第六章 三角计算（B卷·单元测试卷）-《同步单元AB卷》《数学 拓展模块一 上册》（高教版2023修订版）（原卷版+解析版）

编写说明：本套云南专用《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块一下册》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第六章三角计算的单元测试卷，主要考查了和角公式、二倍角公式、正弦型函数的图像和性质、解三角形等常见考点。 第六章 三角计算 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．设，则的值为（    ） A． B．4 C． D． 2． （ ） A． B． C． D．1 3．=（   ） A． B． C． D． 4．若，，则（） A．1 B． C． D． 5．老虎甲在A地发现野鹿乙在北偏东方向上的B地，立刻以的速度进行追捕，与此同时，野鹿乙以的速度往北偏东方向逃窜，假设甲、乙都是匀速直线运动，且，则甲能够一次性捕获乙的最短时间为（    ） A．60s B．80s C．100s D．120s 6．等于（   ） A． B． C． D． 7．某校数学兴趣小组为了测量其高度，在地面上共线的三点处分别测得点的仰角为，且，则高度约为（    ） （参考数据：）    A． B． C． D． 8．在中，若，则三角形的形状为（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 9．在中,,则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要件 10．的值等于（    ） A． B． C． D． 11．若，且，则（ ） A． B． C． D．7 12．函数，其部分图象如图所示，则（ ） A． B． C． D． 13．设，且，则的值是（    ） A． B． C． D． 14．函数图象如图：则其解析式是（        ） A． B． C． D． 15．已知命题甲： ，命题乙：双曲线 的渐近线与圆 相切，则命题甲为命题乙的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．下面是一道选择题的两种解法，两种解法看似都对，可结果并不一致，问题出在哪儿？ 【题】在中，，，，若有两解，则的取值范围是（    ） A．           B．           C．             D． 【解法1】有两解，，，即，故选C． 【解法2】，． 有两解，，，即，故选B． 你认为 是正确的．（填“解法1”或“解法2”） 17．将函数的图象向右平移个单位，再向下平移个单位所得图象对应函数的解析式是 ． 18．如图，渔船甲位于岛屿的南偏西60°方向的处，且与岛屿相距12千米，渔船乙以10千米/时的速度从岛屿出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从处出发沿北偏东的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上.则渔船甲的速度为 ， . 19．在中，D是的中点，与互为余角，，，则的值为 . 20．已知为第二象限角，，则 ． 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．已知的内角的对边分别为，且， (1)求的大小； (2)若，求的面积． 22．在①函数的图象向右平移个单位长度得到的图象，图象关于原点对称；②函数；③函数这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答. 已知___________，函数的图象相邻两对称中心之间的距离为. (1)若，且，求的值； (2)求函数在上的单调递减区间. 23．在中，角所对的边分别为，，，已知． (1)求的值； (2)当，时，求及的长． 24．已知的角的对边分别为，，. (1)求； (2)若的面积为，求边上的高. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套云南专用《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块一下册》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第六章三角计算的单元测试卷，主要考查了和角公式、二倍角公式、正弦型函数的图像和性质、解三角形等常见考点。 第六章 三角计算 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．设，则的值为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】D 【分析】根据二倍角公式与商除关系化简即可. 【详解】. 故选：D． 2． （ ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】逆用余弦的和角公式和特殊角三角函数值易得答案. 【详解】. 故选：A. 3．=（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两角和余弦公式的逆用，再根据特殊角的三角函数值易得答案. 【详解】. 故选：A. 4．若，，则（） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同角三角函数基本关系及二倍角公式求解即可. 【详解】已知，两边同时平方可得：， 即， 根据，可得：，则， 而，所以. 故选：B. 5．老虎甲在A地发现野鹿乙在北偏东方向上的B地，立刻以的速度进行追捕，与此同时，野鹿乙以的速度往北偏东方向逃窜，假设甲、乙都是匀速直线运动，且，则甲能够一次性捕获乙的最短时间为（    ） A．60s B．80s C．100s D．120s 【答案】C 【分析】利用余弦定理解三角形即可. 【详解】如图，设甲最快捕获乙的地点是点C，时间为t（单位：s）， 则，. 由题意得， 由余弦定理， 得， 解方程得或（舍去）. 故选：C    6．等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用诱导公式得，，再由两角和与差的三角函数化简求值即可． 【详解】已知， ， 则 ． 故选：A． 7．某校数学兴趣小组为了测量其高度，在地面上共线的三点处分别测得点的仰角为，且，则高度约为（    ） （参考数据：）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，求出，利用余弦定理在和中，表示出和，两者相等即可解出答案 【详解】由题知，设， 则，，， 又， 所以在中，，① 在中，，② 联立①②，解得. 故选：B 8．在中，若，则三角形的形状为（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【答案】C 【分析】根据两角差与和的正弦公式展开、整理可得，据此可判断. 【详解】由可得 ， 整理可得，， 所以， 在中，， 所以，从而. 故三角形为直角三角形. 故选：C 9．在中,,则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要件 【答案】B 【分析】由已知利用正弦定理计算可求得,并结合充要条件的定义可判断. 【详解】中,, 时,由正弦定理,,, ,所以,可为锐角也可为钝角,所以或, 因此“”是“”的必要不充分条件． 故选：B． 10．的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用两角差的正弦公式结合特殊角的三角函数值即可求解. 【详解】 ， 因此选项A正确. 故选：A. 11．若，且，则（ ） A． B． C． D．7 【答案】D 【分析】根据正弦得到正切值，利用正切差角公式计算出答案. 【详解】因为，所以， 又，所以， 故， 所以. 故选：D. 12．函数，其部分图象如图所示，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦型函数的图象依次得到最值、周期，即可得到函数的解析式，进而求解. 【详解】设的最小正周期为， 由题意可知：，，即， 且，则， 可得， 由图象可知：为的最大值点， 则，解得， 且， 可知，所以. 故选：B. 13．设，且，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正余弦函数的单调性判断得，再利用三角函数的基本关系式与倍角公式即可得解. 【详解】因为， 所以，则， 因为，所以， 所以， 则 故选：B. 14．函数图象如图：则其解析式是（        ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦型函数的图象和性质解题即可. 【详解】由图可知，该函数的最大值为1，最小值为，即， 又，所以函数最小正周期为， 又，所以，所以函数解析式为 由图可知函数图像过点，代入中，即， 则，解得，又，所以， 综上所述，函数解析式为. 故选：C. 15．已知命题甲： ，命题乙：双曲线 的渐近线与圆 相切，则命题甲为命题乙的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分必要条件的定义结合双曲线的渐近线方程及直线与圆的位置关系进行判断即可. 【详解】双曲线 的渐近线为， 即， 圆 的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离， 则，则， 则不一定成立， 当时，， 即 ，则， 即，则，此时命题乙为真命题， 故命题甲为命题乙的充分不必要条件. 故选：A. 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．下面是一道选择题的两种解法，两种解法看似都对，可结果并不一致，问题出在哪儿？ 【题】在中，，，，若有两解，则的取值范围是（    ） A．           B．           C．             D． 【解法1】有两解，，，即，故选C． 【解法2】，． 有两解，，，即，故选B． 你认为 是正确的．（填“解法1”或“解法2”） 【答案】解法1 【分析】根据题意画出图形，三角形有两解即满足，故解法1正确；根据三角形中大角对大边，找出解法2中的矛盾点. 【详解】根据题意画出图形，三角形有两解即满足，解法1是正确的； 解法2中因为，要是三角形有两解，则应该，即，所以错误. 17．将函数的图象向右平移个单位，再向下平移个单位所得图象对应函数的解析式是 ． 【答案】 【分析】根据三角函数的平移变换规律可得答案. 【详解】结合三角函数的平移变换公式可知，函数平移之后的解析式为： . 故答案为：. 18．如图，渔船甲位于岛屿的南偏西60°方向的处，且与岛屿相距12千米，渔船乙以10千米/时的速度从岛屿出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从处出发沿北偏东的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上.则渔船甲的速度为 ， . 【答案】 14千米/时. . 【解析】（1）在中，利用余弦定理即可求解. （2）在中，，根据正弦定理即可求解. 【详解】（1）由已知得，千米，千米，， ，千米，∴渔船甲的速度（千米/时） （2）在中，，由正弦定理得. 故答案为：14千米/时； . 【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理在生活中的应用，解题的关键是掌握住正、余弦定理，属于基础题. 19．在中，D是的中点，与互为余角，，，则的值为 . 【答案】或 【分析】首先利用余弦定理和正弦定理求出的长，进一步利用三角函数关系式的恒等变换求出结果. 【详解】如图所示，    在中，设， 因为与互为余角， 所以， 所以， 所以. 因为，， 所以在中，. 在中，由正弦定理得， 所以，即， 所以. 在中，由余弦定理得， 所以，解得或. 因为在中，， 所以. 当时，， 所以. 当时，， 所以. 故答案为：或. 20．已知为第二象限角，，则 ． 【答案】 【分析】根据同角三角函数的关系式，结合正切的二倍角公式即可求得. 【详解】因为，为第二象限角，所以， 则，所以. 故答案为： 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．已知的内角的对边分别为，且， (1)求的大小； (2)若，求的面积． 【答案】【小题1】 【小题2】 【分析】（1）已知等式利用诱导公式和倍角公式化简，可求的大小； （2）条件中的等式，利用正弦定理角化边，再用余弦定理求得边，用面积公式计算面积. 【详解】（1），可得 又 （2）由正弦定理得，， 由余弦定理，,可得，， 联立方程组整理得，，所以或（舍）． 22．在①函数的图象向右平移个单位长度得到的图象，图象关于原点对称；②函数；③函数这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答. 已知___________，函数的图象相邻两对称中心之间的距离为. (1)若，且，求的值； (2)求函数在上的单调递减区间. 【答案】(1)； (2)单调递减区间为，. 【分析】（1）选择①根据三角函数的平移以及奇偶性，结合函数的最小正周期，求得函数解析式，以及，再求即可； 选择②③利用三角恒等变换化简至标准型，结合函数的最小正周期，根据的取值，即可求得； （2）根据（1）中所求函数解析式，利用整体法即可求得函数的单调减区间. 【详解】（1）若选择①：由题意可知，，，， ， 又函数图象关于原点对称，，， ，，； 若选择②：， 又，，； 若选择③： . 又，，. 综上所述，选择条件①②③，均有. ，，， . （2）由，，得， 令，得，令，得. 函数在上的单调递减区间为，. 23．在中，角所对的边分别为，，，已知． (1)求的值； (2)当，时，求及的长． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用二倍角的余弦公式进行求解即可. （2）利用正弦定理与余弦定理，结合二倍角公式进行求解即可. 【详解】（1）因为，及， 所以. （2）当，时，由正弦定理，得. 由，及得. 由余弦定理，得. 解得或. 所以或 24．已知的角的对边分别为，，. (1)求； (2)若的面积为，求边上的高. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，得出，再用余弦定理结合，求出的关系，再用正弦定理可求出， （2）由（1）求出的的关系结合的面积为，可求出，再用面积公式即可求边上的高. 【详解】（1）的角的对边分别为， ，又，即， 由余弦定理，即， 又因为，联立可解得， 由正弦定理得，. （2）由（1）知，又的面积为， 所以，即，解得， 设边上的高为,由三角形面积公式可得， 边上的高. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $