四川省阆中中学校2025-2026学年高二上学期11月期中学习质量检测数学试题

阆中中学校2025年秋高2024级期中学习质量检测 数学试题 (考试时间：120分钟满分：150分命题教师：王正全审题教师：李丹) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题 卡上。写在本试卷上无效。 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。) 1.已知直线1的方程为-V3+2025=0,则直线1的斜率为() A.-5 B.-V3 C.3 3 D.5 3 2.已知O为空间任意一点，A,B,C,P四点共面，且任意三点不共线， 若O=mOA-SOB+O心，则实数m的值为() A.4 B.9 4 C.5 D.1 4 3.己知空间单位向量a,b,c两两垂直，则a一b十c=() A.1 B.V6 C.3 D.3 4.棱长均为3的正三棱柱的各个顶点均在球O的表面上，则球O的表面积为() A.18π B.21π C.42π D.36π 5.从1,2，.，9中任取两数，其中：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一 个奇数和两个数都是奇数；③至少有一个奇数和两个数都是偶数：④至少有一个奇 数和至少有一个偶数， 在上述事件中，是对立事件的是() A.① B.②④ C.③ D.①③ 6.设a,b,c分别为△ABC中角A,B,C所对边的边长，则直线xsin A十ay十c=0与 bx-ysin B+sinC=0的位置关系是() A.相交但不垂直B.垂直 C.平行 D.重合 7.己知实数x,y满足3x+4y=5,则x2+y2的最小值为() A B.3 C.4 D.1 5 8.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.” 诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从 山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面 直角坐标系中，设军营所在位置为B(一2，O),若将军从山脚下的点A(2,O)处出发， 河岸线所在直线方程为x十y=3,则“将军饮马”的最短总路程为() A.4 B.5 C.V26 D.3V2 第1页共4页 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有 多项是符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。) 9.在平行六面体ABCD-ABC,D中，AA=AD=AB=1,∠AAD=∠AAB=∠BAD=60°， M为B,D,的中点，则() A.m=号+40 B.CM.AD=I C.BD =2 D.(4D,CD)=120° 10.《黄帝内经》中十二时辰养生法认为：子时的睡眠对一天至关重要（子时是指23点 到次日凌晨1点).相关数据表明，入睡时间越晚，沉睡时间越少，睡眠指数也就越 低.根据某次的抽样数据，对早睡群体和晚睡群体的睡眠指数统计如下图，则下列 说法错误的是() 60.00% 50.00% 40.00% 30.00% 20.00% 10.00%- 0.00% [0,50)[50,60)[60,80)[80,90)[90,100) ·一早睡人群占比·晚睡人群占比 A.在睡眠指数60,80)的人群中，早睡人数多于晚睡人数 B.早睡人群睡眠指数主要集中在60,80) C.早睡人群睡眠指数的极差比晚睡人群睡眠指数的极差小 D.晚睡人群睡眠指数主要集中在60,80) 11.点A、B在以PC为直径的球0的表面上，且AB⊥BC,AB=BC2,已知球O的表面积是 12π，设直线PB和AC所成角的大小为a,直线PB和平面PAC所成角的大小为B, 四面体PABC内切球半径为r,下列说法中正确的是（) A.BC⊥平面PAB B.平面PAC⊥平面ABC C.sin a cos B D.> 2 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分。） 12.在空间直角坐标系O-z中，点P(1,3,4)到Ox轴的距离为 13.某校有教师200人，男学生1200人，女学生1000人，现用分层抽样方法从所有师 生中抽取一个容量为n的样本，己知从女学生中抽取人数为80则n的值为 14.已知2x-3y+5=0,2x2-3y2+5=0,则过点P(x,乃)，Q(x2,2)的直线方 程为 第2页共4页 四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)(1)已知B(3,1),C(-1,-1),求线段BC的垂直平分线所在直线的方程： (2)求证：不论m为何实数，直线(m一1)x+(2m一1)y=m-5都过某一 定点，并求出定点坐标. 16.(15分)(1)已知直线l:2x十m十1y十4=0与直线b:x+3y一2=0平行，求实数m的值： (2)己知直线l:(a+2)x+(1-ay-1=0与直线l2:(a-1)x+(2a+3)y+2=0垂直， 求实数a的值. 17.(15分)如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD,底面ABCD为矩形，E,F 分别为PA,CD的中点. (1)求证：DE∥平面PBF; (2)若PA=AB=I,BC=2,求直线PC与平面PBF所成角的正弦值. 第3页共4页 18.(17分)某校从参加环保知识竞赛的学生中抽出60名，将其成绩（均为整数）分成 六段[40,50)，[50,60)，，[90,100]后得到频率分布直方图（如下图所示）。 (1)求分数在70,80)内的频率： (2)求直方图意义下的中位数 (3)用分层抽样的方法在80分以上（含80分）的学生中抽取一个容量为6的样本， 将该样本看成一个总体，从中任意选取2人，求其中恰有1人的分数不低于90 分的概率。 频率 组距 0.025 0.015 0.010 0.005 405060708090100分数 19.(17分)在长方形ABCD中，AD=2AB=2V2,点E是AD的中点，沿BE折起平面 ABE,使平面ABE⊥平面BCDE. (1)求证：在四棱锥A一BCDE中，AB⊥AC; (2)若在线段AC上存在点，使平面ABE与平面BEF的夹角的余弦值为10，求 10 AE的值： AC (3)在(2)的条件下，求点C到平面BEF的距离. D 第4页共4页 阆中中学校2025年秋高2024级期中学习质量检测 数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C C D B C B D C 题号 9 10 11 答案 AD BCD ABC 12. 13.192 14. 2x-3y+5=0 -1-11 15.1.解：由题可得 2,则其垂直平分线的斜率为-2， 线段BC的中点坐标为 即(1,0)， 则BC边上的垂直平分线所在直线的方程为y=-2(-),即2x+y-2=0】 6分 2.证明：方法一：当m=1时，直线方程为y=一4： 当m=时，直线方程为x=9. 两直线的交点为P(9,一4)， 将点P的坐标代入原方程，左边=(m一1)×9+(2m一1)×（一4）=m一5=右边. 故不论m取何实数，点P(9,一4)总在直线(m一1)x十(2m一1)y=m一5上，即直线恒过点 P9,-4). 13分 方法二：原方程可化为(x+2y-1)m+(-x-y+5)=0. 若对任意m都成立，则 +2y-1=0, 解得 =9, -x-y+5=0, y=-4, 所以不论m为何实数，所给直线都过定点P(9,一4). 13分 16.解：(1)由2×3一m(m+1)=0,得m=-3或m=2. 当m=-3时，1：x-y+2=0,l2:3x-3y+2=0, 显然11与12不重合，所以1∥12 同理，当m=2时，1：2x+3y十4=0,2：2x+3y-2=0,1h与2不重合，lh∥12. 答案第1页，共4页 故m的值为2或-3. 8分 (2)由直线l⊥l2,得(a+2)a-1)+(1-a)(2a+3)=0,解得a=±l. 故当a=1或a=-1时，直线lh⊥l2. .15分 17.解：(1)证明：取PB的中点G,连接EG,GF,如图. 因为E,G是PA,PB的中点，所以EG∥AB,且EG=AB. 因为DF∥AB,且DF=LCD=AB, 2 2 所以EG绣DF,所以四边形EGFD为平行四边形， 所以DE∥FG, 又DEC平面PBF,FGC平面PBF, 所以DE∥平面PBF. 7分 (2)解：如图，以A为坐标原点，AB,A心，A的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建 立空间直角坐标系Axyz, 则A0,0,0),B1,0,0),P0,0,1),F52,0,C1,2,0. 所以=(-1，-2，).命=(-1,0，).酥=（之2,0. 设平面PBF的法向量为u=(D,q,), uB=-p十r=0, 脉-+24=0.取=4，则u=4,1,0. 则 则osu,C动=u-Ci。 4×(-1)+1×(-2)+4×1二122 14V42+12+42×V(-1)2+(-2)2+1233 所以直线PC与平面PBF所成角的正弦值为2 3 15分 18.解：(1)分数在[70,80)内的频率为： 1-(0.010+0.015+0.015+0.025+0.005)×10=1-0.7=0.3.4分 (2)0.1+0.15+0.15<0.5<0.1+0.15+0.15+0.3 答案第2页，共4页 设中位数为x 则01+0.15+0.15+x-70-0.03=05=20 9分 (3)由题意，[8090)分数段的人数为：0.25×60=15（人）：10分 [90,100分数段的人数为：0.05×60=3（人）： .11分 因为用分层抽样的方法在80分以上（含80分）的学生中抽取一个容量为6的样本，所 以[80,90)分数段抽取5人，分别记为A,B,C,D,E: [90,100]分数段抽取1人，记为M。 .12分 因为从样本中任取2人，其中恰有1人的分数不低于90分， 则另一人的分数一定是在[80,90)分数段，所以只需在分数段[80,90)抽取的5人中确 定1人。 设“从样本中任取2人，其中恰有1人的分数不低于90分为”事件A,.7分 则基本事件空间包含的基本事件有：(A,B),（A,C),(A,D),（A,E), (B,C),(B,D),(B,E),(C,D),(C,E),(D,E),(A,M),(B,M), (C,M),(D,M),(E,M)共15种。 事件A包含的基本事件有（A,M),(B,M),(C,M),(D,M),(E,M)5种 .14分 质以恰有1人的分数不低于90分的概率为P动专-} .17分 19.(I)证明连接CE,因为E是AD的中点，所以AB=AE=V2. 在直角三角形ABE中， BE=VAB2+AE2=V(V2)2+(V2)2=2,同理CE=2. 又BC=22,所以BE2+CE2=BC,所以CE⊥BE. 答案第3页，共4页 因为平面ABE⊥平面BCDE,平面ABE∩平面BCDE=BE,CEC平面BCDE, 所以CE⊥平面ABE,因为ABC平面ABE,所以AB⊥CE. 又AB⊥AE,且AE∩CE=E,AE,CEC平面AEC,所以AB⊥平面AEC, 因为ACC平面AEC,所以AB⊥AC. 6分 (2)解由(I)知△ABE和△BEC均为等腰直角三角形， 过A点作底边BE的高，交BE于O点，则O为BE中点， 取BC中点G,连接OG,则OG∥CE, 由CE⊥平面ABE可知OG⊥平面ABE, 所以以O为原点，O成，O心，OA分别为x,y,z轴正方向建立空间直角坐标系，如图所示， 则A(0,0,1),B(1,0,0),C(-1,2,0),E(-1,0,0) Ei=(1,0,1),A记=(-1,2，-1)， 显然平面ABE的一个法向量为m=(0,1,O), 设A市-AC,1e[0,1],则E乎-E+Ad=(1-元，22,1-)， 又EB=(2,0,0),设平面BEF的法向量为n=(x,y,z), 所以 序=0有10+2w+10=0令=1可将a=0.1小名 22 1EB=0, 2x=0, 所以cos(m,n〉|= m'n =1V1 1 ,解得1=-3或=3（舍）， lml×m 5 所以4F3 AC 5 13分 (3)解由(2)知，n=(0,1,一3)，而E式=(0,2,0)，所以点C到平面BEF的距离 d-lE庇m_0+2+0-y10 m10+1+95 …17分 答案第4页，共4页