24.1.3&24.1.4 弧、弦、圆心角 圆周角【八大考点+八大题型】-2025-2026学年人教版九年级上册数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破

24.1.3&24.1.4 弧、弦、圆心角 圆周角 【考点归纳】 【知识梳理】 知识点一：弧、弦、圆心角 （1）顶点在圆心的角叫做圆心角. （2）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧_相等，所对的弦也相等. （3）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等. 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等. 知识点二：圆周角定理及其推论 圆周角定理 定理：圆周角的度数等于它所对的弧的圆心角度数的一半 是所对的圆心角， 是所对的圆周角， 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等 和都是所对的圆周角 推论2：直径所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径 是的直径 是所对的圆周角 是所对的圆周角 是的直径 知识点三：圆内接四边形 圆的内接四边形对角互补 四边形是的内接四边形 【题型归纳】 题型一：弧、弦、圆心角关系求解 【例1】．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，已知是的直径，弦与弦交于点，且，垂足为点，若． (1)求的度数； (2)若，求的值； (3)在（2）的基础上求的值． 【变式1】．（23-24九年级上·福建厦门·期中）如图，，若，求的长    【变式2】．（23-24九年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，弦是直径，点，是上的两点，连接，，且满足．    (1)若的度数为，求的度数． (2)求证：． (3)连接，若，，求的长． 题型二：求圆弧的度数问题 【例2】．（25-26九年级上·江苏·阶段练习）如图，在中，，以点C为圆心，为半径的圆分别交、于点D、点E，则弧的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，经过五边形的四个顶点，若，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（2022·山东聊城·中考真题）如图，AB，CD是的弦，延长AB，CD相交于点P．已知，，则的度数是（    ）    A．30° B．25° C．20° D．10° 题型三：：弧、弦、圆心角关系求证 【例3】．（2025·广东广州·二模）如图，在中，，于点D，于点E，求证：． 【变式1】．（25-26九年级上·浙江宁波·阶段练习）已知：如图，、、、是上的点，，． (1)求证：； (2)求的长． 【变式2】．（24-25九年级上·山东泰安·期末）如图，是上的点，，分别交，于点．求证： (1)； (2)． 题型四：圆周角定理 【例4】．（25-26九年级上·天津南开·期中）如图，在⊙中，，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26九年级上·天津南开·期中）如图，四边形内接于⊙，为⊙的直径，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图所示，在中，弦，连接交半径于点E，平分，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 题型五：等（同）弧所对圆周角问题 【例5】．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，在圆中，是直径，，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式1】．（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，内接于，点B是的中点，是的直径，若，，则的长为（　　） A．4 B． C． D． 【变式2】．（2025·山东青岛·二模）如图，，是的直径，是的中点，连接，，，，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 题型六：90°所对的圆周角是直径问题 【例6】．（24-25九年级下·甘肃武威·期中）如图，为⊙的直径，点，在⊙上，且，，，连接，则的长为(   ) A． B． C． D． 【变式1】．（24-25九年级上·江苏南通·期中）如图，的直径为8，P是上一动点，半径垂直于，，垂足为H．当点P从A运动到B的过程中，点H运动的路径长为（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（2025·内蒙古包头·模拟预测）在圆内接四边形中，，垂足为E． (1)如图1，若，求证：平分； (2)如图2，若，，是圆的直径，连接，求的半径． 题型七：圆内接多边形问题 【例7】．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，四边形内接于，连接交于点M，延长至点E． (1)若，猜想和的数量关系，并说明理由； (2)若．求的直径． 【变式1】．（25-26九年级上·浙江·阶段练习）如图所示，在中，以为直径的分别交于点，交于点，连接，若． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【变式2】．（25-26九年级上·吉林松原·期中）如图，四边形 是的内接四边形，四边形、四边形 均为平行四边形，连接 ． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的大小． 