专题5 利用一元一次方程解决数轴上的动点问题、刻度尺问题及新定义问题-2025-2026学年七年级人教版上册数学压轴题考点考法专题集训及单元期中期末培优试卷

专题 利用一元一次方程解决数轴上的动点问题、刻度尺问题及新定义问题 板块一 数轴上的动点问题 类型一 求运动后表示的数 【例1】（2024秋•沭阳县期中）如图，在数轴上点A表示的数是3，点B位于点A的左侧，与点A的距离是8个单位长度． （1）求点B表示的数，并在数轴上将点B表示出来； （2）若点M到点A的距离是到点B距离的2倍，求点M对应的数； （3）动点P从点B出发，沿着数轴以每秒4个单位长度的速度向点A运动，同时，点Q从点A出发，沿着数轴以每秒2个单位长度的速度向点B运动，当其中一点先到达终点时，另一点继续运动．求点P与点Q到原点的距离相等时，点Q在数轴上对应的数． 【分析】（1）由算式3﹣8求得点B表示的数是﹣5，在数轴上表示出点B即可； （2）设点M对应的数为x，根据点M到点A的距离是到点B距离的2倍，列方程|x﹣3|＝2|x﹣（﹣5）|计算即可； （3）分为当点Q与点P未相遇之前，当点Q与点P相遇时，当点P停止运动后，三种情况根据点P与点Q到原点的距离相等求解即可． 【详解】（1）∵点A表示的数是3，点B位于点A的左侧，与点A的距离是8个单位长度， ∴点B表示的数是3﹣8＝﹣5； 作图如下： （2）设点M对应的数为x， ∵点M到点A的距离是到点B距离的2倍， ∴|x﹣3|＝2|x﹣（﹣5）|， ∴x﹣3＝2（x+5）或x﹣3＝﹣2（x+5）， ∴x＝﹣13或； （3）根据题意，设运动时间为t秒，则点Q表示的数是3﹣2t，点P表示的数是﹣5+4t， ∵AB＝8，点P从点B出发到点A需要时间为：8÷4＝2秒， 当点Q与点P未相遇之前， 则3﹣2t＝﹣（﹣5+4t）， 解得t＝1秒， 点Q在数轴上对应的数为：3﹣2t＝1； 当点Q与点P相遇时， 则3﹣2t＝﹣5+4t， 解得秒， 点Q在数轴上对应的数为：； 当点P停止运动后，点P与点Q到原点的距离相等时， 点Q在数轴上对应的数为：﹣3； ∴点Q在数轴上对应的数为1或或﹣3． 【点睛】此题重点考查一元一次方程的解法、列一元一次方程解应用题、数轴上的动点问题的求解等知识与方法，正确地用代数式表示点P和点Q所对应的数是解题的关键． 【针对训练】 1.（2025秋•杭州期中）如图，数轴上有三个点A，B，C，它们对应的数分别为﹣17，b，c，且|b+1|与（c﹣2）2互为相反数．点P，Q为数轴上的两个动点，点P对应的数为x． （1）求出b，c的值． （2）数轴上是否存在点P，使点P到点B和点P到点C的距离之和为4？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由． （3）点P以每秒1个单位长度的速度从原点O向左运动；点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度也向左运动，到达点A后，折返向点C运动．两点同时出发，当点Q到达点C时，两点都停止运动．问：当点Q从点A折返后与点P相遇时，点Q在数轴上对应的数是多少？ 【答案】（1）b＝﹣1，c＝2； （2）存在，x的值为或；； （3）． 【分析】（1）由题意易得|b+1|+（c﹣2）2＝0，然后问题可求解； （2）由题意易得BC＝2﹣（﹣1）＝3，所以点P不可能在A、B之间，然后可分当点P在点B左侧时，当点P在点C的右侧时，进而分类求解即可； （3）由题意易得点Q从点B到点A所需时间4秒，设点P运动x秒时与点Q相遇，然后根据题意可列方程进行求解． 【详解】（1）由题意得：|b+1|+（c﹣2）2＝0， ∴|b+1|＝0，（c﹣2）2＝0， ∴b＝﹣1，c＝2； （2）点P是存在的，理由如下： 由（1）可知BC＝2﹣（﹣1）＝3， 所以点P不可能在A、B之间； 当点P在点B左侧时，则有PB＝﹣1﹣x，PC＝2﹣x， 所以﹣1﹣x+2﹣x＝4， 解得：； 当点P在点C的右侧时，则有PB＝x+1，PC＝x﹣2， 所以x+1+x﹣2＝4， 解得：； 综上，x的值为或； （3）点Q从点B到点A所需时间[﹣1﹣（﹣17）]÷4＝4（秒）， 设点P运动x秒时与点Q相遇， 则相遇时点Q到点A的路程是4（x﹣4）， 所以4（x﹣4）+x＝17， 解得：， 此时点Q在数轴上对应的数为． 【点睛】本题主要考查数轴上的动点问题，两点距离，一元一次方程的应用及绝对值与偶次幂的非负性，熟练掌握数轴上的动点问题，两点距离，一元一次方程的应用及绝对值与偶次幂的非负性是解题的关键． 类型二 求运动中的时间 【例2】（2024秋•崇川区月考）【背景知识】 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．研究数轴我们发现有许多重要的规律： 例如，若数轴上A点、B点表示的数分别为a、b，则A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，线段AB的中点M表示的数为． 【问题情境】 在数轴上，点A表示的数为﹣35，点B表示的数为25，动点P从点A出发沿数轴正方向运动，同时，动点Q也从点B出发沿数轴负方向运动，已知运动到3秒钟时，P、Q两点相遇，且动点P、Q运动的速度之比是3：2（速度单位：单位长度/秒）． 【综合运用】 （1）点P的运动速度为　12　 单位长度/秒，点Q的运动速度为　8　 单位长度/秒； （2）当4PQ＝AB时，求运动时间； （3）若点P、Q在相遇后继续以原来的速度在数轴上运动，但运动的方向不限，我们发现：随着动点P、Q的运动，线段PQ的中点M也随着运动．问点M能否与﹣1点重合？若能，求出从P、Q相遇起经过的运动时间；若不能，请说明理由． 【分析】（1）设P点运动速度为3x单位长度/秒，Q点运动速度为2x单位长度/秒，根据P，Q的运动的路程等于AB两点间的距离可列方程，解方程即可求解； （2）易求P点表示的数为﹣35+12t，P点表示的数为25﹣8t，根据AB两点间的距离可列方程，解方程即可求解； （3）易求相遇点的位置，再分4种情况列方程，解方程可求解． 【详解】（1）设P点运动速度为3x单位长度/秒，Q点运动速度为2x单位长度/秒， 由题意得3（3x+2x）＝|﹣35﹣25|， 解得x＝4， ∴3x＝12单位长度/秒；2x＝8单位长度/秒， 即P点运动速度为12单位长度/秒，Q点运动速度为8单位长度/秒， 故答案为12；8； （2）由（1）得：P点表示的数为﹣35+12t，Q点表示的数为25﹣8t， 由题意得4|（﹣35+12t﹣（25﹣8t）|＝60， 解得t或； （3）能． 由题意得﹣35+12t＝25﹣8t， 解得t＝3， 相遇点为﹣35+12×3＝1， ∴P点为1±12t，Q点为1±8t． ①P，Q均向左， M点为， 解得t； ②P，Q均向右， M点为， 解得t（不合题意，舍去）； ③P向左，Q向右， M点为， 解得t＝1； ④P向右，Q向左， M点为， 解得t＝﹣1（不合题意舍去）， 综上，点M和﹣1重合时运动时间为秒或1秒． 