第12讲 实际问题与一元一次方程（知识点+题型+强化训练） 2025-2026学年人教版七年级数学上册同步讲义与测试

第12讲 实际问题与一元一次方程（知识点+题型+强化训练） 目录 知识梳理 1.配套问题 2.工程问题 3.销售问题 4.积分问题 5.方案选择问题 题型巩固 一、配套问题(一元一次方程的应用) 二、工程问题(一元一次方程的应用) 三、销售盈亏(一元一次方程的应用) 四、比赛积分(一元一次方程的应用) 五、方案选择(一元一次方程的应用) 六、数字问题(一元一次方程的应用) 七、几何问题(一元一次方程的应用) 八、动点问题（一元一次方程的应用） 九、和差倍分问题(一元一次方程的应用) 十、电费和水费问题 十一、行程问题(一元一次方程的应用) 十二、比例分配(一元一次方程的应用) 十三、日历问题(一元一次方程的应用) 十四、古代问题(一元一次方程的应用) 十五、其他问题(一元一次方程的应用) 强化训练 单选题（6） 填空题（6） 解答题（6） 知识梳理 知识点1.配套问题 1. 在配套问题中，配套的物品之间都具有一定的数量关系，这个数量关系可以作为列方程的依据.•••••• •••••• 2. 生产配套问题中的基本数量关系 若m 件甲产品与n 件乙产品配套，则有甲产品的数量∶乙产品的数量=m:n，转化为乘积形式为甲产品的数量×n= 乙产品的数量×m.外项之积= 内项之积 3. 调配问题中的基本相等关系 调配问题一般把调配的结果作为相等关系列方程，需要注意的是，如果在两个量之间调配，那么这两个量都要发生变化，如：甲量增加的同时，乙量减少相同数量. 4. 列一元一次方程解决实际问题的图示 知识点2.工程问题 1. 基本关系式： 工作量= 工作效率×工作时间， 工作时间= ，工作效率=. 2. 工程问题中的基本数量关系： 方法与行程问题相类似，一般有如下规律：在工作量、工作效率、工作时间这三个量中，如果一个量已知，那么就设另一个量，从第三个量找相等关系列方程.常用单位“1”表示工作总量，并用“”表示工作效率 知识点3.销售问题 1. 在现实生活中，购买商品和销售商品时，经常遇到的几个量有： 进价、标价、售价、折扣、利润、利润率. 2. 相关的相等关系 (1)售价= 标价×；(2)利润= 售价－ 进价； (3)利润= 进价×利润率；(4)利润率=×100 % . 知识点4.积分问题 在比赛积分问题中，基本相等关系有: 参赛场数= 胜场数＋ 负场数＋ 平场数；比赛总积分= 胜场积分＋ 负场积分＋ 平场积分. 特别解读： (1)比赛中的积分与胜负场数有关，同时也与比赛积分规则有关，需先弄清“胜一场积几分，平一场积几分，负一场积几分”. (2)在积分规则中，一般规律为：胜场积分> 平场积分>负场积分，据此可粗略判断解题的结果是否正确. 知识点5.方案选择问题 在现实生活中，做一件事往往有多种方案可供选择，如何选择对我们最有利的方案呢？这就需要我们利用所学的知识，通过列方程、计算和比较，来选择最优方案. 题型巩固 题型一、配套问题(一元一次方程的应用) 1．（25-26七年级上·全国·课后作业）学校需要定制一批3条腿的桌子．已知某工厂有24名工人，每人每天可以生产20块桌面或300条桌腿．为使每天生产的桌面和桌腿刚好配套，则生产桌面的工人应安排（   ） A．18名 B．21名 C．20名 D．16名 【答案】C 【知识点】配套问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的应用，找准等量关系列出方程是解题的关键． 设需要安排名工人生产桌面，则安排名工人生产桌腿，再根据1个桌面配3条桌腿列出方程即可． 【详解】解：设需要安排名工人生产桌面，则安排名工人生产桌腿，根据题意得： 解得： 答：需要安排名工人生产桌面． 故选：． 2．（25-26七年级上·全国·课后作业）有一个加工茶杯的车间，一名工人每小时平均可以加工杯身12个或者加工杯盖15个，车间共有90人．安排加工杯身的人数为多少时，才能使生产的杯身和杯盖正好配套？设安排加工杯身的人数为，则可列方程为 ，解得 ． 【答案】 【知识点】配套问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了列一元一次方程解应用题——配套问题，设安排加工杯身的人数为人，则加工杯盖的人数为人，通过“一名工人每小时平均可以加工杯身个或者加工杯盖个，车间共有人”列方程即可. 【详解】解：设安排加工杯身的人数为人，则加工杯盖的人数为人，每小时加工杯身个，杯盖个.根据题意得： 解得：. 故答案为：①② ． 3．（24-25七年级上·河南焦作·期中）某车间有名工人，生产一种螺栓和螺帽，平均每人每小时生产螺栓个或螺帽个，个螺栓要配个螺帽，应安排多少名工人生产螺栓，多少名工人生产螺帽，才能使生产的螺栓和螺帽刚好配套？ 【答案】名工人生产螺栓，名工人生产螺帽 【知识点】配套问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设应安排名工人生产螺栓，则应安排名工人生产螺帽，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设应安排名工人生产螺栓，则应安排名工人生产螺帽， 由题意得，， 解得， ∴， 答：应安排名工人生产螺栓，安排名工人生产螺帽，才能使生产的螺栓和螺帽刚好配套． 题型二、工程问题(一元一次方程的应用) 4．（25-26七年级上·全国·期末）湘绣是中国优秀的民族传统工艺之一，湖南某文创街区上分布了很多湘绣手工店．某湘绣手工店接了一个订单，预计甲店员单独做天可完成，乙店员单独做天可完成．现甲先做天后，顾客临时加急，店长安排乙加入合作，则完成这个订单共需要（   ） A．天 B．天 C．天 D．天 【答案】D 【知识点】工程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设完成这个订单共需天，则乙用了天，此订单总工作量为，根据甲完成的部分乙完成的部分整个工作量（单位），即可得出关于的一元一次方程，此题得解． 【详解】 解：根据题意设完成这个订单共需天，此订单总工作量为， 则可列方程为 ， 解得， 答：完成这个订单共需要天． 故选：D． 5．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）一件工程，甲单独做需12天完成，乙单独做需8天完成，现先由甲、乙合作2天后，乙有其他任务，剩下的工程由甲单独完成，则甲还需要 天才能完成该工程． 【答案】7 【知识点】工程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，熟练掌握工程问题求解的基本思路是解题的关键．先根据题意得出甲，乙的工作效率分别是，再结合现先由甲、乙合作2天后，乙有其他任务，剩下的工程由甲单独完成，进行列方程，解方程，即可作答． 【详解】解：设甲还需要天才能完成该工程， 根据题意，得方程： 方程化为：， 解得：， 故甲还需要7天 故答案为：7 6．（24-25七年级上·河南焦作·期中）整理一批图书，由一个人做要完成，现计划由人先做，然后增加一些人与他们一起做，完成这项工作，假设这些人的工作效率相同，具体应增加多少人？ 【答案】人 【知识点】工程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设应增加人，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设应增加人， 由题意得，， 解得， 答：应增加人． 题型三、销售盈亏(一元一次方程的应用) 7．（24-25七年级上·甘肃张掖·期末）某商人一次卖出两件衣服，一件赚了，一件亏了，售价都是元，在这次生意中，该商人（  ） A．不赚不赔 B．赚了元 C．亏了元 D．亏了元 【答案】C 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是计算出两件商品的进价，再根据售价和进价的关系得到答案． 首先计算出两种商品的进价，然后再根据售价，比较是亏是赚，亏多少，赚多少．还应注意亏赚都是在原价的基础上． 【详解】解：设赚了的衣服的进价是元， 则：， 解得：， 设赔了的衣服的进价是元， 则， 解得：， 总进价：元， 总售价：元 元， 所以亏了元， 故选：C． 8．（23-24七年级上·全国·期末）某商店将一种商品打九折出售，则该商品的利润率为．若这种商品的进价为1800元件，则这种商品的原价是 元件． 【答案】2300 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程在利润问题中的应用，涉及进价、原价、折扣、利润率之间的数量关系；解题的关键是掌握“售价原价折扣”“售价进价进价利润率”的核心公式，通过建立等量关系列方程求解原价． 设商品的原价为元/件，先根据“打九折出售”表示出实际售价为元；再根据“进价1800元、利润率”，用“进价利润”表示出售价为元；最后根据售价相等建立方程，求解方程得到原价． 【详解】解：设这种商品的原价是元/件． 根据售价相等列方程：， 则， 解得． 故答案为：2300． 9．（25-26七年级上·广东广州·月考）国庆期间，某商场专柜进行优惠大酬宾活动，所有商品一律按照的利润定价，然后又打九折出售．（成本价利润率利润，成本价利润定价，售价成本价利润） (1)商品A成本价是120元，商品A最后售价多少元？ (2)商品B卖出后，赚了68元，商品B的成本价是多少元？ 【答案】(1)商品A最后应卖元； (2)商品B的成本是850元 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是：根据各数量之间的关系，列式计算，找准等量关系，正确列出一元一次方程． （1）利用售价成本价利润率折扣率，即可求出结论； （2）设商品B的成本是x元，利用售价成本价利润，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意得：（元）， 答：商品A最后应卖元； （2）解：设商品B的成本是x元， 根据题意得：， 解得：， 答：商品B的成本是850元． 题型四、比赛积分(一元一次方程的应用) 10．（24-25七年级上·全国·课后作业）某次知识竞赛由40道选择题组成，答对一道得5分，答错一道扣3分，全部做完后（不能漏答）才可以提交试题，小明提交试题后显示得分为152分，设小明答对了道题，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】比赛积分(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，理解题意中数量关系，掌握一元一次方程列式解实际问题是解题的关键．设小明答对了道题，则答错了道题，根据题意列出方程即可． 【详解】解：设小明答对了道题，则答错了道题， 根据题意得，． 故选：C． 11．（25-26七年级上·四川成都·月考）金牛区举办了“金教杯”校园足球超级联赛：比赛规则如下：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得分．某校园足球队进行了9场比赛，其中负2场，共得13分，那么该足球队共胜了 场． 【答案】4 【知识点】比赛积分(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程组的应用；设胜场数为，则平了场，根据总积分为分，列出方程．解方程组即可． 【详解】解：设胜场数为，则平了场，依题意得， 解得： 故答案为4． 12．（24-25七年级上·全国·课后作业）小刚在一次比赛中，22投14中，得28分，罚球每次得1分，除了3个3分球全中外，他还投中了几个2分球，几个罚球？ 【答案】他还投中了8个2分球，3个罚球 【知识点】比赛积分(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的应用，关键是根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程．设投2分球x个，那么罚球个，再根据得28分就可以列出方程，解方程就求出了结果． 【详解】解：设投2分球x个，那么罚球个， 依题意得：， ∴． 答：他还投中了8个2分球和3个罚球． 题型五、方案选择(一元一次方程的应用) 13．（2024七年级上·全国·专题练习）某班到文具店采购作业本，经询问得知作业本的定价为每本元，通过协商，文具店提供了两种购买方式，并要求只能从中选择一种．方式一：每本优惠售价为元；方式二：购买数量不多于本时按定价销售，超过本，则超过部分按定价的八折销售．设该班购买作业本的数量为（）．当方案一和方案二所需的费用一样多时，购买作业本的数量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】方案选择(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，利用总价单价数量，结合方案一和方案二所需的费用一样多，可列出关于的一元一次方程，解之即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：根据题意得，， 解得， ∴当方案一和方案二所需的费用一样多时，购买作业本的数量为本， 故选：． 14．（25-26七年级上·湖北黄冈·期中）在今年的双“十一”商品促销活动中，黄州万达超市为吸引顾客购物，推出如下优惠方案： （1）购物款不超过500元，不享受优惠； （2）购物款超过500元，但不超过1000元，享受9折优惠； （3）购物款超过1000元，享受8折优惠． 某中学学生李诚的爸爸到万达购买220元的物品，他的妈妈在下班途中看到这个优惠方案后也去万达购买了一些物品，共付款756元．李诚看到爸爸妈妈的购物单后发现，若是他一个人去买这些物品，还可以优惠 元． 【答案】128 【知识点】方案选择(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是第二次购物可能有两种情况，需要分类讨论清楚． 根据优惠方案，爸爸购物款220元不超过500元，无优惠；妈妈付款756元，设妈妈原购物款为元，根据不同优惠方案分类讨论，列出方程，求出原购物款，然后求得爸爸和妈妈的总购物款，判断出优惠方案，求出一次性购买的付款总额，再与分开付款总额相比，即可求得答案． 【详解】解：爸爸购买物品220元，由于不超过500元，不享受优惠，实际付款220元； 妈妈付款756元，享受优惠，设妈妈原购物款为元， 当时，享受8折优惠，则 ， 解得， ∵， ∴舍去； 当时，享受9折优惠，则 ， 解得， ∵， ∴妈妈原购物款为840元， ∴爸爸妈妈总购物款为（元）， ∵， ∴享受8折优惠， 则需付款（元）， 分开付款总额为（元）， ∴一次购买可优惠元． 故答案为：128． 15．（24-25七年级上·全国·课后作业）某公司在A，B两地分别有库存机器16台和12台，现要运往甲、乙两地，其中运往甲地15台，运往乙地13台．从A地运一台机器到甲地的运费为500元，到乙地的运费为400元；从B地运一台机器到甲地的运费为300元，到乙地的运费为600元． (1)设从A地运往甲地x台机器，请把下表补充完整； 收地运地 甲地 乙地 总计 A地 x 16台 B地 12台 总计 15台 13台 28台 (2)如果某种调运方案的运费是10300元，那么从A，B两地分别运往甲、乙两地的机器各多少台？ 【答案】(1)，，； (2)从A地分别运往甲、乙两地3台、13台；从B地分别运往甲、乙两地12台、0台． 【知识点】方案选择(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用． （1）用总数减去求出A地运往乙地和B地运往甲地的数量，进而可求出B地运往乙地的数量； （2）根据题干所给收费规则结合表格列方程求解即可． 【详解】（1）由表格可知，A地运往乙地台，B地运往甲地台， 可知B地运往乙地台， 表格如下： 收地运地 甲地 乙地 总计 A地 x 16台 B地 12台 总计 15台 13台 28台 （2）∵从A地运一台机器到甲地的运费为500元，到乙地的运费为400元；从B地运一台机器到甲地的运费为300元，到乙地的运费为600元 ∴共计费用 （元）， ∵运费是10300元， ∴， 解得：， ∴，，， 即从A地分别运往甲、乙两地3台、13台；从B地分别运往甲、乙两地12台、0台． 题型六、数字问题(一元一次方程的应用) 16．（25-26七年级上·浙江温州·期中）下表12个方格中，每个方格内都有一个数，若任意相邻三个数的和都是21，则的值是（   ） 11 A B C D E F G H P A．13 B．15 C．18 D．21 【答案】B 【知识点】数字问题(一元一次方程的应用) 【分析】利用任意相邻三个数的和都是21的条件，列出等式，通过比较相邻等式消去未知数，逐步推导出x的值． 【详解】解：设各位置的值分别为11， A， B， C， D， E， F， x， G， H， P，． ∵任意相邻三个数的和都是21， ∴ 有以下等式： 位置∶ 位置∶ 位置∶ 位置∶ 位置∶ 位置∶ 位置∶ 位置∶ 位置∶ 位置∶ 由位置∶ ，即 由位置∶，代入，可得出，即 由位置∶ ，代入可得出，即可得 由位置∶，代入可得出，即可得 由位置∶，代入可得出，解得 由位置∶，代入可得出 ，即可得 由位置∶，代入 可得出 ，可得出 由位置∶，代入 可得出 ，解得 由位置∶，代入可得出 ，即可得 由位置∶，代入 可得出 ，即可得，解得 代入 可得出 ，解得 由位置∶ ，代入， 可得出 ，即可得，解得 由位置∶ ，代入， ，可得出，则有 ，解得 由 ，可得出 ，解得 ∴ x的值为15， 故选B． 17．（25-26七年级上·湖北武汉·期中）对于一个三位数m，其各个数位上的数字互不相等，若m的百位数字与个位数字之和等于十位数字的2倍，则称m为“和美数”，例如：357，，是“和美数”，若“和美数”m能被7整除，则满足条件的m的最小值是 ． 【答案】147 【知识点】数字类规律探索、数字问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了数字规律，一元一次方程与数字的应用．设m的百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，根据“和美数”的定义有，且a、b、c互不相等，且，m可表示为，代入c得，结合，且求满足条件的m的最小值，故要求，取最小值，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，设m的百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c ∴， ∵m的百位数字与个位数字之和等于十位数字的2倍，则称m为“和美数”， ∴，且a、b、c互不相等 ∴， 则， ∵，且求满足条件的m的最小值， ∴要求，取最小值， ∵，且为正整数 ∴为正整数， ∴为偶数， 为偶数， 当时，故，此时， 即， ∴， ∵不能被7整除， ∴舍去； 当时，故，此时， 即， ∴， ∵不能被7整除， ∴舍去； 当时，故，此时， 即， ∴， ∴ 即147能被7整除， 当时，故，此时， 即， ∴， ∵159不能被7整除， 此后找不出比147小的值满足题意； 故答案为：147． 18．（24-25七年级上·河南焦作·期中）有一列数，按一定的规律排列：，其中某三个相邻的数的和是，这三个数分别是多少？ 【答案】，， 【知识点】数字问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设这三个数中的第一个数是，则其后面的两个数分别是，，根据题意列出方程即可求解，找出数列的排列规律是解题的关键． 【详解】解：设这三个数中的第一个数是，则其后面的两个数分别是，， 由题意得，， 解得， ∴，， 答：这三个数分别是，，． 题型七、几何问题(一元一次方程的应用) 19．（24-25七年级上·全国·课后作业）一个三角形的三条边长的比为，且最长边与最短边之和为，则这个三角形的周长是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，审清题意、设出未知数、列出方程是解题的关键． 设三角形三边长分别为，根据“最长边与最短边之和为36cm”列出方程求出x的值，进而确定三边的长，然后求三角形的周长即可． 【详解】解：设三角形三边长分别为， 依题意可得：，解得：， 所以三角形三边长分别为， ∴三角形的周长是：． 故选：B． 20．（25-26七年级上·云南昆明·期中）如图，将一个长为12，宽为4的长方形等比例缩小得到一个长为，宽为3的小长方形，则 ． 【答案】9 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的几何应用，根据将一个长为12，宽为4的长方形等比例缩小得到一个长为，宽为3的小长方形，进行列出方程，再解方程，即可作答． 【详解】解：依题意，将一个长为12，宽为4的长方形等比例缩小得到一个长为，宽为3的小长方形， ∴ ∴ ∴， 故答案为：9 21．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，一雕塑的底面呈正方形，在其左右两侧及后方种植宽度均为的草坪．若草坪总面积为，那么雕塑的底面边长是多少？（设雕塑的底面边长为，只列方程不解答） 【答案】 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，根据长方形的面积公式，结合草坪总面积为，列出方程即可． 【详解】解：设雕塑的底面边长为，由题意，得：． 故所列方程为． 题型八、动点问题（一元一次方程的应用） 22．（22-23七年级上·四川泸州·期中）数轴上一个动点A，先向右移动5个单位长度达到点B，再向左移动8个单位长度到达点C，若点C表示的数是，则点A表示的数是（    ） A． B． C．1 D．11 【答案】C 【知识点】动点问题（一元一次方程的应用）、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】设数轴上的动点A表示的数是，根据数轴上的点向左移动时，点表示的数减去移动的长度，向右移动时，点表示的数加上移动的长度，得到点表示的数是，点表示的数是，根据点表示数是，推出，解之即可． 【详解】解：设数轴上的动点A表示的数是， 由于右移动5个单位长度到点， ∴点表示的数是， 再向左移动8个单位长度到， ∴点表示的数是． ∵点表示数是， ∴，即， ∴点A表示的数是． 故选C． 【点睛】本题主要考查了数轴上的动点问题，解一元一次方程，解决问题的关键是熟练掌握数轴上的点表示的数“左减右加”． 23．（25-26七年级上·浙江嘉兴·期中）如图，在数轴上，点A，点B表示的数分别是，，点M以2个单位/秒的速度从点A出发沿数轴向点B运动，同时点N以4个单位/秒的速度从点B出发沿数轴在B，A之间往返运动（当，任意一点到达点B时，整个运动停止）．当运动时间是 秒时，，两点相距2个单位． 【答案】或或 【知识点】数轴上两点之间的距离、动点问题（一元一次方程的应用） 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，分三种情况，正确列出方程求解． 根据题意可得，之间的距离为，点到达点时，运动的时间为秒，点从到再到，运动的时间也为秒，设的运动时间为秒，分三种情况，当，相遇前，当，相遇后，当到达点返回后，分别列出方程，求解即可． 【详解】解：点A，点B表示的数分别是，，则之间的距离为， 由题意可得，点到达点时，运动的时间为秒，点从到再到，运动的时间也为秒， 设的运动时间为秒， 当，相遇前，，两点相距2个单位时， 由题意可得，，解得； 当，相遇后，，两点相距2个单位时， 由题意可得，，解得； 当到达点返回后，，两点相距2个单位时， 由题意可得，，解得； 综上，当运动时间是或或秒时，，两点相距2个单位． 故答案为：或或． 24．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图所示，在数轴上原点O，点A在原点的左侧，所表示的数是a，并且满足．点B在原点的右侧，所表示的数是16． (1)点A表示的数为______； (2)若点P从点A出发沿数轴向右运动，速度为每秒4个单位长度；点Q从点B出发沿数轴向左运动，速度为每秒2个单位长度．P、Q两点同时运动，设两点的运动时间为t秒，当t为何值时，P、Q两点到原点的距离相等． (3)在（2）的条件下，若点P运动到点B后，按照原路立即返回，返回的速度变为每秒3个单位长度，点P到达点A停止运动；点Q运动到点A后，立即以原路原速返回，到达点B停止运动．从P、Q开始运动，到点Q停止运动的过程中，当P、Q两点的距离为16个单位长度时，请直接写出符合条件的t的所有值． 【答案】(1) (2)2秒或6秒 (3)秒或秒或11秒或26秒 【知识点】数轴上两点之间的距离、动点问题（一元一次方程的应用） 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，两点间的距离，以及一元一次方程的应用，分类讨论是解答本题的关键． （1）求方程求出a的值即可； （2）先表示出P、Q两点表示的数，再根据P、Q两点到原点的距离相等列方程求解即可； （3）分4种情况，画出图形列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：点P运动到原点需秒，点Q运动到原点需秒 t秒后，点P表示的数为：，点Q表示的数为：， 当点P在原点左侧时，如图， ， 解得． 当点P在原点右侧时， ， 解得． 综上可知，当t为2秒或6秒时，P、Q两点到原点的距离相等． （3）解：点P：秒，秒，秒， 点Q：秒，秒， 当P，Q相遇前： ， 解得； 当P，Q第一次相遇后： ， 解得； 当P从点B返回到达点A前： ， 解得； 当P从点B返回到达点A后： ， 解得． 综上可知，当P、Q两点的距离为16个单位长度时， t的值为秒或秒或11秒或26秒． 题型九、和差倍分问题(一元一次方程的应用) 25．（22-23七年级上·全国·期中）课外活动中一些学生分组参加活动，原来每组8人，后来重新编组，每组12人，这样比原来减少2组．这些学生共有（   ） A．48人 B．56人 C．60人 D．72人 【答案】A 【知识点】和差倍分问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据等量关系列出一元一次方程解决本题的关键． 设学生总人数为人，根据原来和重新编组后的组数差为2组，建立方程求解即可． 【详解】解：设这些学生共有人， 原来每组8人，组数为， 后来每组12人，组数为， ∵重新编组后组数比原来减少2组， ∴， 整理可得，，解得， ∴这些学生共有48人． 故选：A ． 26．（25-26七年级上·重庆·期中）某市对市区主干道进行绿化，现有甲、乙两个施工队，甲队有5名工人，乙队有15人，若从乙队借调名工人到甲队，则甲队人数与乙队人数刚好相等，根据题意可列出方程为 ． 【答案】 【知识点】和差倍分问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查根据实际问题列方程，根据借调后甲队和乙队人数相等列出方程即可． 【详解】从乙队借调x名工人到甲队后，甲队人数变为人，乙队人数变为人．由题意，借调后甲队人数与乙队人数相等，故得方程． 故答案为：． 27．（25-26七年级上·全国·课后作业）草莓熟了，学校组织同学们参加劳动实践，帮助果农采摘草莓．小康和小悦采摘的时长相同，采摘结束后，小康采摘的草莓比小悦多．已知小康平均每小时采摘，小悦平均每小时采摘，那么两人采摘的时长是多少小时？ 【答案】两人采摘了1.2小时 【知识点】和差倍分问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程；设两人采摘了x小时，根据小康采摘的草莓比小悦多列方程即可． 【详解】解：设两人采摘了x小时， 依题意：， 解得， 答：两人采摘了小时． 题型十、电费和水费问题(一元一次方程的应用) 28．（24-25七年级上·全国·期末）某市对居民用水实行“阶梯收费”：规定每户每月不超过月用水标准量的水价为元/吨，超过月用水标准量部分的水价为元/吨．该市小明家月份用水吨，交水费元，则该市每户的月用水标准量为（    ） A．吨 B．吨 C．吨 D．吨 【答案】C 【知识点】电费和水费问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，属于基础题，解题关键是判断出x的范围，根据等量关系∶不超过标准量的部分的水费超过标准量的部分的水费元列出方程求解即可得出答案． 【详解】解：设该市每户的月用水标准量为x吨， ∵（元），， ∴． 根据题意得：， 解得：． 故选C． 29．（24-25七年级上·山东临沂·阶段练习）某市为提倡节约用水，采取分段收费．若每户每月用水不超过，每立方米收费元；若用水超过，超过部分每立方米加收3元．小明家月份交水费64元，则他家该月用水 ． 【答案】28 【知识点】电费和水费问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．根据题目中的数量关系，设小明家该月用水，列方程求解即可． 【详解】解：∵用水不超过，每立方米收费3元， ∴用水在时的费用为（元）， ∵， ∴小明家该有的用水超过，设小明家该有用水， ∴， 解得，， ∴小明家该月用水． 故答案为：28． 30．（25-26七年级上·河南郑州·月考）为了鼓励节约用电，某市电力公司规定了以下的电费计算方法：每月的用电不超过100千瓦时，按每千瓦时0.52元收费；每月用电超过100千瓦时，超过的部分按每千瓦时0.6元收费．小明家十月份的电费是64.6元，用电多少千瓦时？ 【答案】用电121千瓦时 【知识点】电费和水费问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了列一元一次方程解应用题，用电100千瓦时，应该付电费元，付电费64.6元，超过52元，说明用电超过了100千瓦时；设用电x千瓦时，不超过100千瓦时部分，电费为52元，超过100千瓦时部分电费为元；根据题意，列方程：，解答即可． 【详解】解：用电100千瓦时，应该付电费元， 付电费64.6元，超过52元，说明用电超过了100千瓦时， 设小明家用电x千瓦时，由于小明家用电超过了100千瓦时，超过100千瓦时部分电费为元；根据题意，列方程为：， 解得：， 答：用电121千瓦时． 题型十一、行程问题(一元一次方程的应用) 31．（2023七年级上·四川成都·专题练习）一列火车长 160 米，每秒行 20 米，全车通过 440 米的大桥，需要（    ）秒． A．8 B．22 C．30 D．无法确定 【答案】C 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设需要x秒，利用路程=速度×时间，结合路程为火车与大桥的长度之和，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设需要x秒， 根据题意得：， 解得：， ∴需要30秒． 故选：C． 32．（25-26七年级上·福建厦门·期中）一列慢车和一列快车分别从、两站相对开出，快车和慢车速度的比是5：4，慢车先从站开出27千米，快车才从站开出．相遇时快车和站的距离比慢车和站的距离多32千米，、两站相距 千米． 【答案】 558 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】此题考查一元一次方程的应用，设快车速度为，慢车速度为，快车出发后到相遇的时间为t小时，根据相遇时快车和B站的距离与慢车和A站的距离的关系列方程，求出，再计算总距离 【详解】解：设快车速度为，慢车速度为，快车出发后到相遇的时间为t小时， 相遇时，快车行驶距离为，慢车行驶总距离为， 由题意，， 化简得，解得， A、B两站距离为慢车行驶总距离与快车行驶距离之和，即， 故答案为：558 33．（2024七年级上·全国·专题练习）如下图，现有两条乡村公路和长长1600m．一个人骑摩托车从处以的速度沿公路匀速向处行驶；另一个人骑自行车从处以的速度沿公路匀速向处行驶，并且两人同时出发． (1)经过多少分钟摩托车追上自行车？ (2)两人均在行驶途中时，经过多少分钟在行进路线上相距150m？ 【答案】(1)经过4min摩托车追上自行车． (2)两人均在行驶途中时，经过3.5min或4.5min在行进路线上相距150m． 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】（1）摩托车从出发需先经过段才能到达点，之后进入段追赶自行车，据此设方程求解； （2）需分阶段分析两者的运动情况，计算追击时间及相距特定距离的时间点． 【详解】（1）解：设经过摩托车追上自行车， 由题意，得， 解得， 由于，故符合题意． 答：经过min摩托车追上自行车． （2）解：设经过两人在行进路线上相距m． 分两种情况讨论： ①当摩托车还差m追上自行车时， ， 解得； ②当摩托车超过自行车m时， ， 解得． 由于，故符合题意． 答：两人均在行驶途中时，经过min或min在行进路线上相距m． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用（行程问题），解题关键是根据路程关系建立方程，注意相距问题要分情况讨论． 题型十二、比例分配(一元一次方程的应用) 34．（23-24七年级上·四川达州·期末）在一次美化校园活动中，先安排34人去拔草，18人去植树，后又增派20人去支援他们，结果拔草的人数是植树人数的2倍，问支援拔草和支援植树的分别有多少人？若设支援拔草的有x人，则下列方程中正确的是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】比例分配(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，首先理解题意找出题中存在的等量关系：原来拔草的人数支援拔草的人数(原来植树的人数支援植树的人数)，根据此等式列方程即可． 【详解】解：设支援拔草的有人，则支援植树的为人，现在拔草的总人数为人，植树的总人数为人． 根据等量关系列方程得，． 故选：B． 35．（24-25七年级上·广东深圳·期末）用一根米长的绳子围出一个长方形，使它的长是宽的倍，长方形的长和宽各应是多少米？在这个问题中，如果设长方形的宽为米，根据题意，可列出方程 ． 【答案】 【知识点】比例分配(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程． 根据长方形的宽为米，长是宽的倍，可以用含的代数式表示出长，然后根据长方形的周长（长宽），可以列出相应的方程． 【详解】解：∵长方形的宽为米，长是宽的倍， ∴长为米， ∵用一根米长的绳子围出一个长方形， ， 故答案为： 36．（25-26七年级上·全国·课后作业）甲、乙两人按的投资比例开办了一家公司，约定除去各项支出外，所得利润按投资比例分成，若第一年盈利14000元，则甲、乙两人分别应得利润多少元？ 【答案】甲、乙可获得利润分别是4000元、10000元 【知识点】比例分配(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设甲、乙可获得利润分别是元、元，根据“第一年盈利14000元”列出一元一次方程，计算即可得解，理解题意，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解此题的关键． 【详解】解：设甲、乙可获得利润分别是元、元， ， 解得． （元），（元） 答：甲、乙可获得利润分别是4000元、10000元． 题型十三、日历问题(一元一次方程的应用) 37．（25-26七年级上·天津河北·期中）如图是某月的月历，用形如“十”字型框任意框出5个数，这5个数的和不可能是（   ） A．125 B．110 C．75 D．60 【答案】A 【知识点】日历问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设框出的最中间的数为，则其它几个数分别为，可求出这五个数的和，再令这五个数的和分别为四个选项中的数，解方程求出的值，看是否满足日历的特点即可得到答案． 【详解】解：设框出的最中间的数为，则其它几个数分别为， ∴这五个数的和为， 当，解得，而25不能作为最中间的数，故A符合题意； 当，解得，而22能作为最中间的数，故B不符合题意； 当，解得，而15能作为最中间的数，故C不符合题意； 当，解得，而12能作为最中间的数，故D不符合题意； 故选：A． 38．（25-26七年级上·广东佛山·期中）如图是2025年元月的日历，用图1中的“工”型图案盖住图2中的7个数，若“工”型图案盖住的7个数的和为154，则“工”型图案最中间的数为 ． 【答案】22 【知识点】日历问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设“工”型图案最中间的数为x，则另外几个数为， ， ， ， ，，根据“工”型图案盖住的7个数的和为154，列方程求解即可． 【详解】解：设“工”型图案最中间的数为x，则另外几个数为， ， ， ， ，， 根据题意，得， 即， 解得， 故答案为：22． 39．（24-25七年级上·甘肃平凉·期末）生活中常见的月历中存在许多奥秘，你想知道吗？如图，这是2025年1月的月历． 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 (1)它的横行、竖列上的相邻两数之间分别有什么关系？ (2)如果一竖列上连续三个数的和为48，你能知道这三个数分别是多少吗？ (3)如果用一个正方形圈出四个数，这四个数的和能等于60吗？若能，请求出圈出的四个数分别是多少；若不能，请说明理由． 【答案】(1)横行上的相邻两数之间的关系为：后一个数与前一个数的差为，竖列上的相邻两数之间的关系为：下一列的数与上一列的数的差是； (2)这三个数分别是、、 (3)不能，理由见详解 【知识点】日历问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找出日历中的规律是解题的关键． （1）观察日历即可求解； （2）设中间的数为，则有，即可求解； （3）设最左上角的数为，则有，即可求解． 【详解】（1）解：横行上的相邻两数之间的关系为：后一个数与前一个数的差为， 竖列上的相邻两数之间的关系为：下面一行的数与上面一行的数的差是； （2）解：设中间的数为，则有 ， 解得， 所以， ， 故这三个数分别是、、； （3）解：不能； 理由如下： 设最左上角的数为，则有 ， 解得， 所以，，， 所以四个数分别是、、、， 由日历得与不在同一列，与不在同一列， 故不能用一个正方形圈出四个数，这四个数的和不能等于60． 题型十四、古代问题(一元一次方程的应用) 40．（25-26七年级上·全国·单元测试）《孙子算经》中记载：今有三人共车，二车空：二人共车，九人步，问人与车各几何？该题意思是：今有若干人乘车，每3人乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？若设有辆车，则可列方程（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】古代问题(一元一次方程的应用) 【分析】题目主要考查一元一次方程的应用，理解题意，根据总人数不变，分别用x表示两种乘车方式下的人数，建立方程即可． 【详解】解：每3人乘一车，剩余2辆车， ∴总人数为 ； 每2人共乘一车，剩余9人无车， ∴人数为 ； ∴， 故选B． 41．（25-26七年级上·湖北武汉·期中）《九章算术》中有个问题：“今有人共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人与钱各几何?”意思是：“有若干人共同出钱买鸡，若每人出钱，则多了钱；若每人出钱，则少了钱．问：人和钱的数量各是多少？”如果设有x个人共同出钱买鸡，则可列一元一次方程 ． 【答案】 【知识点】古代问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，弄清题意，找准等量关系列出方程是解题的关键．设人数为，每人出钱时多钱，即鸡的总钱数为；每人出钱时少了钱，即鸡的总钱数为，根据鸡的总钱数固定，列方程即可． 【详解】解：设有个人共同出钱买鸡， ∵每人出9钱时，多出11钱， ∴鸡的总钱数为， ∵每人出钱时少钱， ∴鸡的总钱数为， ∵总钱数不变， ∴可得方程． 故答案为： 42．（25-26七年级上·北京西城·期中）《九章算术》中记载有一道关于“盈不足术”的经典问题，其原文表述如下：“今有共买鸡，人出九，盈一十一；人出六，不足十六．问：人数、鸡价各几何？”译文为：有若干人一起买一只鸡，若每人出9钱，则多出11钱；若每人出6钱，则还差16钱．求买鸡的人数、一只鸡的价格各是多少？ 【答案】买鸡的人数为9人，一只鸡的价格为70钱 【知识点】古代问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了列一元一次方程解决实际问题，解题的关键是找出等量关系，列出方程求解． 设买鸡的人数为人，根据两种购买方式，列出方程求解即可． 【详解】解：设买鸡的人数为人，根据题意得， ， 解得， ， ∴买鸡的人数为9人，一只鸡的价格为70钱． 题型十五、其他问题(一元一次方程的应用) 43．（25-26七年级上·广东广州·期中）已知甲种铅笔每支1.4元，乙种铅笔每支1.8元，用23元钱买这两种铅笔，一共买了15支，设买了支甲种铅笔，则可列关于的方程为 ．（不用化简） 【答案】 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设甲种铅笔买了支，则乙种铅笔买了支；根据总花费为23元，甲种铅笔花费为元，乙种铅笔花费为 元，列方程即可． 【详解】解：根据题意，得 ， 故答案为：． 44．（25-26七年级上·重庆·期中）植树节这天，七年级170名学生志愿者参加植树活动，假设一名男生一天能挖树坑3个，一名女生一天能种树7棵，且男生只挖树坑，女生只种树．要求每个树坑种一棵树，那么该年级参加植树的男生，女生各有多少名？ 【答案】男生119名，女生51名 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，设男生有名，则女生有名，根据男生挖的坑数等于女生种的树的数量，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设男生有名，则女生有名，由题意，得： ， 解得， ， 答：男生119名，女生51名． 强化训练 一、单选题 1．一项工程，甲单独做需10天完成，乙单独做需6天完成．现由甲先做2天，乙再加入合做，完成这项工程共需多少天？若设完成这项工程共需x天，依题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的应用（工程问题），读懂题意，依据题中的数量关系正确列出方程是解题的关键． 根据工作总量等于各劳动分量之和，列出方程即可． 【详解】解：设完成这项工程共需x天， 依据题意，得： ， 故选：C． 2．一艘轮船从甲码头到乙码头顺流航行，用了；从乙码头返回甲码头逆流航行用了．已知水流的速度是，设轮船在静水中的平均速度为，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据顺流和逆流时路程相等建立方程．顺流速度为静水速度加水流速度，逆流速度为静水速度减水流速度，利用时间与速度的乘积表示路程． 【详解】设轮船在静水中的平均速度为，则顺流航行的速度为，逆流航行的速度为． 顺流航行2小时的路程为，逆流航行2.5小时的路程为． 由于往返路程相等，可得方程： 故选A． 3．某次篮球积分赛，每队均比赛14场，胜一场记2分，平一场记1分，负一场记0分．某中学篮球队的胜场数是负场数的3倍，这个足球队在这次积分赛中积分可能为（    ） A．12 B．17 C．20 D．22 【答案】C 【分析】设所负场数为x场，则胜3x场，平(14 - 4x)场，积分=负的场数的得分+胜的场数的得分+平的场数的得分，依此求解即可． 【详解】设所负场数为x场，则胜3x场，平(14 - 4x)场, 依题意得，积分= 0×x +2×3x+ 14 - 4x = 14+2x， 当14 + 2x= 12时， x=-2，不符合题意； 当14 + 2x= 17时，x= 1.5，不符合题意； 当14 + 2x= 20时， x= 3，符合题意； 当14 + 2x= 22时，x= 4，3x= 12，12 +4>14,不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据已知表示出胜、负、平所得总分是解题关键． 4．《九章算术》中记载：“今有人共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数、鸡价各几何？”译文：“假设有几个人共同出钱买鸡，如果每人出九钱，那么多了十一钱；如果每人出六钱，那么少了十六钱。问：有几个人共同出钱买鸡？鸡的价钱是多少？”设鸡的价钱为 x 钱，根据题意列一元一次方程， 正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查考查由实际问题抽象出一元一次方程，根据买鸡的人数不变，即可得出关于x的一元一次方程． 【详解】解：设鸡的价钱为 x 钱，可得：， 故选：D． 5．王海的爸爸想用一笔钱买年利率为的5年期国库券，如果他想5年后本息和为2万元，那么现在应买这种国库券多少元？如果设现在应买这种国库券x元，那么可以列出方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程应用——利息问题，解题的关键是关键是理解利率，本息和的含义．首先理解题意找出题中存在的等量关系：五年的本利和元，根据本利和公式：本金×（1+利率×时间），可得到5年国库券的本利和，根据等量关系列方程即可． 【详解】解：设应买这种国库券x元，则x元的国库券一年后利息是，则5年就是， 根据等量关系列方程得：， 即． 故选：A． 6．如图，甲､乙两动点分别从正方形ABCD的顶点A，C同时沿正方形的边开始移动，甲按顺时针方向环形，乙按逆时针方向环行，若乙的速度是甲的3倍，那么它们第一次相遇在AD边上，请问它们第2019次相遇在哪条边上?（    ） A．AD B．DC C．BC D．AB 【答案】C 【分析】设出正方形的边长，甲的速度是乙的速度的3倍，求得每一次相遇的地点，第二次相遇地点，第三次相遇地点，第四册相遇地点，找出规律，发现四次一循环即可解答． 【详解】解：设正方形的边长为a，因为乙的速度是甲的速度的3倍，时间相同，甲乙所行的路程比为，把正方形的每一条边平均分成2份，由题意知： ①第一次相遇甲乙行的路程和为2a，乙行的路程为，甲行的路程为，在AD边的中点相遇； ②第二次相遇甲乙行的路程和为4a，乙行的路程为，甲行的路程为，在CD边的中点相遇； ③第三次相遇甲乙行的路程和为4a，乙行的路程为，甲行的路程为，在BC边的中点相遇； ④第四次相遇甲乙行的路程和为4a，乙行的路程为，甲行的路程为，在AB边的中点相遇； ⑤第五次相遇甲乙行的路程和为4a，乙行的路程为，甲行的路程为，在AD边的中点相遇； …… 四次一个循环，因为，所以它们第2019次相遇在边BC中点上． 故选择C． 【点睛】本题主要考查图形行程中的相遇问题应用题及按比例分配的运用，难度较大，注意先通过计算发现规律然后再解决问题． 二、填空题 7．在日历上，小明发现他的生日的那天上、下、左、右四个日期的和为，则小明的生日是 日． 【答案】10 【分析】本题考查了数字规律，一元一次方程的运用，理解日历中数字之间的关系，整齐列出一元一次方程是解题的关键． 设小明的生日是，则上面的数是，下面的数是，左边的数是，右边的数是，根据题意列式计算即可． 【详解】解：设小明的生日是，则上面的数是，下面的数是，左边的数是，右边的数是， ∴， ∴， ∴小明的生日是10日， 故答案为：10 ． 8．根据深圳市出租车最新收费标准：起步价不超过2千米计费10元；若超过2千米，则超过2千米的部分按元/千米讨费（不满1千米按1千米计算）．小明在一次放学乘出租车回家的行程中付费元，设出租车行驶的里程为千米，则的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，先判断出里程超过2千米，当x恰好为正整数时，可列方程，解方程求出x的值，再根据不满1千米按1千米计算即可得到答案． 【详解】解：∵不超过2千米计费10元，而明在一次放学乘出租车回家的行程中付费元， ∴这次的里程超过2千米， 若x恰好为正整数时， 由题意得，， 解得， ∵不满1千米按1千米计算， ∴， 故答案为：． 9．今年9月10日赶上了本世纪第一个“教师节”和“中秋节”喜相逢．为迎接“双节”的到来，某便利店购进桃片、米花糖、麻花三种特产进行销售．其中每包桃片的成本是麻花的2倍，销售每包桃片、米花糖、麻花的利润率分别是20%、30%、20%．该便利店9月10日当天销售桃片、米花糖、麻花三种特产的数量之比为3：5：4，三种特产的总利润率是25%，若每包米花糖的成本是m元，则每包麻花的成本为 元． 【答案】 【分析】设麻花的成本为，则桃片的成本为，再设此次桃片、米花糖、麻花三种特产的销售数量分别为：包，包，包，且，再根据利润率等于利润除以成本，总利润率等于总利润除以总成本，列出等式，化简即可求解． 【详解】设麻花的成本为，则桃片的成本为，再设此次桃片、米花糖、麻花三种特产的销售数量分别为：包，包，包，且，将、看成是常量，列出一元一次方程， 即根据题意有：， 化简得：， 即， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是掌握利润率等于利润除以成本乘以百分之百，总利润率等于总利润除以总成本乘以百分之百． 10．某地居民每月用水收费标准如图：李阿姨家11月份用水5立方米，交水费16元．若李阿姨12月份交水费39.6元，则李阿姨12月份的用水量是 立方米 用水量/立方米 单价/元 a 超过10的部分 【答案】12 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确理解题中的数量关系是解答本题的关键．根据李阿姨家11月份用水5立方米，交水费11元，可知，根据李阿姨12月份交水费38.8元，可知李阿姨12月份用水量大于10立方米，设李阿姨家12月份用水量为立方米，列出方程并求解，即可得到答案． 【详解】解：因为李阿姨家11月份用水5立方米，交水费16元， 所以， 解得， ∴李阿姨家12月份用水量大于10立方米， 设李阿姨家12月份用水量为立方米， 则， 解得， 所以李阿姨家12月份用水量是12立方米． 故答案为：12． 11．我校学生会正在策划一次儿童福利院的慰问活动．为了筹集到元活动资金，学生会计划定制一批穿校服的毛绒小熊和带有校徽图案的钥匙扣，表格中有这两种商品的进价和售价．另外，若将一个小熊和一个钥匙扣组成一份套装出售，则将售价打九折．为了更好的制定进货方案，学生会利用抽样调查的方式统计了校内学生对商品购买意向的百分比情况见表格，若按照这个百分比情况定制商品，至少定制小熊 个和钥匙扣 个，才能筹集到元资金即获得元利润． 小熊 钥匙扣 套装 进价 售价 购买意向 【答案】 【分析】设定制小熊、钥匙扣以及套装共件，根据小熊的利润，钥匙扣的利润与套装的利润和等于总利润元，列出方程，进行计算即可解答． 【详解】解：设定制小熊、钥匙扣以及套装共件，由题意得： ， 解得：， 单独买小熊：个， 单独买钥匙扣：个， 买套装：套， 至少定制小熊：个，定制钥匙扣：个， 至少定制小熊个，定制钥匙扣个． 故答案为：；． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，熟练掌握有关利润问题的等量关系是解题的关键． 12．如图，数轴上线段，点在数轴上表示的数是－10，点在数轴上表示的数是16，若线段以6个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段以2个单位长度/秒的速度向左匀速运动．当点运动到线段上时，是线段上一点，且有关系式成立，则线段的长为 ． 【答案】5或3.5 【分析】随着点B的运动，分别讨论当点B和点C重合、点C在点A和B之间及点A与点C重合时的情况． 【详解】解：设运动时间为t秒， ①当t=3时，点B和点C重合，点P在线段AB上，0＜PC≤2，且BD=CD=4，AP+3PC=AB+2PC=2+2PC， ∵， ∴BD=AP+3PC，即4=2+2PC， ∴PC=1， ∴PD=PC+BD=5； ②当3＜t＜时，点C在点A和点B之间，0＜PC＜2， 当点P在线段AC上时，BD=CD-BC=4-BC，AP+3PC=AC+2PC=AB-BC+2PC=2-BC+2PC， ∵， ∴BD=AP+3PC，即4-BC =2-BC +2PC， ∴PC=1， ∴PD=PC+CD=5； 当点P在线段BC上时，BD=CD-BC=4-BC，AP+3PC=AC+4PC=AB-BC+4PC=2-BC+4PC， ∵， ∴BD=AP+3PC，即4-BC =2-BC +4PC， ∴PC=， ∴PD=CD-PC=4-=3.5； ③当t=时，点A与点C重合，0＜PC≤2，BD=CD-AB=2，AP+3PC=4PC， ∵， ∴BD=AP+3PC，即2 =4PC， ∴PC=， ∴PD=CD-PC=4-=3.5； ④当＜t＜时，0＜PC≤6，BD=CD-BC=4-BC，AP+3PC=AB-BC+4PC=2-BC+4PC， ∵， ∴BD=AP+3PC，即2 =4PC， ∴PC=， ∴PD=CD-PC=4-=3.5； 综上，线段的长为5或3.5， 故答案为：5或3.5 【点睛】本题考查了两点间的距离，数轴上的动点问题，并综合了数轴、一元一次方程和线段长短的比较，难度较大，注意进行分情况讨论，不要漏解． 三、解答题 13．某生产线共有60名工人，每名工人每天可生产14个电压表或20个电流表，1套物理电学实验器材包中要配有1个电压表和2个电流表，要使该生产线每天生产的电压表和电流表恰好能配套装入物理电学实验器材包，应分配多少名工人生产电压表？ 【答案】应分配25名工人生产电压表 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键．设应分配x名工人生产电压表．根据题意列出方程，解出的值即可解答． 【详解】解：设应分配x名工人生产电压表， 根据题意，得， 解得：． 答：应分配25名工人生产电压表． 14．列方程解应用题 商场准备将某商品打折出售，如果按原价的折出售，每件将亏损元；如果按原价的折出售，每件将盈利元，求该商品每件的原价是多少． 【答案】答：该商品每件的原价是元． 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是掌握一元一次方程的应用，根据题意，设该商品每件的原价是元，则，解出方程，即可． 【详解】解：设该商品每件的原价是元， ∴， 解得：， 答：该商品每件的原价是元． 15．在“践行垃圾分类，助力双碳目标”主题班会结束后，刘华和小燕子一起收集了一些废电池，刘华说：“我比你多收集了7 节废电池．”小燕子说：“如果你给我8 节废电池，那么我的废电池节数就是你的2倍．”如果他们说的都是真的，那么刘华和小燕子分别收集了多少节废电池？ 【答案】刘华和小燕子分别收集了节和节废电池 【分析】本题考查一元一次方程的应用问题，设刘华收集节废电池，掌握根据题意列方程是解题的关键． 【详解】解：设刘华收集节废电池，列方程得： ， 解得：， ∴小燕子收集废电池为节， 答：刘华和小燕子分别收集了节和节废电池． 16．在一次知识竞赛中，某班有50位同学参加比赛，每位同学都需要完成三道题，竞赛规则为：“答对一题得10分，不答或者答错扣10分．” (1)请直接写出每位同学所有可能的得分情况； (2)该班的答题情况为：有2位同学全部答错，全对的人数是答对1题人数的3倍少6人，答对两题的人数是答对1题人数的2倍，求该班全部答对的人数． 【答案】(1)每位同学所有可能的得分情况是分、分、10分和30分 (2)该班全部答对的人数是21人 【分析】（1）根据竞赛的得分规则进行计算即可得到答案； （2）设该班答对1题的有人，根据题意列出方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意得： 若只答对1题，则不答或答错2题，得分为， 若只答对2题，则不答或答错1题，得分为， 若答对3题，得分为， 若不答或答错3题，得分为， 答：每位同学所有可能的得分情况是分、分、10分和30分； （2）解：设该班答对1题的有人， 由题意得：， 解得， （人）， 答：该班全部答对的人数是21人． 【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算的应用、一元一次方程的应用，理解题意，正确列出一元一次方程是解题的关键． 17．又到了春暖花开的时节，淮安外国语学校一年一度的“踏青节”即将拉开帷幕．“烟花三月下扬州”，美丽的瘦西湖成了同学们的首选目标．国家旅游胜地“五星级”风景区瘦西湖的团体参观门票价格规定如下表： 购票人数（人） 1～50 51～100 101～150 150以上 参观门票价格（元/人） 50 45 40 35 去年我校七（1）、（2）两班共103人（其中（1）班人数多于（2）班人数）去参观瘦西湖，如果两班都以班级为单位分别购票，则一共需付4860元． (1)你认为有没有最节约的购票方法？如果有，可以节约多少元钱？ (2)你能确定两班各有多少名学生吗？ (3)如果本校初一（3）班共45人也一同前去参观，那又如何购票最合理呢？共需多少元钱？ 【答案】(1)有，可以节约740元钱 (2)1班有58人，2班有45人 (3)购买151张，总票价为5285元 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是找准确等量关系，要注意考虑全面，购票最省钱的办法就是团体购票． （1）最节约的办法就是团体购票，节省的钱团体票价； （2）分有两种情况：若1班和2班人数都在51～100之间；若1班人数是51～100，2班人数是1～50；分别计算，即可求解； （3）先计算出148人的团体票价，再计算出151人的团体票价，即可求解． 【详解】（1）解：有．可以节约（元）． （2）解：设1班有x人，则2班有人，根据题意，有两种情况： 若1班和2班人数都在51～100之间， （不符合题意，舍去）； 若1班人数是51～100，2班是1～50， ， 解得：， 则， 答：1班有58人，2班有45人； （3）解：若3班也去，则三个班团体购票最合理，三个班的总人数有148人，总票价元． 若买151张票，总票价为元， ∵， ∴最合理的方法是购买151张，总票价为5285元． 18．已知数轴上三点A，O，B表示的数分别为8，0，， (1)动点P从A出发，以每秒6个单位的速度沿数轴向左匀速运动．另一动点R从B出发，以每秒4个单位的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、R同时出发，点P运动________秒追上点R，此时点P在数轴上表示的数是________． (2)若点M以每秒4个单位的速度从A点出发，点N以每秒3个单位的速度运动从B点出发，设点M、N同时出发，运动时间为t秒，试探究：经过多少秒时，点M、N两点间的距离为5个单位？ 【答案】(1)6，28； (2)M，N都向左运动，经过7秒或17秒时，点M、N两点间的距离为5个单位，M向左运动，N向右运动，经过1秒或秒时，点M、N两点间的距离为5个单位． 【分析】（1）用含t的代数式表示P，R运动后表示的数，列方程可得答案； （2）由M，N运动方向不同，分两种情况列方程，即可解得答案． 【详解】（1）解：设点P、R运动时间是t秒，则运动后P表示的数是8-6t，R运动后表示的数是-4-4t， 根据题意得：8-6t=-4-4t， 解得t=6， ∴点P运动6秒追上点R，此时点P在数轴上表示的数是8-6×6=-28， 故答案为：6，28； （2）解：①M，N都向左运动，M表示的数是8-4t，N表示的数是-4-3t， ∴（8-4t）-（-4-3t）=5或（-4-3t）-（8-4t）=5， 解得t=7或t=17； ②M向左运动，N向右运动，M表示的数是8-4t，N表示的数是-4+3t， ∴（8-4t）-（-4+3t）=5或（-4+3t）-（8-4t）=5， 解得t=1或t=， 综上所述，M，N都向左运动，经过7秒或17秒时，点M、N两点间的距离为5个单位，M向左运动，N向右运动，经过1秒或秒时，点M、N两点间的距离为5个单位． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是能用含t的代数式表示点运动后表示的数． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12讲 实际问题与一元一次方程（知识点+题型+强化训练） 目录 知识梳理 1.配套问题 2.工程问题 3.销售问题 4.积分问题 5.方案选择问题 题型巩固 一、配套问题(一元一次方程的应用) 二、工程问题(一元一次方程的应用) 三、销售盈亏(一元一次方程的应用) 四、比赛积分(一元一次方程的应用) 五、方案选择(一元一次方程的应用) 六、数字问题(一元一次方程的应用) 七、几何问题(一元一次方程的应用) 八、动点问题（一元一次方程的应用） 九、和差倍分问题(一元一次方程的应用) 十、电费和水费问题 十一、行程问题(一元一次方程的应用) 十二、比例分配(一元一次方程的应用) 十三、日历问题(一元一次方程的应用) 十四、古代问题(一元一次方程的应用) 十五、其他问题(一元一次方程的应用) 强化训练 单选题（6） 填空题（6） 解答题（6） 知识梳理 知识点1.配套问题 1. 在配套问题中，配套的物品之间都具有一定的数量关系，这个数量关系可以作为列方程的依据.•••••• •••••• 2. 生产配套问题中的基本数量关系 若m 件甲产品与n 件乙产品配套，则有甲产品的数量∶乙产品的数量=m:n，转化为乘积形式为甲产品的数量×n= 乙产品的数量×m.外项之积= 内项之积 3. 调配问题中的基本相等关系 调配问题一般把调配的结果作为相等关系列方程，需要注意的是，如果在两个量之间调配，那么这两个量都要发生变化，如：甲量增加的同时，乙量减少相同数量. 4. 列一元一次方程解决实际问题的图示 知识点2.工程问题 1. 基本关系式： 工作量= 工作效率×工作时间， 工作时间= ，工作效率=. 2. 工程问题中的基本数量关系： 方法与行程问题相类似，一般有如下规律：在工作量、工作效率、工作时间这三个量中，如果一个量已知，那么就设另一个量，从第三个量找相等关系列方程.常用单位“1”表示工作总量，并用“”表示工作效率 知识点3.销售问题 1. 在现实生活中，购买商品和销售商品时，经常遇到的几个量有： 进价、标价、售价、折扣、利润、利润率. 2. 相关的相等关系 (1)售价= 标价×；(2)利润= 售价－ 进价； (3)利润= 进价×利润率；(4)利润率=×100 % . 知识点4.积分问题 在比赛积分问题中，基本相等关系有: 参赛场数= 胜场数＋ 负场数＋ 平场数；比赛总积分= 胜场积分＋ 负场积分＋ 平场积分. 特别解读： (1)比赛中的积分与胜负场数有关，同时也与比赛积分规则有关，需先弄清“胜一场积几分，平一场积几分，负一场积几分”. (2)在积分规则中，一般规律为：胜场积分> 平场积分>负场积分，据此可粗略判断解题的结果是否正确. 知识点5.方案选择问题 在现实生活中，做一件事往往有多种方案可供选择，如何选择对我们最有利的方案呢？这就需要我们利用所学的知识，通过列方程、计算和比较，来选择最优方案. 题型巩固 题型一、配套问题(一元一次方程的应用) 1．（25-26七年级上·全国·课后作业）学校需要定制一批3条腿的桌子．已知某工厂有24名工人，每人每天可以生产20块桌面或300条桌腿．为使每天生产的桌面和桌腿刚好配套，则生产桌面的工人应安排（   ） A．18名 B．21名 C．20名 D．16名 2．（25-26七年级上·全国·课后作业）有一个加工茶杯的车间，一名工人每小时平均可以加工杯身12个或者加工杯盖15个，车间共有90人．安排加工杯身的人数为多少时，才能使生产的杯身和杯盖正好配套？设安排加工杯身的人数为，则可列方程为 ，解得 ． 3．（24-25七年级上·河南焦作·期中）某车间有名工人，生产一种螺栓和螺帽，平均每人每小时生产螺栓个或螺帽个，个螺栓要配个螺帽，应安排多少名工人生产螺栓，多少名工人生产螺帽，才能使生产的螺栓和螺帽刚好配套？ 题型二、工程问题(一元一次方程的应用) 4．（25-26七年级上·全国·期末）湘绣是中国优秀的民族传统工艺之一，湖南某文创街区上分布了很多湘绣手工店．某湘绣手工店接了一个订单，预计甲店员单独做天可完成，乙店员单独做天可完成．现甲先做天后，顾客临时加急，店长安排乙加入合作，则完成这个订单共需要（   ） A．天 B．天 C．天 D．天 5．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）一件工程，甲单独做需12天完成，乙单独做需8天完成，现先由甲、乙合作2天后，乙有其他任务，剩下的工程由甲单独完成，则甲还需要 天才能完成该工程． 6．（24-25七年级上·河南焦作·期中）整理一批图书，由一个人做要完成，现计划由人先做，然后增加一些人与他们一起做，完成这项工作，假设这些人的工作效率相同，具体应增加多少人？ 题型三、销售盈亏(一元一次方程的应用) 7．（24-25七年级上·甘肃张掖·期末）某商人一次卖出两件衣服，一件赚了，一件亏了，售价都是元，在这次生意中，该商人（  ） A．不赚不赔 B．赚了元 C．亏了元 D．亏了元 8．（23-24七年级上·全国·期末）某商店将一种商品打九折出售，则该商品的利润率为．若这种商品的进价为1800元件，则这种商品的原价是 元件． 9．（25-26七年级上·广东广州·月考）国庆期间，某商场专柜进行优惠大酬宾活动，所有商品一律按照的利润定价，然后又打九折出售．（成本价利润率利润，成本价利润定价，售价成本价利润） (1)商品A成本价是120元，商品A最后售价多少元？ (2)商品B卖出后，赚了68元，商品B的成本价是多少元？ 题型四、比赛积分(一元一次方程的应用) 10．（24-25七年级上·全国·课后作业）某次知识竞赛由40道选择题组成，答对一道得5分，答错一道扣3分，全部做完后（不能漏答）才可以提交试题，小明提交试题后显示得分为152分，设小明答对了道题，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 11．（25-26七年级上·四川成都·月考）金牛区举办了“金教杯”校园足球超级联赛：比赛规则如下：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得分．某校园足球队进行了9场比赛，其中负2场，共得13分，那么该足球队共胜了 场． 12．（24-25七年级上·全国·课后作业）小刚在一次比赛中，22投14中，得28分，罚球每次得1分，除了3个3分球全中外，他还投中了几个2分球，几个罚球？ 题型五、方案选择(一元一次方程的应用) 13．（2024七年级上·全国·专题练习）某班到文具店采购作业本，经询问得知作业本的定价为每本元，通过协商，文具店提供了两种购买方式，并要求只能从中选择一种．方式一：每本优惠售价为元；方式二：购买数量不多于本时按定价销售，超过本，则超过部分按定价的八折销售．设该班购买作业本的数量为（）．当方案一和方案二所需的费用一样多时，购买作业本的数量为（    ） A． B． C． D． 14．（25-26七年级上·湖北黄冈·期中）在今年的双“十一”商品促销活动中，黄州万达超市为吸引顾客购物，推出如下优惠方案： （1）购物款不超过500元，不享受优惠； （2）购物款超过500元，但不超过1000元，享受9折优惠； （3）购物款超过1000元，享受8折优惠． 某中学学生李诚的爸爸到万达购买220元的物品，他的妈妈在下班途中看到这个优惠方案后也去万达购买了一些物品，共付款756元．李诚看到爸爸妈妈的购物单后发现，若是他一个人去买这些物品，还可以优惠 元． 15．（24-25七年级上·全国·课后作业）某公司在A，B两地分别有库存机器16台和12台，现要运往甲、乙两地，其中运往甲地15台，运往乙地13台．从A地运一台机器到甲地的运费为500元，到乙地的运费为400元；从B地运一台机器到甲地的运费为300元，到乙地的运费为600元． (1)设从A地运往甲地x台机器，请把下表补充完整； 收地运地 甲地 乙地 总计 A地 x 16台 B地 12台 总计 15台 13台 28台 (2)如果某种调运方案的运费是10300元，那么从A，B两地分别运往甲、乙两地的机器各多少台？ 题型六、数字问题(一元一次方程的应用) 16．（25-26七年级上·浙江温州·期中）下表12个方格中，每个方格内都有一个数，若任意相邻三个数的和都是21，则的值是（   ） 11 A B C D E F G H P A．13 B．15 C．18 D．21 17．（25-26七年级上·湖北武汉·期中）对于一个三位数m，其各个数位上的数字互不相等，若m的百位数字与个位数字之和等于十位数字的2倍，则称m为“和美数”，例如：357，，是“和美数”，若“和美数”m能被7整除，则满足条件的m的最小值是 ． 18．（24-25七年级上·河南焦作·期中）有一列数，按一定的规律排列：，其中某三个相邻的数的和是，这三个数分别是多少？ 题型七、几何问题(一元一次方程的应用) 19．（24-25七年级上·全国·课后作业）一个三角形的三条边长的比为，且最长边与最短边之和为，则这个三角形的周长是（   ）． A． B． C． D． 20．（25-26七年级上·云南昆明·期中）如图，将一个长为12，宽为4的长方形等比例缩小得到一个长为，宽为3的小长方形，则 ． 21．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，一雕塑的底面呈正方形，在其左右两侧及后方种植宽度均为的草坪．若草坪总面积为，那么雕塑的底面边长是多少？（设雕塑的底面边长为，只列方程不解答） 题型八、动点问题（一元一次方程的应用） 22．（22-23七年级上·四川泸州·期中）数轴上一个动点A，先向右移动5个单位长度达到点B，再向左移动8个单位长度到达点C，若点C表示的数是，则点A表示的数是（    ） A． B． C．1 D．11 23．（25-26七年级上·浙江嘉兴·期中）如图，在数轴上，点A，点B表示的数分别是，，点M以2个单位/秒的速度从点A出发沿数轴向点B运动，同时点N以4个单位/秒的速度从点B出发沿数轴在B，A之间往返运动（当，任意一点到达点B时，整个运动停止）．当运动时间是 秒时，，两点相距2个单位． 24．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图所示，在数轴上原点O，点A在原点的左侧，所表示的数是a，并且满足．点B在原点的右侧，所表示的数是16． (1)点A表示的数为______； (2)若点P从点A出发沿数轴向右运动，速度为每秒4个单位长度；点Q从点B出发沿数轴向左运动，速度为每秒2个单位长度．P、Q两点同时运动，设两点的运动时间为t秒，当t为何值时，P、Q两点到原点的距离相等． (3)在（2）的条件下，若点P运动到点B后，按照原路立即返回，返回的速度变为每秒3个单位长度，点P到达点A停止运动；点Q运动到点A后，立即以原路原速返回，到达点B停止运动．从P、Q开始运动，到点Q停止运动的过程中，当P、Q两点的距离为16个单位长度时，请直接写出符合条件的t的所有值． 题型九、和差倍分问题(一元一次方程的应用) 25．（22-23七年级上·全国·期中）课外活动中一些学生分组参加活动，原来每组8人，后来重新编组，每组12人，这样比原来减少2组．这些学生共有（   ） A．48人 B．56人 C．60人 D．72人 26．（25-26七年级上·重庆·期中）某市对市区主干道进行绿化，现有甲、乙两个施工队，甲队有5名工人，乙队有15人，若从乙队借调名工人到甲队，则甲队人数与乙队人数刚好相等，根据题意可列出方程为 ． 27．（25-26七年级上·全国·课后作业）草莓熟了，学校组织同学们参加劳动实践，帮助果农采摘草莓．小康和小悦采摘的时长相同，采摘结束后，小康采摘的草莓比小悦多．已知小康平均每小时采摘，小悦平均每小时采摘，那么两人采摘的时长是多少小时？ 题型十、电费和水费问题(一元一次方程的应用) 28．（24-25七年级上·全国·期末）某市对居民用水实行“阶梯收费”：规定每户每月不超过月用水标准量的水价为元/吨，超过月用水标准量部分的水价为元/吨．该市小明家月份用水吨，交水费元，则该市每户的月用水标准量为（    ） A．吨 B．吨 C．吨 D．吨 29．（24-25七年级上·山东临沂·阶段练习）某市为提倡节约用水，采取分段收费．若每户每月用水不超过，每立方米收费元；若用水超过，超过部分每立方米加收3元．小明家月份交水费64元，则他家该月用水 ． 30．（25-26七年级上·河南郑州·月考）为了鼓励节约用电，某市电力公司规定了以下的电费计算方法：每月的用电不超过100千瓦时，按每千瓦时0.52元收费；每月用电超过100千瓦时，超过的部分按每千瓦时0.6元收费．小明家十月份的电费是64.6元，用电多少千瓦时？ 题型十一、行程问题(一元一次方程的应用) 31．（2023七年级上·四川成都·专题练习）一列火车长 160 米，每秒行 20 米，全车通过 440 米的大桥，需要（    ）秒． A．8 B．22 C．30 D．无法确定 32．（25-26七年级上·福建厦门·期中）一列慢车和一列快车分别从、两站相对开出，快车和慢车速度的比是5：4，慢车先从站开出27千米，快车才从站开出．相遇时快车和站的距离比慢车和站的距离多32千米，、两站相距 千米． 33．（2024七年级上·全国·专题练习）如下图，现有两条乡村公路和长长1600m．一个人骑摩托车从处以的速度沿公路匀速向处行驶；另一个人骑自行车从处以的速度沿公路匀速向处行驶，并且两人同时出发． (1)经过多少分钟摩托车追上自行车？ (2)两人均在行驶途中时，经过多少分钟在行进路线上相距150m？ 题型十二、比例分配(一元一次方程的应用) 34．（23-24七年级上·四川达州·期末）在一次美化校园活动中，先安排34人去拔草，18人去植树，后又增派20人去支援他们，结果拔草的人数是植树人数的2倍，问支援拔草和支援植树的分别有多少人？若设支援拔草的有x人，则下列方程中正确的是(　　) A． B． C． D． 35．（24-25七年级上·广东深圳·期末）用一根米长的绳子围出一个长方形，使它的长是宽的倍，长方形的长和宽各应是多少米？在这个问题中，如果设长方形的宽为米，根据题意，可列出方程 ． 36．（25-26七年级上·全国·课后作业）甲、乙两人按的投资比例开办了一家公司，约定除去各项支出外，所得利润按投资比例分成，若第一年盈利14000元，则甲、乙两人分别应得利润多少元？ 题型十三、日历问题(一元一次方程的应用) 37．（25-26七年级上·天津河北·期中）如图是某月的月历，用形如“十”字型框任意框出5个数，这5个数的和不可能是（   ） A．125 B．110 C．75 D．60 38．（25-26七年级上·广东佛山·期中）如图是2025年元月的日历，用图1中的“工”型图案盖住图2中的7个数，若“工”型图案盖住的7个数的和为154，则“工”型图案最中间的数为 ． 39．（24-25七年级上·甘肃平凉·期末）生活中常见的月历中存在许多奥秘，你想知道吗？如图，这是2025年1月的月历． 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 (1)它的横行、竖列上的相邻两数之间分别有什么关系？ (2)如果一竖列上连续三个数的和为48，你能知道这三个数分别是多少吗？ (3)如果用一个正方形圈出四个数，这四个数的和能等于60吗？若能，请求出圈出的四个数分别是多少；若不能，请说明理由． 题型十四、古代问题(一元一次方程的应用) 40．（25-26七年级上·全国·单元测试）《孙子算经》中记载：今有三人共车，二车空：二人共车，九人步，问人与车各几何？该题意思是：今有若干人乘车，每3人乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？若设有辆车，则可列方程（ ） A． B． C． D． 41．（25-26七年级上·湖北武汉·期中）《九章算术》中有个问题：“今有人共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人与钱各几何?”意思是：“有若干人共同出钱买鸡，若每人出钱，则多了钱；若每人出钱，则少了钱．问：人和钱的数量各是多少？”如果设有x个人共同出钱买鸡，则可列一元一次方程 ． 42．（25-26七年级上·北京西城·期中）《九章算术》中记载有一道关于“盈不足术”的经典问题，其原文表述如下：“今有共买鸡，人出九，盈一十一；人出六，不足十六．问：人数、鸡价各几何？”译文为：有若干人一起买一只鸡，若每人出9钱，则多出11钱；若每人出6钱，则还差16钱．求买鸡的人数、一只鸡的价格各是多少？ 题型十五、其他问题(一元一次方程的应用) 43．（25-26七年级上·广东广州·期中）已知甲种铅笔每支1.4元，乙种铅笔每支1.8元，用23元钱买这两种铅笔，一共买了15支，设买了支甲种铅笔，则可列关于的方程为 ．（不用化简） 44．（25-26七年级上·重庆·期中）植树节这天，七年级170名学生志愿者参加植树活动，假设一名男生一天能挖树坑3个，一名女生一天能种树7棵，且男生只挖树坑，女生只种树．要求每个树坑种一棵树，那么该年级参加植树的男生，女生各有多少名？ 强化训练 一、单选题 1．一项工程，甲单独做需10天完成，乙单独做需6天完成．现由甲先做2天，乙再加入合做，完成这项工程共需多少天？若设完成这项工程共需x天，依题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 2．一艘轮船从甲码头到乙码头顺流航行，用了；从乙码头返回甲码头逆流航行用了．已知水流的速度是，设轮船在静水中的平均速度为，可列方程为（    ） A． B． C． D． 3．某次篮球积分赛，每队均比赛14场，胜一场记2分，平一场记1分，负一场记0分．某中学篮球队的胜场数是负场数的3倍，这个足球队在这次积分赛中积分可能为（    ） A．12 B．17 C．20 D．22 4．《九章算术》中记载：“今有人共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数、鸡价各几何？”译文：“假设有几个人共同出钱买鸡，如果每人出九钱，那么多了十一钱；如果每人出六钱，那么少了十六钱。问：有几个人共同出钱买鸡？鸡的价钱是多少？”设鸡的价钱为 x 钱，根据题意列一元一次方程， 正确的是（   ） A． B． C． D． 5．王海的爸爸想用一笔钱买年利率为的5年期国库券，如果他想5年后本息和为2万元，那么现在应买这种国库券多少元？如果设现在应买这种国库券x元，那么可以列出方程为（   ） A． B． C． D． 6．如图，甲､乙两动点分别从正方形ABCD的顶点A，C同时沿正方形的边开始移动，甲按顺时针方向环形，乙按逆时针方向环行，若乙的速度是甲的3倍，那么它们第一次相遇在AD边上，请问它们第2019次相遇在哪条边上?（    ） A．AD B．DC C．BC D．AB 二、填空题 7．在日历上，小明发现他的生日的那天上、下、左、右四个日期的和为，则小明的生日是 日． 8．根据深圳市出租车最新收费标准：起步价不超过2千米计费10元；若超过2千米，则超过2千米的部分按元/千米讨费（不满1千米按1千米计算）．小明在一次放学乘出租车回家的行程中付费元，设出租车行驶的里程为千米，则的取值范围是 ． 9．今年9月10日赶上了本世纪第一个“教师节”和“中秋节”喜相逢．为迎接“双节”的到来，某便利店购进桃片、米花糖、麻花三种特产进行销售．其中每包桃片的成本是麻花的2倍，销售每包桃片、米花糖、麻花的利润率分别是20%、30%、20%．该便利店9月10日当天销售桃片、米花糖、麻花三种特产的数量之比为3：5：4，三种特产的总利润率是25%，若每包米花糖的成本是m元，则每包麻花的成本为 元． 10．某地居民每月用水收费标准如图：李阿姨家11月份用水5立方米，交水费16元．若李阿姨12月份交水费39.6元，则李阿姨12月份的用水量是 立方米 用水量/立方米 单价/元 a 超过10的部分 11．我校学生会正在策划一次儿童福利院的慰问活动．为了筹集到元活动资金，学生会计划定制一批穿校服的毛绒小熊和带有校徽图案的钥匙扣，表格中有这两种商品的进价和售价．另外，若将一个小熊和一个钥匙扣组成一份套装出售，则将售价打九折．为了更好的制定进货方案，学生会利用抽样调查的方式统计了校内学生对商品购买意向的百分比情况见表格，若按照这个百分比情况定制商品，至少定制小熊 个和钥匙扣 个，才能筹集到元资金即获得元利润． 小熊 钥匙扣 套装 进价 售价 购买意向 12．如图，数轴上线段，点在数轴上表示的数是－10，点在数轴上表示的数是16，若线段以6个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段以2个单位长度/秒的速度向左匀速运动．当点运动到线段上时，是线段上一点，且有关系式成立，则线段的长为 ． 三、解答题 13．某生产线共有60名工人，每名工人每天可生产14个电压表或20个电流表，1套物理电学实验器材包中要配有1个电压表和2个电流表，要使该生产线每天生产的电压表和电流表恰好能配套装入物理电学实验器材包，应分配多少名工人生产电压表？ 14．列方程解应用题 商场准备将某商品打折出售，如果按原价的折出售，每件将亏损元；如果按原价的折出售，每件将盈利元，求该商品每件的原价是多少． 15．在“践行垃圾分类，助力双碳目标”主题班会结束后，刘华和小燕子一起收集了一些废电池，刘华说：“我比你多收集了7 节废电池．”小燕子说：“如果你给我8 节废电池，那么我的废电池节数就是你的2倍．”如果他们说的都是真的，那么刘华和小燕子分别收集了多少节废电池？ 16．在一次知识竞赛中，某班有50位同学参加比赛，每位同学都需要完成三道题，竞赛规则为：“答对一题得10分，不答或者答错扣10分．” (1)请直接写出每位同学所有可能的得分情况； (2)该班的答题情况为：有2位同学全部答错，全对的人数是答对1题人数的3倍少6人，答对两题的人数是答对1题人数的2倍，求该班全部答对的人数． 17．又到了春暖花开的时节，淮安外国语学校一年一度的“踏青节”即将拉开帷幕．“烟花三月下扬州”，美丽的瘦西湖成了同学们的首选目标．国家旅游胜地“五星级”风景区瘦西湖的团体参观门票价格规定如下表： 购票人数（人） 1～50 51～100 101～150 150以上 参观门票价格（元/人） 50 45 40 35 去年我校七（1）、（2）两班共103人（其中（1）班人数多于（2）班人数）去参观瘦西湖，如果两班都以班级为单位分别购票，则一共需付4860元． (1)你认为有没有最节约的购票方法？如果有，可以节约多少元钱？ (2)你能确定两班各有多少名学生吗？ (3)如果本校初一（3）班共45人也一同前去参观，那又如何购票最合理呢？共需多少元钱？ 18．已知数轴上三点A，O，B表示的数分别为8，0，， (1)动点P从A出发，以每秒6个单位的速度沿数轴向左匀速运动．另一动点R从B出发，以每秒4个单位的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、R同时出发，点P运动________秒追上点R，此时点P在数轴上表示的数是________． (2)若点M以每秒4个单位的速度从A点出发，点N以每秒3个单位的速度运动从B点出发，设点M、N同时出发，运动时间为t秒，试探究：经过多少秒时，点M、N两点间的距离为5个单位？ 学科网（北京）股份有限公司 $