24.2 点和圆、直线和圆的位置关系【十一大考点+十一大题型】-2025-2026学年人教版九年级上册数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破

、 24.2 点和圆、直线和圆的位置关系 【考点归纳】 【知识梳理】 知识点一：点与圆的位置关系 设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有： d<r点P在⊙O内； d=r点P在⊙O上； d>r点P在⊙O外。 知识点2：直线与圆的位置关系 1、直线与圆相离 无交点； 2、直线与圆相切 有一个交点； 3、直线与圆相交 有两个交点； 知识点三：切线的性质与判定定理 1、切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线； 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 即：∵且过半径外端 ∴是⊙的切线 2、性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图） 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。 推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。 知识点四：切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 即：∵、是的两条切线 ∴；平分 知识点五：三角形的内切圆和内心 （1）三角形的内切圆：与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。 （2）三角形的内心：三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心。 【题型探究】 题型一：判断点和圆的位置关系 【例1】．（25-26九年级上·北京·期中）的半径为4，O为原点，点P的坐标为，则P与的位置关系是（   ）． A．点P在内 B．点P在上 C．点P在外 D．点P在上或点P在外 【答案】C 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，通过计算点P到圆心O的距离，与圆的半径比较，判断点与圆的位置关系． 【详解】解：∵圆心O的坐标为，点P的坐标为， ∴， ∵的半径为4，且， ∴点P在外． 故选：C． 【变式1】．（2025九年级上·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，是坐标原点，的半径为5，若点的坐标为，则点与的位置关系是（    ） A．点在内 B．点在上 C．点在外 D．不能确定 【答案】A 【分析】此题考查了点和圆的位置关系，两点间距离公式，正确理解点与圆的位置关系是解题关键． 根据的坐标得出的长，与半径作比较，即可得出结论． 【详解】解：点的坐标为， ， ，， ∵是坐标原点，的半径为5， ∴点在内． 故选：A． 【变式2】．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习）已知的半径为3，点到圆心的距离恰好是一元二次方程的根，则点与的位置关系是（   ） A．点在的内部 B．点在上 C．点在的外部 D．点在的内部或点在的外部 【答案】D 【分析】本题考查的是点与圆的位置关系，解一元二次方程，熟知点与圆的三种位置关系是解答此题的关键． 先解方程求出x的值，再根据点与圆的位置关系即可得出结论． 【详解】解：∵解方程得，，， ∴当，时，点P在圆内； 当，时，点P在圆外， ∴点在的内部或点在的外部． 故选：D． 题型二：点与圆上一点的最值问题 【例2】．（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，半径为5的圆心的坐标为，点是上任意一点，，与轴分别交于，两点，且，若点，点关于原点对称，则的最大值为（　　） A．60 B． C． D． 【答案】B 【分析】 本题考查点与圆的位置关系，直角三角形斜边的中线，掌握相关知识是解决问题的关键．连接，由直角三角形斜边中线的性质推出，当在的延长线上时，最大，此时最大，由勾股定理求出，得到，即可求出的最大值． 【详解】解：过作，连接， 的坐标是，在中，由勾股定理得： ， ，， ， 当取最大值时，的值最大，当在的延长线上时，最大， 圆的半径是5， ， ， ， 的最大值是40． 故选：B． 【变式1】．（2025·江苏淮安·一模）如图，矩形中，，以A为圆心，1为半径作．若动点在上，动点在上，则的最大值是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称—最短路线问题，勾股定理的应用及圆的最值问题等，作出对称图形是本题的关键．以为轴作矩形的对称图形以及对称圆，连接交于P，并延长，交于一点G，则就是最小值；根据勾股定理求得的长，即可求得最大值． 【详解】解：如图，以为轴作矩形的对称图形以及对称圆，连接交于P，并延长，交于一点G，则就是最大值； ∵矩形中，，圆A的半径为1， ∴， ∴， ∴， 即的最大值为6， 故选C． 【变式2】．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，的半径为1，为圆上一动点，为的中点，连接，，则长的最大值为   A．5 B． C．6 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了坐标与图形性质，三角形的中位线，点与圆的位置关系．掌握三角形的中位线定理，点与圆的位置关系是解题的关键．由点、点的坐标得是的中点，则是的中位线，，当的长最大时，的长最大，根据点与圆的位置关系可得长的最大值为，求出，即可求解． 【详解】解：点的坐标为，点的坐标为， 是的中点， 为的中点， 是的中位线， ， 当的长最大时，的长最大，如图， 点的坐标为，点的坐标为， ， 长的最大值为， 长的最大值为， 故选：D． 题型三：三角形外接圆问题 【例3】．（24-25九年级上·全国·期末）如图，正三角形是圆的内接三角形，弦，且与垂直，则圆的半径等于（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的性质、勾股定理、垂径定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 连接，根据垂径定理推出被垂直平分，再根据勾股定理进行计算即可． 【详解】解：连接， ∵是等边三角形，， ∴，， ∴，， 设，则， 在中，， ∴， 则， 则， 解得：． 故选：B ． 【变式1】．（24-25九年级上·河南洛阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过原点三点，则下列说法中错误的是（   ） A．这条圆弧所在圆的半径为 B．这条圆弧所在圆的圆心为 C．点在这条圆弧所在圆上 D．点在这条圆弧所在圆上 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的外接圆、点和圆的位置关系、勾股定理等内容,熟练掌握相关知识是解题的关键． 根据点与圆的位置关系，确定圆的条件及勾股定理计算解答即可． 【详解】解：如图，连接，作的垂直平分线，垂足分别为，相交于点， 则点为圆弧所在圆的圆心， , ， ，故选项B正确，连接， ， 这条圆弧所在圆的半径为， 故选项A正确， 连接，，点在这条圆弧所在圆上， 故选项C正确，，，，点在这条圆弧所在圆外， 故选项D错误， 故选： D． 【变式2】．（24-25九年级上·湖南常德·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为：，，，经画图操作可知，的外心坐标应是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了三角形外心的知识，注意三角形的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，解此题的关键是数形结合思想的应用．首先由的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，所以在平面直角坐标系中作与的垂线，两垂线的交点即为的外心． 【详解】解：的外心即是三角形三边垂直平分线的交点， 作图得： 与的垂直平分线交点即为的外心， 的外心坐标是， 故选：D． 题型四：直线和圆的位置判断 【例4】．（25-26九年级上·山东济宁·期中）如图，在中，，，以点为圆心，以的长为半径作圆，则与的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．相切或相交 【答案】C 【分析】本题考查了直线与圆的关系，30度角的直角三角形的性质，先点C作，根据30度角的直角三角形的性质，得，再结合以点为圆心，以的长为半径作圆，进行分析，即可作答． 【详解】解：过点C作，如图所示： ∵，， ∴在中，， ∵以点为圆心，以的长为半径作圆，且， ∴与的位置关系是相交， 故选：C． 【变式1】．（2025·广东广州·二模）如图，在中，，，是边上的高，，若圆是以点为圆心，为半径的圆，那么圆与直线的关系是（　　） A．相切 B．相离 C．相交 D．不能确定 【答案】B 【分析】此题考查了勾股定理、直线与圆的位置关系、含角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握直线与圆的位置关系是关键．过点D作于点H，求出，由即可得到结论． 【详解】解：过点D作于点H， ∵在中，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴ ∵， ∴则圆与直线的关系是相离． 故选：B． 【变式2】．（2025·广东广州·一模）在平面直角坐标系中，的半径为2.5，直线的解析式为，那么直线与的位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，一次函数的性质，关键是由三角形面积公式求出的长．求出，由勾股定理得到，由三角形面积公式求出，而的半径，即可判断直线与的位置关系． 【详解】解：如图，直线分别与 轴交于， 过作于， 当时，， ， 当时，， ， ， ， 的面积， ， ， 到直线的距离， 的半径， ， 直线与的位置关系是相交． 故选：C． 题型五：已知直线和圆的位置关系半径或者距离 【例5】．（23-24九年级下·上海崇明·期中）已知在中，，，，若以为圆心，长为半径的圆与边有交点，那么的取值范围是（   ） A．或 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理、圆的基本性质．首先根据勾股定理可求，利用三角形的面积公式可求，当圆的半径为时，开始与边有交点，当时，圆与边有交点，当时，圆与边没有交点，从而确定的取值范围． 【详解】解：如下图所示，过点作， 中，，，， ， ， ， 解得：， 当以点为圆心的圆的半径时，圆经过点， 当时，圆与边没有交点， ．      故选：D ． 【变式1】．（24-25九年级上·广东惠州·阶段练习）如图所示，在中，，，，以为圆心，为半径的圆与边有公共点，则的取值范围为（　　） A． B．或 C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了直线与圆的位置关系、勾股定理以及直角三角形的性质，作于，由勾股定理求出，由三角形的面积求出，由可得以为圆心，或为半径所作的圆与斜边只有一个公共点；若与斜边有公共点，即可得出的取值范围，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：作于，如图： ， 的面积 即圆心到的距离 ∴以为圆心，或为半径所作的圆与斜边只有一个公共点， ∴若与斜边有公共点，则的取值范围是：， 故选：D． 【变式2】．（2024·上海·模拟预测）如图，在梯形中，，，，，如果以为直径的圆与梯形各边共有3个公共点（C，D两点除外），那么长的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】考查了直线和圆的位置关系与数量之间的联系．此题首先能够根据公共点的个数得到直线和圆的位置关系；再进一步计算出相切时圆心到直线的距离，从而根据直线和圆的位置关系与数量之间的联系，得到答案． 【详解】解：根据题意，得圆必须和直线相交，设直线和圆相切于点E， 连接，则，， 又∵， ∴此时． 根据梯形的中位线定理，得 ， ∴， ∴， ∴直线要和圆相交，则． 故选D． 题型六：切线的性质定理 【例6】．（25-26九年级上·重庆·期中）如图，是的切线，B为切点，连接交于点C，延长交于点D，连接．若，且，则的长度是（   ） A．15 B．10 C． D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查圆的相关计算，涉及切线的定义，含直角三角形的性质，勾股定理，连接，设的半径为，根据，，得，结合切线的定义可知，再根据含直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：连接， 设的半径为， ∵，， ∴， ∵是的切线，为切点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，则， ∴， ∴． 故选：C． 【变式1】．（25-26九年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，是的直径，是的两条切线，B、C是切点，若，，则的长度为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了切线长定理，切线的性质，等边三角形的性质和判定，连接，证明是等边三角形，得到，由圆周角定理和切线的性质证得，进而证得，即可求出答案． 