【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，两点间的距离，注意分类讨论． 【针对训练】 1．数轴上，把点A表示的数记为a，点B表示的数记为b，在学习绝对值时，我们知道了绝对值的几何含义：数轴上点A，B之间的距离记作AB或BA，例如：当a＝1，b＝3时，点A，B之间的距离AB＝|1﹣3|＝2；当a＝﹣1，b＝﹣3时，点A，B之间的距离AB＝|﹣1﹣（﹣3）|＝2；当a＝﹣1，b＝3时，点A，B之间的距离AB＝|﹣1﹣3|＝4；由此我们知道，一般情况下，点A，B之间的距离AB＝|a﹣b|或AB＝|b﹣a|，如图，数轴上点A，B分别表示数﹣6，2． （1）填空：AB＝　8　 ； （2）若C点从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右移动，同时点D从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向右移动，设移动的时间为t（t＞0）秒． ①移动中，点C表示的数是 　﹣6+4t ，点D表示的数是 　2+2t ，点C，D之间的距离CD＝　|8﹣2t|　 （用含有t的代数式表示）； ②移动中，若点C，D之间相距4个单位长度，求t的值． 【分析】（1）根据题干中所给两点间距离可直接求得； （2）①根据点的运动平移，以及数轴上两点之间的距离，可分别表达；②根据①中所求CD的代数式，令CD＝4，列出方程，求解即可． 【详解】（1）根据题意可得AB＝|﹣6﹣2|＝8， 故答案为：8； （2）①根据点在数轴上的运动可知，移动过程中点C表示的数为﹣6+4t，点D表示的数为2+2t， ∴点C，D之间的距离CD＝|﹣6+4t﹣（2+2t）|＝|8﹣2t|， 故答案为：﹣6+4t，2+2t，|8﹣2t|； ②∵CD＝4，即|8﹣2t|＝4， ∴8﹣2t＝4或8﹣2t＝﹣4， 解得t＝2或t＝6， 故t的值为2或6． 【点睛】本题考数轴和一元一次方程的应用．解题的关键是找准等量关系，列方程． 2．（2025秋•大东区期中）如图，数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，且a，b满足（a﹣10）2+|b+6|＝0．动点P从点A出发，以每秒8个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t秒（t＞0）． （1）写出数轴上点A表示的数是　10　 ，点B表示的数是　﹣6　 ，点P表示的数是　10﹣8t （用含t的式子表示）； （2）当点P在点B的左侧运动时，M，N分别是线段PA，PB的中点，求PM﹣PN的值； （3）动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，点P，Q同时出发，当点P运动多少秒时，． 【分析】（1）利用偶次方及绝对值的非负性，可得出a﹣10＝0，b+6＝0，解之可得出a，b的值，利用点P表示的数＝点A表示的数﹣点P的运动速度×点P的运动速度，可用含t的代数式表示出点P表示的数； （2）利用数轴上两点间的距离公式，可得出PA＝8t，PB＝8t﹣16，结合M，N分别是线段PA，PB的中点，可得出PM＝4t，PN＝4t﹣8，将其代入PM﹣PN中，即可求出结论； （3）当运动时间为t（t＞0）秒时，点P表示的数是10﹣8t，点Q表示的数是﹣6﹣4t，根据PQAP，可列出关于t的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）∵（a﹣10）2+|b+6|＝0， ∴a﹣10＝0，b+6＝0， ∴a＝10，b＝﹣6， ∴当运动时间为t（t＞0）秒时，点P表示的数是10﹣8t． 故答案为：10，﹣6，10﹣8t； （2）当点P在点B的左侧运动时，PA＝10﹣（10﹣8t）＝8t，PB＝﹣6﹣（10﹣8t）＝8t﹣16， ∵M，N分别是线段PA，PB的中点， ∴PMPA8t＝4t，PNPB（8t﹣16）＝4t﹣8， ∴PM﹣PN＝4t﹣（4t﹣8）＝8； （3）当运动时间为t（t＞0）秒时，点P表示的数是10﹣8t，点Q表示的数是﹣6﹣4t， 根据题意得：|10﹣8t﹣（﹣6﹣4t）||10﹣（10﹣8t）|， 即16﹣4t＝2t或4t﹣16＝2t， 解得：t或t＝8． 答：当点P运动秒或8时，PQAP． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、数轴、列代数式、绝对值的非负性以及偶次方的非负性，解题的关键：（1）利用偶次方及绝对值的非负性，求出a，b的值；（2）根据各点之间的位置关系，用含t的代数式表示出PM，PN的长；（3）找准等量关系，正确列出一元一次方程． 3．如图，A，B分别是数轴上两点，点O为原点，点A表示的数为﹣80，点B表示的数为40．现有两个动点P、Q均从点A出发，沿数轴正方向移动，点P的速度为10单位/秒，点Q的速度为5单位/秒． （1）若两动点同时出发，当点P到达点B时，点Q在数轴上表示的数为 　﹣20　 ． （2）在（1）的条件下，若点P到达点B停留6秒后以15单位/秒的速度匀速沿数轴向点A运动，求在整个运动过程中当t为何值时，P，Q两点相距20个单位长度． （3）若点P依然以速度为10单位/秒出发，出发3秒钟后点Q出发，当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动，设点P运动的时间为t秒，运动过程中点P表示的数为x，点Q表示的数为y，求t为何值时，|y|＝3|x|． 【分析】（1）先计算点P到达点B时所用的时间，再计算点Q在数轴上表示的数； （2）分别将点P和Q在数轴上表示的数用含t的代数式表示出来，再根据它们之间的距离列方程，求出t的值即可．注意：点P表示的数按照时间分段表示； （3）分别将点P和Q在数轴上表示的数用含t的代数式表示出来，再根据题意列方程，求出t的值即可．注意：点Q表示的数按照时间分段表示． 【详解】（1）AB＝OA+OB＝80+40＝120， 12（秒）， ﹣80+5×12＝﹣80+60＝﹣20． ∴当点P到达点B时，点Q在数轴上表示的数为﹣20． 故答案为：﹣20． （2）当0≤t＜12时，点P在数轴上表示的数为﹣80+10t； 当12≤t＜18时，点P在数轴上表示的数为40； 当18≤t时，点P在数轴上表示的数为40﹣15（t﹣18）＝310﹣15t． 综上，点P在数轴上表示的数为． 点Q在数轴上表示的数为﹣80+5t． 