4.3.1 课时1 等比数列的概念及通项公式 同步作业-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

4.3.1 课时1 等比数列的概念及通项公式 【基础巩固】 1．已知在等比数列中，，公比，则数列的通项公式是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由等比数列的通项公式易得. 故选：B 2．已知数列，，，若，则的取值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为数列，，，则数列是首项，公比的等比数列，所以，又，即，所以. 故选：A. 3．设是等比数列的前三项，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为是等比数列的前三项，所以，解得：，，则公比，所以. 故选：A 4．权是中国古代度量衡器具之一，“权”（秤锤）与“衡”（秤杆）配合使用，用于测量物体的重量．古代楚国的权通常是环形秤锤，这些权通常由铜或铁制成，并且常常由十个组成一套（如图所示）．已知十枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为的数列，该数列的前项成等差数列，后项成等比数列，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为的后项成等比数列，且， 设其公比为，则，解得（舍去）， 所以，.又因为的前项成等差数列，所以， 解得，所以.故选：A. 5．（多选）从盛有纯酒精的容器中倒出，然后用水填满；再倒出，又用水填满，连续进行若干次，容器中的酒精浓度可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】第次操作，纯酒精，倒出，剩余纯酒精，用水填满至，酒精浓度为；第次操作，浓度为的酒精溶液，倒出，剩余浓度为的溶液，其中含有纯酒精，用水填满至，酒精浓度为；第次操作，浓度为的酒精溶液，倒出，剩余浓度为的溶液，其中含有纯酒精，用水填满至，酒精浓度为；第次操作，浓度为的酒精溶液，倒出，剩余浓度为的溶液，其中含有纯酒精，用水填满至，酒精浓度为；第次操作后，酒精浓度为. 故选：AC 6．已知等比数列中，，公比，则__________. 【答案】 【解析】因为，所以. 故答案为：. 7．数列是公比为的等比数列，.若数列的连续四项构成集合，则的值为___________. 【答案】 【解析】因为数列是等比数列，且连续四项构成集合， 则连续四项可能为，此时，或，此时， 又，则，故答案为：. 8．已知数列的前项和为且满足． (1)求，值； (2)证明数列为等比数列并求其通项公式． 【答案】(1)，；(2)证明见解析，. 【解析】(1)数列的前项和为，由得，解得， ，解得，所以，. (2)当时，，则当时，， 两式相减得，整理得，而， 所以数列是首项为，公比为的等比数列，通项公式. 【能力拓展】 9．如图，正方形的边长为，取正方形各边的四等分点，得到第个正方形，再取正方形各边的四等分点，得到第个正方形，依此方法一直进行下去，若从第个正方形开始它的面积小于第个正方形面积的，则（ ）（参考数据：） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】【详解】由已知得正方形的边长成等比数列，第二个正方形的边长为， 所以其公比为． 设第个正方形的面积为，则， 当时，，所以， 由，得， 所以， 即， 所以，所以． 故选：C． 10．已知，，，为各项大于零的等比数列，且公比不为，则（ ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【解析】设数列公比为，首项， 所以 ， 又，，， 所以， 即. 故选：A. 11．(1)已知三个数成等比数列，它们的和等于，积等于，求这个等比数列的首项和公比． (2)已知等差数列和正项等比数列满足：，，，求数列，的通项公式； 【答案】(1)①时，首项为； ②时，首项为；(2)，． 【解析】(1)可设这个数依次为．依题意得，∴． ，即，∴或， ①时，首项为；②时，首项为； (2)设的公差为，的公比为，由可得：，即， 由可得：，即， 联立方程组，解得或，因为，所以， 于是，． 【素养提升】 12．将公差不为零的等差数列，，调整顺序后构成一个新的等比数列，，，其中，则该等比数列的公比为________． 【答案】或 【解析】设等差数列的公差为，则，， 则，，或，，不成等比数列； (1)若，，或，，成等比数列，则，即， 解得， 此时等比数列，，的公比为，等比数列，，的公比为； (2)若，，或，，成等比数列，则，即， 解得， 此时等比数列，，的公比为，等比数列，，的公比为． 综上可得，等比数列的公比为或． 故答案为：或． 第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.3.1 课时1 等比数列的概念及通项公式 【基础巩固】 1．已知在等比数列中，，公比，则数列的通项公式是（ ） A． B． C． D． 2．已知数列，，，若，则的取值为（ ） A． B． C． D． 3．设是等比数列的前三项，则（ ） A． B． C． D． 4．权是中国古代度量衡器具之一，“权”（秤锤）与“衡”（秤杆）配合使用，用于测量物体的重量．古代楚国的权通常是环形秤锤，这些权通常由铜或铁制成，并且常常由十个组成一套（如图所示）．已知十枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为的数列，该数列的前项成等差数列，后项成等比数列，且，则（ ） A． B． C． D． 5．（多选）从盛有纯酒精的容器中倒出，然后用水填满；再倒出，又用水填满，连续进行若干次，容器中的酒精浓度可能是（ ） A． B． C． D． 6．已知等比数列中，，公比，则__________. 7．数列是公比为的等比数列，.若数列的连续四项构成集合，则的值为___________. 8．已知数列的前项和为且满足． (1)求，值； (2)证明数列为等比数列并求其通项公式． 【能力拓展】 9．如图，正方形的边长为，取正方形各边的四等分点，得到第个正方形，再取正方形各边的四等分点，得到第个正方形，依此方法一直进行下去，若从第个正方形开始它的面积小于第个正方形面积的，则（ ）（参考数据：） A． B． C． D． 10．已知，，，为各项大于零的等比数列，且公比不为，则（ ） A． B． C． D．不能确定 11．(1)已知三个数成等比数列，它们的和等于，积等于，求这个等比数列的首项和公比． (2)已知等差数列和正项等比数列满足：，，，求数列，的通项公式； 【素养提升】 12．将公差不为零的等差数列，，调整顺序后构成一个新的等比数列，，，其中，则该等比数列的公比为________． 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $