第五章 指数函数与对数函数（B卷·单元测试卷）-《同步单元AB卷》《数学 基础模块 下册》（高教版2023修订版）（原卷版+解析版）

编写说明：本套《同步单元AB卷》紧扣《数学 基础模块（下册）》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第五章指数函数与对数函数的考点梳理卷，主要梳理和考查了实数指数幂、指数函数、对数、对数函数、指数函数与对数函数的应用等常见考点。 第五章 指数函数与对数函数 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．在指数函数的图像上的点是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】代选项中涉及的自变量的值求出对应函数值即可判断. 【详解】当时，， 所以指数函数过点，故AC不符合题意，B符合题意； 当时，， 所以指数函数过点，故D不符合题意. 故选：B. 2．设，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数的运算即可求解. 【详解】由题意得，∵， ∴. 故选：. 3．的值是（   ） A．2 B． C． D．4 【答案】C 【分析】利用实数指数幂的运算规则即可求解. 【详解】． 故选：C． 4．为了得到函数的图像，只需把函数的图像上所有的点（ ） A．向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度 B．向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度 C．向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度 D．向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度 【答案】A 【分析】通过函数的平移法则依次判断每个选项得到答案. 【详解】A. 向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到，正确； B. 向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到，错误； C. 向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到，错误； D. 向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到，错误. 故选 【点睛】本题考查了函数的平移，熟练掌握函数平移法则是解题的关键. 5．指数方程 解集的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用配方法化简解析式，然后利用指数的运算可解. 【详解】原方程等价于，即； 因式分解为，即， 所以或，解得：或； 故选：C. 6．已知，则的值等于（   ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】先进行指数式与对数式的转化，再解方程即可. 【详解】由题意得，，则，且， 即，且，解得. 故选：C. 7．函数在上单调递减，则t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复合函数的单调性可得的单调性，从而可求得t的取值范围. 【详解】因为函数在上单调递增，所以根据复合函数的单调性可得函数在上单调递减，则，解得. 故选：A 8．计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据根式、指数、对数运算求得正确答案. 【详解】 . 故选：C 9．函数的单调递增区间是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合对数型复合函数的单调性，即可求解. 【详解】因为， 令，即，解得或， 即函数的定义域为， 因为函数在定义域上单调递增， 又函数， 所以函数的图像开口向上，对称轴为，在上单调递减，上单调递增， 根据复合函数同增异减的性质可知， 函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以函数的单调增区间为. 故选：D. 10．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数和对数的单调性比较大小即可. 【详解】A，已知在上为增函数， 且，所以，故A错误， B，已知，由在上为增函数， 因为，所以， 则，故B错误， C，已知在上为增函数， 且，所以，故C错误， D，已知在上为减函数， 且，所以，故D正确， 故选：D. 11．Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠病毒累计确诊病例数（的单位：天）的Logistic模型：，其中为最大确诊病例数．当时，标志着已初步遏制疫情，则约为（   ） A．60 B．63 C．66 D．69 【答案】C 【分析】根据所给材料的公式列出方程，解出即可. 【详解】由已知可得， 则，即， 两边取对数有， 则，解得． 故选：C. 12．在下列图像中，二次函数与指数函数的图像只可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合指数函数和二次函数的图像和性质，即可求解. 【详解】根据指数函数可知，同号且不相等， 所以二次函数的对称轴，故选项B与D错误； 选项A中，由二次函数图像知，当时，，， 所以，故， 所以指数函数单调递减，故选项A正确； 选项C中，由二次函数图像知，当时，，， 所以，故， 所以指数函数单调递增，故选项C错误； 故选：A. 13．函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先求解函数的定义域，再由复合函数求单调区间的方法求解即可. 【详解】函数为，则有，解得：或， 所以函数的定义域为， 设函数，可知为二次函数，且开口向上， 则函数在区间上为减函数，在区间上为增函数， 而对数函数在上为减函数， 由复合函数单调性“同增异减”可知， 函数的单调递减区间为. 故选：D. 14．若函数，则的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数的定义求出函数的定义域，再结合二次函数和对数函数在定义域内的单调性及复合函数的单调性求解即可. 【详解】令，则， 由真数，即， 得， ∵抛物线的开口向下，对称轴， ∴在区间上单调递增，在区间上单调递减， 又∵在上单调递减， 由复合函数的单调性可得： 的单调递增区间为. 故选：A 15．化简的结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用指数幂运算解答即可. 【详解】， 故选：. 