第二章 有理数及其运算-【红卷】2024-2025学年七年级上册数学期末复习方案（北师大版）

第二章 有理数及其运算 教材知识清 1.有理数 (1)具有相反意义的量的表示方法：若一种量规定为正，则它的相反意义的量为负.如：升高3 记作+3m,则下降3m记作-3m, ①正数：像3,1.8%，3.5这样大于0的数叫做正数. ②负数：像-3，-2.7%，-4.5这样在正数前加上符号“-”（负）的数叫做负数 【注意】0既不是正数，也不是负数0是正数和负数的分界 (2)有理数 ①定义：整数和分数统称为有理数. ②分类 按定义分 按性质分 正整数 正整数 正有理数 整数零 正分数 有理数 负整数 有理数零 正分数 负整数 分数 负有理数 负分数 负分数 2.数轴 (1)定义：规定了原点、正方向、单位长度的一条直线叫做数轴（见下图）· 单位长度 原点 正方向、 -4 -3-2-101 34· (2)画法：画直线：取原点：定方向：选长度：标读数 (3)数轴上的点与有理数的关系：任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示，正有理数 可以用原点右边的点表示，负有理数可以用原点左边的点表示，零用原点表示 3.绝对值 (1)相反数的定义：如果两个数只有符号不同，那么称其中一个数为另一个数的相反数，也称这 两个数互为相反数 (2)几何意义：相反数所表示的点在数轴上分别位于原点的左右两边，且到原，点的距离相等 (3)求一个数的相反数的方法：非零有理数α的相反数为-a.特别地0的相反数是0. (4)特点：a,b互为相反数台a+b=0. (5)绝对值 ①定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值， ②性质：当a>0时，|al=a:当a=0时，lal=0:当a<0时，lal=-a. ③非负性：lal≥0 应用：若1al+|b1+lcl+…=0,则1al=0,1b=0,1cl=0,….所以a=0,b=0,c=0,… 王心童”《红卷》 6 ,七年级数学BS版上册 (6)有理数的大小比较 ①数轴比较法：数轴上右边的数总大于左边的数 ②法则比较法：正数>0>负数；两个负数，绝对值大的反而小 ③差值比较法：若a-b>0,则a>b:若a-b<0,则a<b:若a-b=0,则a=b. 4.有理数的加法 (1)有理数加法法则 ①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加. ②异号两数相加，绝对值相等时和为0：绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的 绝对值减去较小的绝对值 ③一个数同0相加，仍得这个数 巧记：同号加号一边倒，异号相加“大”减“小”，符号跟着“大”的跑，绝对值相等“0”正好， 数0相加变不了 (2)有理数加法的运算律 ①加法的交换律：a+b=b+a. ②加法的结合律：(a+b)+c=a+(b+c). 5.有理数的减法 有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数 两变：①“-”变“+”，②减数变成它的相反数 【注意】将减法转化成加法时，“两变一不变” 不变：被减数不变 6.有理数的加减混合运算 (1)运用减法法则，将有理数加减混合运算中的减法转化为加法， (2)运用加法交换律、加法结合律，使运算简便 7.有理数的乘法 (1)有理数乘法法则 ①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘 ②任何数与0相乘，积仍为0. 【注意】①两个有理数相乘，当因数中有带分数时，应先把带分数化为假分数，当因数中既 有分数又有小数时，一般把小数化为分数再相乘 ②一个数乘1等于它本身，一个数乘-1等于它的相反数， (2)倒数：如果两个有理数的乘积为1，就称这两个数互为倒数.特别地，0没有倒数 (3)多个有理数相乘 ①几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数：负因数的个数是奇数时，积是负数 (简称“奇负偶正”) ②几个数相乘，如果其中有因数为0，那么积等于0. (4)有理数乘法的运算律 ①乘法的交换律：ab=ba ②乘法的结合律：(ab)c=a(bc). 王心童《红卷》 七年级数学BS版上册 ③乘法对加法的分配律：a(b+c)=ab+ac, 【注意】①在使用乘法交换律时，交换因数的位置，要连同因数的符号一起交换， ②在使用乘法对加法的分配律时，括号外面的数要乘括号里面的每一个数，且与负 数相乘时，负数要加括号 8.有理数的除法 (1)两个有理数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除0除以任何非0的数都得0. (2)除以一个非0的数等于乘这个数的倒数即a÷b=a·(b≠0). 9.有理数的乘方 (1)定义：求n个相同因数a的积的运算叫做乘方.乘方的结果叫做幂.在a”中，a叫做底数，n叫 做指数。 (2)有理数乘方的符号法则 ①正数的任何次幂都是正数. ②0的任何正整数次幂都是0. ③负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数 ④平方等于本身的数是1和0，立方等于本身的数是1，-1，和0. 【注意】①任何非0数的零次幂都为1，即a°=1(a≠0) (-1(n是奇数) ②(-1)”= 1(n是偶数) 10.科学记数法 (1)定义：一般地，一个大于10的数可以表示成a×10的形式，其中1≤a<10,n是正整数，这种 记数方法叫做科学记数法： (2)表示方法：用科学记数法表示一个大数时，先确定a,再确定n,其中n为原数整数位数减1， 11.有理数的混合运算顺序 先算乘方，再算乘除，最后算加减：如果有括号，先算括号里面的， 易错考点清 易错点1有理数的分类理解不准确 例1下列说法中，正确的有 ①整数分为正整数和负整数；②负有理数是负整数和负分数的统称；③有理数是正整数、负整 数、正分数、负分数的统称；④0是偶数，但不是自然数. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 答案 A 「正整数 (正整数 正有理数 整数{零 正分数 易错解读， 有理数 负整数 有理数 零 (正分数 负整数 分数 负有理数 负分数 负分数 王心童”《红卷》 8 七年级数学BS版上册 【注意】0既不是正数也不是负数，但0是偶数，还是自然数. 练习1 将下列各数按要求分类： 4 27.3,-2.1,5,+35-2024 2023 20240 (1)正数： (2)负数： (3)非负数： (4)整数： 易错点2数轴上点与点之间的距离 例2 如果点M表示的数是-5，那么数轴上与点M的距离为8的点N表示的数是 答案 3或-13 易错解读，点N可能在点M的左侧，也可能在，点M的右侧，需要考虑全面，否则容易漏解。 练习2如图，已知数轴上的两点A,B对应的数分别为-1,3，点P为数轴上一动点，其对应的 数为x (1)若点P到点A,B的距离相等，则点P对应的数是 (2)若数轴上存在点P到点A,B的距离之和为10，则x= B -2 易错点3相反数的概念理解不清晰 例3a-b的相反数是 ,-a-b的相反数是 答案 -a+b a+b 易错解读； 互为相反数的两数相加为0，且它们只有符号不同. 练习3(1)若a=-2024,则-a= ;若-b=-(-2024),则b= (2)若x+1与-2024互为相反数，则x= 易错点④已知一个数的绝对值，求这个数时容易漏解 例4已知m=-2024,且1ml=1nl,则n的值是 A.2024 B.-2024 C.±2024 D.0 答案 C 易错解读，」 互为相反数的两个数的绝对值相等，0的绝对值是0. 练习4（1)下列说法中，正确的是 .(填序号) ①任何有理数的绝对值都是正数；②如果两个数不相等，那么这两个数的绝对值也不相等；③任 何一个有理数的绝对值都不是负数：④绝对值等于它本身的数只有0. (2)若1a|=-a,则a的取值范围是 A.a>0 B.a≤0 C.a≥0 D.a<0 王心童”《红卷》 9 七年级数学BS版上册 》 核心素养清 例5已知有理数a,b,c在数轴上的位置如图所示，且1al=1b1. 8 o a (1)a+b= b (2)判断b+c,a-c,(b+c)(a-b)的符号. (3)求a,6-lc+a的值 ac ab 答案，(1)0-1 (2)由数轴可得c<b<0<a, 所以b+c<0,a-c>0,(b+c)(a-b)<0. (3)因为c<b<0,Ial=Ib1, 所以a+b_lacl,lbl =1+1-(-1)+(-1)=2. a ac ab 核心素养《 数学运算是数学活动的基本形式，也是演绎推理的一种形式，是得到数学结果的重要手段.在数 学运算核心素养的形成过程中，学生能够进一步发展数学运算能力；能够有效借助运算方法解决实 际问题；能够通过运算促进数学思维发展，养成程序化思考问题的习惯：能够形成一丝不苟、严谨求 实的科学精神. -m(m<0), 练习5 我们知道1m=0(m=0),现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的式子，如 m(m>0). 化简1m+1|+|m-21时，可令m+1=0和m-2=0,解得m=-1,m=2(称-1,2分别为lm+11与|m-21的 零点值)，在数轴上标出表示-1和2的点，如图所示.数轴被分成不重复、不遗漏的三部分，即m<-1, -1≤m<2,m≥2. -2 -1 0 从而化简1m+1|+1m-21可分为以下3种情况： (1)当m<-1时，原式=-(m+1)-(m-2)=-2m+1. (2)当-1≤m<2时，原式=m+1-(m-2)=3. (3)当m≥2时，原式=m+1+m-2=2m-1. [-2m+1(m<-1), 综上，1m+11+1m-21=3(-1≤m<2), 2m-1(m≥2). 通过以上阅读，请你解决下面的问题： (1)分别求出1x-51和1x-41的零点值， (2)化简1x-51+1x-41. (3)求x-51+1x-41的最小值， 王心童”《红卷》 10 七年级数学BS版上册参芳答案 (3)由(2)可知1x-51+1x-41的最小值为1. 第一章丰富的图形世界 第三章整式及其加减 练习1解：(1)③ 1 练习1(1)D(2)0 (2)V=m×32x(3+2)-3m×32x2 练习22024,2023，-8b2x+3,13x2-2y+y10 =45π-6m 5 =39m. 练习3(1)2x2-2y2(2)5a2-12a+9 答：立体图形的体积为39π. 练习4C 练习21,2,3,453,5,6 练习5(1)解：①因为A=3x2-x+2y-4y,B=2x2-3x-y 练习3解：(1)答案不唯一，如： +xy, 所以2A-3B=2(3x2-x+2y-4xy)-3(2x2-3x-y+y) =6x2-2x+4y-8y-6x2+9x+3y-3xy=7x+7y-11xy. (2)n=8,9,10,11. 练习4解：(1)6×(1+2+3)a2=36a2,所以该几何体的 ②当+y=6 ,y=-1时， 表面积为36a2. 24-3B=7x6 -11x(-1)=6+11=17. (2)6×(1+2+3+…+24)a2=1800a2,所以该几 (2)解：设“☐”是a,得(ax2+6x+8)-(6x+5x2+ 何体的表面积为1800a2 2) 第二章有理数及其运算 =ax2+6x+8-6x-5x2-2 练习1(1)7.3，+34,202 =(a-5)x2+6. 52024 (2)2-2.1,-5,-2024 因为答案是个常数，所以a-5=0,则a=5. (3)7.3,+342023 5'20240(4)-5,-2024,0 答：“☐”是5. 练习2(1)1(2)6或-4 第四章基本平面图形 练习3(1)2024-2024(2)2023 练习1(1)1或3(2)1或3 练习4(1)③(2)B 练习2C 练习5解：(1)令x-5=0,得x=5,所以1x-51的零点值 练习3D 为5；令x-4=0,得x=4,所以1x-41的零点值 练习4解：(1)∠A0C45°∠B0C75 为4. (2)分两种情况： (2)当x<4时，1x-51+1x-41=5-x+4-x=9- ①当射线OC、射线OA在射线OB的同侧时，如 2x;当4≤x<5时，lx-51+x-41=5-x+x-4=1; 图1所示. 当x≥5时，1x-51+lx-41=x-5+x-4=2x-9. 9-2x(x<4), 综上，1x-51+1x-41=1(4≤x<5), B 2x-9(x≥5). 图1B G图2 王心童”《红卷》· 29 七年级数学BS版上册