当|﹣80+10t﹣（﹣80+5t）|＝20（0≤t＜12）时，解得t＝4； 当|40﹣（﹣80+5t）|＝20（12≤t＜18）时，解得t＝20（不符合题意，舍去）或28（不符合题意，舍去）； 当|310﹣15t﹣（﹣80+5t）|＝20（18≤t）时，解得t或． ∴在整个运动过程中当t为4，或时，P，Q两点相距20个单位长度． （3）根据题意，得x＝﹣80+10t（0≤t≤12）． 当0≤t≤3时，y＝﹣80； 当3＜t≤12时，y＝﹣80+5（t﹣3）＝﹣95+5t． 综上，y． 当|﹣80|＝3|﹣80+10t|（0≤t≤3）时，解得t（不符合题意，舍去）或（不符合题意，舍去）； 当|﹣95+5t|＝3|﹣80+10t|（3＜t≤12）时，解得t或． ∴t为或时，|y|＝3|x|． 【点睛】本题考查数轴和绝对值等，在数轴上用绝对值计算两点之间的距离是本题的关键． 4．如图，A，B是数轴上的两点，A对应的数为﹣2，B对应的数为10，O是原点．动点P从点O出发向点B匀速运动，速度为每秒1个单位长度，动点Q从点A出发向点B匀速运动，速度为每秒3个单位长度，到达点B后立即返回，以原来的速度向点O匀速运动，当点P，Q再次重合时，两点都停止运动．设P，Q两点同时出发，运动时间为t（s）． （1）当点Q到达点B时，点P对应的数为 　4　 ； （2）在点Q到达点B前，点Q对应的数为 　﹣2+3t （用含t的代数式表示）； （3）在整个运动过程中，当t为何值时，P，Q两点相距个单位长度． 【分析】（1）利用两点间的距离公式可求AB，再根据时间＝路程÷速度可求点Q到达点B时的时间，再根据路程＝速度×时间可求点P运动的路程，进一步得到点P对应的数； （2）根据路程＝速度×时间可求点Q运动的路程，进一步得到点Q对应的数； （3）先求出P、Q第二次相遇的时间，得到t的取值范围．分3种情况由PQ列方程，求出满足的条件t的值． 【详解】（1）AB＝10﹣（﹣2）＝10+2＝12， 12÷3＝4（s）， 点P对应的数为4×1＝4． 故答案为：4； （2）在点Q到达点B前，点Q对应的数为﹣2+3t（用含t的代数式表示）． 故答案为：﹣2+3t； （3）（12+10）÷（3+1） ＝22÷4 ＝5.5（s）， ①当点Q追上点P前（点Q未返回前），依题意有 3t﹣t＝2， 解得t； ②当点Q追上点P后（点Q未返回前），依题意有 3t﹣t＝2， 解得t； ③当点Q从点B返回，未与点P相遇前， 3t+t＝12+10， 解得t． 综上所述，当t的值为或或时，P、Q两点相距个单位长度． 【点睛】本题考查一元一次方程，解题的关键是理解题意，正确寻找等量关系构建方程解决问题，属于中考常考题型． 类型三 求运动后的定值 【例3】（2023秋•贵阳期末）已知：如图数轴上有A、B、C三点，点A和点B间距20个单位长度且点A、B表示的有理数互为相反数，AC＝40，数轴上有一动点P从点A出发，以2个单位/秒的速度向右沿数轴运动，设运动时间为t秒（t＞0）． （1）点A表示的有理数是 　﹣10　 ，点C表示的有理数是 　30　 ，点P表示的数是 　﹣10+2t （用含t的式子表示）． （2）当t＝　6或14　 秒时，P、B两点之间相距8个单位长度？ （3）若点A、点B和点C与点P同时在数轴上运动，点A以1个单位/秒的速度向左运动，点B和点C分别以3个单位/秒和4个单位/秒的速度向右运动，是否存在常数m，使得mAP+7BP﹣2CP为一个定值，若存在，请求出m值以及这个定值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）设点B表示的数为x，则点A表示的数为﹣x，由数轴可知AB＝20，求出x，根据AC＝40算出点C表示的数，再由点P的运动速度和时间求出点P表示的数即可； （2）分点P在点B左边和点P在点B右边两种情况进行解答即可； （3）根据题意先将点A、点B和点C表示的数算出来，再算出AP、BP、CP并代入mAP+7BP﹣2CP中，合并同类项即可解答． 【详解】（1）设点B表示的数为x，则点A表示的数为﹣x， ∵点A和点B间距20个单位长度， ∴x﹣（﹣x）＝20， 解得：x＝10， ∴点A表示的有理数是﹣10， ∵AC＝40， ∴点C表示的有理数是﹣10+40＝30， ∵动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的速度向右沿数轴运动，运动时间为t秒， ∴点P表示的数是﹣10+2t， 故答案为：﹣10，30，﹣10+2t； （2）①当点P在点B左边时（0＜t＜10）， PB＝10﹣（﹣10+2t）＝20﹣2t， ∵P、B两点之间相距8个单位长度， ∴20﹣2t＝8， 解得：t＝6， ①当点P在点B右边时（t＞10）， PB＝﹣10+2t﹣10＝2t﹣20， ∵P、B两点之间相距8个单位长度， ∴2t﹣20＝8， 解得：t＝14， ∴当t＝6或14秒时，P、B两点之间相距8个单位长度， 故答案为：6或14； （3）存在常数m，使得mAP+7BP﹣2CP为一个定值，理由如下： 由题意可知， 点A表示的数为﹣10﹣t， 点B表示的数为10+3t， 点C表示的数为30+4t， 则AP＝﹣10+2t﹣（﹣10﹣t）＝3t， BP＝10+3t﹣（﹣10+2t）＝20+t， CP＝30+4t﹣（﹣10+2t）＝40+2t， mAP+7BP﹣2CP＝3mt+7（20+t）﹣2（40+2t）＝（3m+7﹣4）t+60， ∵要使得mAP+7BP﹣2CP为一个定值， ∴3m+7﹣4＝0， 解得：m＝﹣1， ∴mAP+7BP﹣2CP＝（3m+7﹣4）t+60＝60， ∴m＝﹣1，这个定值为60． 【点睛】本题考查的是数轴的知识、一元一次方程的应用，掌握相反数的概念、灵活运用数形结合思想和分情况讨论思想是解题的关键． 【针对训练】 1．（2025秋•越秀区校级期中）已知M，N两点在数轴上表示的数分别为m，n，且满足|m﹣8|+（n+4）2＝0． （1）求m，n的值； （2）如图所示，将一个滑块AB放置在数轴上，沿数轴左右水平移动滑块，当点A移动到点B一开始的位置时，点B所对应的数为m；当点B移动到点A一开始的位置时，点A所对应的数为n．则滑块的长为 　　 个单位长度；将该滑块沿数轴左右水平移动，当NA：BM＝2：1时，求出此时点A所表示的数． （3）在（2）的情境下，移动滑块，使A与MN中点重合，记为初始位置． ①滑块AB以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点P和点Q从N、M出发，分别以每秒1个单位长度和4个单位长度的速度向左和向右运动，记滑块AB运动后对应的位置为A'B'，是否存在常数k使得2PQ+k•B'A的值与它们的运动时间无关？若存在，请求出k和这个定值；若不存在，请说明理由． ②将①中条件改为“滑块AB以每秒2个单位长度的速度向左运动”，其余条件不变，是否存在常数k使得2PQ+k•B'A的值与它们的运动时间无关？若存在，请求出k和这个定值；若不存在，请说明理由． 【考点】一元一次方程的应用；数轴；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方．版权所有 【专题】计算题；运算能力． 【答案】（1）m＝8，n＝﹣4； （2）4，或12； （3）①存在，k＝﹣5，定值为4； ②存在，当运动时间小于2秒时，k＝5，定值为44；当运动时间不小于2秒时，k＝﹣5，定值为44． 【分析】（1）根据非负数的性质即可求解； （2）设滑块的长为a个单位长度，根据题意列出方程，求出a的值即可解答；设点A所表示的数为b，则点B所表示的数为b+4，则NA＝|b+4|，BM＝|4﹣b|，再结合NA：BM＝2：1列出方程，求出b的值即可解答； （3）①设运动时间为秒，则点P表示的数为﹣4﹣t，点Q表示的数为8+4t，点B'表示的数为6+2t，表示出PQ和BA，得到2PQ+k•B'A＝（10+2k）t+24+4k，再根据题意求出k的值，即可解答； ②设运动时间为t秒，则点B'表示的数为6﹣2t，得到2PQ+k•B'A＝2（12+5t）+k|4﹣2t|，再分2种情况讨论：t＜2和t＞2，根据题意求出k的值，即可解答 【解答】（1）解：∵|m﹣8|+（n+4）2＝0． ∴m﹣8＝0，n+4＝0， ∴m＝8，n＝﹣4； （2）解：设滑块的长为a个单位长度， 由题意得，a+a+a＝8﹣（﹣4），解得a＝4， ∴滑块的长为4个单位长度； 故答案为：4； 设点A所表示的数为6，则点B所表示的数|b+4， ∴NA＝|b﹣（﹣4）|＝|b+4|，BM＝|8﹣（b+4）|＝|4﹣b|． ∵NA：BM＝2：1， ∴NA＝2BM， ∴|b+4|＝2|4﹣b|，解得b或b＝12， ∴点A所表示的数为或12； （3）解：①存在，MN中点所表示的数为2， ∴点A表示的数为2，点B表示的数为2+4＝6， 设运动时间为t秒，由题意得，点P表示的数为﹣4﹣t，点Q表示的数为8+4t，点B'表示的数为6+2t， ∴PQ＝8+4t﹣（﹣4﹣t）＝12+5t，B'A＝6+2t﹣2＝4+2t， ∴2PQ+k•B'A＝2（12+5）+k（4+2t）＝（10+2k）t+24+4k，． ∵2PQ+k•B'A的值与它们的运动时间无关， ∴10+2k＝0，解得k＝﹣5， 此时定值为24+4×（﹣5）＝4， ∴k＝﹣5，定值为4； ②）存在，设运动时间为t秒， 由题意得，点B'表示的数为6﹣2t， ∴B'A＝|6﹣2t﹣2|＝|4﹣2t|， 由①得，PQ＝12+5t， ∴2PQ+k•B'A＝2（12+51）+k|4﹣2t|； 当t＜2时，4﹣2t＞0， ∴2PQ+k•B'A＝2（12+5t）+k（4﹣21）＝（10﹣2k）t+24+4k，． ∵2PQ+k•B'A的值与它们的运动时间无关， ∴10﹣2k＝0，解得k＝5，此时定值为24+4×5＝44； 当t≥2时，4﹣2t≤0， ∴2PQ+k•B'A＝2（12+5t）﹣k（4﹣2t）＝（10+2k）t+24﹣4k，． ∵2PQ+k•B'A的值与它们的运动时间无关， ∴10+2k＝0，解得k＝﹣5，此时定值为24﹣4×（﹣5）＝44； 综上所述，当运动时间小于2秒时，k＝5，定值为44；当运动时间不小于2秒时，k＝﹣5，定值为44． 【点睛】本题考查了非负数的性质、数轴上两点间的距离、整式加减的应用、一元一次方程的应用，读懂题意并理解题意是解决问题的关键． 板块二 数轴上的刻度尺问题 类型一 求点表示的数 1．如图1，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为﹣5，b，4．某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对应刻度1.8cm，点C对齐刻度5.4cm． （1）在图1的数轴上，AC＝　9　 个长度单位；数轴上的一个长度单位对应刻度尺上的　0.6　 cm； （2）求数轴上点B所对应的数b； （3）在图1的数轴上，点Q是线段AB上一点，满足AQ＝2QB，求点Q所表示的数． 【分析】（1）根据两点间的距离解答即可； （2）根据题意和对应关系可得方程求得数轴上点B所对应的数b； （3）可设点Q所表示的数是x，根据AQ＝2QB得到关于x的方程，再解方程即可求解． 【详解】（1）AC＝4﹣（﹣5）＝9（个长度单位）， 数轴上的一个长度单位对应刻度尺上的5.4÷9＝0.6（cm）． 故答案为：9；0.6． （2）依题意有1.8＝0.6（b+5）， 解得b＝﹣2， 即数轴上点B所对应的数b为﹣2； （3）设点Q所表示的数是x，依题意有 x﹣（﹣5）＝2（﹣2﹣x）， 解得x＝﹣3． 故点Q所表示的数是﹣3． 【点睛】本题考查了一元一次方程和数轴、绝对值的运用，解答时根据等量关系和线段的和差建立方程是关键． 【针对训练】 1．（2025秋•长岭县期中）如图，将刻度尺放在数轴上（数轴的单位长度是1cm），刻度尺上0cm和3cm分别对应数轴上的3和0，那么刻度尺上6.7cm对应数轴上的数为（　　） A．6.7 B．﹣6.7 C．﹣3.3 D．﹣3.7 【分析】设刻度尺上“6.7cm”对应数轴上的数为 x，利用 x 与 3 相距6.7个单位长度，列方程求解即可． 【详解】设刻度尺上“6.7cm”对应数轴上的数为 x， 由题意可得：x与3相距6.7个单位长度， ∴3﹣x＝6.7， 解得：x＝﹣3.7， 故选：D． 【点睛】本题考查数轴上两点间的距离，关键是找到刻度尺上“6.7cm”对应数轴上的数与 3 之间的距离． 类型二 折叠数轴或刻度尺问题 【例2】（2024秋•东西湖区期末）如图，将一条长为7cm的卷尺铺平后折叠，使得卷尺自身的一部分重合，然后在重合部分（阴影处）沿与卷尺边垂直的方向剪一刀，此时卷尺分为了三段，若这三段长度由短到长的比为2：3：5，其中没有完全盖住的部分最长，则折痕对应的刻度可能是（　　）cm． A．2.3或2.75 B．2.45或2.8 C．2.3或2.8 D．2.45或2.75 【分析】设折痕对应的刻度是xcm，根据含折痕的那段长度为或cm，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】设折痕对应的刻度是xcm， 根据题意得：2（x）或2（x）， 解得：x＝2.45或x＝2.8， ∴折痕对应的刻度可能是2.45或2.8cm． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 【针对训练】 1．（2025秋•徐州月考）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．小明在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究： 操作一：（1）如图1，在数轴上，三个有理数从左到右依次是﹣1，m，m+1，利用刻度尺或圆规，在数轴上画出原点O； 操作二：（2）折叠这条数轴所在纸面，若使﹣1表示的点与数3表示的点重合，数m表示的点与数﹣2023表示的点重合，则m＝　2025　 ． 【分析】（1）根据m，m+1相距一个单位，故原点O在﹣1右边一个单位处，利用刻度尺测量即可得出答案； （2）根据对称性可列出方程计算即可． 【详解】（1）∵m，m+1相距一个单位，故原点O在﹣1右边一个单位处， 如图，原点O即为所求； （2）由折叠可列一元一次方程得： ， 整理得，2m＝4045， 解得m＝2025， 则m的值为2025， 故答案为：2025． 【点睛】本题考查了数轴，一元一次方程的应用，理解题意是解题的关键． 类型三 数轴、刻度尺、动点综合 【例3】（2025秋•朝阳区期中）如图1，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数﹣2，b，8．某同学将测度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对齐刻度1.2cm，点C对齐刻度6.0cm，我们把数轴上点A到点C的距离表示为AC，同理，A到点B的距离表示为AB． （1）在图1的数轴上，AC＝　10　 个长度单位；在图2的刻度尺上，AC＝　6　 cm；数轴上的1个长度单位对应刻度尺上的　　 cm； （2）在数轴上点B所对应的数为b，若点Q是数轴上一点，且满足CQ＝2AB，请通过计算，求b的值及点Q所表示的数； （3）在（2）的条件下，点M，N分别从B，C出发，同时向右匀速运动，点M的运动速度为5个单位长度/秒，点N的速度为3个单位长度/秒，设运动的时间为t秒（t＞0）．在M，N运动过程中，若成立，请直接写出一个满足条件的t的值，t＝　4（答案不唯一）　 ． 【分析】（1）数轴上AC之间的距离＝点C表示的数﹣点A表示的数，刻度尺上的AC＝刻度尺上点C表示的数﹣点A表示的数，取6除以数轴上AC之间的距离10即可求得数轴上的1个长度单位对应刻度尺上的几厘米； （2）求得数轴上AB之间的距离，根据点A表示的数即可求得b的值，进而求得CQ之间的距离，根据点C的坐标即可求得点Q的坐标； （3）易得MA之间的距离及点M和点N的坐标，进而表示出MN之间的距离，根据所给条件求得合适的t的值即可． 【详解】（1）数轴上的AC＝8﹣（﹣2）＝8+2＝10，刻度尺上的AC＝6﹣0＝6（cm）， ∴数轴上的1个长度单位对应刻度尺上的， 故答案为：10，6，； （2）∵点B对齐刻度1.2cm，数轴上的1个长度单位对应刻度尺上的， ∴数轴上AB＝1.21.22， ∴b＝﹣2+2＝0， ∵CQ＝2AB， ∴CQ＝4， ∵点C表示的数是8， ∴点Q表示的数为4或12， 答：b＝0，点Q表示的数为4或12； （3）由题意得：AM＝2+5t，点M表示的数为：5t，点N表示的数为8+3t， ∴MN＝|8+3t﹣5t|＝|8﹣2t|， ∵， ∴2+5t|8﹣2t|＝22， ∴5t﹣20|8﹣2t|， ①t≥4时，5t﹣20（8﹣2t）， 5t﹣20＝20﹣5t， 解得：t＝4； ②0＜t＜4时，5t﹣20（2t﹣8）， 5t﹣20＝5t﹣20， 原方程无解，舍去． 故答案为：4（答案不唯一）． 【点睛】本题考查和数轴相关的一元一次方程的应用．用到的知识点为：数轴上两点间的距离等于数轴上表示这两点的右边的数减去左边的数，或者等于数轴上表示这两点的数的差的绝对值． 【针对训练】 1．（2025秋•青龙县期中）如图，以1厘米为1个单位长度用直尺画数轴时，数轴上的点A，B，C刚好对应着直尺上的刻度2，8，10．设数轴上点A，B，C表示的数的和为m，该数轴的原点为O．向右为正方向，有一个动点P以每秒1个单位长度向右匀速运动．回答下列问题： （1）若数轴上点A，C表示的数互为相反数，求该数轴的原点O对应直尺上的刻度，并求出m的值． （2）在（1）所确定的数轴的基础上，动点P初始位置在数轴上表示的数为﹣6，当点P到点A的距离与到点B的距离相等时． ①求此时t的值． ②判断此时点P到点A的距离与到点B的距离之和与A，B两点间的距离相等吗？你认为这样的点唯一吗？ ③当点P到点A的距离与到点B的距离和大于A，B两点间的距离时，直接写出t的取值范围． 【分析】（1）设数轴原点O对应刻度为x0，则数轴上：A对应的数为2﹣x0，B对应的数为8﹣x0，C对应的数为10﹣x0，若数轴上点A，C表示的数互为相反数，则2﹣x0＝﹣（10﹣x0），求出x0即可； （2）①P对应数轴上的数为﹣6+t，A、B分别对应数轴上的数为﹣4，2，根据PA＝PB列方程计算即可；②判断出P为AB中点，从而可以作出判断；③当点P在A的左侧或B的右侧时，PA+PB＞AB，列出不等式并求解即可． 【详解】（1）设数轴原点O对应刻度为x0，则数轴上：C对应的数为10﹣x0，A对应的数为2﹣x0，B对应的数为8﹣x0， 由题意A与C对应的数互为相反数，即2﹣x0＝﹣（10﹣x0）， 解得x0＝6． 于是数轴上点A，B，C表示的数分别为﹣4，2，4， ∴它们之和m＝（﹣4）+2+4＝2； 该数轴的原点O对应直尺上的刻度为6，m＝2； （2）动点P在t＝0时表示的数为﹣6，并以每秒1个单位长度向右运动，则P对应数轴上的数为﹣6+t． 当t＝5时，P对应数轴上的数是﹣6+5＝﹣1， 这时P是AB的中点，故P与A，B的距离之和等于A，B间的距离． ∵AB的中点唯一，故这样的点P唯一； 当点P到点A的距离与到点B的距离相等时， |（﹣6+t）﹣（﹣4）|＝|（﹣6+t）﹣2| 即|﹣2+t|＝|﹣8+t|， ﹣2+t＝﹣（﹣8+t）或﹣2+t＝﹣8+t， 解得t＝5； 当点P在A的左侧或B的右侧时，PA+PB＞AB， 则﹣6+t＜﹣4或﹣6+t＞2， 解得t＜2或t＞8． 故0≤t＜2或t＞8． 【点睛】本题考查数轴上两点间的距离、一元一次方程的解法、一元一次不等式解法． 板块三 数轴上的新定义问题 【例1】阅读理解： 若A、B、C为数轴上三点，若点C到A的距离是点C到B的距离2倍，我们就称点C是【A，B】的好点． 例如，如图1，点A表示的数为﹣1，点B表示的数为2．表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是【A，B】的好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是【A，B】的好点，但点D是【B，A】的好点． 如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为﹣2，点N所表示的数为4． （1）数 　2或10　 所表示的点是【M，N】的好点； （2）如图3，A、B为数轴上两点，点A所表示的数为﹣20，点B所表示的数为40．现有一只电子蚂蚁P从点B出发，以2个单位每秒的速度向左运动，到达点A停止．当t为何值时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的好点？ 【分析】（1）设所求数为x，根据好点的定义列出方程x﹣（﹣2）＝2（4﹣x），解方程即可； （2）根据好点的定义可知分五种情况：①P为【A，B】的好点；②A为【B，P】的好点；③P为【B，A】的好点；④A为【P，B】的好点．⑤B为【A，P】的好点，设点P表示的数为y，根据好点的定义列出方程，进而得出t的值． 【详解】（1）设所求数为x，由题意得 x﹣（﹣2）＝2（4﹣x）或x﹣（﹣2）＝2（x﹣4）， 解得x＝2或x＝10； （2）设点P表示的数为y，分四五情况： ①P为【A，B】的好点． 由题意，得y﹣（﹣20）＝2（40﹣y）， 解得y＝20， t＝（40﹣20）÷2＝10（秒）； ②A为【B，P】的好点． 由题意，得40﹣（﹣20）＝2[y﹣（﹣20）]， 解得y＝10， t＝（40﹣10）÷2＝15（秒）； ③P为【B，A】的好点． 由题意，得40﹣y＝2[y﹣（﹣20）]， 解得y＝0， t＝（40﹣0）÷2＝20（秒）； ④A为【P，B】的好点 由题意得y﹣（﹣20）＝2[40﹣（﹣20）] 解得y＝100（舍）． ⑤B为【A，P】的好点 30＝2t， t＝15． 综上可知，当t为10秒、15秒或20秒时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的好点． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用及数轴，解题关键是要读懂题目的意思，理解好点的定义，找出合适的等量关系列出方程，再求解． 【针对训练】 1．定义：数轴上的三点，如果其中一个点与近点距离是它与远点距离的，则称该点是其他两个点的“倍分点”．例如数轴上点A，B，C所表示的数分别为﹣1，0，2，满足ABBC，此时点B是点A，C的“倍分点”．已知点A，B，C，M，N在数轴上所表示的数如图所示． （1）A，B，C三点中，点 B 是点M，N的“倍分点”； （2）若数轴上点M是点D，A的“倍分点”，则点D对应的数有 　4　 个，分别是 　﹣2，﹣4，1，﹣7　 ； （3）若数轴上点N是点P，M的“倍分点”，且点P在点N的右侧，求此时点P表示的数． 【分析】（1）利用“倍分点”的定义即可求得答案； （2）设D点坐标为x，利用“倍分点”的定义，分两种情况讨论即可求出答案； （3）利用“倍分点”的定义，结合点P在点N的右侧，分两种情况讨论即可求出答案． 【详解】（1）∵BM＝0﹣（﹣3）＝3，BN＝6﹣0＝6， ∴BMBN， ∴点B是点M，N的“倍分点”； （2）AM＝﹣1﹣（﹣3）＝2，设D点坐标为x， ①当DMAM时，DM＝1， ∴|x﹣（﹣3）|＝1， 解得：x＝﹣2或﹣4， ②当AMDM时，DM＝2AM＝4， ∴|x﹣（﹣3）|＝4， 解得：x＝1或﹣7， 综上所述，则点D对应的数有4个，分别是﹣2，﹣4，1，﹣7， 故答案为：4；﹣2，﹣4，1，﹣7； （3）MN＝6﹣（﹣3）＝9， 当PNMN时，PN9， ∵点P在点N的右侧， ∴此时点P表示的数为， 当MNPN时，PN＝2MN＝2×9＝18， ∵点P在点N的右侧， ∴此时点P表示的数为24， 综上所述，点P表示的数为或24． 【点睛】本题考查了数轴结合新定义“倍分点”，正确理解“倍分点”的含义是解决问题的关键． 2．（2025秋•南京期中）点A，B，C在数轴上，若点B与点A之间的距离是点B与点C之间的距离的3倍，则称B是【A，C】的伙伴点．如图1，点A，B，C，D在数轴上，O是原点，O是【D，A】的伙伴点，O也是【D，B】的伙伴点． 【概念认识】 （1）如图1，在点A，B，D中，A 是【C，O】的伙伴点． 【深入探究】 （2）已知点E，F，P在数轴上，P是【E，F】的伙伴点． ①如图2，利用刻度尺或圆规在数轴上画出所有的点E． （保留画图痕迹，写出必要的文字说明） ②若点E，F表示的数分别为e，f，则点P表示的数是 　或　 （用含e，f的代数式表示）． 【问题解决】 （3）如图1，点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点O，D分别以每秒3个单位长度、1个单位长度的速度向右运动．设运动时间为t秒，直接写出O是【A，D】的伙伴点时t的值． 【分析】（1）先求出两点AC、AO的距离，再根据伙伴点的定义判断即可； （2）①分类讨论，点P在EF之间，点P在点F的右侧，画出图形即可； ②根据①的图形结合PE＝3PF，分类讨论，列式求解即可； （3）由题意得点A表示的数为﹣1﹣t，点O表示的数为3t，点D表示的数为3+t，分当点O在点A和点D之间和当点D在点A和点O之间时，两种情况进行讨论． 【详解】（1）∵AC＝2﹣（﹣1）＝3，AO＝0﹣（﹣1）＝1，BC＝2﹣1＝1，BO＝1﹣0＝1， ∴AC＝3AO，BC≠3BO， ∴点A是【C，O】的伙伴点；点B不是【C，O】的伙伴点； 同理， ∵DC＝3﹣2＝1，DO＝3﹣0＝3， ∴DC≠3DO， ∴点D不是【C，O】的伙伴点； 故答案为：点A； （2）①根据点P是【E，F】的伙伴点的定义得PE＝3PF， 如图，点E1和E2是所作的点； ②设点P表示的数为y， 若点E1，F表示的数分别为e，f，且PE＝3PF， ∴e﹣y＝3（y﹣f），解得； 若点E2，F表示的数分别为e，f，且PE＝3PF， ∴y﹣e＝3（y﹣f），解得：y； 综上，点P表示的数是或； 故答案为：或； （3）由题意得，点A表示的数为﹣1﹣t，点O表示的数为3t，点D表示的数为3+t， 当点O在点A和点D之间时，且OA＝3OD， ∴3t﹣（﹣1﹣t）＝3（3+t﹣3t），解得， 当点D在点A和点O之间时，且OA＝3OD， ∴3t﹣（﹣1﹣t）＝3〔3t﹣（3+t）〕， 解得t＝5； 综上所述，t的值为或5． 【点睛】本题主要考查了数轴动点问题、一元一次方程实际应用等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 利用一元一次方程解决数轴上的动点问题、刻度尺问题及新定义问题 板块一 数轴上的动点问题 类型一 求运动后表示的数 【例1】（2024秋•沭阳县期中）如图，在数轴上点A表示的数是3，点B位于点A的左侧，与点A的距离是8个单位长度． （1）求点B表示的数，并在数轴上将点B表示出来； （2）若点M到点A的距离是到点B距离的2倍，求点M对应的数； （3）动点P从点B出发，沿着数轴以每秒4个单位长度的速度向点A运动，同时，点Q从点A出发，沿着数轴以每秒2个单位长度的速度向点B运动，当其中一点先到达终点时，另一点继续运动．求点P与点Q到原点的距离相等时，点Q在数轴上对应的数． 【针对训练】 1.（2025秋•杭州期中）如图，数轴上有三个点A，B，C，它们对应的数分别为﹣17，b，c，且|b+1|与（c﹣2）2互为相反数．点P，Q为数轴上的两个动点，点P对应的数为x． （1）求出b，c的值． （2）数轴上是否存在点P，使点P到点B和点P到点C的距离之和为4？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由． （3）点P以每秒1个单位长度的速度从原点O向左运动；点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度也向左运动，到达点A后，折返向点C运动．两点同时出发，当点Q到达点C时，两点都停止运动．问：当点Q从点A折返后与点P相遇时，点Q在数轴上对应的数是多少？ 类型二 求运动中的时间 【例2】（2024秋•崇川区月考）【背景知识】 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．研究数轴我们发现有许多重要的规律： 例如，若数轴上A点、B点表示的数分别为a、b，则A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，线段AB的中点M表示的数为． 【问题情境】 在数轴上，点A表示的数为﹣35，点B表示的数为25，动点P从点A出发沿数轴正方向运动，同时，动点Q也从点B出发沿数轴负方向运动，已知运动到3秒钟时，P、Q两点相遇，且动点P、Q运动的速度之比是3：2（速度单位：单位长度/秒）． 【综合运用】 （1）点P的运动速度为　 　 单位长度/秒，点Q的运动速度为 　 单位长度/秒； （2）当4PQ＝AB时，求运动时间； （3）若点P、Q在相遇后继续以原来的速度在数轴上运动，但运动的方向不限，我们发现：随着动点P、Q的运动，线段PQ的中点M也随着运动．问点M能否与﹣1点重合？若能，求出从P、Q相遇起经过的运动时间；若不能，请说明理由． 【针对训练】 1．数轴上，把点A表示的数记为a，点B表示的数记为b，在学习绝对值时，我们知道了绝对值的几何含义：数轴上点A，B之间的距离记作AB或BA，例如：当a＝1，b＝3时，点A，B之间的距离AB＝|1﹣3|＝2；当a＝﹣1，b＝﹣3时，点A，B之间的距离AB＝|﹣1﹣（﹣3）|＝2；当a＝﹣1，b＝3时，点A，B之间的距离AB＝|﹣1﹣3|＝4；由此我们知道，一般情况下，点A，B之间的距离AB＝|a﹣b|或AB＝|b﹣a|，如图，数轴上点A，B分别表示数﹣6，2． （1）填空：AB＝　 　 ； （2）若C点从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右移动，同时点D从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向右移动，设移动的时间为t（t＞0）秒． ①移动中，点C表示的数是 　 ，点D表示的数是 ，点C，D之间的距离CD＝　 　 （用含有t的代数式表示）； ②移动中，若点C，D之间相距4个单位长度，求t的值． 2．（2025秋•大东区期中）如图，数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，且a，b满足（a﹣10）2+|b+6|＝0．动点P从点A出发，以每秒8个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t秒（t＞0）． （1）写出数轴上点A表示的数是　 　 ，点B表示的数是　 　 ，点P表示的数是　 （用含t的式子表示）； （2）当点P在点B的左侧运动时，M，N分别是线段PA，PB的中点，求PM﹣PN的值； （3）动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，点P，Q同时出发，当点P运动多少秒时，． 3．如图，A，B分别是数轴上两点，点O为原点，点A表示的数为﹣80，点B表示的数为40．现有两个动点P、Q均从点A出发，沿数轴正方向移动，点P的速度为10单位/秒，点Q的速度为5单位/秒． （1）若两动点同时出发，当点P到达点B时，点Q在数轴上表示的数为 　 ． （2）在（1）的条件下，若点P到达点B停留6秒后以15单位/秒的速度匀速沿数轴向点A运动，求在整个运动过程中当t为何值时，P，Q两点相距20个单位长度． （3）若点P依然以速度为10单位/秒出发，出发3秒钟后点Q出发，当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动，设点P运动的时间为t秒，运动过程中点P表示的数为x，点Q表示的数为y，求t为何值时，|y|＝3|x|． 4．如图，A，B是数轴上的两点，A对应的数为﹣2，B对应的数为10，O是原点．动点P从点O出发向点B匀速运动，速度为每秒1个单位长度，动点Q从点A出发向点B匀速运动，速度为每秒3个单位长度，到达点B后立即返回，以原来的速度向点O匀速运动，当点P，Q再次重合时，两点都停止运动．设P，Q两点同时出发，运动时间为t（s）． （1）当点Q到达点B时，点P对应的数为 　 　 ； （2）在点Q到达点B前，点Q对应的数为 　 （用含t的代数式表示）； （3）在整个运动过程中，当t为何值时，P，Q两点相距个单位长度． 类型三 求运动后的定值 【例3】（2023秋•贵阳期末）已知：如图数轴上有A、B、C三点，点A和点B间距20个单位长度且点A、B表示的有理数互为相反数，AC＝40，数轴上有一动点P从点A出发，以2个单位/秒的速度向右沿数轴运动，设运动时间为t秒（t＞0）． （1）点A表示的有理数是 　 　 ，点C表示的有理数是 　 　 ，点P表示的数是 　 （用含t的式子表示）． （2）当t＝　 秒时，P、B两点之间相距8个单位长度？ （3）若点A、点B和点C与点P同时在数轴上运动，点A以1个单位/秒的速度向左运动，点B和点C分别以3个单位/秒和4个单位/秒的速度向右运动，是否存在常数m，使得mAP+7BP﹣2CP为一个定值，若存在，请求出m值以及这个定值；若不存在，请说明理由． 【针对训练】 1．（2025秋•越秀区校级期中）已知M，N两点在数轴上表示的数分别为m，n，且满足|m﹣8|+（n+4）2＝0． （1）求m，n的值； （2）如图所示，将一个滑块AB放置在数轴上，沿数轴左右水平移动滑块，当点A移动到点B一开始的位置时，点B所对应的数为m；当点B移动到点A一开始的位置时，点A所对应的数为n．则滑块的长为 　　 个单位长度；将该滑块沿数轴左右水平移动，当NA：BM＝2：1时，求出此时点A所表示的数． （3）在（2）的情境下，移动滑块，使A与MN中点重合，记为初始位置． ①滑块AB以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点P和点Q从N、M出发，分别以每秒1个单位长度和4个单位长度的速度向左和向右运动，记滑块AB运动后对应的位置为A'B'，是否存在常数k使得2PQ+k•B'A的值与它们的运动时间无关？若存在，请求出k和这个定值；若不存在，请说明理由． ②将①中条件改为“滑块AB以每秒2个单位长度的速度向左运动”，其余条件不变，是否存在常数k使得2PQ+k•B'A的值与它们的运动时间无关？若存在，请求出k和这个定值；若不存在，请说明理由． 板块二 数轴上的刻度尺问题 类型一 求点表示的数 1．如图1，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为﹣5，b，4．某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对应刻度1.8cm，点C对齐刻度5.4cm． （1）在图1的数轴上，AC＝　 个长度单位；数轴上的一个长度单位对应刻度尺上的　 　 cm； （2）求数轴上点B所对应的数b； （3）在图1的数轴上，点Q是线段AB上一点，满足AQ＝2QB，求点Q所表示的数． 【针对训练】 1．（2025秋•长岭县期中）如图，将刻度尺放在数轴上（数轴的单位长度是1cm），刻度尺上0cm和3cm分别对应数轴上的3和0，那么刻度尺上6.7cm对应数轴上的数为（　　） A．6.7 B．﹣6.7 C．﹣3.3 D．﹣3.7 类型二 折叠数轴或刻度尺问题 【例2】（2024秋•东西湖区期末）如图，将一条长为7cm的卷尺铺平后折叠，使得卷尺自身的一部分重合，然后在重合部分（阴影处）沿与卷尺边垂直的方向剪一刀，此时卷尺分为了三段，若这三段长度由短到长的比为2：3：5，其中没有完全盖住的部分最长，则折痕对应的刻度可能是（　　）cm． A．2.3或2.75 B．2.45或2.8 C．2.3或2.8 D．2.45或2.75 【针对训练】 1．（2025秋•徐州月考）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．小明在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究： 操作一：（1）如图1，在数轴上，三个有理数从左到右依次是﹣1，m，m+1，利用刻度尺或圆规，在数轴上画出原点O； 操作二：（2）折叠这条数轴所在纸面，若使﹣1表示的点与数3表示的点重合，数m表示的点与数﹣2023表示的点重合，则m＝　2025　 ． 类型三 数轴、刻度尺、动点综合 【例3】（2025秋•朝阳区期中）如图1，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数﹣2，b，8．某同学将测度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对齐刻度1.2cm，点C对齐刻度6.0cm，我们把数轴上点A到点C的距离表示为AC，同理，A到点B的距离表示为AB． （1）在图1的数轴上，AC＝　 　 个长度单位；在图2的刻度尺上，AC＝　 cm；数轴上的1个长度单位对应刻度尺上的　 cm； （2）在数轴上点B所对应的数为b，若点Q是数轴上一点，且满足CQ＝2AB，请通过计算，求b的值及点Q所表示的数； （3）在（2）的条件下，点M，N分别从B，C出发，同时向右匀速运动，点M的运动速度为5个单位长度/秒，点N的速度为3个单位长度/秒，设运动的时间为t秒（t＞0）．在M，N运动过程中，若成立，请直接写出一个满足条件的t的值，t＝　 ． 【针对训练】 1．（2025秋•青龙县期中）如图，以1厘米为1个单位长度用直尺画数轴时，数轴上的点A，B，C刚好对应着直尺上的刻度2，8，10．设数轴上点A，B，C表示的数的和为m，该数轴的原点为O．向右为正方向，有一个动点P以每秒1个单位长度向右匀速运动．回答下列问题： （1）若数轴上点A，C表示的数互为相反数，求该数轴的原点O对应直尺上的刻度，并求出m的值． （2）在（1）所确定的数轴的基础上，动点P初始位置在数轴上表示的数为﹣6，当点P到点A的距离与到点B的距离相等时． ①求此时t的值． ②判断此时点P到点A的距离与到点B的距离之和与A，B两点间的距离相等吗？这样的点唯一吗？ ③当点P到点A的距离与到点B的距离和大于A，B两点间的距离时，直接写出t的取值范围． 板块三 数轴上的新定义问题 【例1】阅读理解： 若A、B、C为数轴上三点，若点C到A的距离是点C到B的距离2倍，我们就称点C是【A，B】的好点． 例如，如图1，点A表示的数为﹣1，点B表示的数为2．表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是【A，B】的好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是【A，B】的好点，但点D是【B，A】的好点． 如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为﹣2，点N所表示的数为4． （1）数 　2或10　 所表示的点是【M，N】的好点； （2）如图3，A、B为数轴上两点，点A所表示的数为﹣20，点B所表示的数为40．现有一只电子蚂蚁P从点B出发，以2个单位每秒的速度向左运动，到达点A停止．当t为何值时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的好点？ 【针对训练】 1．定义：数轴上的三点，如果其中一个点与近点距离是它与远点距离的，则称该点是其他两个点的“倍分点”．例如数轴上点A，B，C所表示的数分别为﹣1，0，2，满足ABBC，此时点B是点A，C的“倍分点”．已知点A，B，C，M，N在数轴上所表示的数如图所示． （1）A，B，C三点中，点 B 是点M，N的“倍分点”； （2）若数轴上点M是点D，A的“倍分点”，则点D对应的数有 　 　 个，分别是 　 ； （3）若数轴上点N是点P，M的“倍分点”，且点P在点N的右侧，求此时点P表示的数． 2．（2025秋•南京期中）点A，B，C在数轴上，若点B与点A之间的距离是点B与点C之间的距离的3倍，则称B是【A，C】的伙伴点．如图1，点A，B，C，D在数轴上，O是原点，O是【D，A】的伙伴点，O也是【D，B】的伙伴点． 【概念认识】 （1）如图1，在点A，B，D中，A 是【C，O】的伙伴点． 【深入探究】 （2）已知点E，F，P在数轴上，P是【E，F】的伙伴点． ①如图2，利用刻度尺或圆规在数轴上画出所有的点E． （保留画图痕迹，写出必要的文字说明） ②若点E，F表示的数分别为e，f，则点P表示的数是 　 （用含e，f的代数式表示）． 【问题解决】 （3）如图1，点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点O，D分别以每秒3个单位长度、1个单位长度的速度向右运动．设运动时间为t秒，直接写出O是【A，D】的伙伴点时t的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $