第四单元比思维培优卷【从课本到奥数】-2025-2026学年六年级数学上册书山培优系列（A3+A4+解析卷）人教版

( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) 保密★启用前 2025-2026学年六年级数学上册书山培优系列「2025秋」 第四单元比思维培优卷【从课本到奥数】 考试时间：90分钟；试卷总分：100分；测试日期：2025年 题号 一 二 三 四 五 总分 得分 注意事项： 1．答题前填写好自己的学校、班级、姓名等信息，请写在试卷规定的位置。 2．请将答案正确填写在答题区域，注意书写工整，格式正确，卷面整洁。 3．测试范围：第四单元。 评卷人 得分 一、用心思考，正确填写。（每空2分，共24分） 1．（本题2分）一个等腰三角形，它的两个内角度数的比是2∶5，如果它是锐角三角形，那么它的顶角是( )°。 2．（本题2分）李阿姨按浓缩液与水1∶4的比配制了一瓶500毫升的稀释液。用掉100毫升后，又加入了60毫升水，如果保持稀释液的浓度不变，需再加入( )毫升浓缩液。 3．（本题2分）如图，涂色部分是三角形甲与乙的公共部分，涂色部分面积是甲的，乙的面积与涂色面积之比是25∶4，三角形甲与乙的面积之比是( )。 4．（本题2分）学校买回一批篮球、排球、足球、乒乓球。其中篮球个数与其余三种球总数之比为1∶8，排球个数与其余三种球总数之比为1∶5，足球个数占其余三种球总数的，已知乒乓球买了86个，则篮球买了( )个。 5．（本题4分）如图，《周髀算经》中有一种特殊的“弦图”，它是由4个相同的直角三角形拼接而成的，每个直角三角形两条直角边长度的比是1∶2。问：图中小正方形的边长与直角三角形较短直角边的比是( )，小正方形的面积是大正方形面积的。 6．（本题2分）一条山路，从A地到B地是下坡路，从B地到C地是上坡路。小张从A地出发经B地到C地所用的时间，比从C地出发经B地回到A地的时间多5分钟。已知小张上坡的速度是下坡的，AB两地的路程与BC两地的路程的比是5∶7，那么，小张在这条山路上往返一次要( )小时。 7．（本题2分）一本书，第一天读后，已读页数与未读页数的比是；第二天读后，已读页数与未读页数的比变成了。第二天比第一天多读6页，这本书共有( )页。 8．（本题2分）某公园的门票价格为成人票20元，团购票15元，儿童票10元。某一天检票处统计的结果是成人票的数量与团购票的数量之比为5∶9，团购票的数量与儿童票的数量之比为11∶10，儿童票的收入比成人票的收入少1200元，这一天公园共接待游客( )人。 9．（本题2分）合唱队的人数不足百人，其中男生人数占总人数的。除了领唱1人站在队伍前面，其余的人按3∶2分为高声部和低声部，且刚好站成4排。合唱队最多有( )人。 10．（本题4分）中国古代数学名著《算法统宗》中记载了一些诗歌形式的数学问题，其中一个问题如下。 三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见每朝行里数，请公仔细算相还。 意思是：一个人到关口要走378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天到达关口。算算每天行走的里数。 根据题中的信息，这个人第一天走的路程与总路程的最简单的整数比是( )∶( )。 评卷人 得分 二、反复比较，合理选择。（将正确的选项填在括号内，每题2分，共20分） 11．（本题2分）苗苗有3种课外书共50本，其中历史书有5本，故事书和科普书都至少有1本，则故事书和科普书的比不可能是( )。 A． B． C． D． 12．（本题2分）如图所示，已知AE∶EB＝1∶4，则甲与乙的面积比是( )。 A．3∶2 B．1∶4 C．2∶3 D．4∶5 13．（本题2分）甲。乙两名学生放学回家，甲要比乙多走的路，而乙走的时间要比甲走的时间少，甲、乙两名学生的速度比是( )。 A． B． C． D． 14．（本题2分）把一个书架上层书的放到下层，则上、下两层的书一样多，原来上层与下层本数的比是( )。 A．7∶6 B．5∶7 C．7∶5 D．6∶5 15．（本题2分）甲乙丙三人一起种植一批树，分配任务时，甲、乙、丙三人种植棵树之比为1∶1∶2，实际种植过程中，甲、乙、丙三人种植棵树之比为4∶3∶5，其中一人比原计划少种了80棵，那么甲实际种了( )棵。 A．320 B．80 C．960 D．400 16．（本题2分）一个等腰三角形的一条边长为10cm，且有两条边长度之比是2∶5。这个等腰三角形的周长可能是( )cm。 A．45 B．24 C．25 D．35 17．（本题2分）如图，正方形被分成A、B、C、D四部分，已知A、B、C三部分面积的比是7∶3∶6，D的面积是12cm2，原来正方形的面积是( )cm2。 A．30 B．60 C．40 D．48 18．（本题2分）甲、乙两人同时从A地出发到B地，甲在一半时间内每小时走5千米，另一半时间内每小时走4千米；乙在一半路程内每小时走5千米，另一半路程内每小时走4千米。结果到达B地的情况是( )。 A．无法确定谁先到达 B．乙先到达 C．甲先到达 D．甲、乙同时到达 19．（本题2分）一款混合糖中甲、乙两种糖的质量比是2∶3，现加入甲糖120千克，乙糖40千克得到混合糖660千克，新混合糖中的甲、乙两种糖的比是( )。 A．2∶3 B．16∶17 C．5∶4 D．16∶15 20．（本题2分）一批练习本分发给数学兴趣组的学生，平均每人分到36本，如果只发给女生，平均每人可分到60本，如果这批练习本不超过200本，若只发给男生，那么平均每人可分到( )本。 A．36 B．40 C．48 D．90 评卷人 得分 三、一丝不苟，细心计算。（共17分） 21．（本题5分）已知，，求。 22．（本题12分）化简下面各比，并求比值． 1.75：                  小时：45分钟           公顷：1000平方米 吨：250千克             升：350毫升            625立方分米∶立方米 评卷人 得分 四、手脑并用，实践操作。（共6分） 23．（本题6分）在下面的方格图中，①画一个长方形：长是6厘米，要求长与宽的比是3∶2；②再画一个三角形，使三角形的面积是这个长方形面积的。（一个小方格的面积是） 评卷人 得分 五、走进生活，解决问题。（共33分） 24．（本题5分）甲、乙两人分别从两地同时出发，相向而行，出发时他们的速度比是4∶3。他们第一次相遇后，甲速度提高了，乙速度提高了，这样当甲到达地时，乙离地还有24千米。那么两地之间的距离是多少千米？ 25．（本题5分）东东计划三天看完一本《童话故事书》，第一天正好看了全书的，第二天接着看了70页，这时东东发现剩下的与已看的页数比正好是1∶3，这本书共有多少页？ 26．（本题5分）客车与货车的速度比是7∶4，两车同时从甲、乙两地出发，相对而行，在距离中点21千米处相遇，甲、乙两地相距多少千米？ 27．（本题6分）某小学六年级学生中女生人数占六年级总人数的，后来又转来了15名女生，这样女生人数与六年级总人数之比为3∶5，六年级原有多少名学生？ 28．（本题6分）甲、乙两箱矿泉水的瓶数之比是3∶1，如果从甲箱里取出10瓶放入乙箱后，甲、乙两箱矿泉水的数量之比是5∶3，那么甲乙两箱的矿泉水原来分别有多少瓶？ 29．（本题6分）甲、乙、丙三个村合修一条水渠，修完后，甲、乙、丙村可灌溉的面积比是8∶7∶5，原来三个村计划按可灌溉的面积比派出劳力。后来因为丙村抽不出劳力，经协商，丙村应抽出的劳力由甲、乙两村分担，丙村付给甲、乙两村工钱共1350元。结果，甲村共派出60人，乙村共派出40人，问甲、乙两村各应分得工钱多少元？ 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 $ ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) 保密★启用前 2025-2026学年六年级数学上册书山培优系列「2025秋」 第四单元比思维培优卷【从课本到奥数】 考试时间：90分钟；试卷总分：100分；测试日期：2025年 题号 一 二 三 四 五 总分 得分 注意事项： 1．答题前填写好自己的学校、班级、姓名等信息，请写在试卷规定的位置。 2．请将答案正确填写在答题区域，注意书写工整，格式正确，卷面整洁。 3．测试范围：第四单元。 评卷人 得分 一、用心思考，正确填写。（每空2分，共24分） 1．（本题2分）一个等腰三角形，它的两个内角度数的比是2∶5，如果它是锐角三角形，那么它的顶角是( )°。 2．（本题2分）李阿姨按浓缩液与水1∶4的比配制了一瓶500毫升的稀释液。用掉100毫升后，又加入了60毫升水，如果保持稀释液的浓度不变，需再加入( )毫升浓缩液。 3．（本题2分）如图，涂色部分是三角形甲与乙的公共部分，涂色部分面积是甲的，乙的面积与涂色面积之比是25∶4，三角形甲与乙的面积之比是( )。 4．（本题2分）学校买回一批篮球、排球、足球、乒乓球。其中篮球个数与其余三种球总数之比为1∶8，排球个数与其余三种球总数之比为1∶5，足球个数占其余三种球总数的，已知乒乓球买了86个，则篮球买了( )个。 5．（本题4分）如图，《周髀算经》中有一种特殊的“弦图”，它是由4个相同的直角三角形拼接而成的，每个直角三角形两条直角边长度的比是1∶2。问：图中小正方形的边长与直角三角形较短直角边的比是( )，小正方形的面积是大正方形面积的。 6．（本题2分）一条山路，从A地到B地是下坡路，从B地到C地是上坡路。小张从A地出发经B地到C地所用的时间，比从C地出发经B地回到A地的时间多5分钟。已知小张上坡的速度是下坡的，AB两地的路程与BC两地的路程的比是5∶7，那么，小张在这条山路上往返一次要( )小时。 7．（本题2分）一本书，第一天读后，已读页数与未读页数的比是；第二天读后，已读页数与未读页数的比变成了。第二天比第一天多读6页，这本书共有( )页。 8．（本题2分）某公园的门票价格为成人票20元，团购票15元，儿童票10元。某一天检票处统计的结果是成人票的数量与团购票的数量之比为5∶9，团购票的数量与儿童票的数量之比为11∶10，儿童票的收入比成人票的收入少1200元，这一天公园共接待游客( )人。 9．（本题2分）合唱队的人数不足百人，其中男生人数占总人数的。除了领唱1人站在队伍前面，其余的人按3∶2分为高声部和低声部，且刚好站成4排。合唱队最多有( )人。 10．（本题4分）中国古代数学名著《算法统宗》中记载了一些诗歌形式的数学问题，其中一个问题如下。 三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见每朝行里数，请公仔细算相还。 意思是：一个人到关口要走378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天到达关口。算算每天行走的里数。 根据题中的信息，这个人第一天走的路程与总路程的最简单的整数比是( )∶( )。 评卷人 得分 二、反复比较，合理选择。（将正确的选项填在括号内，每题2分，共20分） 11．（本题2分）苗苗有3种课外书共50本，其中历史书有5本，故事书和科普书都至少有1本，则故事书和科普书的比不可能是( )。 A． B． C． D． 12．（本题2分）如图所示，已知AE∶EB＝1∶4，则甲与乙的面积比是( )。 A．3∶2 B．1∶4 C．2∶3 D．4∶5 13．（本题2分）甲。乙两名学生放学回家，甲要比乙多走的路，而乙走的时间要比甲走的时间少，甲、乙两名学生的速度比是( )。 A． B． C． D． 14．（本题2分）把一个书架上层书的放到下层，则上、下两层的书一样多，原来上层与下层本数的比是( )。 A．7∶6 B．5∶7 C．7∶5 D．6∶5 15．（本题2分）甲乙丙三人一起种植一批树，分配任务时，甲、乙、丙三人种植棵树之比为1∶1∶2，实际种植过程中，甲、乙、丙三人种植棵树之比为4∶3∶5，其中一人比原计划少种了80棵，那么甲实际种了( )棵。 A．320 B．80 C．960 D．400 16．（本题2分）一个等腰三角形的一条边长为10cm，且有两条边长度之比是2∶5。这个等腰三角形的周长可能是( )cm。 A．45 B．24 C．25 D．35 17．（本题2分）如图，正方形被分成A、B、C、D四部分，已知A、B、C三部分面积的比是7∶3∶6，D的面积是12cm2，原来正方形的面积是( )cm2。 A．30 B．60 C．40 D．48 18．（本题2分）甲、乙两人同时从A地出发到B地，甲在一半时间内每小时走5千米，另一半时间内每小时走4千米；乙在一半路程内每小时走5千米，另一半路程内每小时走4千米。结果到达B地的情况是( )。 A．无法确定谁先到达 B．乙先到达 C．甲先到达 D．甲、乙同时到达 19．（本题2分）一款混合糖中甲、乙两种糖的质量比是2∶3，现加入甲糖120千克，乙糖40千克得到混合糖660千克，新混合糖中的甲、乙两种糖的比是( )。 A．2∶3 B．16∶17 C．5∶4 D．16∶15 20．（本题2分）一批练习本分发给数学兴趣组的学生，平均每人分到36本，如果只发给女生，平均每人可分到60本，如果这批练习本不超过200本，若只发给男生，那么平均每人可分到( )本。 A．36 B．40 C．48 D．90 评卷人 得分 三、一丝不苟，细心计算。（共17分） 21．（本题5分）已知，，求。 22．（本题12分）化简下面各比，并求比值． 1.75：                  小时：45分钟           公顷：1000平方米 吨：250千克             升：350毫升            625立方分米∶立方米 评卷人 得分 四、手脑并用，实践操作。（共6分） 23．（本题6分）在下面的方格图中，①画一个长方形：长是6厘米，要求长与宽的比是3∶2；②再画一个三角形，使三角形的面积是这个长方形面积的。（一个小方格的面积是） 评卷人 得分 五、走进生活，解决问题。（共33分） 24．（本题5分）甲、乙两人分别从两地同时出发，相向而行，出发时他们的速度比是4∶3。他们第一次相遇后，甲速度提高了，乙速度提高了，这样当甲到达地时，乙离地还有24千米。那么两地之间的距离是多少千米？ 25．（本题5分）东东计划三天看完一本《童话故事书》，第一天正好看了全书的，第二天接着看了70页，这时东东发现剩下的与已看的页数比正好是1∶3，这本书共有多少页？ 26．（本题5分）客车与货车的速度比是7∶4，两车同时从甲、乙两地出发，相对而行，在距离中点21千米处相遇，甲、乙两地相距多少千米？ 27．（本题6分）某小学六年级学生中女生人数占六年级总人数的，后来又转来了15名女生，这样女生人数与六年级总人数之比为3∶5，六年级原有多少名学生？ 28．（本题6分）甲、乙两箱矿泉水的瓶数之比是3∶1，如果从甲箱里取出10瓶放入乙箱后，甲、乙两箱矿泉水的数量之比是5∶3，那么甲乙两箱的矿泉水原来分别有多少瓶？ 29．（本题6分）甲、乙、丙三个村合修一条水渠，修完后，甲、乙、丙村可灌溉的面积比是8∶7∶5，原来三个村计划按可灌溉的面积比派出劳力。后来因为丙村抽不出劳力，经协商，丙村应抽出的劳力由甲、乙两村分担，丙村付给甲、乙两村工钱共1350元。结果，甲村共派出60人，乙村共派出40人，问甲、乙两村各应分得工钱多少元？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $. 保密★启用前 : 2025-2026学年六年级数学上册书山培优系列「2025秋 第四单元比思维培优卷【从课本到奥数】 考试时间：90分钟：试卷总分：100分；测试日期：2025年 题号 二 四 五 总分 得分 .: 注意事项： 1.答题前填写好自已的学校、班级、姓名等信息，请写在试卷规定的位置。 2. 请将答案正确填写在答题区域，注意书写工整，格式正确，卷面整洁。 3. 测试范围：第四单元。 评卷人 得分 用心思考，正确填写。（每空2分，共24分) O (本题2分) 个等腰三角形，它的两个内角度数的比是2：5，如果它是锐 : 角三角形，那么它的顶角是( )°。 : 2.(本题2分)李阿姨按浓缩液与水1：4的比配制了一瓶500毫升的稀释液。 : 用掉100毫升后，又加入了60毫升水，如果保持稀释液的浓度不变，需再加入 热 )毫升浓缩液。 : : : 3h:41:5 3.(本题2分)如图，涂色部分是三角形甲与乙的公共部分，涂色部分面积是甲 的4，乙的面积与涂色面积之比是25：4，三角形甲与乙的面积之比是( 女 : 4.(本题2分)学校买回一批篮球、排球、足球、乒乓球。其中篮球个数与其余 试卷第1页，共7页 : 三种球总数之比为1：8，排球个数与其余三种球总数之比为1：5，足球个数占 其余三种球总数的，已知乒乓球买了86个，则篮球买了( )个。 5.（本题4分)如图，《周髀算经》中有一种特殊的弦图”，它是由4个相同的 直角三角形拼接而成的，每个直角三角形两条直角边长度的比是1：2。问：图 郑 中小正方形的边长与直角三角形较短直角边的比是( ),小正方形的面积 是大正方形面积的号。 6.(本题2分)一条山路，从A地到B地是下坡路，从B地到C地是上坡路。 小张从A地出发经B地到C地所用的时间，比从C地出发经B地回到A地的时 间多5分钟。已知小张上坡的速度是下坡的；，AB两地的路程与BC两地的路 程的比是5：7，那么，小张在这条山路上往返一次要( )小时。 ○ 7.(本题2分)一本书，第一天读后，已读页数与未读页数的比是1：9；第二天 读后，已读页数与未读页数的比变成了1：3。第二天比第一天多读6页，这本书 共有( )页。 8.(本题2分)某公园的门票价格为成人票20元，团购票15元，儿童票10元 浆 某一天检票处统计的结果是成人票的数量与团购票的数量之比为5：9，团购票 的数量与儿童票的数量之比为11：10，儿童票的收入比成人票的收入少1200元， 这一天公园共接待游客( )人 9.(本题2分)合唱队的人数不足百人，其中男生人数占总人数的；。除了领唱 1人站在队伍前面，其余的人按3：2分为高声部和低声部，且刚好站成4排。 合唱队最多有( )人。 10.(本题4分)中国古代数学名著《算法统宗》中记载了一些诗歌形式的数学 问题，其中一个问题如下。 试卷第2页，共7页 : : ·: 三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见 每朝行里数，请公仔细算相还。 : 意思是：一个人到关口要走378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛， 每天走的路程为前一天的一半，走了6天到达关口。算算每天行走的里数。 根据题中的信息，这个人第一天走的路程与总路程的最简单的整数比是 ):( )。 : 评卷人 得分 二、反复比较，合理选择。（将正确的选项填在括号内，每题 2分，共20分) : 11. (本题2分)苗苗有3种课外书共50本，其中历史书有5本，故事书和科普 书都至少有1本，则故事书和科普书的比不可能是( ) A.1:4 B.2:3 C.3:5 D.4:5 12.(本题2分)如图所示，己知AE:EB=1:4,则甲与乙的面积比是( : D : A.3:2 B.1:4 C.2:3 D.4:5 13.（本题2分)甲。乙两名学生放学回家，甲要比乙多走；的路， 而乙走的时 婴 间要比甲走的时间少品， 甲、乙两名学生的速度比是( ) : A.11:12 B.12:11 C. 25:33 D.33:25 14.（本题2分)把一个书架上层书的 放到下层，则上、下两层的书一样多， 原来上层与下层本数的比是( : A.7:6 B.5:7 C.7:5 D.6:5 15.(本题2分)甲乙丙三人一起种植一批树，分配任务时，甲、乙、丙三人种 植棵树之比为1：1：2，实际种植过程中，甲、乙、丙三人种植棵树之比为4：3：5， 其中一人比原计划少种了80棵，那么甲实际种了( )棵。 A.320 B.80 C.960 D.400 16.(本题2分)一个等腰三角形的一条边长为10cm,且有两条边长度之比是2：5。 这个等腰三角形的周长可能是( )cm。 试卷第3页，共7页 A.45 B.24 C.25 D.35 17.(本题2分)如图，正方形被分成A、B、C、D四部分，已知A、B、C三 部分面积的比是7：3：6，D的面积是12cm2,原来正方形的面积是( )cm2。 