题型八：圆心角、圆周角的综合问题 【例8】．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，四边形内接于，交的延长线于点E，连接平分． (1)求证：； (2)若点B为的中点，时，求的长． 【变式1】．（25-26九年级上·天津和平·期中）已知是的直径，延长弦到点，使，连接并延长与相交于点． (1)如图①，若，求和的大小； (2)如图②，若，求和的大小． 【变式2】．（24-25九年级上·河南洛阳·期末）我们定义：有一组对角相等的四边形叫做“等对角四边形”． (1)如图1，“等对角四边形”内接于，，则 ， ； (2)如图2，“等对角四边形”内接于，且，，点E在的延长线上，连接，，，，请证明：四边形是“等对角四边形”； (3)如图3，“等对角四边形”内接于，且其一个内角为，，，若，求的长． 【高分达标】 1．（25-26九年级上·江苏南京·月考）下列说法正确的个数有（   ） ①平分弦的直径，平分这条弦所对的弧：②等弧所对的圆心角相等； ③在等圆中，如果弧相等，那么它们所对的弦也相等；④过三点可以画一个圆； ⑤三角形的外心到三角形的三边距离相等；⑥的角所对的弦是直径． A．1 B．2 C．3 D．4 2．（25-26九年级上·江苏盐城·月考）如图，、是的直径，．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·湖北黄冈·期中）如图，、是的弦，且，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·河南新乡·期中）如图，四边形内接于，若，则的度数是（   ） A．100° B．50° C．130° D．80° 5．（25-26九年级上·重庆长寿·期中）如图，，，是上的三点，，，那么的半径等于（   ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·广东深圳·期中）如图，内接于，，，为的直径，，那么的值为（   ） A． B．4 C． D．3 7．（25-26九年级上·云南大理·期中）如图，在的内接四边形中，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26九年级上·重庆綦江·期中）如图中，A、B、C均为圆上的点，下列说法：①若，则； ② 若，则；③若，则；④若，则O点到弦的距离相等．其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．（24-25九年级下·贵州贵阳·阶段练习）如图，均为上的点，且，则下列说法不正确的是（   ） A． B． C． D． 10．（25-26九年级上·浙江宁波·期中）如图，是四边形的外接圆，交于点，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．（25-26九年级上·江苏镇江·阶段练习）下列语句中：①直径是弦；②平分弦的直径垂直于弦；③长度相等的弧是等弧；④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴；⑤相等的圆心角所对的弧长相等．其中正确的序号是 ． 12．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在中，，，以点为圆心，为半径的圆交于点，交于点，则的度数为 ． 13．（2025·辽宁鞍山·二模）如图，四边形内接于，是的直径，，连接，与对角线交于点M，若的半径是6，，则的长是 ． 14．（24-25九年级下·浙江宁波·阶段练习）如图，是半圆的直径，点、在半圆上，且，点在上，若，则等于 度 15．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，弦在以为直径的半圆上滑动，是的中点，于点若弦始终保持与半圆的半径相等，则的度数为 ． 16．（25-26九年级上·陕西渭南·期中）如图，四边形内接于，连接，其中，，若点在上，连接，，则的度数为 ． 三、解答题 17．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，在中，弦，于E，于H． (1)求证：． (2)若的半径为5，，，求的长． 18．（2025九年级上·全国·专题练习）已知如图：是的直径，点、点在上，于点，连接、、，，，． (1)求的长． (2)求四边形的面积． 19．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）如图，为的直径，，垂足为，点是上一动点，连接分别交，于点，． (1)当时，与有何关系？证明你的结论． (2)当点在什么位置时，？证明你的结论． 20．（25-26九年级上·山西朔州·期中）如图，是的直径，是的中点，过点作，交于点，交于点，连接． (1)求证：． (2)若，，求的半径． 21．（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）如图，已知的半径为3，弦垂直于弦，垂足为． (1)若于点，求弦的长； (2)过点作于点，交于点，求证：． 22．（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）如图，在中，是直径，弦，垂足为，点在上，且，连接，，． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，求的长． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 24.1.3&24.1.4 弧、弦、圆心角 圆周角 【考点归纳】 【知识梳理】 知识点一：弧、弦、圆心角 （1）顶点在圆心的角叫做圆心角. （2）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧_相等，所对的弦也相等. （3）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等. 