3.3 勾股定理的应用举例 课件 2025-2026学年 鲁教版（五四制）七年级数学上册

该初中数学课件聚焦勾股定理的应用举例，涵盖几何体最短路线、直角三角形判别、实际问题与方程结合及折叠问题等核心知识点。通过复习平面线段公理导入，引导将立体图形展开为平面，搭建从已知到未知的学习支架，逐步深化勾股定理的应用。 其亮点在于融合多情境实例，如圆柱蚂蚁爬行、建房地基检测等，引导学生用数学眼光观察现实世界，将实际问题转化为数学模型。折叠问题解析结合方程思想，长方体展开易错点强调分类讨论，培养数学思维的严谨性。例题步骤清晰，小结提炼方法，助力学生掌握转化与建模能力，教师可借助系统案例提升教学效率。

3.3 勾股定理的应用举例 在平面上寻找两点之间最短路线的依据是线段公理:两点之间，线段最短在立体图形上，由于受物体和空间的阻隔，两点间的最短路线不一定是连接两点的线段，应将立体图形展开成平面图形，然后确定最短路线步骤如下. 知识点一 确定几何体上的最短路线 1 如图所示，圆柱的底面周长为6 cm，AC是底面圆的直径，高BC＝6 cm，P是BC上一点且PC＝BC.一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱的侧面爬行到点P，求爬行的最短路程是多少.   知识点二 利用直角三角形的判别条件 在实际生活中，常判断两直线是否垂直，解决此类问题的一般方法是将实际问题转化为数学问题，先结合题意画出符合要求的三角形，再利用直角三角形的判别条件判断是否垂直. 2 下图是一农民建房时挖地基的平面图，按标准，四边形ABCD应为长方形，他在挖完后测得AB＝CD＝6 m，AD＝BC＝8 m，AC＝9 m，请你帮他检查一下挖的地基是否合格. 2 下图是一农民建房时挖地基的平面图，按标准，四边形ABCD应为长方形，他在挖完后测得AB＝CD＝6 m，AD＝BC＝8 m，AC＝9 m，请你帮他检查一下挖的地基是否合格. 解析: AD2＋DC2＝82＋62＝100，AC2＝92＝81， ∴AD2＋DC2≠AC2，∴△ADC不是直角三角形，∴∠ADC≠90°. ∵四边形ABCD应为长方形，∴四个角应为直角， ∴该农民挖的地基不合格. 3 如下图①，小旭放风筝时，风筝线断了，风筝挂在了树上.他想知道风筝距地面的高度于是他先拉住风筝线垂直到地面上，发现风筝线多出1米，然后把风筝线沿直线向后拉开5米，发现风筝线末端刚好接触地面（图②为示意图）请你帮小旭求出风筝距离地面的高度AB. 知识点三 应用勾股定理 解析 设AB＝x，则AC＝x＋1， 由题意可得∠ABC＝90°，BC＝5， 在Rt△ABC中，AB2＋BC2＝AC2，即x2＋52＝（x＋1）2，解得x＝12. 答:风筝距离地面的高度AB为12米. 解析 设AB＝x，则AC＝x＋1， 由题意可得∠ABC＝90°，BC＝5， 在Rt△ABC中，AB2＋BC2＝AC2，即x2＋52＝（x＋1）2，解得x＝12. 答:风筝距离地面的高度AB为12米. 点拨 在应用勾股定理解决实际问题时，勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出直角三角形这一数学模型，画出准确的示意图. 经典例题 01 例题 下图①是一个直角三角形纸片，∠C＝90°，AB＝13cm，BC＝5cm，将其折叠，使点C落在斜边上的点C′处，折痕为BD（如图②），求DC的长. 题型 勾股定理在折叠问题中的应用     易错易混 02 易错点 将长方体展开时，考虑不全 对长方体来说，一般情况下，展开的方法不同，展开得到的两点间的距离也不相同，故对此问题应把可能出现的情况考虑全，分别计算，经过比较求出最短距离. 例题 如图所示，长方体ABCD-A′B′C′D′中，AB＝BB′＝2，AD＝3，一只蚂蚁从A点出发，沿长方体表面爬到C′点，最短路程是多少？   （2）如下图，将长方体的前面和上面展开至同一平面，得长方形ADC′B′，AD＝3，C′D＝DD′＋D′C′＝2＋2＝4，连接AC′，则△ADC′为直角三角形，由勾股定理得AC′2＝C′D2＋AD2＝42＋32＝25. ∴AC′＝5.   $