【详解】解：连接， ∵是的两条切线， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 【变式2】．（25-26九年级上·黑龙江牡丹江·期中）如图，，是的切线，A，C为切点，若是的直径，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质等；由切线的性质得，由等腰三角形的性质得，即可求解． 【详解】解：连接， ，是的切线， ，， ， ， ， ， 故选：C． 题型七：切线的判定与性质综合问题 【例7】．（25-26九年级上·内蒙古乌兰察布·期中）如图，为的切线，A为切点，连接，过点A作，垂足为C，交于点B，连接，求证：为的切线． 【详解】证明：如图所示，连接， ， ， ， ， 为的切线， ，即， ， 为的半径， 为的切线． 【变式1】．（2025·广东佛山·三模）如图，是的弦，为过点的切线上一点，且，分别在上，且，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，求的度数． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴． ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：在与中， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴． 【变式2】．（2025·广东汕头·三模）如图，是的直径，与相切于点，交的延长线于点，交的延长线于点， (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的半径． 【详解】（1）解：证明：过点O作， 是的直径，与相切于点A， ， ， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， 与相切； （2）由（1）证得， ， ，，， ∴ 由（1）证得， ， ， 设的半径为：， ， ， 的半径为． 题型八：切线长定理 【例8】．（25-26九年级上·福建福州·期中）如图，在中，，的内切圆的半径为2，三个切点分别为，若，则的面积是（   ） A．14 B．24 C．28 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形内切圆与切线长定理的应用，根据题意利用切线的性质以及正方形的判定方法得出四边形是正方形，进而利用勾股定理即可得出答案． 【详解】解：连接，， 是的内切圆，切点分别为，，， ，，，， 又， 四边形是矩形， 又， 矩形是正方形， ， 设，则，， 在中 ， 解得：，， ，，或，， ． 故选：B． 【变式1】．（25-26九年级上·湖南长沙·期中）如图，P为外一点，，，分别切于A，B，C三点，且切线分别交，于点M，N．若，则的周长为（   ） A．6 B．8 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了应用切线长定理求解，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 利用切线长定理得出，，，再利用三角形周长公式求解即可． 【详解】解：∵P为外一点，，，分别切于A，B，C三点，且切线分别交，于点M，N，， ∴，，， ∴的周长为 ， 故选：C． 【变式2】．（25-26九年级上·浙江台州·阶段练习）如图，直线，，分别与相切于点，，，且，，．则的直径为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了切线长定理，平行线的性质，勾股定理，根据平行线的性质以及切线长定理，即可证明，再根据勾股定理即可求得的长，进而根据等面积法，即可求解． 【详解】解：连接， 根据切线长定理得：，，，；   ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴ ∴的直径为． 故选：D． 题型九：三角形的内切圆问题 【例9】．（24-25九年级上·四川泸州·期末）如图，在中，，，与三边分别相切于点，，，且，则的面积是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：连接、、、， 与三边分别相切于点，且，，， ∴，，，，，，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， 故选：C． 【变式1】．（24-25九年级上·河北邢台）在中，，．是的内切圆，连接、，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了内切圆的定义，角平分线的定义，三角形内角和定理，先根据内切圆的定义得、分别平分、，则，，再根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵是的内切圆， ∴、分别平分、， ∵，， ∴，， ∴． 故选：C． 【变式2】．（2024·广东广州·一模）如图，的内切圆与，，分别相切于点，，，若的半径为，，则的值和的大小分别为（    ） A．0， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查三角形的内切圆，圆周角定理，切线长定理等知识．连接．利用切线长定理，可得，从而得到，再由圆周角定理，可得，即可． 【详解】解：如图，连接． ∵的内切圆与，，分别相切于点，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A 题型十：三角形内切和外切的综合问题 【例10】．（24-25九年级上·四川自贡·期末）如图，是的直径，内接于，点是的内心，的延长线与交于点是上任意一点，连接． (1)若，求的度数： (2)若，，，请直接写出与的数量关系； (3)找出图中所有与相等的线段，并证明． 【详解】（1）解：∵内接于，是上任意一点， ∴四边形为圆内接四边形， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴； （2）同（1）法可得：， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴； （3），证明如下： 连接， ∵点是的内心， ∴平分，平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式1】．（22-23九年级上·江苏盐城·期中）如图，I是的内心，的延长线交的外接圆于点D． (1)求证：； (2)求证：； (3)连接、，求证：点D是的外心． 【详解】（1）证明：点I是的内心， 平分， ， ， ， ． （2）证明：如图，连接， 点I是的内心， 平分，平分， ， 又， ， ，， ， ． （3）证明：如图，连接，，， ， ． ， ∴点D是的外心． 【变式2】．（25-26九年级上·山西朔州·阶段练习）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接BE. （1）直接写出∠BED与∠C的关系： . （2）求证：DE=DB; （3）若∠BAC=90,BD=4,求△ABC外接圆的半径. 【详解】（1）解：由题意可得： ∠AEB=180°-(∠EBA+∠EAB)=180°-(∠CBA+∠CAB)=180°-(180°-∠C)， ∴∠AEB=90°+， ∴∠BED=180°-∠AEB=180°-（90°+∠C）=90°-∠C； （2）证明：由三角形内心的性质可得：∠BAD=∠CAD，∠ABE=∠CBE， 由圆周角定理可得∠DAC=∠DBC ， ∴∠BAD=∠DBC， ∵∠BED=∠BAD+∠ABE，∠DBE=∠DBC+∠EBC=∠BAD+∠ABE， ∴∠BED=∠DBE， ∴DB=DE． （3）连接CD，如图所示：由(1)得：， ∴CD=BD=4 ， ∵∠BAC=90°， ∴BC是直径， ∴∠BDC=90°， ∴BC==， ∴△ABC外接圆的半径：r=． 题型十一：直线与圆的综合压轴问题 【例11】．（25-26九年级上·河南漯河·期中）已知是的直径，点D是延长线上一点，，是的弦，． (1)求证：直线是的切线； (2)若，垂足为M，的半径为8，求的长． 【详解】（1）证明：连接，， ∵， ∴， ∵， ∴． ∵所对的圆周角是，圆心角是， ∴， ∴， ∴． ∵是的半径， ∴直线是的切线； （2）解：∵是的直径，，垂足为M，的半径是8， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 根据勾股定理得， ∴． 【变式1】．（25-26九年级上·江苏南通·期中）如图，是的直径，点在上，为外一点，且，． (1)求证：直线为的切线； (2)若，求的半径． 【详解】（1）证明：如图，连接，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵是半径， ∴直线为的切线； （2）解：如图，连接， ∵， ， ∴， 由（1）得， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴的半径是． 【变式2】．（25-26九年级上·湖南长沙·期中）如图，内接于，过点B的切线与线段的延长线交于点D，线段交于点E，交于点F，． (1)求的度数； (2)连接，探究线段，和之间的数量关系，并进行证明． 【详解】（1）解：连接，，， ∵过点B的切线与线段的延长线交于点D， ∴，， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， ； （2）， 理由：延长到G，使，连接， ，， ，解得：，， ，四边形是的圆内接四边形， ，又， ， 在与中，， ，，，， 是等腰直角三角形，，，． 【高分达标】 1．（25-26九年级上·江苏徐州·期中）以下说法正确的是（     ） A．长度相等的弧是等弧 B．相等的圆心角所对的弦相等 C．任意三点确定一个圆 D．三角形的内心到三边的距离相等 【答案】D 【分析】本题考查圆的基本性质和三角形的内心性质，需根据定义和定理逐一判断选项的正确性. 【详解】解：A、∵等弧需在同圆或等圆中且能完全重合，长度相等的弧不一定能重合，∴A错误； B、∵在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦才相等，∴B错误； C、∵不在同一直线上的三点才能确定一个圆，∴C错误； D、∵三角形的内心是角平分线的交点，也是内切圆的圆心，到三边的距离相等，∴D正确； 故选：D． 2．（25-26九年级上·山东日照·期中）根据图中圆规的作图痕迹，只用直尺就可确定的外心的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形外心的定义． 根据三角形外心是三角形三条垂直平分线的交点进行求解即可． 【详解】解：∵三角形外心是三角形三条垂直平分线的交点， ∴四个选项中只有A选项作图方法是垂直平分线的尺规作图， 故选：A． 3．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，，则的外心坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形的外心，熟练掌握三角形的外心是解题的关键；根据三角形的外心可分别作出线段的垂直平分线，它们的交点即为三角形的外心，进而问题可求解． 【详解】解：如图， 由图可知：的外心坐标是； 故选B． 4．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，点为的内心，，，，则的面积是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，直角三角形的性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握三角形的内心定义． 过点作的延长线于点，根据点为的内心，，可得，所以，利用含角的直角三角形可得的长，进而可得的面积． 【详解】解：如图，过点作的延长线于点， 点为的内心， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：B． 5．（25-26九年级上·浙江宁波·月考）若点M在外，且，则的半径r满足（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查点与圆的位置关系，解题的关键是掌握点在圆外时，点到圆心的距离大于半径；注意半径为正数． 根据点与圆的位置关系，点在圆外时，点到圆心的距离大于半径． 【详解】解：∵点M在外， ∴， ∵， ∴，即， 又∵圆的半径， ∴， 故选：C． 6．（25-26九年级上·江苏南通·期中）如图，是一张周长为的三角形的纸片，，是它的内切圆，小明准备用剪刀在的右侧沿着与相切的任意一条直线剪下，则剪下的三角形的周长为（   ） A． B． C． D．随直线的变化而变化 【答案】C 【分析】此题重点考查三角形的周长、三角形的内切圆与内心、切线长定理等知识，推导出，是解题的关键．设与、、、直线分别相切于点、、、，由的周长为，，求得，由，，求得，由，，得，于是得到问题的答案． 【详解】解：设与、、、直线分别相切于点、、、， 的周长为，， ， ，， ， ， ，， ， 剪下的三角形的周长为， 故选：C． 7．（25-26九年级上·全国·单元测试）如图，为的外接圆，且是的直径，点是上的一点，连接，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，圆内接四边形性质，根据圆周角定理得到，即可求出的度数，再根据圆内接四边形的对角互补解答即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵为的外接圆，且是的直径，， ∴， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∴， 故选：． 8．（25-26九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，，，分别与相切于，，三点，，，则的长为（   ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】B 【分析】本题主要考查了切线长定理，根据切线长定理可求出的长，进而可求出的长． 【详解】解：∵，，分别与相切于，，三点， ∴， ∴， 故选：B． 9．（25-26九年级上·河北邯郸·期中）如图，切于点C，交于点P，且为的直径，点Q是上异于点B、P的一点．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，连接，根据直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，以及同角的余角相等，进行求解即可． 【详解】解：如图，连接． ∵切于点C，交于点P，且为的直径， ∴， ， ， ， 故选：B． 10．（25-26九年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，半径为的圆心的坐标为，点是上任意一点，，与轴分别交于，两点，且，若点，点关于原点对称，则的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查点与圆的位置关系、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，连接交延长，交于点，过点作，利用勾股定理可以求出 ，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可知，当点、、共线时有最大值，最大值是，所以的最大值是． 【详解】解：如下图所示，连接并延长，交于点，过点作， 点的坐标为， ，， ， 点，点关于原点对称， ， ， ， ， 当最大时最大， 当点、、共线时有最大值， 的半径为， 的最大值是， 的最大值是． 故选：B． 11．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）已知，如图，为的直径，内接于，，，，延长交于点D，连接．的直径是，，则的长等于（   ） A．3 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】本题考查圆周角定理，等腰直角三角形，勾股定理；由圆周角定理得出，由得出，连接，由圆周角定理得出，证出是等腰直角三角形，得出，由勾股定理可求的长，即可得出结果． 【详解】解：连接，过点B作于H，如图所示： ∵为直径， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴或， ∴或（此时不合题意，舍去）． 故选D 二、填空题 12．（25-26九年级上·全国·周测）在平面直角坐标系中，点M的坐标为．以点M为圆心，r为半径的圆与x轴相交，与y轴相离，则r的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标和直线与圆的位置关系，熟记直线与圆的位置关系是解题关键． 先求出点到轴、轴的距离，再根据直线和圆的位置关系得出答案即可． 【详解】解：圆心到轴的距离为，到轴的距离为， ∵圆与轴相交， ∴； ∵圆与轴相离， ∴． ∴的取值范围为． 故答案为：． 13．（25-26九年级上·北京·期中）如图，，分别与相切于，两点，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】连接，根据切线的性质得到，根据含角的直角三角形的性质求出，根据勾股定理计算，得到答案． 【详解】解：如图，连接， ∵，分别与相切于，两点，若，， ∴，，， ∴平分， ∴， ∴， ∴， 即的长为． 故答案为：． 14．（25-26九年级上·江苏常州·期中）如图，在中，，，，是上一点（点与点不重合）．若在的直角边上存在4个不同的点分别和点、成为直角三角形的三个顶点，则长的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查含角的直角三角形，直角三角形的存在性，数形结合思想，分类讨论思想等内容；设的直角边上存在点E，使以点A，点D，点E为顶点的三角形是直角三角形，需要分情况讨论，当点D是直角顶点时，过点D作的垂线；当点E是直角顶点时，点E是以长为直径的圆与直角边的交点，当此圆与直角边相切时，为临界状态，此时这样的点有2个，当此圆过点C时，也为临界状态，点D和点B重合，不符合题意． 【详解】解：在中，， ∴， 设的直角边上存在点E，使以点A，点D，点E为顶点的三角形是直角三角形， ①当点D是直角顶点时，过点D作的垂线；②当点E是直角顶点时，点E是以长为直径的圆与直角边的交点， 如图所示，当此圆与直角边有3个交点时，符合题意； 当以为直径的圆与相切时，如图所示， 设圆的半径为r，即， ∵，， ∴， ∴，解得； ∴； 综上，的长的取值范围为：． 故答案为：． 15．（2025·青海西宁·三模）如图所示，的两条切线和相交于点，与圆相切于两点，是圆 上的一点，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆的切线的性质，四边形的内角和，圆周角定理． 连接，先根据圆的切线的性质可得，再根据四边形的内角和可得的度数，然后根据圆周角定理即可得． 【详解】解：如图，连接， ∵，分别与相切于两点， ∴， ∴， ∵， ∴， 由圆周角定理得：， 故答案为：． 16．（25-26九年级上·北京·期中）如图，，是的切线，，为切点．若，，则直径的长是 ． 【答案】5 【分析】本题考查了切线长定理，切线的性质，含角的直角三角形的性质等知识，先根据切线长定理，切线的性质，得出，，然后根据含角的直角三角形的性质求出，即可求解． 【详解】解：∵，是的切线，， ∴，， ∵， ∴， ∴直径． 故答案为：． 17．（24-25九年级上·内蒙古通辽·阶段练习）如图，点E是的内心，的延长线和的外接圆相交于点D，与相交于点G，则下列结论：①；②若，则；③若点G为的中点，则；④．其中一定正确的是 （填序号） 【答案】①②③④ 【分析】利用三角形内心的性质得到，则可对①进行判断；直接利用三角形内心的性质对②进行判断；根据圆周角定理，等弧与等弦的关系及等腰三角形的性质可对③进行判断；通过证明得到，则可对④进行判断． 【详解】解：∵点是的内心， ∴平分， ∴，故①正确； 连接，， ∵点是的内心， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴，故③正确； ∵点是的内心， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故④正确， ∴一定正确的是①②③④， 故答案为：①②③④． 三、解答题 18．（25-26九年级上·福建福州·期中）如图，四边形内接于，，点在的延长线上，连接，，．求证：是的切线． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了切线的判定定理，同弧所对的圆周角相等，90度的圆周角所对的弦是直径，先证明是的直径，再证明，则可证明，据此可证明结论． 【详解】证明：连接，如图， ， 是的直径， ，， ， ， ，即， ， 为的半径， 是的切线． 19．（25-26九年级上·江苏徐州·期中）如图，为的直径，点在上，的平分线交于点，过点作．交的延长线于点． (1)求证：直线是的切线； (2)若，，求． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查切线的判定，垂径定理的推论，勾股定理，圆周角的性质及含直角三角形的性质，熟练掌握切线的判定，垂径定理的推论，勾股定理，圆周角的性质及含直角三角形的性质是解题的关键； （1）连接，由题意易得点是的中点，则有，根据平行线的性质可得，进而问题可求解； （2）过点作于点，则有四边形是矩形，然后可得，进而根据含直角三角形的性质及勾股定理可进行求解． 【详解】（1）证明：连接，如图所示： ∵的平分线交于点， ∴， ∴，即点是的中点， ∵是半径， ∴， ∵， ∴， ∴直线是的切线； （2）解：过点作于点，如图所示： ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 20．（25-26九年级上·北京西城·期中）如图，四边形内接于，，点在的延长线上，且 (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)与相切，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了圆周角定理、切线的判定、垂直平分线的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）由题易得为直径，再证，即可得解； （2）先证垂直平分，再利用等面积求出长即可． 【详解】（1）解：与相切，理由如下： 四边形内接于， 为的直径， ， ， ， ， ， ， ， 为半径， 为的切线，即与相切； （2）解：如图，记、交于点， ， ， ， 为直径， 垂直平分， ， ， ， 根据等面积可得， ． 21．（25-26九年级上·广西南宁·期中）如图，是的直径，射线交于点，是劣弧上且，过点作于点，延长和的延长线交于点． (1)证明：是的切线； (2)若，，求半径． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题为圆的综合题，考查了圆周角定理，切线的判定，勾股定理等知识，熟知相关定理并根据题意灵活应用是解题关键． （1）连接，先证明，再证明，，进而证明，即可证明是的切线； （2）设的半径为r，根据勾股定理得到，解方程即可得到的半径为3． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是的切线； （2）解：设的半径为r，，， ∵在中，， ∴， 解得， 即的半径为3． 22．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）已知，分别与相切于点A，B，，C为上一点．    (1)如图①，求的大小； (2)如图②，为的直径，与相交于点D．若，求的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． （1）连接、，根据切线的性质得到，根据四边形内角和等于计算的度数，再根据圆周角定理求解； （2）连接，根据圆周角定理得到，根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质计算即可． 【详解】（1）解：连接、，如下图所示，    ∵，是的切线， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接，    ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 23．（25-26九年级上·天津和平·期中）已知是的直径，是的切线，． (1)如图①，若，求直径的长； (2)如图②，点是上一点，若，与相交于点，过点作弦，与相交于点，求和直径的长． 【答案】(1) (2)，； 【分析】本题考查了切线的性质、垂径定理等知识点，熟练掌握以上知识点并能灵活运用是解决此题的关键．； （1）由题意得；推出即可求解； （2）连接，同理可得；根据，推出，即；进而得，设半径为，则，根据，即可求解； 【详解】（1）解：∵是的切线， ∴，即； ∵， ∴， ∴； （2）解：连接，如图所示： ∵，； ∴， ∴； ∵， ∴，即； ∵， ∴， ∴， ∵是的直径，， ∴， ∴； 设半径为，则， ∵， ∴，解得：， ∴； 24．（25-26九年级上·天津南开·期中）如图，为的切线，为切点，是上一点，过点作于点，交于点，连接． (1)如图1，连接，若，求的大小； (2)如图2，延长交于点G，连接，若，的半径为5，求和的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了圆周角定理，切线的性质，锐角三角函数，等边三角形的判定与性质，属于圆的综合题型，解题的关键是掌握这些知识点． （1）连接，由于为的切线，为切点，推出，，然后可得，再根据，最后可求解； （2）连接，根据，，可推出，然后可得是等边三角形，最后可得，在中，求解即可． 【详解】（1）解：如图，连接． ∵为的切线，为切点， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴ ∴； （2）连接，如图所示： ∵，， ∴． 与（1）同理，得， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴是等边三角形． ∴， ∴． ∵的半径为5， ∴． ∵是⊙O的直径， ∴， ∴在中，． 2 学科网（北京）股份有限公司 $、 24.2 点和圆、直线和圆的位置关系 【考点归纳】 【知识梳理】 知识点一：点与圆的位置关系 设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有： d<r点P在⊙O内； d=r点P在⊙O上； d>r点P在⊙O外。 知识点2：直线与圆的位置关系 1、直线与圆相离 无交点； 2、直线与圆相切 有一个交点； 3、直线与圆相交 有两个交点； 知识点三：切线的性质与判定定理 1、切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线； 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 即：∵且过半径外端 ∴是⊙的切线 2、性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图） 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。 推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。 知识点四：切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 即：∵、是的两条切线 ∴；平分 知识点五：三角形的内切圆和内心 （1）三角形的内切圆：与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。 （2）三角形的内心：三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心。 【题型探究】 题型一：判断点和圆的位置关系 【例1】．（25-26九年级上·北京·期中）的半径为4，O为原点，点P的坐标为，则P与的位置关系是（   ）． A．点P在内 B．点P在上 C．点P在外 D．点P在上或点P在外 【变式1】．（2025九年级上·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，是坐标原点，的半径为5，若点的坐标为，则点与的位置关系是（    ） A．点在内 B．点在上 C．点在外 D．不能确定 【变式2】．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习）已知的半径为3，点到圆心的距离恰好是一元二次方程的根，则点与的位置关系是（   ） A．点在的内部 B．点在上 C．点在的外部 D．点在的内部或点在的外部 题型二：点与圆上一点的最值问题 【例2】．（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，半径为5的圆心的坐标为，点是上任意一点，，与轴分别交于，两点，且，若点，点关于原点对称，则的最大值为（　　） A．60 B． C． D． 【变式1】．（2025·江苏淮安·一模）如图，矩形中，，以A为圆心，1为半径作．若动点在上，动点在上，则的最大值是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式2】．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，的半径为1，为圆上一动点，为的中点，连接，，则长的最大值为   A．5 B． C．6 D．3 题型三：三角形外接圆问题 【例3】．（24-25九年级上·全国·期末）如图，正三角形是圆的内接三角形，弦，且与垂直，则圆的半径等于（   ） A．2 B． C． D． 【变式1】．（24-25九年级上·河南洛阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过原点三点，则下列说法中错误的是（   ） A．这条圆弧所在圆的半径为 B．这条圆弧所在圆的圆心为 C．点在这条圆弧所在圆上 D．点在这条圆弧所在圆上 【变式2】．（24-25九年级上·湖南常德·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为：，，，经画图操作可知，的外心坐标应是（   ） A． B． C． D． 题型四：直线和圆的位置判断 【例4】．（25-26九年级上·山东济宁·期中）如图，在中，，，以点为圆心，以的长为半径作圆，则与的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．相切或相交 【变式1】．（2025·广东广州·二模）如图，在中，，，是边上的高，，若圆是以点为圆心，为半径的圆，那么圆与直线的关系是（　　） A．相切 B．相离 C．相交 D．不能确定 【变式2】．（2025·广东广州·一模）在平面直角坐标系中，的半径为2.5，直线的解析式为，那么直线与的位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 题型五：已知直线和圆的位置关系半径或者距离 【例5】．（23-24九年级下·上海崇明·期中）已知在中，，，，若以为圆心，长为半径的圆与边有交点，那么的取值范围是（   ） A．或 B． C． D． 【变式1】．（24-25九年级上·广东惠州·阶段练习）如图所示，在中，，，，以为圆心，为半径的圆与边有公共点，则的取值范围为（　　） A． B．或 C． D． 【变式2】．（2024·上海·模拟预测）如图，在梯形中，，，，，如果以为直径的圆与梯形各边共有3个公共点（C，D两点除外），那么长的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型六：切线的性质定理 【例6】．（25-26九年级上·重庆·期中）如图，是的切线，B为切点，连接交于点C，延长交于点D，连接．若，且，则的长度是（   ） A．15 B．10 C． D．5 【变式1】．（25-26九年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，是的直径，是的两条切线，B、C是切点，若，，则的长度为（    ） A．1 B． C． D． 【变式2】．（25-26九年级上·黑龙江牡丹江·期中）如图，，是的切线，A，C为切点，若是的直径，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 题型七：切线的判定与性质综合问题 【例7】．（25-26九年级上·内蒙古乌兰察布·期中）如图，为的切线，A为切点，连接，过点A作，垂足为C，交于点B，连接，求证：为的切线． 【变式1】．（2025·广东佛山·三模）如图，是的弦，为过点的切线上一点，且，分别在上，且，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，求的度数． 【变式2】．（2025·广东汕头·三模）如图，是的直径，与相切于点，交的延长线于点，交的延长线于点， (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的半径． 题型八：切线长定理 【例8】．（25-26九年级上·福建福州·期中）如图，在中，，的内切圆的半径为2，三个切点分别为，若，则的面积是（   ） A．14 B．24 C．28 D． 【变式1】．（25-26九年级上·湖南长沙·期中）如图，P为外一点，，，分别切于A，B，C三点，且切线分别交，于点M，N．若，则的周长为（   ） A．6 B．8 C． D． 【变式2】．（25-26九年级上·浙江台州·阶段练习）如图，直线，，分别与相切于点，，，且，，．则的直径为（   ）． A． B． C． D． 题型九：三角形的内切圆问题 【例9】．（24-25九年级上·四川泸州·期末）如图，在中，，，与三边分别相切于点，，，且，则的面积是（ ） A． B． C． D． 【变式1】．（24-25九年级上·河北邢台）在中，，．是的内切圆，连接、，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（2024·广东广州·一模）如图，的内切圆与，，分别相切于点，，，若的半径为，，则的值和的大小分别为（    ） A．0， B．， C．， D．， 题型十：三角形内切和外切的综合问题 【例10】．（24-25九年级上·四川自贡·期末）如图，是的直径，内接于，点是的内心，的延长线与交于点是上任意一点，连接． (1)若，求的度数： (2)若，，，请直接写出与的数量关系； (3)找出图中所有与相等的线段，并证明． 【变式1】．（22-23九年级上·江苏盐城·期中）如图，I是的内心，的延长线交的外接圆于点D． (1)求证：； (2)求证：； (3)连接、，求证：点D是的外心． 【变式2】．（25-26九年级上·山西朔州·阶段练习）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接BE. （1）直接写出∠BED与∠C的关系： . （2）求证：DE=DB; （3）若∠BAC=90,BD=4,求△ABC外接圆的半径. 题型十一：直线与圆的综合压轴问题 【例11】．（25-26九年级上·河南漯河·期中）已知是的直径，点D是延长线上一点，，是的弦，． (1)求证：直线是的切线； (2)若，垂足为M，的半径为8，求的长． 【变式1】．（25-26九年级上·江苏南通·期中）如图，是的直径，点在上，为外一点，且，． (1)求证：直线为的切线； (2)若，求的半径． 【变式2】．（25-26九年级上·湖南长沙·期中）如图，内接于，过点B的切线与线段的延长线交于点D，线段交于点E，交于点F，． (1)求的度数； (2)连接，探究线段，和之间的数量关系，并进行证明． 【高分达标】 1．（25-26九年级上·江苏徐州·期中）以下说法正确的是（     ） A．长度相等的弧是等弧 B．相等的圆心角所对的弦相等 C．任意三点确定一个圆 D．三角形的内心到三边的距离相等 2．（25-26九年级上·山东日照·期中）根据图中圆规的作图痕迹，只用直尺就可确定的外心的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，，则的外心坐标是（    ） A． B． C． D． 4．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，点为的内心，，，，则的面积是（ ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·浙江宁波·月考）若点M在外，且，则的半径r满足（   ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·江苏南通·期中）如图，是一张周长为的三角形的纸片，，是它的内切圆，小明准备用剪刀在的右侧沿着与相切的任意一条直线剪下，则剪下的三角形的周长为（   ） A． B． C． D．随直线的变化而变化 7．（25-26九年级上·全国·单元测试）如图，为的外接圆，且是的直径，点是上的一点，连接，，若，则（   ） A． B． C． D． 8．（25-26九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，，，分别与相切于，，三点，，，则的长为（   ） A．8 B．10 C．12 D．14 9．（25-26九年级上·河北邯郸·期中）如图，切于点C，交于点P，且为的直径，点Q是上异于点B、P的一点．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 10．（25-26九年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，半径为的圆心的坐标为，点是上任意一点，，与轴分别交于，两点，且，若点，点关于原点对称，则的最大值为（　　） A． B． C． D． 11．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）已知，如图，为的直径，内接于，，，，延长交于点D，连接．的直径是，，则的长等于（   ） A．3 B． C．4 D． 二、填空题 12．（25-26九年级上·全国·周测）在平面直角坐标系中，点M的坐标为．以点M为圆心，r为半径的圆与x轴相交，与y轴相离，则r的取值范围是 ． 13．（25-26九年级上·北京·期中）如图，，分别与相切于，两点，若，，则的长为 ． 14．（25-26九年级上·江苏常州·期中）如图，在中，，，，是上一点（点与点不重合）．若在的直角边上存在4个不同的点分别和点、成为直角三角形的三个顶点，则长的取值范围是 ． 15．（2025·青海西宁·三模）如图所示，的两条切线和相交于点，与圆相切于两点，是圆 上的一点，若，则 ． 16．（25-26九年级上·北京·期中）如图，，是的切线，，为切点．若，，则直径的长是 ． 17．（24-25九年级上·内蒙古通辽·阶段练习）如图，点E是的内心，的延长线和的外接圆相交于点D，与相交于点G，则下列结论：①；②若，则；③若点G为的中点，则；④．其中一定正确的是 （填序号） 三、解答题 18．（25-26九年级上·福建福州·期中）如图，四边形内接于，，点在的延长线上，连接，，．求证：是的切线． 19．（25-26九年级上·江苏徐州·期中）如图，为的直径，点在上，的平分线交于点，过点作．交的延长线于点． (1)求证：直线是的切线； (2)若，，求． 20．（25-26九年级上·北京西城·期中）如图，四边形内接于，，点在的延长线上，且 (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，，，求的长． 21．（25-26九年级上·广西南宁·期中）如图，是的直径，射线交于点，是劣弧上且，过点作于点，延长和的延长线交于点． (1)证明：是的切线； (2)若，，求半径． 22．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）已知，分别与相切于点A，B，，C为上一点．    (1)如图①，求的大小； (2)如图②，为的直径，与相交于点D．若，求的大小． 23．（25-26九年级上·天津和平·期中）已知是的直径，是的切线，． (1)如图①，若，求直径的长； (2)如图②，点是上一点，若，与相交于点，过点作弦，与相交于点，求和直径的长． 24．（25-26九年级上·天津南开·期中）如图，为的切线，为切点，是上一点，过点作于点，交于点，连接． (1)如图1，连接，若，求的大小； (2)如图2，延长交于点G，连接，若，的半径为5，求和的长． 2 学科网（北京）股份有限公司 $