A 郑 郑 B A.30 B.60 C.40 D.48 18.(本题2分)甲、乙两人同时从A地出发到B地，甲在一半时间内每小时走 5千米，另一半时间内每小时走4千米；乙在一半路程内每小时走5千米，另一 半路程内每小时走4千米。结果到达B地的情况是( ) A.无法确定谁先到达 B.乙先到达 C.甲先到达 D.甲、乙同时到达 19.(本题2分)一款混合糖中甲、乙两种糖的质量比是2：3，现加入甲糖120 千克，乙糖40千克得到混合糖660千克，新混合糖中的甲、乙两种糖的比是 ( ) A.2:3 B.16:17 C.5:4 D.16:15 : 20.（本题2分)一批练习本分发给数学兴趣组的学生，平均每人分到36本，如 果只发给女生，平均每人可分到60本，如果这批练习本不超过200本，若只发 给男生，那么平均每人可分到( )本。 A.36 B.40 C.48 D.90 评卷人 得分 三、一丝不苟，细心计算。（共17分) 2L,(本题5分)已知a:b=0.4:0.7,b:c=25),求a:b:c。 .! 女 ..· 试卷第4页，共7页 0 22.（本题12分)化简下面各比，并求比值. 1 小时：45分钟 日公顷：100平方米 吨：250千克 号升：350毫升 625立方分米：3立方米 8 评卷人 得分 四、手脑并用，实践操作。（共6分） 23.(本题6分)在下面的方格图中，①画一个长方形：长是6厘米，要求长与 : 宽的比是3：2：②再画一个三角形，使三角形的面积是这个长方形面积的，。（一 : 个小方格的面积是1cm2) : : : 评卷人 得分 五、走进生活，解决问题。（共33分） 24.（本题5分)甲、乙两人分别从A,B两地同时出发，相向而行，出发时他们 : 的速度比是4：3。他们第一次相遇后，甲速度提高了4，乙速度提高了3，这样 女 当甲到达B地时，乙离A地还有24千米。那么A,B两地之间的距离是多少千米？ 试卷第5页，共7页 25.(本题5分)东东计划三天看完一本《童话故事书》，第一天正好看了全书的 子，第二天接若看了0页，这时东东发现利下的与已看的页数比正好是1：3， 这本书共有多少页？ 郑 . 26.(本题5分)客车与货车的速度比是7：4，两车同时从甲、乙两地出发，相 对而行，在距离中点21千米处相遇，甲、乙两地相距多少千米？ . 尽 27.(本题6分)某小学六年级学生中女生人数占六年级总人数的7，后来又转 来了15名女生，这样女生人数与六年级总人数之比为3：5，六年级原有多少名 学生？ . 掷 28.(本题6分)甲、乙两箱矿泉水的瓶数之比是3：1，如果从甲箱里取出10 瓶放入乙箱后，甲、乙两箱矿泉水的数量之比是5：3，那么甲乙两箱的矿泉水 原来分别有多少瓶？ : ..! 试卷第6页，共7页 .… . .… : .… 29.(本题6分)甲、乙、丙三个村合修一条水渠，修完后，甲、乙、丙村可灌 . 溉的面积比是8：7：5，原来三个村计划按可灌溉的面积比派出劳力。后来因为 丙村抽不出劳力，经协商，丙村应抽出的劳力由甲、乙两村分担，丙村付给甲、 舒 乙两村工钱共1350元。结果，甲村共派出60人，乙村共派出40人，问甲、乙 两村各应分得工钱多少元？ .! . .… 浆 .! .·… .! : 试卷第7页，共7页 : ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) 保密★启用前 2025-2026学年六年级数学上册书山培优系列「2025秋」 第四单元比思维培优卷【从课本到奥数】 考试时间：90分钟；试卷总分：100分；测试日期：2025年 题号 一 二 三 四 五 总分 得分 注意事项： 1．答题前填写好自己的学校、班级、姓名等信息，请写在试卷规定的位置。 2．请将答案正确填写在答题区域，注意书写工整，格式正确，卷面整洁。 3．测试范围：第四单元。 评卷人 得分 一、用心思考，正确填写。（每空2分，共24分） 1．（本题2分）一个等腰三角形，它的两个内角度数的比是2∶5，如果它是锐角三角形，那么它的顶角是( )°。 【答案】30 【分析】这个三角形是等腰三角形，而它的两个内角度数的比是2∶5，那么它的三个内角的度数比为2∶5∶5或者2∶2∶5，再根据三角形内角和为180度，求出每一份的度数，第一种情况每份为15度，顶角占2份就是30度，第二种情况每份为20度，顶角占5份就是100度，因为题目中要求是锐角三角形，100度大于90度是钝角，所以第二种情况不符合。那么顶角的度数则为30度。 【详解】180°÷（2＋5＋5）＝15° 15°×2＝30° 所以它的顶角度数为30°。 【点睛】本题重点是需要根据等腰三角形的特征，以及三角形内角和为180°，得出每一份的度数，再根据顶角所占的份数求出顶角的度数，注意这里有两种情况，需要分别求出两种情况的顶角，再根据它是锐角三角形，从而排除其中一种情况。 2．（本题2分）李阿姨按浓缩液与水1∶4的比配制了一瓶500毫升的稀释液。用掉100毫升后，又加入了60毫升水，如果保持稀释液的浓度不变，需再加入( )毫升浓缩液。 【答案】15 【分析】根据题意，先明确浓缩液与水的比是1∶4，所以稀释液的总份数是1＋4＝5份，由此可得出浓缩液占稀释液的，水占稀释液的，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，求出500毫升稀释液中浓缩液和水的量。 已知用掉100毫升稀释液，则剩余稀释液的量是（500－100）毫升，再根据分数乘法的意义求出剩余稀释液中浓缩液的量为（500－100）×毫升，水的量为（500－100）×毫升。之后加入60毫升水，此时水的总量是剩余水的量加上60毫升。因为要保持浓度不变，浓缩液与水的比还是1∶4，所以此时浓缩液的量应该是加入水后水的总量除以4，最后用这个浓缩液的量减去剩余的浓缩液量，就能得到需要再加入的浓缩液量。据此解答。 【详解】原稀释液中浓缩液和水的量： 浓缩液：500× ＝500× ＝100（毫升） 水：500× ＝500× ＝400（毫升） 剩余稀释液：500－100＝400（毫升） 剩余浓缩液：400× ＝400×＝ 80（毫升） 剩余水：400× ＝400× ＝320（毫升） 加水后水的总量：320＋60＝380（毫升） 保持浓度不变时所需浓缩液量：380÷4＝95（毫升） 计算需加入的浓缩液量： 95－80＝15（毫升） 需再加入15毫升浓缩液。 【点睛】解题关键是抓住“浓度不变即浓缩液与水的比不变”，通过比例关系逐步计算各阶段浓缩液和水的量，进而求出需加入的浓缩液量。 3．（本题2分）如图，涂色部分是三角形甲与乙的公共部分，涂色部分面积是甲的，乙的面积与涂色面积之比是25∶4，三角形甲与乙的面积之比是( )。 【答案】16∶25 【分析】乙的面积与涂色部分面积之比是25∶4，设涂色部分的面积为4，则乙的面积是25。涂色部分面积是甲的，用4÷求出甲的面积，进而求出甲乙面积之比。 【详解】设涂色部分的面积为4，则乙的面积为25。 甲的面积：4÷ ＝4×4 ＝16 甲∶乙＝16∶25 三角形甲与乙的面积之比是16∶25。 【点睛】本题的解题关键在于根据乙的面积与涂色部分的面积比求出涂色部分的面积。 4．（本题2分）学校买回一批篮球、排球、足球、乒乓球。其中篮球个数与其余三种球总数之比为1∶8，排球个数与其余三种球总数之比为1∶5，足球个数占其余三种球总数的，已知乒乓球买了86个，则篮球买了( )个。 【答案】16 【分析】根据比的意义可知，中篮球个数占总数的，排球个数占总数的，足球个数占总数的，则乒乓球个数占总数的，又知乒乓球的个数，根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法计算，用乒乓球的个数除以其对应的分率即可得总数，再根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，用总数乘篮球对应的分率即可得解。 【详解】 （个） 学校买回一批篮球、排球、足球、乒乓球。其中篮球个数与其余三种球总数之比为1∶8，排球个数与其余三种球总数之比为1∶5，足球个数占其余三种球总数的，已知乒乓球买了86个，则篮球买了16个。 【点睛】本题要把比转化为分数，且确定总数为单位“1”，再用分数的应用题解答。 5．（本题4分）如图，《周髀算经》中有一种特殊的“弦图”，它是由4个相同的直角三角形拼接而成的，每个直角三角形两条直角边长度的比是1∶2。问：图中小正方形的边长与直角三角形较短直角边的比是( )，小正方形的面积是大正方形面积的。 【答案】1∶1； 【分析】设定直角边长度： 已知直角三角形两条直角边长度比是1∶2 。为了方便计算，我们可以给较短直角边赋予一个具体的数值（设数的目的是将比例关系转化为具体可算的量）。不妨设较短直角边的长度为a（这里a是一个任意正数，为了计算简单，后续也可直接代入具体数值，比如a＝1 ），根据比例关系，较长直角边的长度就是2a 。 分析小正方形边长的构成： 观察弦图的拼接方式（4个相同直角三角形拼接），小正方形的边长是由直角三角形的较长直角边与较短直角边的差值决定的。因为在拼接时，较长直角边和较短直角边的差会形成小正方形的边，所以小正方形的边长＝较长直角边长度－较短直角边长度。 推导大正方形面积的计算方式： 通过弦图的组成部分计算，大正方形由4个完全相同的直角三角形和中间的小正方形组成，因此大正方形面积＝4个直角三角形的面积和＋小正方形的面积。 【详解】求小正方形边长与短直角边的比： 设直角三角形短直角边为a，因直角边比1∶2，则长直角边为2a。 由弦图拼接知，小正方形边长＝长直角边－短直角边，即2a－a＝a 。 所以小正方形边长与短直角边的比为a∶a＝1∶1 。 求小正方形面积与大正方形面积的占比： 取a＝1（简化计算），则短直角边1、长直角边2，小正方形边长1。 小正方形面积：1×1＝1 。 直角三角形面积：1×2÷2＝2÷2＝1，4个三角形面积和为4×1＝4 。 大正方形面积：4＋1＝5 。 占比：小正方形面积是大正方形面积的 。 图中小正方形的边长与直角三角形较短直角边的比是1∶1，小正方形的面积是大正方形面积的。 