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．设，则 ． 【答案】 【分析】根据实数指数幂的运算法则即可求解. 【详解】因为， 所以. 故答案为：. 17．函数是 函数.（填“奇”或“偶”或“非奇非偶”或“既奇又偶”）. 【答案】奇 【分析】根据函数奇偶性的定义即可解得. 【详解】由已知得的定义域为关于原点对称， ， 即，故为奇函数. 故答案为：奇. 18．函数的定义域是 ． 【答案】 【分析】根据根式可得，结合对数函数性质解不等式即可. 【详解】令， 注意到，可得，解得， 所以函数的定义域是. 故答案为：. 19．函数的值域为 . 【答案】 【分析】首先化函数为二次函数，再根据指数函数的单调性求出的值域即可. 【详解】 ， 设，则， 得，当时，有最小值为， 所以函数的值域为， 故答案为：. 20．已知函数对任意两个不相等的实数，都满足不等式，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据对数型复合函数的单调性，结合二次函数的单调性列出不等式即可解得. 【详解】由于满足：对任意两个不相等的实数， 都满足不等式，所以在区间上单调递增. 而在上递减； 令，则在上单调递减， 而开口向上，对称轴为， 所以，解得， 所以的取值范围是. 故答案为： 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．求下列各式中的值： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合对数运算求得的值. （2）结合对数运算求得的值. 【详解】（1），. （2），. 22．已知指数函数（且）的图像经过点，求，，的值． 【答案】 【分析】先由指数函数过的点求出指数函数的解析式，再分别将，和代入函数解析式即可求解函数值. 【详解】因为指数函数的图像过点， 所以，解得．所以， 所以，，． 23．已知函数，函数．    (1)在同一直角坐标系中画出、的图象； (2)，用表示、中的较小者，记为． ①用解析法表示函数，并写出函数的值域； ②讨论关于的方程的根的个数．（直接写出结论） 【答案】(1)图象见解析 (2)①，值域为；②答案见解析. 【分析】（1）根据函数解析式可作出函数、的图象； （2）①根据（1）中的图象可写出函数的解析式，进而可作出函数的图象，求出值域；②根据函数的图象可得出在不同取值下方程的根的个数. 【详解】（1）在同一直角坐标系中作出函数、的图象如下图所示：    （2）①由（1）中的图象可得，作出函数的图象如下图所示：    所以函数的值域为； ②由①中的图象可得出以下结论： 当时，方程无实根； 当或时，方程只有一个实根； 当时，方程有两个实根. 24．已知 且的图像经过点，求： (1)函数的解析式； (2)的值； (3)不等的解集. 【答案】(1)且 (2)8 (3) 【分析】（1）由函数过定点代入解析式求参数即可； （2）由（1）知函数解析式，代入求某点解析式即可； （3）利用指数函数单调性解不等式即可. 【详解】（1）已知 且的图像经过点， 所以有，解得， 即有函数的解析式为且. （2）由（1）知且， 所以有. （3）由（1）知且， 所以，即有，即， 又因为指数函数单调递减， 所以有，即不等的解集为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套《同步单元AB卷》紧扣《数学 基础模块（下册）》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第五章指数函数与对数函数的考点梳理卷，主要梳理和考查了实数指数幂、指数函数、对数、对数函数、指数函数与对数函数的应用等常见考点。 第五章 指数函数与对数函数 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．在指数函数的图像上的点是（   ） A． B． C． D． 2．设，则等于（    ） A． B． C． D． 3．的值是（   ） A．2 B． C． D．4 4．为了得到函数的图像，只需把函数的图像上所有的点（ ） A．向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度 B．向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度 C．向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度 D．向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度 5．指数方程 解集的是（    ） A． B． C． D． 6．已知，则的值等于（   ） A． B． C．2 D． 7．函数在上单调递减，则t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．计算：（    ） A． B． C． D． 9．函数的单调递增区间是（　　） A． B． C． D． 10．若，则（    ） A． B． C． D． 11．Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠病毒累计确诊病例数（的单位：天）的Logistic模型：，其中为最大确诊病例数．当时，标志着已初步遏制疫情，则约为（   ） A．60 B．63 C．66 D．69 12．在下列图像中，二次函数与指数函数的图像只可能是（   ） A． B． C． D． 13．函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 14．若函数，则的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 15．化简的结果正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．设，则 ． 17．函数是 函数.（填“奇”或“偶”或“非奇非偶”或“既奇又偶”）. 18．函数的定义域是 ． 19．函数的值域为 . 20．已知函数对任意两个不相等的实数，都满足不等式，则实数的取值范围为 ． 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．求下列各式中的值： (1)； (2). 22． 已知指数函数（且）的图像经过点，求，，的值． 23．已知函数，函数．    (1)在同一直角坐标系中画出、的图象； (2)，用表示、中的较小者，记为． ①用解析法表示函数，并写出函数的值域； ②讨论关于的方程的根的个数．（直接写出结论） 24．已知 且的图像经过点，求： (1)函数的解析式； (2)的值； (3)不等的解集. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $