专题05 双曲线的标准方程及性质6大考点（期末真题汇编，青海、宁夏专用）高二数学上学期人教A版

专题05 双曲线的标准方程及性质 6大高频考点概览 考点01 双曲线定义的标准方程 考点02 双曲线a,b,c之间的关系 考点03 双曲线的渐近线 考点04 双曲线的离心率 考点05 与双曲线有关的最值 考点06 直线与双曲线 地 城 考点01 双曲线的定义及标准方程 一、单选题 1．(24-25高二上·宁夏银川灵武第一中学·期末)已知点P是双曲线：上一点，分别为C的左、右焦点，若，则（    ） A．5 B．13 C．5或9 D．5或6 2．(24-25高二上·青海西宁第十四中学·期末)以椭圆的长轴端点为焦点、以椭圆焦点为顶点的双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 3．(23-24高二上·宁夏银川一中·期末)已知双曲线的左，右焦点分别是，，点在双曲线上，且，则双曲线的方程是（    ） A． B． C． D． 4．(23-24高二上·青海海南州贵德高级中学·期末)过点的等轴双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 5．(23-24高二上·宁夏吴忠吴忠中学·期末)已知双曲线的实轴长为，焦点为，则该双曲线的标准方程为（ ） A． B． C． D． 二、多选题 6．(24-25高二上·宁夏六盘山高级中学·期末)在平面直角坐标系中，已知点，，是一个动点，则（   ） A．若，则点的轨迹为椭圆 B．若，则点的轨迹为双曲线 C．若，则点的轨迹为直线 D．若，则点的轨迹为两条射线 三、填空题 7．(24-25高二上·青海名校联盟·期末)已知双曲线的两个焦点为，，双曲线上有一点，若，则 . 8．(23-24高二上·宁夏银川贺兰县第二高级中学·期末)已知双曲线过点，且与椭圆有相同的焦点，则该双曲线的方程是 9．(23-24高二上·宁夏育才中学·期末)双曲线E：（，）的左、右焦点分别为，，已知点为抛物线C：的焦点，且到双曲线E的一条渐近线的距离为，又点P为双曲线E上一点，满足.则: （1）双曲线的标准方程为 ； （2）的面积为 . 四、解答题 10．(23-24高二上·宁夏银川贺兰县第一中学·期末)求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)，经过点； (2)焦点轴上，且过点，. 11．(23-24高二上·宁夏固原·期末)求适合下列条件的双曲线标准方程： (1)经过点和； (2)已知双曲线过点，渐近线方程为，求该双曲线的标准方程. 地 城 考点02 双曲线a,b,c之间的关系 一、单选题 1．(24-25高二上·宁夏青铜峡第一中学·期末)双曲线的离心率为，则（ ） A． B． C．4 D．2 2．(23-24高二上·青海西宁部分学校·期末)若离心率为的双曲线的一条渐近线与直线垂直，则（    ） A． B． C． D． 3．(23-24高二上·宁夏育才中学·期末)已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为，则该双曲线实轴长为（    ） A．2 B．1 C． D． 4．(23-24高二上·宁夏银川贺兰县第二高级中学·期末)曲线与曲线的（ ） A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．焦距相等 D．离心率相等 二、多选题 5．(24-25高二上·宁夏吴忠青铜峡宁朔中学·期末)下列关于双曲线的判断，正确的是（    ） A．顶点坐标为 B．焦点坐标为 C．实轴长为4 D．渐近线方程为 6．(23-24高二上·宁夏银川贺兰县第二高级中学·期末)已知双曲线，则（    ） A．的焦点坐标为 B．的渐近线方程为 C．的虚轴长为 D．的离心率为 7．(23-24高二上·宁夏吴忠青铜峡宁朔中学·期末)已知双曲线，则（    ） A．渐近线方程为 B．焦点坐标是 C．离心率为 D．实轴长为4 8．(23-24高二上·青海海南州贵德高级中学·期末)关于双曲线与双曲线，下列说法不正确的是（    ） A．实轴长相等 B．离心率相等 C．焦距相等 D．焦点到渐近线的距离相等 9．(24-25高二上·宁夏银川第三十一中学·期末)如图，，是双曲线：与椭圆的公共焦点，点A是，在第一象限内的交点，若，则下列选项不正确的是（    ） A．双曲线的渐近线为 B．椭圆的离心率为 C．椭圆的方程为 D．的面积为 地 城 考点03 双曲线的渐近线 一、单选题 1．(24-25高二上·宁夏石嘴山第一中学·期末)双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高二上·宁夏石嘴山平罗中学·期末)双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 3．(24-25高二上·宁夏吴忠青铜峡宁朔中学·期末)已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则此双曲线的渐近线方程是（    ） A． B． C． D． 4．(24-25高二上·宁夏青铜峡第一中学·期末)双曲线的离心率为，则其右焦点到渐近线的距离为（ ） A． B． C． D．2 5．(23-24高二上·宁夏吴忠青铜峡宁朔中学·期末)双曲线的焦点到渐近线的距离为（   ） A． B． C． D． 6．(23-24高二上·宁夏固原·期末)双曲线，点A，B均在E上，若四边形为平行四边形，且直线OC，AB的斜率之积为3，则双曲线E的渐近线的倾斜角为（   ） A． B．或 C． D．或 7．(24-25高二上·宁夏石嘴山第三中学·期末)设、是双曲线的左、右焦点，是双曲线右支上一点.若，且，则双曲线的渐近线方程是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 8．(24-25高二上·宁夏银川第三十一中学·期末)已知双曲线的右焦点为，圆与双曲线的一条渐近线交于、两点，且线段的中点落在另一条渐近线上，则的值为 ． 9．(24-25高二上·宁夏青铜峡第一中学·期末)，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的左右两支分别交于点，，若为等边三角形，则双曲线的渐近线方程为 . 地 城 考点04 双曲线的离心率 一、单选题 1．(24-25高二上·宁夏吴忠青铜峡宁朔中学·期末)已知分别为双曲线的左、右焦点，过与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线于点，若，则双曲线的离心率为（    ） A．3 B． C． D．2 2．(24-25高二上·青海西宁第十四中学·期末)已知双曲线的左右焦点分别为，且，当点到渐近线的距离为时，该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 3．(23-24高二上·宁夏银川贺兰县第一中学·期末)已知双曲线：的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 4．(23-24高二上·宁夏育才中学·期末)已知是双曲线的左、右焦点，焦距为，以原点为圆心，为半径的圆与双曲线的左支交于，两点，且，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 5．(24-25高二上·宁夏银川第二中学·期末)双曲线的一条渐近线方程为，则其离心率为（    ） A．3 B． C． D．5 6．(24-25高二上·宁夏石嘴山第一中学·期末)已知双曲线的左焦点为为坐标原点，若在的右支上存在关于轴对称的两点，使得为正三角形，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．(23-24高二上·宁夏石嘴山平罗中学·期末)设为双曲线在第一象限的一个动点，过点向两条渐近线作垂线，垂足分别为，若始终在第一或第二象限内，则该双曲线离心率的取值范围为 ． 8．(24-25高二上·青海西宁大通县·期末)已知直线与双曲线交于A，B两点，点是弦的中点，则双曲线C的离心率为 ． 9．(23-24高二上·宁夏吴忠青铜峡宁朔中学·期末)双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为 ． 三、解答题 10．(23-24高二上·青海海南州贵德高级中学·期末)已知双曲线：（），直线与双曲线交于，两点． (1)若点是双曲线的一个焦点，求双曲线的渐近线方程； (2)若点的坐标为，直线的斜率等于1，且，求双曲线的离心率． 地 城 考点05 与双曲线有关的最值 一、填空题 1．(23-24高二上·宁夏固原·期末)若点是双曲线右支上的一点，点是圆上的一点，点是圆上的一点，则的最小值为 ． 二、解答题 2．(23-24高二上·宁夏银川一中·期末)已知双曲线. (1)求与双曲线C有共同的渐近线，且实轴长为6的双曲线的标准方程； (2)P为双曲线C右支上一动点，点A的坐标是，求的最小值． 地 城 考点06 直线与双曲线 一、单选题 1．(23-24高二上·宁夏石嘴山平罗中学·期末)已知双曲线的离心率为2，左、右焦点分别为，，到渐近线的距离为3，过的直线轴，与双曲线C的右支交于A，B两点，则的面积为（    ） A．9 B．24 C．36 D．72 二、多选题 2．(24-25高二上·青海海南州部分学校·期末)已知是双曲线的上焦点，是上的两点，则下列结论正确的是（    ） A．若是的中点，则 B．的最小值为4 C．点到的两条渐近线的距离的乘积为12 D．若的中点坐标为，则直线的斜率为 3．(24-25高二上·宁夏银川第二中学·期末)已知双曲线的左､右焦点分别为，，过点的直线与双曲线C的两条渐近线分别交于M，N两点，若，(点O为坐标原点)，则下列说法正确的是（    ） A．双曲线C的离心率为 B．的面积为 C． D． 三、解答题 4．(24-25高二上·宁夏青铜峡第一中学·期末)已知双曲线，点在双曲线上，且其离心率为. (1)求双曲线的标准方程； (2)若过点的直线与双曲线交于，两点，的面积为，求直线的方程. 5．(24-25高二上·宁夏青铜峡第一中学·期末)已知双曲线，点在双曲线上，且其渐近线方程为. (1)求双曲线的标准方程； (2)若过点的直线与双曲线只有一个交点，求直线的方程. 6．(24-25高二上·宁夏吴忠青铜峡宁朔中学·期末)过双曲线的右焦点，倾斜角为30°的直线交双曲线于A，B两点，为坐标原点，为左焦点． (1)求； (2)求△AOB的面积； (3)求证：． 7．(24-25高二上·青海海南州部分学校·期末)已知双曲线的左顶点为A，右焦点为F，抛物线的焦点与F重合，是与的一个公共点． (1)求与的标准方程； (2)过点A的直线l与交于D，E两点，若E是的中点，求直线l的斜率． 试卷第1页，共3页 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 双曲线的标准方程及性质 6大高频考点概览 考点01 双曲线定义的标准方程 考点02 双曲线a,b,c之间的关系 考点03 双曲线的渐近线 考点04 双曲线的离心率 考点05 与双曲线有关的最值 考点06 直线与双曲线 地 城 考点01 双曲线的定义及标准方程 一、单选题 1．(24-25高二上·宁夏银川灵武第一中学·期末)已知点P是双曲线：上一点，分别为C的左、右焦点，若，则（    ） A．5 B．13 C．5或9 D．5或6 【答案】C 【分析】由双曲线的定义求解. 【详解】由题意可知，，，若，则或9． 故选：C 2．(24-25高二上·青海西宁第十四中学·期末)以椭圆的长轴端点为焦点、以椭圆焦点为顶点的双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】确定双曲线的焦点和顶点，进而可得双曲线方程. 【详解】椭圆的长轴端点为， 椭圆焦点为， 即双曲线的焦点为，顶点为， 所以双曲线方程为. 故选：A. 3．(23-24高二上·宁夏银川一中·期末)已知双曲线的左，右焦点分别是，，点在双曲线上，且，则双曲线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线定义求解即可. 【详解】由题意可知，，解得，， 所以双曲线的方程是． 故选：D． 4．(23-24高二上·青海海南州贵德高级中学·期末)过点的等轴双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先设出双曲线的方程为（），代点进行求解即可. 【详解】设双曲线的方程为（）， 代入点，得， 故所求双曲线的方程为， 其标准方程为． 故选：A． 5．(23-24高二上·宁夏吴忠吴忠中学·期末)已知双曲线的实轴长为，焦点为，则该双曲线的标准方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意设出双曲线的标准方程并列出关系式求解即可. 【详解】根据题意设双曲线的标准方程为：. 则，解得：. 所以双曲线的标准方程为. 故选：A 二、多选题 6．(24-25高二上·宁夏六盘山高级中学·期末)在平面直角坐标系中，已知点，，是一个动点，则（   ） A．若，则点的轨迹为椭圆 B．若，则点的轨迹为双曲线 C．若，则点的轨迹为直线 D．若，则点的轨迹为两条射线 【答案】AD 【分析】利用椭圆、双曲线、圆的定义，逐项判断即可. 【详解】对于A，，则点的轨迹为以为焦点的椭圆，A正确； 对于B，，则点的轨迹是以为焦点双曲线的右支，B错误； 对于C，由，得，则点的轨迹是以为直径的圆，C错误； 对于D，，则点的轨迹是以为端点，且不过的两条射线，D正确. 