【点睛】用设数法简化比例，借弦图组成算面积，分步推导比例关系，体现化抽象为具体的思想。 6．（本题2分）一条山路，从A地到B地是下坡路，从B地到C地是上坡路。小张从A地出发经B地到C地所用的时间，比从C地出发经B地回到A地的时间多5分钟。已知小张上坡的速度是下坡的，AB两地的路程与BC两地的路程的比是5∶7，那么，小张在这条山路上往返一次要( )小时。 【答案】2.5// 【分析】已知AB两地的路程与BC两地的路程的比是5∶7，可以把全程看作5＋7＝12份，往返共走了12份上坡路和12份下坡路； 根据题意可知，去时比返回多用5分钟，去时比返回少行了2份下坡路，多行了2份上坡路，由此可推出，每份上坡路比每份下坡路多用5÷2＝2.5分钟； 已知小张上坡的速度是下坡的，即上坡的速度∶下坡的速度＝2∶3；根据“路程相同时，速度与时间成反比”可知，上坡时间∶下坡时间＝3∶2，即上坡时间比下坡时间多（3－2）份；用每份上坡路比每份下坡路多用的2.5分钟除以份数差，求出一份数，再用一份数分别乘3、乘2，求出每份上坡时间和每份下坡时间； 因为往返共走了12份上坡路和12份下坡路，分别用每份上坡时间、每份下坡时间乘12，即可求出往返一次上坡用时和下坡用时；再相加，即是往返一次的总时间。注意单位的换算：1小时＝60分钟。 【详解】每份下坡比每份上坡多用：5÷2＝2.5（分钟） 因为小张上坡的速度是下坡的，即上坡的速度∶下坡的速度＝2∶3，所以上坡时间∶下坡时间＝3∶2； 一份数： 2.5÷（3－2） ＝2.5÷1 ＝2.5（分钟） 每份上坡时间：2.5×3＝7.5（分钟） 每份下坡时间：2.5×2＝5（分钟） 往返一次一共用时： 7.5×（7＋5）＋5×（7＋5） ＝7.5×12＋5×12 ＝90＋60 ＝150（分钟） 150分钟＝2.5小时 小张在这条山路上往返一次要2.5小时。 【点睛】本题考查分数与比的混合应用，把路程比看作份数，得出往返共走了12份上坡路和12份下坡路；由去时比返回多用5分钟，得出每份上坡路比每份下坡路多用的时间；根据路程相同时，速度与时间成反比，得出上坡与下坡的时间比，再根据比的应用，求出一份数，进而求出往返一次上坡、下坡的时间。 7．（本题2分）一本书，第一天读后，已读页数与未读页数的比是；第二天读后，已读页数与未读页数的比变成了。第二天比第一天多读6页，这本书共有( )页。 【答案】120 【分析】把这本书的总页数看作单位“1”，根据题意可知，第一天已读页数占总页数的，第二天读后页数占总页数的，用第二天读后页数占总页数的分率－第一天已读页数占总页数的分率，求出第二天已读页数占总页数的分率，即－；再用第二天已读页数占总页数的分率－第一天已读页数占总页数的分率，求出第二天比第一天多读页数占总页数的分率，对应的是第二天比第一天多读6页，求单位“1”，用6÷（－－），即可解答。 【详解】6÷（－－） ＝6÷（－－） ＝6÷（－－） ＝6÷（－） ＝6÷ ＝6×20 ＝120（页） 这本书共有120页。 【点睛】解答本题的关键明确已读页数占总页数的分率和读后页数占总页数的分率的差异。 8．（本题2分）某公园的门票价格为成人票20元，团购票15元，儿童票10元。某一天检票处统计的结果是成人票的数量与团购票的数量之比为5∶9，团购票的数量与儿童票的数量之比为11∶10，儿童票的收入比成人票的收入少1200元，这一天公园共接待游客( )人。 【答案】1464 【分析】根据单价×数量＝总价，可知成人票的总价与团购票的总价之比：（20×5）∶（15×9），团购票的总价与儿童票的总价之比：（11×15）∶（10×10），再化简即可，也就是成人票的总价与团购票的总价之比：20∶27，团购票的总价与儿童票的总价之比：33∶20；根据分数和比的关系，可知成人票的总价占团购票的总价的，儿童票的总价占团购票的总价的，已知儿童票的收入比成人票的收入少1200元，则儿童票的收入比成人票的收入少的钱数占团购票的总价的（－），把团购票的总价看作单位“1”，根据分数除法的意义，用1200÷（－）即可求出团购票的总价，然后根据分数乘法的意义，别用乘法求出成人票的总价以及儿童票的总价，再根据数量＝总价÷单价，分别求出成人票的数量、团购票的数量、儿童票的数量，最后把所有数量相加，即可求出游客总人数。 【详解】（20×5）∶（15×9） ＝（20×5÷5）∶（15×9÷5） ＝20∶27 （11×15）∶（10×10） ＝（11×15÷5）∶（10×10÷5） ＝33∶20 团购票的总价： 1200÷（－） ＝1200÷ ＝1200× ＝8910（元） 成人票的总价：8910×＝6600（元） 儿童票的总价：8910×＝5400（元） 团票的数量：8910÷15＝594（张） 成人票的数量：6600÷20＝330（张） 儿童票的数量：5400÷10＝540（张） 594＋330＋540＝1464（张） 这一天公园共接待游客1464人。 【点睛】解答本题的关键是求出总价比，然后转化为分数除法应用题，求出团购票的总价，再根据分数乘法的意义以及经济问题的相关公式进行解答。 9．（本题2分）合唱队的人数不足百人，其中男生人数占总人数的。除了领唱1人站在队伍前面，其余的人按3∶2分为高声部和低声部，且刚好站成4排。合唱队最多有( )人。 【答案】81 【分析】合唱队的人数不足百人，其中男生人数占总人数的，则合唱队的人数是3的倍数，不足100人3的倍数有99、96、93、90、87、84、81……，去掉1个领唱外还有98人、95人、92人、89人、86人、83人、80人……，剩余人数按照3∶2分为高声部和低声部，且刚好站成4排。说明剩下的人数既是5的倍数，又是4的倍数，最大为80，所以合唱队人数最多为81人。据此解答即可。 【详解】根据分析可知：合唱队最多有81人。 【点睛】把男生人数占总人数的和按3∶2分配转化为求3的倍数的数和5的倍数的数是解决这道题的关键点。 10．（本题4分）中国古代数学名著《算法统宗》中记载了一些诗歌形式的数学问题，其中一个问题如下。 三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见每朝行里数，请公仔细算相还。 意思是：一个人到关口要走378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天到达关口。算算每天行走的里数。 根据题中的信息，这个人第一天走的路程与总路程的最简单的整数比是( )∶( )。 【答案】 32 63 【分析】根据题意，把第一天走的路程看作单位“1”，则第二天走的路程是第一天的；第三天走的路程是第一天的×＝；第四天走的路程是第一天的×＝；第五天走的路程是第一天的×＝；第六天走的路程是第一天的×＝。那么总路程是第一天所走路程的（1＋＋＋＋＋）。根据比的意义，用1比上（1＋＋＋＋＋），再化成最简整数比即可解答。 ＝1－，＝－，＝－，＝－，＝－，则1＋＋＋＋＋可以转化为1＋1－＋－＋－＋－＋－，部分加数和减数互相抵消，据此计算。 【详解】通过分析可得： ×＝ ×＝ ×＝ ×＝ 1∶（1＋＋＋＋＋） ＝1∶（1＋1－＋－＋－＋－＋－） ＝1∶（2－） ＝1∶ ＝（1×32）∶（×32） ＝32∶63 则这个人第一天走的路程与总路程的最简单的整数比是32∶63。 【点睛】把第一天所走的路程看作单位“1”，分别表示出其它五天各走的路程和总路程占第一天所走路程的分率是解题的关键。 评卷人 得分 二、反复比较，合理选择。（将正确的选项填在括号内，每题2分，共20分） 11．（本题2分）苗苗有3种课外书共50本，其中历史书有5本，故事书和科普书都至少有1本，则故事书和科普书的比不可能是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依据“书的数量必须是正整数”。已知三种课外书共50本，历史书5本，故事书＋科普书 ＝50－5＝45本。接下来看每个选项的总份数是否能整除45：选项A的总份数1＋4＝5，45能被5整除，对应数量9本和36本（均为整数）；选项B的总份数2＋3＝5，45能被5整除，对应数量18本和27本（均为整数）；选项C的总份数3＋5＝8，45除以8得5.625，无法整除，对应数量16.875本和28.125本（非整数，不符合实际）；选项D的总份数4＋5＝9，45能被9整除，对应数量20本和25本（均为整数）。 【详解】故事书和科普书总本数：50－5＝45（本） A．总份数 1＋4＝5    故事书数量：45×＝9（本）    科普书数量：45×＝36（本）    综上可知，故事书和科普书的本数都是整数； B．总份数 2＋3＝5    故事书数量：45×＝18（本）    科普书数量：45×＝27（本）    综上可知，故事书和科普书的本数都是整数； C．总份数 3＋5＝8    故事书数量：45×＝16.875（本） 科普书数量：45×＝28.125（本） 综上可知，故事书和科普书的本数都是不是整数； D．总份数 4＋5＝9    故事书数量：45×＝20（本）    科普书数量：45×＝25（本）    综上可知，故事书和科普书的本数都是整数。 故答案为：C 【点睛】利用“书的数量必须为整数”这一隐含条件，通过计算“故事书与科普书的总数（45本）”，再分析每个选项中“比例之和是否能整除45”来判断可行性。简单来说，就是先求总数，再看比例和是否为总数的约数，以此快速排除不符合的选项。 12．（本题2分）如图所示，已知AE∶EB＝1∶4，则甲与乙的面积比是（    ）。 A．3∶2 B．1∶4 C．2∶3 D．4∶5 【答案】A 【分析】连接AC。由△ACE和△BCE同高，底之比等于面积之比，再根据△ADC和△ABC的面积相等，等于△ACE加上△BCE的面积。由△ACE和△BCE的面积之比，即可求得甲、乙的面积之比。 【详解】连接AC。因为AE∶EB＝1∶4，所以S△ACE∶S△BCE＝1∶4，所以S△ACB∶S△BCE＝5∶4。又△ADC和△ABC的面积相等，所以S甲∶S乙＝（S△ADC＋S△ACE）∶S△BCE＝（5＋1）∶4＝6∶4＝3∶2。 故答案为：A 【点睛】求三角形面积之比，若底相等，则面积之比等于高之比；高相等，面积之比等于底之比。若所求图形为不规则图形，可将图形转变为若干小规则图形面积之和或大规则图形减去小规则图形面积之差。 13．（本题2分）甲。乙两名学生放学回家，甲要比乙多走的路，而乙走的时间要比甲走的时间少，甲、乙两名学生的速度比是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】甲要比乙多走的路，先将乙走的路程看作单位“1”，那么甲的路程是乙的；乙走的时间要比甲走的时间少，再将甲走的时间看作单位“1”，那么乙走的时间是甲的。根据速度＝路程÷时间，分别表示甲、乙的速度，再求比值。 【详解】甲的速度： 乙的速度： 甲、乙的速度比： 因此，甲、乙两名学生的速度比是12∶11。 故答案为：B 【点睛】本题的解题关键是以乙的路程和甲的时间为基础量，以此表示出甲的路程和乙的时间，让复杂关系简单化。根据速度＝路程÷时间，分别表示甲、乙的速度，进而求出甲、乙的速度比。 14．（本题2分）把一个书架上层书的放到下层，则上、下两层的书一样多，原来上层与下层本数的比是（    ）。 A．7∶6 B．5∶7 C．7∶5 D．6∶5 【答案】C 【分析】根据“一个书架上层书的放到下层，则上、下两层的书一样多”，把原来上层书的本数看作单位“1”，那么原来上层比下层多的本数占上层本数（×2），则下层书是（1－×2）；根据比的意义写出原来上层与下层本数的比，并化简比。 【详解】原来下层书是上层的： 1－×2 ＝1－ ＝ 原来上层与下层本数的比是： 1∶ ＝（1×7）∶（×7） ＝7∶5 故答案为：C 【点睛】本题考查比的意义及化简比，关键是弄清原来上层书与下层书的本数之间的关系。 15．（本题2分）甲乙丙三人一起种植一批树，分配任务时，甲、乙、丙三人种植棵树之比为1∶1∶2，实际种植过程中，甲、乙、丙三人种植棵树之比为4∶3∶5，其中一人比原计划少种了80棵，那么甲实际种了（    ）棵。 A．320 B．80 C．960 D．400 【答案】A 【分析】把全部树看作单位“1”，先计算出甲、以、丙三人按原计划和实际所种树棵数占全部树的分率，比较前后分率，谁的分率变少，就是谁，再用少的棵数÷减少的分率，求出总棵数，再用总棵树×甲实际种树棵数占总棵树的分率，即可求出实际种树棵数，据此解答。 【详解】原计划： 1＋1＋2 ＝2＋2 ＝4 甲：1÷4＝ 乙：1÷4＝ 丙：2÷4＝ 实际： 4＋3＋5 ＝7＋5 ＝12 甲：4÷12＝ 乙：3÷12＝ 丙：5÷12＝ 甲：＜；乙：＝；丙：＞，丙的分率变小； 80÷（－） ＝80÷（－） ＝80÷ ＝80×12 ＝960（棵） 960×＝320（棵） 甲乙丙三人一起种植一批树，分配任务时，甲、乙、丙三人种植棵树之比为1∶1∶2，实际种植过程中，甲、乙、丙三人种植棵树之比为4∶3∶5，其中一人比原计划少种了80棵，那么甲实际种了320棵。 故答案为：A 【点睛】关键是理解比的意义，确定单位“1”，通过分率的变化确定变少的是谁；部分数量÷对应分率＝整体数量；整体数量×部分对应分率＝部分数量。 16．（本题2分）一个等腰三角形的一条边长为10cm，且有两条边长度之比是2∶5。这个等腰三角形的周长可能是（    ）cm。 A．45 B．24 C．25 D．35 【答案】B 【分析】一个等腰三角形，有两条边的长度比是2∶5，说明三角形三边的长度比可能是2∶2∶5，或2∶5∶5；根据两边之和大于第三边可知，三边长度不可能为2∶2∶5，所以这个等腰三角形的三边的长度比是2∶5∶5，再看10厘米是2份还是5份，进而分析解答。 【详解】当10厘米代表2份时，则占三角形周长的； 三角形周长：10÷ ＝10÷ ＝10× ＝60（厘米） 当10厘米带表5份时，则占三角形周长的； 三角形周长：10÷ ＝10÷ ＝10× ＝24（厘米） 一个等腰三角形的一条边长为10cm，且有两条边长度之比是2∶5。这个等腰三角形的周长可能是24厘米或60厘米。 故答案为：B 17．（本题2分）如图，正方形被分成A、B、C、D四部分，已知A、B、C三部分面积的比是7∶3∶6，D的面积是12cm2，原来正方形的面积是（    ）cm2。 A．30 B．60 C．40 D．48 【答案】B 【分析】由于正方形对角线平分正方形的面积，即A的面积＋B的面积＝C的面积＋D的面积。 因为A和B的面积比为7∶3，所以C和D的面积比是6∶（7＋3－6）＝6∶4，进而得出A的面积∶B的面积∶C的面积∶D的面积＝7∶3∶6∶4。 把原正方形的面积看作单位“1”，D的面积占原正方形面积的；根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算，即可求出原正方形的面积。 【详解】A和B的面积比为7∶3； 所以C和D的面积比为6∶（7＋3－6）＝6∶4 A的面积∶B的面积∶C的面积∶D的面积＝7∶3∶6∶4 12÷ ＝12÷ ＝12×5 ＝60（cm2） 原来正方形的面积是60cm2。 故答案为：B 【点睛】先利用正方形的特征，求出A、B、C、D四部分的面积比，再把比转化成分数，利用分数除法的意义解答。 18．（本题2分）甲、乙两人同时从A地出发到B地，甲在一半时间内每小时走5千米，另一半时间内每小时走4千米；乙在一半路程内每小时走5千米，另一半路程内每小时走4千米。结果到达B地的情况是（    ）。 A．无法确定谁先到达 B．乙先到达 C．甲先到达 D．甲、乙同时到达 【答案】C 【分析】假设距离为x千米，甲在一半时间内每小时走5千米，另一半时间内每小时走4千米，那么甲每小时走5千米的路程占总路程的＝，则甲每小时5千米行走的距离为x，用路程÷速度，表示出这段路程的时间，乘2是甲的总用时；乙在一半路程内每小时走5千米，另一半路程内每小时走4千米，一半路程为x÷2千米，那么乙的总用时是（x÷2÷5＋x÷2÷4）小时，比较两人总用时即可。 【详解】解：设A地道B地的距离为x千米。 甲的时间： （小时） 乙的时间： x÷2÷5＋x÷2÷4 （小时） ＜，甲的用时少，甲先到达。 故答案为：C 【点睛】关键是理解速度、时间、路程之间的关系，根据行驶相同的时间，速度比等于路程比，求出甲用不同速度所行路程的比是完成本题的关键。 19．（本题2分）一款混合糖中甲、乙两种糖的质量比是2∶3，现加入甲糖120千克，乙糖40千克得到混合糖660千克，新混合糖中的甲、乙两种糖的比是（    ）。 A．2∶3 B．16∶17 C．5∶4 D．16∶15 【答案】B 【分析】根据题意“现加入甲糖120千克，乙糖40千克，得到混合糖660千克”得到加入糖之前甲、乙两种糖的和：660－（120＋40）＝500（克），再根据题意求得甲、乙两种糖的总份数，然后分别求得甲、乙两种糖各占总分数的几分之几，最后分别求得加入糖之前甲、乙两种糖的质量，用原来两种糖的质量分别加上加入糖的质量，求出新混合糖种甲乙两种糖分别是多少，再求比并化简，列式解答即可。 【详解】加入糖之前甲、乙两种糖的和： 660－（120＋40） ＝660－160 ＝500（千克） 总分数：2＋3＝5（份） 加入糖之前甲、乙两种糖的质量分别是： 500×＝200（千克） 600×＝300（千克） 新混合糖中甲、乙两种糖的质量分别是： 200＋120＝320（千克） 300＋40＝340（千克） 新混合糖甲、乙两种糖的比： 320∶340 ＝（320÷20）∶（340÷20） ＝16∶17 所以新混合糖中甲、乙两种的比16∶17。 故答案为：B 【点睛】此题主要考查按比例分配应用题的特点：已知两个数的比和两个数的和，在这里需根据题意求这两个数得和，用现在糖的质量减去加入糖的质量，用按比例分配的方法解答。 20．（本题2分）一批练习本分发给数学兴趣组的学生，平均每人分到36本，如果只发给女生，平均每人可分到60本，如果这批练习本不超过200本，若只发给男生，那么平均每人可分到（    ）本。 A．36 B．40 C．48 D．90 【答案】D 【分析】设共x名学生，根据平均数的求法，共36x本练习本，练习本÷女生平均每人数量＝女生人数，总人数－女生人数＝男生人数，据此写出男女生人数比，用女生平均每人数量×女生份数÷男生份数即可。 【详解】解：设共x名学生。 36x÷60＝0.6x x－0.6x＝0.4x 0.4x∶0.6x＝2∶3 60×3÷2＝90（本） 故答案为：D 【点睛】关键是通过字母表示数的方法先确定男女生人数比。 评卷人 得分 三、一丝不苟，细心计算。（共17分） 21．（本题5分）已知，，求。 【答案】16∶28∶5 【分析】利用连比，将先表示出来，再化简成最简整数比即可。 【详解】a∶b ＝（0.4×20）∶（0.7×20） ＝8∶14 b∶c ＝（×5）∶（×5） ＝14∶ 所以，a∶b∶c＝8∶14∶＝16∶28∶5。 22．（本题12分）化简下面各比，并求比值． 1.75：                 小时：45分钟          公顷：1000平方米 吨：250千克             升：350毫升           625立方分米∶立方米 【答案】14:17＝    4:5＝     5:4＝ 5:2＝    4:7＝    5:3＝ 【解析】略 评卷人 得分 四、手脑并用，实践操作。（共6分） 23．（本题6分）在下面的方格图中，①画一个长方形：长是6厘米，要求长与宽的比是3∶2；②再画一个三角形，使三角形的面积是这个长方形面积的。（一个小方格的面积是） 【答案】图见详解 【分析】根据长方形的长与宽的比，先确定长方形的长是6，宽是4，所以长方形的面积是6×4＝24；则三角形的面积是24÷2＝12，则三角形的底可以是6，高是4，即可画出符合题意的图形。 【详解】根据题干分析可得，画出长、宽分别是6、4的长方形和底是6、高是4的三角形，如下图所示：（画法不唯一） 【点睛】此题主要考查长方形、三角形的面积的计算方法的灵活应用，关键是先确定出计算这几个图形的面积所需要的主要线段的长度，进而完成画图。 评卷人 得分 五、走进生活，解决问题。（共33分） 24．（本题5分）甲、乙两人分别从两地同时出发，相向而行，出发时他们的速度比是4∶3。他们第一次相遇后，甲速度提高了，乙速度提高了，这样当甲到达地时，乙离地还有24千米。那么两地之间的距离是多少千米？ 【答案】105千米 【分析】根据题意，把A、B两地之间的距离看作单位“1”。首先，出发时甲、乙速度比是4∶3，由于时间相同，路程比等于速度比，所以第一次相遇时，甲行驶的路程占单位“1”的＝，乙行驶的路程占单位“1”的。接着，甲速度提高，则甲相遇后的速度为4×（1＋）＝5；乙速度提高，则乙相遇后的速度为3×（1＋）＝4，此时甲、乙速度比为5∶4。然后，甲相遇后要行驶的路程是单位“1”的，因为时间相同，路程比等于速度比，所以乙在这段时间行驶的路程是单位“1”的×＝。之后，计算乙总共行驶的路程占单位“1”的比例，即＋＝。再计算乙离A地的路程占单位“1”的比例，即1－＝。最后，已知乙离A地还有24千米，用24÷其占单位“1”的比例，即可求出单位“1”的量，也就是A、B两地之间的距离。据此解答 【详解】把A、B两地之间的距离看作单位“1”。第一次相遇时甲行单位“1”的＝，乙行单位“1”的。 相遇后甲的速度： 4×（1＋） ＝4× ＝5 相遇后乙的速度： 3×（1＋） ＝3× ＝4，速度比为5∶4。 甲相遇后行单位“1”的时，乙行的路程占单位“1”的×＝ 乙总共行的路程占单位“1”的＋＝＋＝ 乙离A地的路程占单位“1”的1－＝ A、B两地之间的距离： 24÷ ＝24× ＝105（千米） d答：A、B两地之间的距离是105千米。 【点睛】关键是将全程设为单位“1”，利用速度比与路程比的关系，结合分数运算分析相遇前后的路程占比，进而求解，注意速度变化后的比例计算。 25．（本题5分）东东计划三天看完一本《童话故事书》，第一天正好看了全书的，第二天接着看了70页，这时东东发现剩下的与已看的页数比正好是1∶3，这本书共有多少页？ 【答案】200页 【分析】把全书的总页数看作单位“1”，看了两天后已看页数与剩余页数的比为3∶1，则已经看的页数占总页数的，即第一天和第二天看的页数占总页数的，用第一天和第二天看的页数占总页数的分率减去第一天看的分率，对应的是第二天看的70页，已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法解答，求全书的总页数，列式为：70÷（－）。 【详解】70÷（－） ＝70÷（－） ＝70÷（－） ＝70÷ ＝70× ＝200（页） 答：这本书共有200页。 【点睛】把比看作分数比，求出已经看的页数占总页数的几分之几是解题的关键。 26．（本题5分）客车与货车的速度比是7∶4，两车同时从甲、乙两地出发，相对而行，在距离中点21千米处相遇，甲、乙两地相距多少千米？ 【答案】千米 【分析】客车与货车的速度比是，由于两车行驶时间相同，路程比等于速度比，所以客车和货车的路程比也是，可知客车和货车的路程份数差为。又因为相遇点距中点千米，可知客车比货车实际多行驶了千米，从而求出一份代表的千米数，最后乘总份数求出全程。 【详解】 （千米） （千米） 答：甲、乙两地相距千米。 【点睛】本题考查了比的应用。做题关键：时间相同时，路程比等于速度比，这是将速度关系转化为路程关系的关键桥梁。同学们也要清晰认识到两车的路程差是“超过中点的距离”的两倍。 27．（本题6分）某小学六年级学生中女生人数占六年级总人数的，后来又转来了15名女生，这样女生人数与六年级总人数之比为3∶5，六年级原有多少名学生？ 【答案】360名 【分析】男生人数不变，可以把男生人数看作单位“1”，原来女生人数占六年级总人数的，则女生人数是男生的，转来15名女生后，女生人数是男生的，则这15名女生是男生的－＝，根据“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”用除法求出男生人数，男生人数占六年级原有人数的1－＝，即可求出六年级原有的学生人数。 【详解】15÷（－） ＝15÷（－） ＝15÷ ＝15×10 ＝150（名） 150÷（1－） ＝150÷ ＝150× ＝360（名） 答：六年级原有360名学生。 【点睛】明确这一过程中的不变量是男生人数，根据女生人数前后占男生人数分率的变化，求出男生人数是解决本题的关键。 28．（本题6分）甲、乙两箱矿泉水的瓶数之比是3∶1，如果从甲箱里取出10瓶放入乙箱后，甲、乙两箱矿泉水的数量之比是5∶3，那么甲乙两箱的矿泉水原来分别有多少瓶？ 【答案】甲箱原有60瓶，乙箱原有20瓶 【分析】甲、乙两箱矿泉水的瓶数之比是3∶1，将甲、乙两箱矿泉水的总瓶数看作单位“1”，则甲箱原来矿泉水的瓶数占总瓶数，乙箱原来矿泉水的瓶数占总瓶数； 从甲箱里取出10瓶放入乙箱后，甲、乙两箱矿泉水的数量之比是5∶3，则甲箱现在矿泉水的瓶数占总瓶数，则乙箱现在矿泉水的瓶数占总瓶数； 用原来与现在的甲箱矿泉水瓶数之差，除以对应的分率（），可以计算出甲、乙两箱矿泉水的总瓶数，再分别用乘法计算出甲乙两箱的矿泉水原来分别有多少瓶；据此解答。 【详解】将甲、乙两箱矿泉水的总瓶数看作单位“1” 甲箱原来矿泉水的瓶数占总瓶数 乙箱原来矿泉水的瓶数占总瓶数 甲箱现在矿泉水的瓶数占总瓶数 乙箱现在矿泉水的瓶数占总瓶数 总瓶数：10÷（） ＝10÷ ＝80（瓶） 甲箱原来矿泉水的瓶数：80×＝60（瓶） 乙箱原来矿泉水的瓶数：80×＝20（瓶） 答：甲箱原来有60瓶，乙箱原来有20瓶。 【点睛】注意变化前后甲、乙两箱的总瓶数不变，以及找出他们之间的关系和对应的分率，是解答本题的关键。 29．（本题6分）甲、乙、丙三个村合修一条水渠，修完后，甲、乙、丙村可灌溉的面积比是8∶7∶5，原来三个村计划按可灌溉的面积比派出劳力。后来因为丙村抽不出劳力，经协商，丙村应抽出的劳力由甲、乙两村分担，丙村付给甲、乙两村工钱共1350元。结果，甲村共派出60人，乙村共派出40人，问甲、乙两村各应分得工钱多少元？ 【答案】甲村1080元，乙村270元 【分析】由甲、乙、丙村可灌溉的面积比为8∶7∶5可得，甲村应派出的人数占总人数的，乙村派出的人数占总人数的，因此，将甲乙两村实际派出的人数相加计算出总人数，再用总人数分别乘和求出甲、乙两村应派出的人数；用实际派出的人数减去鹰牌出的人数，分别求出两村分别多派出的人数，进而求出多派出的人数比，最后用丙村付的工钱分别乘多派出人数占两村总多派出人数的分率即可求出两村各应分得的工钱。 【详解】60＋40＝100（人） 100×＝40（人） 100×＝35（人） 60－40＝20（人） 40－35＝5（人） 20∶5＝4∶1 1350×＝1080（元） 1350×＝270（元） 答：甲村应分得1080元，乙村应分得270元。 【点睛】此题关键理解总人数不变，用原来的比求出甲、乙两村原来的人数，得到丙原来应派出的人数之后再按比分配。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $保密★启用前 5.(本题4分)如图，《周牌算经》中有一种特殊的“弦图”，它是由4个相同的直角三角形拼 2025-2026学年六年级数学上册书山培优系列「2025秋J 接而成的，每个直角三角形两条直角边长度的比是1：2。问：图中小正方形的边长与直角三角 第四单元比思维培优卷【从课本到奥数】 形较短直角边的比是( 人小正方形的面积是大正方形面积的吕。 考试时间：90分钟：试卷总分：100分：测试日期：2025年 题号 二 三 四 五总分 得分 注意事项： 6.(本题2分)一条山路，从A地到B地是下坡路，从B地到C地是上坡路。小张从A地出 1,答题前填写好自己的学校、班级、姓名等信息，请写在试卷规定的位置 发经B地到C地所用的时间，比从C地出发经B地回到A地的时间多5分钟。已知小张上坡的 2,请将答案正确填写在答圈区域，注意书写工整，格式正确，卷面整洁。 3,测试范围：第四单元 速度是下坡的子，AB两地的路程与BC两地的路程的比是5：7，那么，小张在这条山路上往返 一次要( )小时。 评卷人 得分 7.(本题2分)一本书，第一天读后，已读页数与未读页数的比是1：9：第二天读后，已读页 用心思考，正确填写。（每空2分，共24分） 数与未读页数的比变成了1：3。第二天比第一天多读6页，这本书共有( )页 1.(本题2分)一 ,个等腰三角形，它的两个内角度数的比是2：5，如果它是锐角三角形，那么 8。(本题2分)某公园的门票价格为成人票20元，团购票15元，儿童票10元。某一天检票 它的项角是( )°. 处统计的结果是成人票的数量与团购票的数量之比为5：9，团购票的数量与儿童票的数量之比 2.(本题2分)李阿姨按浓缩液与水1：4的比配制了一瓶500毫升的稀释液。用掉100毫升 为11：10，儿童票的收入比成人票的收入少1200元，这一天公园共接待游客( )人. 后，又加入了60毫升水，如果保持稀释液的浓度不变，需再加入( )毫升浓缩液。 9.(本题2分)合唱队的人数不足百人，其中男生人数占总人数的除了领唱1人站在队伍 前面，其余的人按3：2分为高声部和低声部，且刚好站成4排。合唱队最多有( )人 10.(本题4分)中国古代数学名著《算法统宗》中记载了一些诗歌形式的数学问题，其中一 个问题如下。 三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见 3. (本题2分)如图，涂色部分是三角形甲与乙的公共部分，涂色部分面积是甲的，乙的面 每朝行里数，请公仔细算相还。 积与涂色面积之比是25：4，三角形甲与乙的面积之比是( 意思是：一个人到关口要走378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛 每天走的路程为前一天的一半，走了6天到达关口。算算每天行走的里数。 根据题中的信息，这个人第一天走的路程与总路程的最简单的整数比是( ):( )o 评卷人得分 二、 反复比较，合理选择。（将正确的选项填在括号内，每题2分，共20 4.(本题2分)学校买回一批篮球、排球、足球、乒乓球。其中篮球个数与其余三种球总数之 分) 比为1：8，排球个数与其余三种球总数之比为1：5，足球个数占其余三种球总数的，已知乒 11. (本题2分)苗苗有3种课外书共50本，其中历史书有5本，故事书和科普书都至少有1 本，则故事书和科普书的比不可能是( ● )a 乓球买了86个，则篮球买了( )个 第1页共6页 第2页共6页 A.1:4 B.2:3 C.3:5 D.4:5 C.甲先到达D.甲、乙同时到达 12.(本题2分)如图所示，己知AE:EB=1:4,则甲与乙的面积比是( 19.(本题2分)一款混合糖中甲、乙两种糖的质量比是2：3，现加入甲糖120千克，乙糖40 千克得到混合糖660千克，新混合糖中的甲、乙两种糖的比是( A.2:3 B.16:17 C.5:4 D.16:15 20.(本题2分)一批练习本分发给数学兴趣组的学生，平均每人分到36本，如果只发给女生 A.3:2 B.1:4 C.2:3 D.4:5 平均每人可分到60本，如果这批练习本不超过200本，若只发给男生，那么平均每人可分到 )本。 13.(本题2分)甲。乙两名学生放学回家，甲要比乙多走；的路，而乙走的时间要比甲走的时 A.36 B.40 C.48 D.90 间少行甲、乙两名学生的速度比是( )o 评卷人得分 三、一丝不荀，细心计算。（共17分） A.11:12 B.12:11 C.25:33 D.33:25 14.(本题2分)把一个书架上层书的，放到下层，则上、下两层的书一样多，原来上层与下层 21.(本题5分)已知a:b=04:07,e=2号行求a:6e 本数的比是( ) A.7:6 B.5:7 C.7:5 D.6:5 15.(本题2分)甲乙丙三人一起种植一批树，分配任务时，甲、乙、丙三人种植棵树之比为1：1：2， 实际种植过程中，甲、乙、丙三人种植棵树之比为4：3：5，其中一人比原计划少种了80棵， 22.(本题12分)化简下面各比，并求比值. 那么甲实际种了( )棵 1.75:2 3 8 小时：45分钟 名公顷：10平方米 A.320 B.80 C.960 D.400 16.(本题2分)一个等腰三角形的一条边长为10cm,且有两条边长度之比是2：5。这个等腰 三角形的周长可能是( cm. A.45 B.24 C.25 D.35 17.(本题2分)如图，正方形被分成A、B、C、D四部分，已知A、B、C三部分面积的比是 7:3:6,D的面积是12cm2,原来正方形的面积是( )cm2. 吨：250千克 开：350毫升 625立方分米：日立方米 A.30 B.60 C.40 D.48 评卷人得分 四、手脑并用，实践操作。（共6分） 的 18.(本题2分)甲、乙两人同时从A地出发到B地，甲在一半时间内每小时走5千米，另 半时间内每小时走4千米：乙在一半路程内每小时走5千米，另一半路程内每小时走4千米。 23.(本题6分)在下面的方格图中，①画一个长方形：长是6厘米，要求长与宽的比是3：2： 结果到达B地的情况是( ②再画一个三角形，使三角形的面积是这个长方形面积的；。（一个小方格的面积是1cm2) A.无法确定谁先到达 B.乙先到达 第3页共6页 第4项共6页 27。(本题6分)某小学六年级学生中女生人数占六年级总人数的日，后来又转来了15名女生， 这样女生人数与六年级总人数之比为3：5，六年级原有多少名学生？ 4 评卷人得分 五、走进生活，解决问题。（共33分） 28,(本题6分)甲、乙两箱矿泉水的瓶数之比是3：1，如果从甲箱里取出10瓶放入乙箱后， 24.(本题5分)甲、乙两人分别从AB两地同时出发，相向而行，出发时他们的速度比是4：3。 甲、乙两箱矿泉水的数量之比是5：3，那么甲乙两箱的矿泉水原来分别有多少瓶？ 他们第一次相遇后，甲速度提高了}，乙速度提高了}，这样当甲到达B地时，乙离4地还有24 千米。那么A,B两地之间的距离是多少千米？ 29,(本题6分)甲、乙、丙三个村合修一条水渠，修完后，甲、乙、丙村可灌溉的面积比是8：7：5， 0 原来三个村计划按可藩溉的面积比派出劳力。后来因为丙村抽不出劳力，经协商，丙村应抽出 25。(本题5分)东东计划三天看完一本《童话故事书》，第一天正好看了全书的，第二天接 的劳力由甲、乙两村分担，丙村付给甲、乙两村工钱共1350元。结果，甲村共派出60人，乙 村共派出40人，问甲、乙两村各应分得工钱多少元？ 着看了70页，这时东东发现剩下的与已看的页数比正好是1：3，这本书共有多少页？ 26.(本题5分)客车与货车的速度比是7：4，两车同时从甲、乙两地出发，相对而行，在距 离中点21千米处相遇，甲、乙两地相距多少千米？ 第5页共6页 第6页共6页. 保密★启用前 2025-2026学年六年级数学上册书山培优系列「2025秋 第四单元比思维培优卷【从课本到奥数】 考试时间：90分钟：试卷总分：100分；测试日期：2025年 题号 四 五 总分 : 得分 : 注意事项： 1.答题前填写好自己的学校、班级、姓名等信息，请写在试卷规定的位置。 2. 请将答案正确填写在答题区域，注意书写工整，格式正确，卷面整洁。 3. 测试范围：第四单元。 : 评卷人 得分 、 用心思考，正确填写。（每空2分，共24分) : O 1. (本题2分) 个等腰三角形，它的两个内角度数的比是2：5，如果它是锐角三角形， 那么它的顶角是( : 【答案】30 【分析】这个三角形是等腰三角形，而它的两个内角度数的比是2：5，那么它的三个内角 浆 的度数比为2：5：5或者2：2：5，再根据三角形内角和为180度，求出每一份的度数，第 : 种情况每份为15度，顶角占2份就是30度，第二种情况每份为20度，顶角占5份就是 100度，因为题目中要求是锐角三角形，100度大于90度是钝角，所以第二种情况不符合。 : 那么顶角的度数则为30度。 【详解】180°÷(2+5+5)=15 . 15°×2=30° 所以它的顶角度数为30°。 【点睛】本题重点是需要根据等腰三角形的特征，以及三角形内角和为180°，得出每一份 的度数，再根据顶角所占的份数求出顶角的度数，注意这里有两种情况，需要分别求出两种 情况的顶角，再根据它是锐角三角形，从而排除其中一种情况。 2.(本题2分)李阿姨按浓缩液与水1：4的比配制了一瓶500毫升的稀释液。用掉100毫 升后，又加入了60毫升水，如果保持稀释液的浓度不变，需再加入( )毫升浓缩液。 试卷第1页，共25页 3:415 郑 【答案】15 【分析】根据题意，先明确浓缩液与水的比是1：4，所以稀释液的总份数是1十4=5份， 由此可得出浓缩液占稀释液的兮，水占稀释液的号 根据求一个数的几分之几是多少，用乘 法计算，求出500毫升稀释液中浓缩液和水的量。 己知用掉100毫升稀释液，则剩余稀释液的量是(500一100)毫升，再根据分数乘法的意义 求出利余稀释液中浓缩液的量为(500-10)×兮毫升，水的量为(50-10)×号毫升.之 后加入60毫升水，此时水的总量是剩余水的量加上60毫升。因为要保持浓度不变，浓缩液 与水的比还是1：4，所以此时浓缩液的量应该是加入水后水的总量除以4，最后用这个浓缩 液的量减去剩余的浓缩液量，就能得到需要再加入的浓缩液量。据此解答。 .! 【详解】原稀释液中浓缩液和水的量： 1 浓缩液：500× 1+4 =500×5 =100(毫升) .· 水：500x,4 浆 掷 1+4 -50or =400(毫升) .… 剩余稀释液：500-100=400（毫升） 剩余浓缩液：400× 1 1+4 =400x1= 5 .! 80(毫升) 剩余水：400× 4 1+4 =400×5 试卷第2页，共25页 : . o .· =320(毫升) 加水后水的总量：320十60=380（毫升） : 保持浓度不变时所需浓缩液量：380：4=95（毫升） : 郑 舒 计算需加入的浓缩液量： 95-80=15(毫升) : 需再加入15毫升浓缩液。 : : 【点睛】解题关键是抓住“浓度不变即浓缩液与水的比不变”，通过比例关系逐步计算各阶段 O 浓缩液和水的量，进而求出需加入的浓缩液量。 : 3.(本题2分)如图，涂色部分是三角形甲与乙的公共部分，涂色部分面积是甲的：，乙的 面积与涂色面积之比是25：4，三角形甲与乙的面积之比是( : : 【答案】16：25 【分析】乙的面积与涂色部分面积之比是25：4，设涂色部分的面积为4，则乙的面积是25。 : 涂色部分面积是甲的好，用4号求出甲的面积，进而求出甲乙面积之比。 : : 【详解】设涂色部分的面积为4，则乙的面积为25。 浆 甲的面积：4÷4 =4×4 =16 甲：乙=16：25 三角形甲与乙的面积之比是16：25。 【点睛】本题的解题关键在于根据乙的面积与涂色部分的面积比求出涂色部分的面积。 : : 4.(本题2分)学校买回一批篮球、排球、足球、乒乓球。其中篮球个数与其余三种球总数 之比为1：8，排球个数与其余三种球总数之比为1：5，足球个数占其余三种球总数的)， 己知乒乓球买了86个，则篮球买了( )个。 : 【答案】16 : 试卷第3页，共25页 : 【分析】根据比的意义可知，中篮球个数占总数的 ,排球个数占总数的 1+5, 足球个 1+8 数占总数的7 则乒乓球个数占总数的 111 968 又知乒乓球的个数，根据已知 个数的几分之几是多少，求这个数用除法计算，用乒乓球的个数除以其对应的分率即可得总 郑 数，再根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，用总数乘篮球对应的分率即可得解。 【详解】86÷1- 111 1+81+51+71+8 111）1 =86÷1- 9689 8129)1 431 =86÷72*9 721 =86×43X9 =16(个) 学校买回一批篮球、排球、足球、乒乓球。其中篮球个数与其余三种球总数之比为1：8， 排球个数与其余三种球总数之比为1：5，足球个数占其余三种球总数的二，已知乒乓球买 了86个，则篮球买了16个。 【点睛】本题要把比转化为分数，且确定总数为单位“1”，再用分数的应用题解答。 5.(本题4分)如图，《周髀算经》中有一种特殊的弦图，它是由4个相同的直角三角形 拼接而成的，每个直角三角形两条直角边长度的比是1：2。问：图中小正方形的边长与直 蝶 掷 角三角形较短直角边的比是( ),小正方形的面积是大正方形面积的 0 9 【答案】1：1：5 【分析】设定直角边长度： 女 已知直角三角形两条直角边长度比是1：2。为了方便计算，我们可以给较短直角边赋予 个具体的数值（设数的目的是将比例关系转化为具体可算的量）。不妨设较短直角边的长度 为a(这里a是一个任意正数，为了计算简单，后续也可直接代入具体数值，比如a=1), 试卷第4页，共25页 : 根据比例关系，较长直角边的长度就是2a。 : 分析小正方形边长的构成： : 观察弦图的拼接方式(4个相同直角三角形拼接)，小正方形的边长是由直角三角形的较长 : 舒 直角边与较短直角边的差值决定的。因为在拼接时，较长直角边和较短直角边的差会形成小 正方形的边，所以小正方形的边长=较长直角边长度一较短直角边长度。 : 推导大正方形面积的计算方式： : : 通过弦图的组成部分计算，大正方形由4个完全相同的直角三角形和中间的小正方形组成， 因此大正方形面积=4个直角三角形的面积和+小正方形的面积。 【详解】求小正方形边长与短直角边的比： 设直角三角形短直角边为a,因直角边比1：2，则长直角边为2a。 由弦图拼接知，小正方形边长=长直角边一短直角边，即2a一a=a。 所以小正方形边长与短直角边的比为a:a=1:1。 : 求小正方形面积与大正方形面积的占比： : 取a=1（简化计算)，则短直角边1、长直角边2，小正方形边长1。 : 小正方形面积：1×1=1。 直角三角形面积：1×2÷2=2÷2=1,4个三角形面积和为4×1=4。 : 大正方形面积：4+1=5。 占比：小正方形面积是大正方形面积的 5 蝶 图中小正方形的边长与直角三角形较短直角边的比是1：1，小正方形的面积是大正方形面 : : 积的5 : 【点睛】用设数法简化比例，借弦图组成算面积，分步推导比例关系，体现化抽象为具体的 思想。 6.（本题2分)一条山路，从A地到B地是下坡路，从B地到C地是上坡路。小张从A地 : 出发经B地到C地所用的时间，比从C地出发经B地回到A地的时间多5分钟。已知小张 上坡的速度是下坡的 程与BC两地的路程的比是5：7，方 山路上往返一次要( )小时。 【答案】2.5/2/3 22 : 【分析】已知AB两地的路程与BC两地的路程的比是5：7，可以把全程看作5+7=12份， 试卷第5页，共25页 : 往返共走了12份上坡路和12份下坡路： 根据题意可知，去时比返回多用5分钟，去时比返回少行了2份下坡路，多行了2份上坡路， 由此可推出，每份上坡路比每份下坡路多用5÷2=2.5分钟： 已知小张上坡的速度是下坡的子，即上坡的遮度：下坟的速度=2：3：根据路程相同时。 郑 数 速度与时间成反比”可知，上坡时间：下坡时间=3：2，即上坡时间比下坡时间多(3一2) 份；用每份上坡路比每份下坡路多用的2.5分钟除以份数差，求出一份数，再用一份数分别 乘3、乘2，求出每份上坡时间和每份下坡时间； 因为往返共走了12份上坡路和12份下坡路，分别用每份上坡时间、每份下坡时间乘12， 即可求出往返一次上坡用时和下坡用时；再相加，即是往返一次的总时间。注意单位的换算： 1小时=60分钟。 【详解】每份下坡比每份上坡多用：5÷2=2.5（分钟） 因为小张上坡的速度是下坡的？，即上坡的速度：下坡的速度=2：3，所以上坡时间：下坡 时间=3：2： 一份数： 2.5÷(3-2) =2.5÷1 =2.5（分钟) 每份上坡时间：2.5×3=7.5（分钟） 每份下坡时间：2.5×2=5（分钟） 往返一次一共用时： 7.5×(7+5)+5×(7+5) =7.5×12+5×12 =90+60 =150(分钟) 150分钟=2.5小时 ☒ 小张在这条山路上往返一次要2.5小时。 【点睛】本题考查分数与比的混合应用，把路程比看作份数，得出往返共走了2份上坡路 和12份下坡路；由去时比返回多用5分钟，得出每份上坡路比每份下坡路多用的时间；根 据路程相同时，速度与时间成反比，得出上坡与下坡的时间比，再根据比的应用，求出一份 试卷第6页，共25页 : . 数，进而求出往返一次上坡、下坡的时间。 : 7.(本题2分)一本书，第一天读后，已读页数与未读页数的比是1：9：第二天读后，已读 : 页数与未读页数的比变成了1：3。第二天比第一天多读6页，这本书共有( )页。 : 【答案】120 【分析】把这本书的总页数看作单位“1”，根据题意可知，第一天已读页数占总页数的 : 1+9 : 第二天读后页数占总页数的中3用第二天读后页数占总页数的分率一第一天已读页数占 : O 总页数的分率，求出第二天已读页数占总页数的分*，即中一中)：再用第二天已读页 数占总页数的分率一第一天已读页数占总页数的分率，求出第二天比第一天多读页数占总页 : 1 11 数的分率，对应的是第二天比第一天多读6页，求单位1”，用6（+31+91中9 即可解答。 1 1 【详解】6÷( 1+31+91+9 : 11 =6÷（4一10 10 =6:( 522 202020 : =6÷( 2020 =6 20 =6×20 =120(页) 这本书共有120页。 : 【点睛】解答本题的关键明确已读页数占总页数的分率和读后页数占总页数的分率的差异。 8.(本题2分)某公园的门票价格为成人票20元，团购票15元，儿童票10元。某一天检 票处统计的结果是成人票的数量与团购票的数量之比为5：9，团购票的数量与儿童票的数 : 量之比为11：10，儿童票的收入比成人票的收入少1200元，这一天公园共接待游客( 人。 【答案】1464 【分析】根据单价×数量=总价，可知成人票的总价与团购票的总价之比：(20×5)：(15×9)， : 团购票的总价与儿童票的总价之比：(11×15)：(10×10)，再化简即可，也就是成人票的 总价与团购票的总价之比：20：27，团购票的总价与儿童票的总价之比：33：20：根据分数 试卷第7页，共25页 和比的关系，可知成人票的总价占团购票的总价的 ,儿童票的总价占团购票的总价的 20 27 33 已知儿童票的收入比成人票的收入少1200元，则儿童票的收入比成人票的收入少的钱数占 团购票的总价的( 2020 2733 ),把团购票的总价看作单位1”，根据分数除法的意义，用1200： 2020 紧 郑 2733 )即可求出团购票的总价，然后根据分数乘法的意义，别用乘法求出成人票的总 价以及儿童票的总价，再根据数量=总价：单价，分别求出成人票的数量、团购票的数量、 儿童票的数量，最后把所有数量相加，即可求出游客总人数。 【详解】(20×5)：(15×9) =(20×5÷5):(15×9÷5) =20:27 (11×15):(10×10) =(11×15÷5):(10×10÷5) =33:20 团购票的总价： ! 2020 1200÷( 2733 40 =1200÷ 297 -1200x297 40 =8910(元) 20 成人票的总价：8910× 27 =6600(元) : 20 儿童票的总价：8910× 33 =5400(元) 团票的数量：8910÷15=594（张） 成人票的数量：660020=330（张） 儿童票的数量：5400÷10=540（张） 594+330+540=1464(张) 这一天公园共接待游客1464人。 【点睛】解答本题的关键是求出总价比，然后转化为分数除法应用题，求出团购票的总价， 再根据分数乘法的意义以及经济问题的相关公式进行解答。 试卷第8页，共25页 9.(本题2分)合唱队的人数不足百人，其中男生人数占总人数的？。除了领唱1人站在队 伍前面，其余的人按3：2分为高声部和低声部，且刚好站成4排。合唱队最多有( : : 人。 舒 【答案】81 : : 【分析】合唱队的人数不足百人，其中男生人数占总人数的，则合唱队的人数是3的倍数， : 不足100人3的倍数有99、96、93、90、87、84、81.，去掉1个领唱外还有98人、95 : 人、92人、89人、86人、83人、80人..，剩余人数按照3：2分为高声部和低声部，且 刚好站成4排。说明剩下的人数既是5的倍数，又是4的倍数，最大为80，所以合唱队人 数最多为81人。据此解答即可。 【详解】根据分析可知：合唱队最多有81人。 【点睛】把男生人数占总人数的 和按3：2分配转化为求3的倍数的数和5的倍数的数是 : : 解决这道题的关键点。 10.(本题4分)中国古代数学名著《算法统宗》中记载了一些诗歌形式的数学问题，其中 O 个问题如下。 三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见每朝行里数， : 请公仔细算相还。 意思是：一个人到关口要走378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛，每天走的路 浆 程为前一天的一半，走了6天到达关口。算算每天行走的里数 : : 根据题中的信息，这个人第 一天走的路程与总路程的最简单的整数比是 ):( ) : 【答案】 32 63 【分析】根据题意，把第一天走的路程看作单位“”，则第二天走的路程是第一天的)；第 . 三天走的路程是第一天的×宁=行：第四天走的路程是第一天的×与=日：第五天走的路 程足第大的。×宁。：第大天走的路程是第一天的6行习那么总路程是第一天 11 1 十 所走路程的(1+2 + 1 1 8+16+32 Q根据比的盒义，用比上叶计4十&6 再化成最简整数比即可解答 32 试卷第9页，共25页 : .! =1- 1 2’4 -,1=1-1,1=11111 4P848168163216则士十4中g6 可以转化为1+1-+甘子+好发+日石+6立 + 部分加数和减数互相抵 消，据此计算。 郑 郑 【详解】通过分析可得： 4日 .· 111 8×2=16 111 162=32 1:0++g+6+2 =1:(2- 1 . 32 63 =1: 32 =(1×32):( 63 ×32) 32 =32:63 则这个人第一天走的路程与总路程的最简单的整数比是32：63。 掷 【点睛】把第一天所走的路程看作单位“1”，分别表示出其它五天各走的路程和总路程占第 天所走路程的分率是解题的关键。 评卷人 得分 二、反复比较，合理选择。（将正确的选项填在括号内，每题 2分，共20分) 11.(本题2分)苗苗有3种课外书共50本，其中历史书有5本，故事书和科普书都至少有 1本，则故事书和科普书的比不可能是()。 A.1:4 B.2:3 C.3:5 D.4:5 ☒ 女 【答案】C 【分析】依据“书的数量必须是正整数”。已知三种课外书共50本，历史书5本，故事书+ 科普书=50一5=45本。接下来看每个选项的总份数是否能整除45：选项A的总份数1+4 =5,45能被5整除，对应数量9本和36本（均为整数）：选项B的总份数2+3=5,45能 O 试卷第10页，共25页