO=∠FEC=∠FE.OA=OC, 第1课时用列表法求概率 于点F,连接OD.OB.则AE=BE=号AB=号×4=2.DF=CP=2CD=号×4=2. ∠(CA=∠OAC.,OD⊥AB,∴∠OAC+∠ABU=90.∴.∠OCA十∠FCE=90,即 当堂练习 ∠OCF=90,即(C⊥FC.OC是⊙O的半径，.CF是⊙O的切线. 1A2.C36 4.解：(1)③(2)根据题意，列表如下： 在Rt△OBE中，由勾股定理，得OE-√OB一BE-V(√5)2一2-1.同理可得OF 第3课时切线长定理和三角形的内切圆 1.AB⊥CD,OE⊥AB,OF⊥CD,.∠EPF=∠PEO=∠OFP=90,∴.四边形OEPF 知识梳理 小明 0 为矩形，∴，(E=PF=1,在R1△OFP中，由勾股定理，得OP=√O+P=+下 0相等平分②内切圆角平分线的交点 小涵 A 当堂练习 (A.A)(A.B)(A.C)(A.D) =√2 24.1.3弧、弦、圆心角 1.D2.D3A4.219°5.解：(1)：PA.PB切⊙O于点A.B.CD切⊙O于点E, B (B,A)(B.B)(B.C)(B,D) ∴.PA=PB=6,ED=BD,CE=AC,∴.△PCD的周长为PD+DE+PC+CE=2PA= (C,A)(C,B)(C,C)(C,D) 知识梳理 D ①圆心②相等相等 12:(2)连接OE.OA.OB.:PA,PB切⊙O于点A.B.CD切⊙O于点E,∠OAC (D,A)(D,B)(D.C)(D,D) 当堂练习 ∠OE=∠(OED=∠OBD=90°，∠AOB+∠P=180,∴.∠AOB=180°-∠P=180 由表可以看出，可能出现的结果有16种，并且它们出现的可能性相等，其中小明和小 L.B2.A3.67.5°+.①②③④5.证明：DE∥AB,COLAB,DE⊥C0D是 -0=130.由切线长定理，得∠AOC=∠EC,∠D=∠BAD.∴.∠(OD=∠EC 福参加的兴趣活动都是瑞昌的非物质文化遗产的结果有4种，即(A,A),(A,B),(B CO的中点，.DE垂直平分CO,CE=OE又，OE=OC,.OE=OC■CE,,△COE +∠EB0D=号（∠AOE+∠E0B)=号∠A0B=2×130°=65. AD.(B.B,所以P(小明和小涵参加的兴活动都是瑞昌的非物质文化造产)=店= 是等边三角形，.∠COE=60.'C0LAB,·∠CB=90,.∠EOB=90°一∠DXOE= 24.3正多边形和圆 第2课时用树状图法求概率 90°-60°=30.∴.∠CE=2∠0B.∴.=2E 知识梳理 当堂练习 24.1.4圆周角 ①相等相等⑨中心半径中心角边心距 第1课时国周角定理及其推论 当堂练习 L.A2.C3B4青5.解：我会选择转盘入理由如下：根据题意.可以面出如下 知识梳理 L.D2.B3.4°4.解：(1)108°(2)△AMN是正三角形.理由如下：连接(ON,NF, 的树状图：转盘A 乏由树状图可以看出，所有可能出现的结果 ①圆上.相交②一半③相等0直角直径 由题意可得FN-(ON=OF,∴.△FON是等边三角形，·∠NFA=6O,∠NMA 当堂练习 60.同理可得∠ANM=60°，∴∠MAN=60°，.△AMN是正三角形：(3)连接OD, 共有9种，这些结果出现的可能性相等，其中转盘A上的数字大于转盘B上的数字的 1.C2.A3.B4.D5.0<∠PC<110°6.4 第2课时國内接四边形 0C,正五边形ABDE内接于⊙0.∴.∠C0D=36C=72.易得AF1CD,∠OF 5 结果有5种，转盘A上的数字小于转盘B上的数字的结果有4种，所以P(选转盘A 知识梳理 =36,∠D0V=∠F0N-∠D0F=60°-36=24.：360+24=15，.#的值是15. 高)=号，P(选转盘B旗)=青.因为号>，所以我会选轿转盘A6.解：) 圆内接多边形外接圆互补 24.4弧长和扇形面积 (2)将1部名著《周牌算经九章算术》《海岛算经城孙子算经分别记为A,B,C,D.根 当堂练习 第1课时弧长和扇形面积 据题意，可以画出如下的树状图： 开指 由树状图可以君出，所有 1.C2.B3.B4.D5.180 知识梳理 A D 24.2点和圆、直线和圆的位置关系 02akg需目2k BCD ACD ABD ABC 24.2.1点和圆的位置关系 当堂练习 可能出现的结果共有12种，这些结果出现的可能性相等，其中恰好选中《九章算术》和 知识梳理 ①d>rd=rdr②不在同一条直线上外接圆外按因的圆心外心 1.B2.B3.x4.x5.解：(1)∠0A+∠AOD=90°，∠BOD+∠AD=90, 《孙子算经》的结果有2种，所以P(恰好选中《九章算术和（孙子算经）=立一 目假设命题的结论不成立所作假设不正确原命题成立 OA=OB. 当堂练习 ∴.∠COA=∠BOD.在△(CA和△ODB中，∠COA=∠DOB,,△(OA≌△ODB 7解：1)号《2)根据题意，可以画出如下的树状图，小西朵 C=OD. 陵△企金杰 1.C2.B3.D4.在△AC中，最多有一个锐角5.点P在⊙O内或⊙O上 (SAS,.AC=BD:(2)由(1)知△CCA2△ODB,.S4=Sg,.Sm==Sg 由树状图可以看出，所有可能出现的结果共有16种，这些结果出现的可能性相等，其 6.解：易得QA=√OD+AD=√6十6=62，OB=√OD+BD=√6+8=10， 中小西和小安轴到不同题目的结果有12种，所以P(小西和小安两名同学抽到不同题 0C-√OD+C-√6+(53)-1I.又：OA<r.OB=r.0C>r,·点A在 360 ⊙O内，点B在⊙O上，点C在⊙0外. 第2课时圆雏的侧面积和全面积 目)=号= 24.2.2直线和圆的位置关系 知识梳理 25.3用频率估计概率 第1课时直线和圓的位置关系 ①扇形半径弧长侧面积能面圆的面积 当堂练习 知识梳理 当堂练习 ①相交相切切线切点相离②<rd=rd>r 1.C2.A3.A4.D5.2166.102 1上D21238004解：17(2)根据题意，得号×10%=40%.解得=2a 第52页（共54页） 第53页（共54页） 第54页（共54页）第二十四章圆 24.1圆的有关性质 24.1.1圆 知识梳理 ①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小. ②连接圆上 的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做 目圆上任意 叫做圆弧.圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每 一条弧都叫做 ,大于半圆的弧叫做 ,小于半圆的弧叫做 ④能够重合的两个圆叫做 ·在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做 当堂练习 1.下列语句不正确的有 ①过圆上一点可以作无数条圆中最长的弦：②长度相等的弧是等弧；③圆上的点到圆心 的距离都相等；④同圆或等圆中，优弧一定比劣弧长. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.如图，图中弦的条数有 A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 (第2题图) (第3题图) (第4题图) (第5题图) 3.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，以点C为圆心，CB长为半径的圆交AB于 点D,则∠ACD的度数为 4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10.若以点C为圆心，CB长为半径的圆恰好经过 AB的中点D,则AC的长为 5.如图，点D,E分别在△ABC的边BC,AB上，过A,C,D三点的圆的圆心为点E,以点D 为圆心的圆过点B,E.如果∠A=57°，那么∠ABC的度数为 ·28· 24.1.2垂直于弦的直径 知识梳理 ①圆是 对称图形，任何一条直径所在 都是圆的对称轴. ②垂直于弦的直径 弦，并且 弦所对的两条弧.平分弦（不是直径）的直径 于弦，并且 弦所对的两条弧， 当堂练习 1.如图，已知⊙O的直径AB⊥CD于点E,则下列结论不一定正确的是 A.CE=DE B.AE=OE C.BC-BD D.△OCE≌△ODE (第1题图) (第2题图) （第4题图) 2.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(AB),点O是这段弧所在的圆的圆心，AB=40m,点 C是AB的中点，点D是AB的中点，且CD=10m,则这段弯路所在圆的半径为( A.25m B.24m C.30m D.60m 3.圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条 ;圆是中心对称图形，对称中心 为 4.如图，矩形ABCD与圆心在AB上的⊙O交于点G,B,F,E,GB=8cm,AG=1cm, DE=2cm,则EF的长为 cm. 5.如图，在半径为√5的⊙O中，AB,CD是互相垂直的两条弦，垂足为P,且AB=CD=4. 求OP的长， D ( ·29· 24.1.3弧、弦、圆心角 知识梳理 ①顶点在 的角叫做圆心角. ②弧、弦、圆心角的关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧 ,所对的弦也 ;在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中如果有一组量相等，那么它们 所对应的其余各组量也都相等 当堂练习 1.如图，下列各角是圆心角的是 A.∠ABC B.∠AOB C.∠OAB D.∠OBC ) (第1题图) (第2题图) (第3题图) (第4题图) 2.如图，在扇形OAB中，∠AOB=100°，将扇形OAB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在 AB上的点D处，折痕交OA于点C,则AD所对的圆心角的度数为 ( A.40° B.50 C.60 D.70 3.如图，在⊙O中，AB=AC,∠A=45°，则∠B的度数为 4.如图，C,D为半圆的三等分点，AB为直径，则下列说法：①AD=CD=BC:②∠AOD= ∠DOC=∠BOC;③AD=CD=BC;④△AOD沿OD翻折能与△COD重合.其中，正确 的有 .(填序号) 5.如图，在⊙O中，AB是直径，CO⊥AB,点D是CO的中点，DE∥AB. 求证：EC=2BE ·30· 24.1.4圆周角 第1课时圆周角定理及其推论 知识梳理 ①顶点在 ,并且两边都与圆 的角叫做圆周角 ②一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 ③同弧或等弧所对的圆周角 ④半圆（或直径）所对的圆周角是 ;90°的圆周角所对的弦是 当堂练习 1.如图，在⊙O中，点A是BC的中点，∠ADC=24°，则∠AOB的度数是 A.24° B.26° C.48 D.66° (第1题图) (第2题图) (第3题图) 2.如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD,垂足是点E,∠CAO=22.5°，OC=6,则CD的长 为 ( A.6√2 B.3√2 C.6 D.12 3.如图，A,B,C是⊙O上的三点，若∠C=35°，则∠ABO的度数是 A.35° B.55° C.60° D.70° 4.如图，BC是半圆O的直径，D,E是BC上两点，连接BD,CE并延长交于点A,连接OD, OE.如果∠DOE=40°，那么∠A的度数为 ( ) A.35° B.40° C.60° D.70° B (第4题图) (第5题图) (第6题图) 5.如图，△ABC内接于⊙O,点P是AC上的任意一点（点P不与，点A,C重合），∠ABC= 55°，则∠PO℃的取值范围是 6.如图，AB是⊙O的直径，AB=8,点M在⊙O上，∠MAB=20°，N是MB的中点，P是直 径AB上的一动点，则点P到点M,N的距离之和的最小值为 ·31· 第2课时圆内接四边形 知识梳理 如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做 ,这个 圆叫做这个多边形的 .圆内接四边形的对角 当堂练习 1.如图，等边三角形ABC的顶点A在⊙O上，边AB,AC与⊙O分别交于点D,E,点F是 劣弧DE上一点，且与D,E不重合，连接DF,EF,则∠DFE的度数为 A.115 B.118° C.120° D.125° D B (第1题图) (第2题图) (第3题图) 2.如图，四边形ABCD内接于⊙O,连接OB,OD,BD.若∠C=110°，则∠OBD的度数 是 ) A.15° B.20° C.25 D.30° 3.如图，四边形ABCD内接于⊙O,F是CD上一点，且DF=BC,连接CF并延长交AD的 延长线于点E,连接AC.若∠ABC=105°，∠BAC=25°，则∠E的度数为 A.45 B.50 C.55 D.60° 4.如图，四边形ABCD内接于⊙O,AE⊥CB,交CB的延长线于点E.若BA平分∠DBE, AD=5,CE=√13，则AE的长为 ( A.3 B.3√2 C.4√3 D.23 D EB (第4题图)》 (第5题图) 5.如图，在⊙O中，点A,B,C在⊙O上，且∠ACB=100°，则∠a的度数为 ·32· 24.2点和圆、直线和圆的位置关系 24.2.1点和圆的位置关系 知识梳理 ①设⊙O的半径为r,点P到圆心的距离OP=d,则有点P在圆外→ ；点P在圆 上台 ;点P在圆内台 ② 的三个点确定一个圆.经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个 圆叫做三角形的 是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做 这个三角形的 ③反证法不是直接从命题的已知得出结论，而是 ,由此经过推理 得出矛盾，由矛盾断定 ,从而得到 当堂练习 1.下列说法正确的是 ( A.三点确定一个圆 B.三角形的外心到三角形三边的距离相等 C.三角形有且只有一个外接圆 D.圆有且只有一个内接三角形 2.若⊙A的半径为5，圆心A的坐标是(3,4)，点P的坐标是(5,8)，则点P与⊙A的位置 关系是 ( A.点P在⊙A上 B.点P在⊙A内 C.点P在⊙A外 D.不能确定 3.如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O,A,B, C均在格点（两条网格线的交，点叫格点）上，以点O为原点建立平面 直角坐标系，则过A,B,C三点的圆的圆心坐标为 A.(0,-1) B.（-1,0) C.(-1,-1) D.(-1,-2) 4.用反证法证明命题“在△ABC中，至少有两个锐角”第一步先假设 5.已知⊙O的半径为4，点P与圆心O的距离为d,而方程x2一4x十d=0有实数根，则点 P与⊙O的位置关系为 6.如图，⊙O的半径r=10,圆心O到直线l的距离OD=6,在直线l上有A,B,C三点， AD=6,BD=8,CD=5√3，问A,B,C三点与⊙O的位置关系是怎样的？ ·33· 24.2.2直线和圆的位置关系 第1课时直线和圆的位置关系 知识梳理 ①直线和圆有两个公共点，称这条直线和圆 :直线和圆只有一个公共点，称这条直 线和圆 ,这条直线叫做圆的 ,这个点叫做 ；直线和圆没有公共 点，称这条直线和圆 ②设⊙O的半径为r,圆心O到直线1的距离为d.直线l和⊙O相交台 ;直线l和 ⊙O相切台 ;直线1和⊙O相离台→ 当堂练习 1.若⊙O的直径为4，圆心O到直线1的距离是3，则直线1与⊙O的位置关系是( A.相离 B.相切 C.相交 D.相切或相交 2.设⊙O的半径是r,点O到直线l的距离是d.若⊙O与直线l至少有一个公共点，则与 d之间的关系是 A.dr B.d=r C.d<r D.d≤i 3.如图，⊙O的半径OC=5cm,直线l⊥OC,垂足为H,且l交⊙O于A,B 两点，AB=8cm.若1沿OC所在直线平移至与⊙O相切，则平移的距离 为 4.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3,BC=4,以C为圆心，r为半径作圆.若⊙C与线段 AB有且只有一个交点，则”的值为 5.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠C=60°，BO=x,⊙O的半径为2，求当x在什么范围 内取值时，AB所在的直线与⊙O相交、相切、相离？ ·34· 第2课时切线的判定与性质 知识梳理 ①切线的判定方法：(1)和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；(2)若圆心到直线的距离 等于半径，这条直线是圆的切线；(3)经过半径的外端并且 的直线是圆 的切线. ②切线的性质：(1)切线和圆只有一个公共点；(2)切线到圆心的距离等于圆的半径；(3)切 线垂直于 ;(4)经过圆心且垂直于切线的直线必过切点；(5)经过切点且 垂直于切线的直线必过圆心 当堂练习 1.如图，△ABC是⊙O的内接三角形，下列选项中，能使过点A的直线EF与⊙O相切于 点A的条件是 A.∠EAB=∠C B.∠B=90° C.EF⊥AC D.AC是⊙O的直径 (第1题图) (第4题图) (第5题图) 2.P为⊙O外一点，PT与⊙O相切于点T,OP=10,∠OPT=30°，则PT的长为( A.53 B.5 C.8 D.9 3.直线AB与⊙O相切于点B,点C是⊙O与OA的交点，点D是⊙O上的动点(，点D不 与点B,C重合).若∠A=40°，则∠BDC的度数是 ( A.25°或155° B.50°或155 C.25°或130 D.50°或130° 4.如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，A为切点，连接BC与⊙O交于点D,连接 OD.若∠AOD=82°，则∠C的度数为 5.如图，AB是⊙O的弦，点C在过点B的切线上，且OC⊥OA,OC交AB于点P.已知 ∠OAB=22°，则∠OCB的度数为 6.如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点O作OD⊥AB,交BC的延长线于点D, 交AC于点E,F是DE的中点，连接OC,CF.求证：CF是⊙O的切线. ·35· 第3课时切线长定理和三角形的内切圆 知识梳理 ①切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长 ,这一点和圆心的 连线 两条切线的夹角. ②与三角形各边都相切的圆叫做三角形的 ,内切圆的圆心是三角形三条 ,叫做三角形的内心 当堂练习 1.如图，PA,PB为⊙O的切线，A,B为切点，根据图形得出四个结论：①PA=PB;②∠1= ∠2；③∠3=∠4；④AB被OP垂直平分.其中，结论正确的有 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 P B (第1题图) (第3题图) (第4题图) 2.已知△ABC的内切圆⊙O与各边相切于点D,E,F,那么点O是△DEF的 A.三条中线的交点 B.三条角平分线的交点 C.三条高的交点 D.三条边垂直平分线的交点 3.如图，边长为2√3的等边三角形ABC的内切圆的半径为 A.1 B.3 C.2 D.23 4.如图，PA,PB是⊙O的切线，A,B为切点，点C,D在⊙O上.若∠P=102°，则∠A十 ∠C的度数为 5.如图，已知PA,PB,CD分别切⊙O于A,B,E三点，PA=6. (1)求△PCD的周长； (2)若∠P=50°，求∠COD的度数. D B ·36· 24.3正多边形和圆 知识梳理 ①各边 、各角也 的多边形是正多边形， ②一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的 ,外接圆的 叫做正 多边形的半径，正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的 ,中心到正多边 形的一边的距离叫做正多边形的 ③正n边形的中心角的度数为360°，m边形的内角和为(m一2)·180，正n边形的每个内 n 角的度数为(n一2)·180° 当堂练习 1.如图，已知⊙O的内接正六边形ABCDEF的边心距OM=2,则该圆的内接 正三角形ACE的面积为 A.2 B.4 C.63 D.4√3 2.半径相等的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为 A.1:√2：3 B.√3：√2：1 C.3:2:1 D.1:2:3 3.如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，AF是⊙O的直径，则∠BDF 的度数是 4.如图①，正五边形ABCDE内接于⊙O,阅读以下作图过程，“作法：如图②： ①作直径AF;②以F为圆心，FO为半径作圆弧，与⊙O交于点M,N;③连接AM,MN, NA.”并回答下列问题： (1)∠ABC的度数为 (2)△AMN是正三角形吗？请说明理由； (3)从点A开始，以DN长为半径，在⊙O上依次截取点，再依次连接这些分点，得到正n 边形，求n的值. ① 图② ·37·