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等. 知识点二：圆周角定理及其推论 圆周角定理 定理：圆周角的度数等于它所对的弧的圆心角度数的一半 是所对的圆心角， 是所对的圆周角， 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等 和都是所对的圆周角 推论2：直径所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径 是的直径 是所对的圆周角 是所对的圆周角 是的直径 知识点三：圆内接四边形 圆的内接四边形对角互补 四边形是的内接四边形 【题型归纳】 题型一：弧、弦、圆心角关系求解 【例1】．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，已知是的直径，弦与弦交于点，且，垂足为点，若． (1)求的度数； (2)若，求的值； (3)在（2）的基础上求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）连接，由垂径定理得到，再利用圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理得到，进而得到即可求解； （2）由（1）易得，利用含角直角三角形的性质得到的长度，进而求解； （3）由（2）可得到的长度，，利用含角直角三角形的性质得到，再结合，利用勾股定理求出，的长度，进而求出的值． 【详解】（1）解：如图，连接， ， ，． 又， ， 即， ， ， ． （2）解：， ． ， ． 又， ， ， ． （3）解：由（2）得 ，, . ，， ， ． ， ， ， ． 【点睛】本题考查了垂径定理，圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理，含角直角三角形的性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【变式1】．（23-24九年级上·福建厦门·期中）如图，，若，求的长    【答案】 【分析】本题考查了圆心角定理，掌握在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弧相等，所对的弦心距也相等是解答本题的关键． 由已知条件，得到=，而是公共弧，故=，因此． 【详解】解：由已知得， ， =， 是公共弧， =， 故． 【变式2】．（23-24九年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，弦是直径，点，是上的两点，连接，，且满足．    (1)若的度数为，求的度数． (2)求证：． (3)连接，若，，求的长． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】本题主要考查了圆心角、弦、弧之间的关系，三角形内角和定理，勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）连接，根据弧的度数求出，再利用等边对等角结合三角形内角和定理即可得出的度数； （2）利用平行线的性质可得，，结合从而得出，即可得证； （3）连接，交于点，先根据勾股定理得出，再利用勾股定理求出，最后再利用勾股定理进行计算即可得出答案． 【详解】（1）解：连接，   ，的度数为， ， ， ； （2）证明：， ，， 又∵， ， ； （3）解：连接，交于点，   ，弦是直径， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 题型二：求圆弧的度数问题 【例2】．（25-26九年级上·江苏·阶段练习）如图，在中，，以点C为圆心，为半径的圆分别交、于点D、点E，则弧的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆心角，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握圆心角的定义；先求出，再根据等腰三角形的性质求出，即为弧的度数，即可得解． 【详解】解：， ， ， ， ， 弧的度数为， 故选：． 【变式1】．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，经过五边形的四个顶点，若，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系,掌握相关知识是解决问题的关键。连接、，如图，利用等腰三角形的性质得，，则根据三角形内角和定理得到，，则，于是得到的度数为． 【详解】解：连接、，如图， ，， ，， ，， ， ∴的度数为． 故选：B． 【变式2】．（2022·山东聊城·中考真题）如图，AB，CD是的弦，延长AB，CD相交于点P．已知，，则的度数是（    ）    A．30° B．25° C．20° D．10° 【答案】C 【分析】如图，连接OB，OD，AC，先求解，再求解，从而可得，再利用周角的含义可得，从而可得答案． 【详解】解：如图，连接OB，OD，AC，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴． ∴的度数20°． 故选：C． 题型三：：弧、弦、圆心角关系求证 【例3】．（2025·广东广州·二模）如图，在中，，于点D，于点E，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了弧与圆心角的关系，全等三角形的判定和性质，连接，根据题意得出，进而证明，即可得证． 【详解】证明：连接． ， ， ， ． 又， ， ． 【变式1】．（25-26九年级上·浙江宁波·阶段练习）已知：如图，、、、是上的点，，． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是弧，弦，圆心角之间的关系定理； （1）先证明即可得到结论； （2）由证明即可. 【详解】（1）证明：， ， 即． ∴． （2）解：∵，， ． 【变式2】．（24-25九年级上·山东泰安·期末）如图，是上的点，，分别交，于点．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由圆中弦、弧和圆心角的关系得到，再由圆的半径相等，结合两个三角形全等的判定定理得到，最后由全等三角形的性质即可得证； （2）由等腰三角形性质得到，，再结合（1）中，即可得到，从而由两个三角形全等的判定定理得到，最后由全等三角形的性质即可得证． 【详解】（1）证明：， ， ， ， 在和中， ； ； （2）证明：， ，， 由（1）知， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 题型四：圆周角定理 【例4】．（25-26九年级上·天津南开·期中）如图，在⊙中，，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理、圆周角定理．首先连接，根据垂径定理可知，根据同圆或等圆中同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半可以求出的度数． 【详解】解：如下图所示，连接， ， ， ， ． 故选：B． 【变式1】．（25-26九年级上·天津南开·期中）如图，四边形内接于⊙，为⊙的直径，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，解题的关键是熟练掌握圆内接四边形的性质，圆周角定理；根据圆内接四边形对角互补，直径所对的角为直角求解即可． 【详解】解：四边形内接于， ， 为的直径， ， ， 故选：C． 【变式2】．（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图所示，在中，弦，连接交半径于点E，平分，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查平行线的性质、角平分线定义、圆周角定理和三角形外角的性质，由平分可得，由得，由圆周角定理得，再由三角形外角性质可得结论． 【详解】解：∵平分，且， ∴， ∵， ∴， ∵所对圆心角是，圆周角是， ∴， ∴， 故选：D． 题型五：等（同）弧所对圆周角问题 【例5】．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，在圆中，是直径，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆周角定理，直角三角形两锐角互余．由圆周角定理得到，再根据是直径得到，根据直角三角形两锐角互余即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵是直径， ∴， ∴． 故选：C． 【变式1】．（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，内接于，点B是的中点，是的直径，若，，则的长为（　　） A．4 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆周角定理，直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 连接，则，由是的直径，得，而，则，由点B是的中点，得，则，由，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接，则， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵点B是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【变式2】．（2025·山东青岛·二模）如图，，是的直径，是的中点，连接，，，，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 连接，先利用圆周角定理可得，再利用等腰三角形的性质可得，从而可得，从而可得，进而可得，最后根据圆周角定理进行计算即可解答． 【详解】解：连接， ， ， ， ， ， 是的中点， ， ， ， ． 故选：A． 题型六：90°所对的圆周角是直径问题 【例6】．（24-25九年级下·甘肃武威·期中）如图，为⊙的直径，点，在⊙上，且，，，连接，则的长为(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了圆周角定理，勾股定理，含度角的直角三角形的性质．连接，根据题意得出，根据勾股定理求出，再根据角的直角三角形的性质即可得解． 【详解】解：如图，连接， 为的直径， ， 在中，，， ， ， ， 在中，， ． 故选：B． 【变式1】．（24-25九年级上·江苏南通·期中）如图，的直径为8，P是上一动点，半径垂直于，，垂足为H．当点P从A运动到B的过程中，点H运动的路径长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆上动点恒直角问题，勾股定理，圆周长公式，根据得到，即可得到点H是以为直径的圆上运动，根据勾股定理求出，最后利用周长公式求解即可得到答案； 【详解】解：∵， ∴， ∴点H是以为直径的圆上运动， ∵的直径为8， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 【变式2】．（2025·内蒙古包头·模拟预测）在圆内接四边形中，，垂足为E． (1)如图1，若，求证：平分； (2)如图2，若，，是圆的直径，连接，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】（1）根据垂径定理的推论证明即可； （2）连接，首先得到，然后得到，推出，得到，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴是的直径， ∵， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：如图2，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的半径是5． 题型七：圆内接多边形问题 【例7】．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，四边形内接于，连接交于点M，延长至点E． (1)若，猜想和的数量关系，并说明理由； (2)若．求的直径． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】此题考查了圆内接四边形的性质、勾股定理、圆周角定理，熟记有关定理是解题的关键． （1）根据圆内接四边形的性质及等腰三角形的性质求解即可； （2）连接并延长，交于点，连接，根据圆周角定理求出，根据三角形内角和定理求出，则，再根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵四边形内接于， ∴， ∴， ， ∴， ， ∴； （2）解：如图，连接并延长，交于点，连接， ∵是直径， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 在中，由勾股定理得， ∴的直径为． 【变式1】．（25-26九年级上·浙江·阶段练习）如图所示，在中，以为直径的分别交于点，交于点，连接，若． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查圆内接四边形的性质、圆周角的性质、勾股定理及等腰三角形的性质与判定，熟练掌握圆内接四边形的性质、圆周角的性质、勾股定理及等腰三角形的性质与判定是解题的关键； （1）由题意易得，，然后可得，进而问题可求证； （2）连接，由题意易得，设，则有，然后根据勾股定理可建立方程进行求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：连接，如图所示： ∵为的直径， ∴， ∵，， ∴设，则有， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴． 【变式2】．（25-26九年级上·吉林松原·期中）如图，四边形 是的内接四边形，四边形、四边形 均为平行四边形，连接 ． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）由平行四边形的性质可得，，，，即得到，，进而即可求证； （）由圆内接四边形的性质可得，再根据平行四边形的性质可证，即可求解； 本题考查了平行四边形的判定和性质，圆内接四边形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵四边形、四边形 均为平行四边形， ∴，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵四边形 是的内接四边形，， ∴， ∵四边形、四边形 、均为平行四边形， ∴，，， ∴， ∴． 题型八：圆心角、圆周角的综合问题 【例8】．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，四边形内接于，交的延长线于点E，连接平分． (1)求证：； (2)若点B为的中点，时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题主要考查了同弧或等弧所对的圆周角相等，全等三角形的性质与判定，角平分线的定义和性质，勾股定理等等，正确作出辅助线是解题的关键． （1）根据圆内接四边形对角互补和平角的定义可证明，由角平分线的定义和同弧所对的圆周角相等得到，即可证明； （2）过点C作于H，设，则，由角平分线的性质得到，证明，得到，证明，得到，则，再由弧与弦之间的关系得到，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：过点C作于H，， 设，则， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可证明， ∴， ∴， ∵点B为的中点， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， 【变式1】．（25-26九年级上·天津和平·期中）已知是的直径，延长弦到点，使，连接并延长与相交于点． (1)如图①，若，求和的大小； (2)如图②，若，求和的大小． 【答案】(1)，； (2)，； 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和判定、同弧或等弧所对的圆周角相等、半圆（直径）所对的圆周角是直角等知识点，掌握相关结论是解题关键． （1）由题意得垂直平分，推出得即可求解； （2）根据，，可推出；是等腰三角形，进而得；结合（1）得，推出，即可求解． 【详解】（1）解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴； ∵， ∴； ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴，是等腰三角形， ∴； 由（1）可知：， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式2】．（24-25九年级上·河南洛阳·期末）我们定义：有一组对角相等的四边形叫做“等对角四边形”． (1)如图1，“等对角四边形”内接于，，则 ， ； (2)如图2，“等对角四边形”内接于，且，，点E在的延长线上，连接，，，，请证明：四边形是“等对角四边形”； (3)如图3，“等对角四边形”内接于，且其一个内角为，，，若，求的长． 【答案】(1)90，120 (2)见解析 (3)或 【分析】（1）根据圆内接四边形对角互补，并结合“等对角四边形”的定义计算即可得解； （2）由“等对角四边形”的定义可得，，，再由等腰三角形的性质并结合圆周角定理得出，即可得证； （3）连接，分四种情况：当时，则；当时；当时；当时；分别结合“等对角四边形”的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵“等对角四边形”内接于，， ∴，，， ∴， 故答案为：90，120； （2）证明：∵“等对角四边形”内接于， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是“等对角四边形”； （3）解：如图1，连接，当时，则， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是“等对角四边形”，是直径， ∵， ∴， ∴， ∴， 如图2，当时，此时，， ∴， ∴， ∴四边形是“等对角四边形”， 作，交于E， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设，则，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 当时，则，，， ∴四边形不是“等对角四边形”， 当时，则， ∴， ∴， ∴，， ∴四边形不是“等对角四边形”， 综上所述：或． 【高分达标】 1．（25-26九年级上·江苏南京·月考）下列说法正确的个数有（   ） ①平分弦的直径，平分这条弦所对的弧：②等弧所对的圆心角相等； ③在等圆中，如果弧相等，那么它们所对的弦也相等；④过三点可以画一个圆； ⑤三角形的外心到三角形的三边距离相等；⑥的角所对的弦是直径． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查的是圆的基本性质，垂径定理的推论，圆心角，弧，弦之间的关系，圆的确定，三角形的外心的性质，掌握以上基础知识是解题的关键．逐句判断即可． 【详解】解：当被平分的这条弦是直径时，平分弦的直径，不平分这条弦所对的弧，故①不符合题意； 等弧在同圆或等圆中对应的圆心角相等，故②符合题意； 在等圆中，如果弧相等，那么它们所对的弦也相等，故③符合题意； 过不在同一直线上的三点可以画一个圆，故④不符合题意； 三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，故⑤不符合题意； 的圆周角所对的弦才是直径，故⑥不符合题意． 正确的有②③共2个， 故选：B． 2．（25-26九年级上·江苏盐城·月考）如图，、是的直径，．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查弧和圆心角的关系，解决此题的关键是熟练运用等弧所对的圆心角相等，反之亦如此；根据圆心角相等得到弧相等，根据弧相等得到圆心角相等，即可得到答案； 【详解】解：∵、是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选：D． 3．（25-26九年级上·湖北黄冈·期中）如图，、是的弦，且，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查弧、弦、圆心角之间的关系，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质． 连接，由已知可得，从而可得，根据三角形的内角和定理，结合等腰三角形的性质计算即可． 【详解】解：连接， ∵、是的弦，且， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的度数为． 故选：D． 4．（25-26九年级上·河南新乡·期中）如图，四边形内接于，若，则的度数是（   ） A．100° B．50° C．130° D．80° 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质及圆周角定理，熟知相关性质定理是正确解答此题的关键． 由由圆内接四边形对角互补可得，进而求出圆心角． 【详解】解：四边形内接于， ∴， ∴， 故答案为：A． 5．（25-26九年级上·重庆长寿·期中）如图，，，是上的三点，，，那么的半径等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理和等边三角形的判定与性质，掌握相关性质定理是解题的关键．根据圆周角定理求得，结合，可证明是等边三角形，根据等边三角形的性质即可得解． 【详解】解：，，是上的三点，， ， ，   是等边三角形， ，的半径等于． 故选：D． 6．（25-26九年级上·广东深圳·期中）如图，内接于，，，为的直径，，那么的值为（   ） A． B．4 C． D．3 【答案】B 【分析】本题考查圆周角定理，等边对等角，含30度的直角三角形等知识，首先根据“等边对等角”的性质求出的度数，再结合圆周角定理得到，根据含30度角的直角三角形的性质，即可得出结果． 【详解】解：∵，， ∴， ∵内接于，为的直径， ∴， ∴； 故选B． 7．（25-26九年级上·云南大理·期中）如图，在的内接四边形中，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，三角形内角和定理，先由圆内接四边形的性质得，再在中，由三角形内角和定理求即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴. 故选：C． 8．（25-26九年级上·重庆綦江·期中）如图中，A、B、C均为圆上的点，下列说法：①若，则； ② 若，则；③若，则；④若，则O点到弦的距离相等．其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题主要考查圆心角、弧、弦心距的关系，根据“在同圆或等圆中，如果两个圆心角对应的两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们对应的其余各组量也相等”进行判断即可 ． 【详解】解：∵在同圆或等圆中，如果两个圆心角对应的两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们对应的其余各组量也相等． ∴①若，则，所以，此说法正确； ②若，则，所以，此说法正确； ③若，则，所以，此说法正确； ④若，则O点到弦的距离相等，所以，此说法正确； ∴说法正确的是①②③④，共4个， 故选：D． 9．（24-25九年级下·贵州贵阳·阶段练习）如图，均为上的点，且，则下列说法不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆心角，弦，弧之间的关系．由A、B、C、D是⊙O上的点，，根据在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两个圆周角，两条弧，两条弦，两条弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等作答即可． 【详解】解：∵， ∴，，故A选项说法正确，不符合题意； ∴，即，故B选项说法正确，不符合题意； ∵， ∴，即， ∴，故C选项说法正确，不符合题意； 不能证明，故D选项说法错误，符合题意； 故选：D． 10．（25-26九年级上·浙江宁波·期中）如图，是四边形的外接圆，交于点，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质及平行线的性质，正确求出的度数是解题关键．利用圆内接四边形的性质得出，利用得出，再由得出，根据圆内接四边形的性质即可求出的度数． 【详解】解：∵是四边形的外接圆，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 二、填空题 11．（25-26九年级上·江苏镇江·阶段练习）下列语句中：①直径是弦；②平分弦的直径垂直于弦；③长度相等的弧是等弧；④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴；⑤相等的圆心角所对的弧长相等．其中正确的序号是 ． 【答案】①④ 【分析】本题考查了圆的基本概念，关键是掌握相关的圆的相关概念． 根据圆的基本性质，包括弦的定义、垂径定理、等弧的概念、圆的对称性以及弧长与圆心角和半径的关系，判断各语句的正确性． 【详解】解：①直径是圆中最长的弦，正确； ②平分弦的直径垂直于弦，需弦非直径，否则不一定垂直，错误； ③等弧需在同圆或等圆中长度相等且能够重合，仅长度相等不一定是等弧，错误； ④圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是对称轴，正确； ⑤弧长由圆心角和半径共同决定，半径不等时相等的圆心角所对弧长不一定相等，错误． 故答案为①④． 12．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在中，，，以点为圆心，为半径的圆交于点，交于点，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系．连接，如图，先根据三角形内角和计算出，再根据等腰三角形的性质由得到，然后再利用三角形内角和计算出，最后根据圆心角的度数等于它所对的弧的度数求解． 【详解】解：连接，如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为， 故答案为：． 13．（2025·辽宁鞍山·二模）如图，四边形内接于，是的直径，，连接，与对角线交于点M，若的半径是6，，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂径定理的推理，弧与弦之间的关系，勾股定理和三角形中位线定理，根据，得到，则由，证明为的中位线，得到，则可求出，利用勾股定理求出，即可利用勾股定理求出． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，点M为的中点， ∵点O为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∵的半径是6， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， 故答案为：． 14．（24-25九年级下·浙江宁波·阶段练习）如图，是半圆的直径，点、在半圆上，且，点在上，若，则等于 度 【答案】100 【分析】本题考查圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系，连接、、．根据圆心角、弧、弦的关系证明、均是等边三角形，根据等腰三角形的性质求出，再由圆周角定理求出，根据“”求出即可．熟练掌握并灵活运用圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系是解题关键． 【详解】解：连接、、． 是半圆的直径， ， ， ， ， 、均是等边三角形， ， ， ， 是等腰三角形， ， ， ， ， ． 故答案为：． 15．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，弦在以为直径的半圆上滑动，是的中点，于点若弦始终保持与半圆的半径相等，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理，利用垂径定理得出C、M、O、E四点共圆，且为圆的直径，为圆的一条弦，圆周角定理及直角三角形的性质求解即可． 【详解】如图，连接，，， ，是的中点， ， ， ，，，四点共圆，且为圆的直径，为圆的一条弦． ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16．（25-26九年级上·陕西渭南·期中）如图，四边形内接于，连接，其中，，若点在上，连接，，则的度数为 ． 【答案】/130度 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，等边对等角，熟练掌握以上知识是解题的关键．根据圆内接四边形的性质可求得，根据等边对等角可得，求得，根据圆内接四边形的性质即可求解． 【详解】解：∵四边形为的内接四边形， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形为的内接四边形， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题 17．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，在中，弦，于E，于H． (1)求证：． (2)若的半径为5，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查弧、弦之间的关系及垂径定理，熟练掌握弧、弦的关系及垂径定理是解题的关键． （1）由题意易得，进而问题可求证； （2）连接，由勾股定理，得．根据垂径定理可进行求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， 即， ∴． （2）解：连接， ∵，， ∴． ∴， 同理可得， ∴． 18．（2025九年级上·全国·专题练习）已知如图：是的直径，点、点在上，于点，连接、、，，，． (1)求的长． (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先设圆的半径为，根据已知条件和垂径定理求出，再根据勾股定理在和中，列出关于的二元一次方程，求出半径，从而求出直径即可； （2）在中，根据勾股定理求出，再由垂径定理求出，，然后根据三角形中位线定理求出，最后根据四边形的面积进行计算即可． 【详解】（1）解：设圆的半径为， ．， ，为半径， ，， ， 在和中：， ， 解得：，（舍）， ， ； （2）解：在中，，， ， ， ， ， 为中点，为中点， 为中位线， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，弧、弦、圆心角之间的关系，三角形的中位线，解题关键是正确识别图形，找出线段与线段之间的关系． 19．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）如图，为的直径，，垂足为，点是上一动点，连接分别交，于点，． (1)当时，与有何关系？证明你的结论． (2)当点在什么位置时，？证明你的结论． 【答案】(1)；证明见解析 (2)当弧弧时，．证明见解析 【分析】主要考查了圆中的有关性质，掌握其中的圆周角定理、圆心角、弧、圆周角之间的关系是解题的关键． （1）由圆周角定理知：，在中，，证得，已知，可得，所以，即； （2）当弧弧时，，可得，进而可得，因此当弧弧时，． 【详解】（1）； 证明：连接， 为的直径， ． 又， ． ， ． ． ． （2）当弧弧时，， 证明：∵弧弧， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴． 20．（25-26九年级上·山西朔州·期中）如图，是的直径，是的中点，过点作，交于点，交于点，连接． (1)求证：． (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理，等腰三角形的判定，熟练掌握相关性质是解题的关键． （1）证明即可证明，即可解答； （2）连接，设，则，，，利用勾股定理解答即可． 【详解】（1）证明：点是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图，连接， 由（1）可知， 设，则， ，， 由题意得：， 解得：，（舍去）， 的半径． 21．（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）如图，已知的半径为3，弦垂直于弦，垂足为． (1)若于点，求弦的长； (2)过点作于点，交于点，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，等腰三角形的性质与判定，同弧所对的圆周角相等，正确作出辅助线是解题的关键． （1）连接，由垂径定理得到，由勾股定理求出的长即可得到答案； （2）连接，可证明，．则可证明，得到，再由三线合一定理即可证明结论． 【详解】（1）解：如图1，连接． ∴． 在中，由勾股定理得， ； （2）证明：如图2，连接， ， ∴， ∴． ， ∴ ∴． ， ∴， ∴． ， ∴． 22．（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）如图，在中，是直径，弦，垂足为，点在上，且，连接，，． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)的长为1 【分析】题目主要考查垂径定理，圆周角定理，平行四边形的判定和性质，解一元二次方程，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据垂径定理得出，再由弧、弦之间的关系求解即可； （2）连接，根据圆周角定理，平行四边形的判定得出四边形为平行四边形，再由其性质即可证明； （3）设，则，再由中位线的性质及平行四边形的性质，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：是的直径，， ． ， ， ， ． （2）证明：如图，连接． ． ， ∴． 是的直径， ． 是的直径，， ， ∴， 四边形为平行四边形， ， ． （3）解：设，则． ， 为的中位线， ． 四边形为平行四边形， ， ． ， ． 在Rt中，由勾股定理得， 即，整理得， 解得（不合题意，舍去）， 即的长为1． 2 学科网（北京）股份有限公司 $