故选：AD 三、填空题 7．(24-25高二上·青海名校联盟·期末)已知双曲线的两个焦点为，，双曲线上有一点，若，则 . 【答案】18 【分析】根据双曲线的方程求出，再由双曲线定义求出，结合可得答案． 【详解】因为，所以， 可得， 因为，，所以，或， 因为，所以舍去，故. 故答案为：. 8．(23-24高二上·宁夏银川贺兰县第二高级中学·期末)已知双曲线过点，且与椭圆有相同的焦点，则该双曲线的方程是 【答案】 【分析】先求出双曲线的焦点,再设双曲线的标准方程,代入求解即可. 【详解】易得椭圆的焦点为,故设双曲线的方程为. 故 ,解得.故双曲线的方程. 故答案为： 【点睛】本题主要考查了双曲线标准方程的求解,属于基础题. 9．(23-24高二上·宁夏育才中学·期末)双曲线E：（，）的左、右焦点分别为，，已知点为抛物线C：的焦点，且到双曲线E的一条渐近线的距离为，又点P为双曲线E上一点，满足.则: （1）双曲线的标准方程为 ； （2）的面积为 . 【答案】 【分析】（1）根据抛物线方程可求得焦点坐标，由到其双曲线的渐近线的距离可求得b，再由双曲线中的关系即可求得双曲线方程； （2）在中运用余弦定理及三角形面积公式可得结果. 【详解】（1）双曲线的渐近线方程为，抛物线的焦点， 又到渐近线的距离为，即，所以， 则双曲线的标准方程为. （2）设点P为双曲线E右支上一点，，则，， 在中，，，解得， 所以，， ， 故答案为：（1），（2）.    四、解答题 10．(23-24高二上·宁夏银川贺兰县第一中学·期末)求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)，经过点； (2)焦点轴上，且过点，. 【答案】(1)； (2)． 【分析】(1)根据双曲线焦点在x轴和y轴上进行讨论即可求解； (2)可设双曲线方程为，代入两个点的坐标即可求解． 【详解】（1）当双曲线焦点在x轴上时，设双曲线方程为， 将代入，得． 又点在双曲线上， 有，由此得，不合题意，舍去． 当双曲线焦点在y轴上时，设双曲线方程为0)， ∵a=4，故， 把点坐标代入，得，解得． 故所求双曲线方程为． （2）设双曲线方程为，将已知点坐标代入， 得，解得． ∴所求方程为． 11．(23-24高二上·宁夏固原·期末)求适合下列条件的双曲线标准方程： (1)经过点和； (2)已知双曲线过点，渐近线方程为，求该双曲线的标准方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题，设出双曲线的方程为，代入求解； （2）由题，设出双曲线的方程为，代入求解. 【详解】（1）设双曲线的方程为， ∵点P，Q在双曲线上， ∴，解得， ∴双曲线的标准方程为. （2）由题意，渐近线方程为，令， 又在双曲线上， ∴，即. 地 城 考点02 双曲线a,b,c之间的关系 一、单选题 1．(24-25高二上·宁夏青铜峡第一中学·期末)双曲线的离心率为，则（ ） A． B． C．4 D．2 【答案】C 【分析】由双曲线方程求出，再利用离心率为列方程求解即可. 【详解】由双曲线方程可得，焦点在轴上， 则， 所以离心率为， 故选：C. 2．(23-24高二上·青海西宁部分学校·期末)若离心率为的双曲线的一条渐近线与直线垂直，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据双曲线离心率求得，再根据双曲线的一条渐近线与直线垂直列出，求解. 【详解】，所以，得渐近线为， 因为其中一条渐近线与直线垂直，则，得． 故选：C 3．(23-24高二上·宁夏育才中学·期末)已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为，则该双曲线实轴长为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】由已知渐近线方程可得，由焦点坐标可得，从而可求出实轴长. 【详解】解：由题意知，渐近线方程为，则，又焦点为，即， 所以，则，即或(舍去)，在实轴长为， 故选:A. 4．(23-24高二上·宁夏银川贺兰县第二高级中学·期末)曲线与曲线的（ ） A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．焦距相等 D．离心率相等 【答案】C 【分析】利用椭圆、双曲线的概念判断AB；求出焦距、离心率判断CD. 【详解】当时，曲线是焦点在x轴上的双曲线，而双曲线只有实轴、虚轴，无长短轴，AB错误； 曲线是焦点在x轴上的椭圆，半焦距， 双曲线的半焦距，即有，C正确； 椭圆的离心率，双曲线的离心率，D错误. 故选：C 二、多选题 5．(24-25高二上·宁夏吴忠青铜峡宁朔中学·期末)下列关于双曲线的判断，正确的是（    ） A．顶点坐标为 B．焦点坐标为 C．实轴长为4 D．渐近线方程为 【答案】ACD 【分析】由双曲线方程确定、、的值，利用双曲线的几何性质可判断各项的正误. 【详解】对于双曲线，，，则， 对于A，双曲线的顶点坐标为，A对； 对于B，双曲线的焦点坐标为，B错； 对于C，双曲线的实轴长为，C对； 对于D，双曲线的渐近线方程为，即，D对. 故选：ACD. 6．(23-24高二上·宁夏银川贺兰县第二高级中学·期末)已知双曲线，则（    ） A．的焦点坐标为 B．的渐近线方程为 C．的虚轴长为 D．的离心率为 【答案】CD 【分析】根据双曲线的标准方程，求出，然后对选项逐一判断即可. 【详解】因为双曲线，则 则焦点坐标为，故A错误； 焦点在轴的双曲线的渐近线方程为，即，故B错误； 双曲线虚轴长为，故C正确； 离心率为，故D正确. 故选:CD. 7．(23-24高二上·宁夏吴忠青铜峡宁朔中学·期末)已知双曲线，则（    ） A．渐近线方程为 B．焦点坐标是 C．离心率为 D．实轴长为4 【答案】ABD 【分析】由双曲线方程求双曲线，焦点坐标，离心率，实轴长. 【详解】由双曲线方程为：，焦点在轴， 所以， 所以渐近线方程为，故A正确， 焦点坐标为，故B正确， 离心率为：，故C错误， 实轴长为：，故D正确， 故选：ABD. 8．(23-24高二上·青海海南州贵德高级中学·期末)关于双曲线与双曲线，下列说法不正确的是（    ） A．实轴长相等 B．离心率相等 C．焦距相等 D．焦点到渐近线的距离相等 【答案】ABD 【分析】利用双曲线的性质对每个选项逐个判断即可 【详解】双曲线中，实轴长为，虚轴长为，焦距长为，右焦点为， 所以离心率，渐近线方程为，不妨取即， 所以焦点到渐近线的距离为， 双曲线中实轴长为，虚轴长为，焦距长为，右焦点为， 所以离心率，渐近线方程为，不妨取即， 所以焦点到渐近线的距离为， 综上，两条双曲线只有焦距相等， 故选：ABD 9．(24-25高二上·宁夏银川第三十一中学·期末)如图，，是双曲线：与椭圆的公共焦点，点A是，在第一象限内的交点，若，则下列选项不正确的是（    ） A．双曲线的渐近线为 B．椭圆的离心率为 C．椭圆的方程为 D．的面积为 【答案】ABC 【分析】根据双曲线的渐近线方程即可求解A，根据双曲线的定义以及椭圆定义可得椭圆方程为，即可求解BC，根据余弦定理可得，即可求解正弦，根据面积公式即可求解D. 【详解】对于A， 双曲线的渐近线为，故A错误； 对于B，由于，则， 根据双曲线的定义可得，故， 设椭圆方程，则，故，又， 故，则椭圆方程为，C错误； 离心率为，B错误； 对于D，， 故， 故的面积为，故D正确. 故选：ABC. 地 城 考点03 双曲线的渐近线 一、单选题 1．(24-25高二上·宁夏石嘴山第一中学·期末)双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先判断双曲线的焦点位置，然后得到渐近线方程的一般形式，再根据的值直接写出渐近线方程. 【详解】因为双曲线的焦点在轴上，所以双曲线的渐近线方程为， 又因为，所以渐近线方程为. 故选：B. 【点睛】本题考查双曲线渐近线方程的求解，难度较易.双曲线的实轴长为，虚轴长为，若焦点在轴上，则渐近线方程为，若焦点在轴上，则渐近线方程为；求解双曲线渐近线方程的另一种方法：直接将双曲线方程中的变为，由此得到的关系式即为渐近线方程. 2．(24-25高二上·宁夏石嘴山平罗中学·期末)双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定的双曲线方程，直接求出其渐近线方程. 【详解】双曲线的渐近线方程为. 故选：C 3．(24-25高二上·宁夏吴忠青铜峡宁朔中学·期末)已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则此双曲线的渐近线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据抛物线焦点得双曲线的半焦距，进而求得，即可求解渐近线方程. 【详解】的焦点是，∴双曲线的半焦距， 又虚半轴长且， ∴双曲线的渐近线方程是. 故选：D 4．(24-25高二上·宁夏青铜峡第一中学·期末)双曲线的离心率为，则其右焦点到渐近线的距离为（ ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】根据方程和离心率可得右焦点为，渐近线为，进而可得结果. 【详解】由双曲线方程可知，且焦点在x轴上， 因为双曲线的离心率，可得， 则右焦点为，渐近线为，即为， 所以右焦点到渐近线的距离为. 故选：C. 5．(23-24高二上·宁夏吴忠青铜峡宁朔中学·期末)双曲线的焦点到渐近线的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由题中条件求出焦点坐标和渐近线方程，再代入点到直线的距离公式即可求出结论． 【详解】由题得：其焦点坐标为渐近线方程为 所以焦点到其渐近线的距离． 故选：D． 6．(23-24高二上·宁夏固原·期末)双曲线，点A，B均在E上，若四边形为平行四边形，且直线OC，AB的斜率之积为3，则双曲线E的渐近线的倾斜角为（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】利用点差法，结合双曲线渐近线方程、平行四边形的性质、中点坐标公式进行求解即可. 【详解】设，显然线段的中点坐标为， 因为四边形为平行四边形， 所以线段的中点坐标和线段的中点坐标相同，即为， 因此点坐标为， 因为直线OC，AB的斜率之积为3， 所以， 因为点A，B均在E上， 所以， 两式相减得：， 所以两条渐近线方程的倾斜角为或， 故选：B    【点睛】关键点睛：本题的关键是应用点差法和平行四边形的性质. 7．(24-25高二上·宁夏石嘴山第三中学·期末)设、是双曲线的左、右焦点，是双曲线右支上一点.若，且，则双曲线的渐近线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】利用双曲线的定义、余弦定理以及三角形的面积公式可求得，利用双曲线的定义以及可求得，，再利用余弦定理可得出的值，由此可求得双曲线的渐近线方程. 【详解】设，由双曲线的定义可得， 在中，由余弦定理可得， 即， 所以，， ，， ，可得，，所以，， 由已知可得，解得， 由余弦定理可得， 即，则，即，， 因此，双曲线的渐近线方程为，即. 故选：A. 【点睛】思路点睛：求解双曲线的渐近线的常用思路： （1）转化已知条件，得到、、中任意两个量的等量关系； （2）若得到、的等量关系，则渐近线方程可得；若已知、或、之间的等量关系，结合可求得的值，则渐近线方程可求. 二、填空题 8．(24-25高二上·宁夏银川第三十一中学·期末)已知双曲线的右焦点为，圆与双曲线的一条渐近线交于、两点，且线段的中点落在另一条渐近线上，则的值为 ． 【答案】 【分析】先求出点坐标，再求得中点坐标，代入另一条渐近线方程求得，从而可得． 【详解】由已知，，渐近线方程为， 由，又，故解得或， 因此有，的中点为， 在渐近线上，则，解得，所以 故答案为：．    9．(24-25高二上·宁夏青铜峡第一中学·期末)，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的左右两支分别交于点，，若为等边三角形，则双曲线的渐近线方程为 . 【答案】 【分析】根据双曲线的定义算出，，，由是等边三角形得，利用余弦定理算出，结合双曲线渐近线方程即可的结论． 【详解】根据双曲线的定义，可得， 是等边三角形，即 ， 又， ， △中，，， 即， 解得，又，， 双曲线的渐近线的斜率为， 故填：．    【点睛】本题考查双曲线的定义、余弦定理、渐近线方程，考查逻辑推理和运算求解能力，求解时要注意结合平面几何知识的应用. 地 城 考点04 双曲线的离心率 一、单选题 1．(24-25高二上·宁夏吴忠青铜峡宁朔中学·期末)已知分别为双曲线的左、右焦点，过与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线于点，若，则双曲线的离心率为（    ） A．3 B． C． D．2 【答案】C 【分析】设过与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线于点，运用双曲线的定义和条件可得，，，再由渐近线的斜率和余弦定理，结合离心率公式，计算即可得到所求值． 【详解】设过与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线于点， 由双曲线的定义可得， 由，可得，，， 由可得， 在三角形中，由余弦定理可得： ， 即有，化简可得， 所以双曲线的离心率． 故选：C． 2．(24-25高二上·青海西宁第十四中学·期末)已知双曲线的左右焦点分别为，且，当点到渐近线的距离为时，该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由双曲线写出渐近线和焦点坐标，利用点到线距离公式列方程可得，再由双曲线参数关系及离心率公式求结果. 【详解】由题设可得双曲线渐近线为，且， 所以，即，又，所以， 所以. 故选：D 3．(23-24高二上·宁夏银川贺兰县第一中学·期末)已知双曲线：的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据双曲线的一条渐近线与直线垂直求出，进而求出离心率. 【详解】双曲线：的渐近线方程为， 双曲线的一条渐近线与直线垂直， 双曲线一条渐近线的斜率为，所以，即， 因此双曲线C的离心率. 故选：C. 4．(23-24高二上·宁夏育才中学·期末)已知是双曲线的左、右焦点，焦距为，以原点为圆心，为半径的圆与双曲线的左支交于，两点，且，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用双曲线的定义及其性质，可得AD，BD的长度，进而可以得出结果. 【详解】如图，    设与轴交于点， 由对称性的且， ∴，∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D 5．(24-25高二上·宁夏银川第二中学·期末)双曲线的一条渐近线方程为，则其离心率为（    ） A．3 B． C． D．5 【答案】A 【分析】根据渐近线方程得，再根据关系式，求双曲线的离心率. 【详解】由条件可知，所以离心率. 故选：A 6．(24-25高二上·宁夏石嘴山第一中学·期末)已知双曲线的左焦点为为坐标原点，若在的右支上存在关于轴对称的两点，使得为正三角形，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，利用中位线性质得到是的直角三角形，在焦点三角形中利用双曲线定义即可建立的关系，从而求得离心率． 【详解】设双曲线的焦距为，右焦点为，直线交于点，连接， 因为为正三角形，，所以为的中点，所以， 故，易知，所以， 由双曲线的定义知，即，得. 故选：D. 二、填空题 7．(23-24高二上·宁夏石嘴山平罗中学·期末)设为双曲线在第一象限的一个动点，过点向两条渐近线作垂线，垂足分别为，若始终在第一或第二象限内，则该双曲线离心率的取值范围为 ． 【答案】 【详解】试题分析：此题的渐近线斜率为，若垂足始终在第一或第二象限，则斜率为的这条渐近线，倾斜角应大于等45°．即 ，得，所以离心率，得 考点：双曲线的离心率. 8．(24-25高二上·青海西宁大通县·期末)已知直线与双曲线交于A，B两点，点是弦的中点，则双曲线C的离心率为 ． 【答案】 【分析】设，利用点差法结合中点坐标公式和离心率的定义求解即可. 【详解】设，可得，两式相减可得，点是弦的中点，且直线， 可得，即有， 即， 故双曲线C的离心率为． 故答案为：. 9．(23-24高二上·宁夏吴忠青铜峡宁朔中学·期末)双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为 ． 【答案】 【分析】由双曲线的渐近线方程，结合双曲线离心率的求法求解． 【详解】双曲线的渐近线方程为， 又双曲线的一条渐近线方程为， 则，，其中， 则， 即该双曲线的离心率为． 故答案为：． 三、解答题 10．(23-24高二上·青海海南州贵德高级中学·期末)已知双曲线：（），直线与双曲线交于，两点． (1)若点是双曲线的一个焦点，求双曲线的渐近线方程； (2)若点的坐标为，直线的斜率等于1，且，求双曲线的离心率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用双曲线的焦点坐标及标准方程，结合双曲线中三者的关系及双曲线的渐近线方程即可求解. （2）根据已知条件及直线的点斜式方程，将联立双曲线方程与直线方程，利用韦达定理及点在直线上，结合两点间的距离公式及双曲线的离心率公式即可求解. 【详解】（1）∵点是双曲线的一个焦点，∴， 又∵且，解得， ∴双曲线的方程为， ∴双曲线的渐近线方程为； （2）设直线的方程为且， 联立,可得， 则，∴，即， ∴ 解得，即由可得， 故双曲线的离心率为． 地 城 考点05 与双曲线有关的最值 一、填空题 1．(23-24高二上·宁夏固原·期末)若点是双曲线右支上的一点，点是圆上的一点，点是圆上的一点，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】根据双曲线方程求出、、，设右焦点为，再由双曲线的定义计算可得. 【详解】双曲线，则，，所以，设右焦点为， 圆，圆心为，半径， 圆，圆心为，半径， 且恰为双曲线的左焦点，， 又点是双曲线右支上的一点，则， 所以， 当且仅当、、三点共线（在之间）时取等号. 故答案为： 二、解答题 2．(23-24高二上·宁夏银川一中·期末)已知双曲线. (1)求与双曲线C有共同的渐近线，且实轴长为6的双曲线的标准方程； (2)P为双曲线C右支上一动点，点A的坐标是，求的最小值． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据相同渐近线方程可得双曲线方程为，即可根据实轴求解， （2）根据点点距离公式，结合二次函数的性质即可求解. 【详解】（1）由题可设所求双曲线的方程为, ①当时，方程为， 令得， 即双曲线方程为,即 ②当时，方程为， 令得， 即双曲线方程为， 所以双曲线的标准方程为或 （2）设P点的坐标为，则满足， . 则当时，有最小值为. 地 城 考点06 直线与双曲线 一、单选题 1．(23-24高二上·宁夏石嘴山平罗中学·期末)已知双曲线的离心率为2，左、右焦点分别为，，到渐近线的距离为3，过的直线轴，与双曲线C的右支交于A，B两点，则的面积为（    ） A．9 B．24 C．36 D．72 【答案】C 【分析】根据双曲线焦点到渐近线的距离为、离心率的定义式以及的关系式建立方程组，求得双曲线的标准方程，进而求得点的坐标，利用三角形的面积公式，可得答案. 【详解】由题知，设双曲线的焦距为，则，解得， ∴双曲线，，． 将代入，解得，∴， ∴的面积为． 故选：C． 二、多选题 2．(24-25高二上·青海海南州部分学校·期末)已知是双曲线的上焦点，是上的两点，则下列结论正确的是（    ） A．若是的中点，则 B．的最小值为4 C．点到的两条渐近线的距离的乘积为12 D．若的中点坐标为，则直线的斜率为 【答案】ACD 【分析】对于A，由轴即可判断；对于B，由双曲线的性质即可判断；对于C，由点到线的距离公式即可判断；对于D，由点差法可判断. 【详解】对于A，由双曲线，可得焦点在轴上，， 若是的中点，则直线轴，，A正确； 对于B，若点在轴上方，的最小值为， 若点在轴下方，的最小值为，B错误； 对于C，由题意得，， 所以双曲线的渐近线方程为或， 所以点到的两条渐近线的距离乘积为，C正确； 对于D，设，，则， 两式相减得． 因为的中点坐标为，所以，即， 所以直线的斜率为，此时直线的方程为， 由联立，检验可知，D正确． 故选：ACD. 3．(24-25高二上·宁夏银川第二中学·期末)已知双曲线的左､右焦点分别为，，过点的直线与双曲线C的两条渐近线分别交于M，N两点，若，(点O为坐标原点)，则下列说法正确的是（    ） A．双曲线C的离心率为 B．的面积为 C． D． 【答案】BC 【分析】由于，得到，得到，进而得到，推得，夹角双曲线C的离心率定义，可判定A不正确；由的面积为，得到的面积为，可判定B正确；由，结合，可判定C正确；由，可判定D错误. 【详解】由于，故点M为的中点，所以，所以，所以，所以， 故，所以，所以，所以， 故，所以双曲线C的离心率，故A错误； 因为，所以， 所以的面积为，故的面积为，故B正确； 由于， 所以，故C正确； 由于，故D错误. 故选：BC. 三、解答题 4．(24-25高二上·宁夏青铜峡第一中学·期末)已知双曲线，点在双曲线上，且其离心率为. (1)求双曲线的标准方程； (2)若过点的直线与双曲线交于，两点，的面积为，求直线的方程 【答案】(1) (2)与 【分析】（1）根据题意得到关于双曲线参数的方程组，解之即可得解； （2）联立直线与双曲线方程，利用韦达定理与弦长公式将的面积化为关于的方程组，解之即可得解. 【详解】（1）因为双曲线，点在双曲线上，且其离心率为， 所以，解得， 所以双曲线的标准方程为 （2）由题意直线的斜率存在，故设直线的方程为， 联立，消去,得， 则且，即且， 设，则， 又， 即，则， 整理得，即， 又，所以，解得， 所以直线的方程为与. 5．(24-25高二上·宁夏青铜峡第一中学·期末)已知双曲线，点在双曲线上，且其渐近线方程为. (1)求双曲线的标准方程； (2)若过点的直线与双曲线只有一个交点，求直线的方程. 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）利用给定的渐近线及所过的点求出得解. （2）设出直线的方程，与双曲线方程联立，再分类讨论求出的方程. 【详解】（1）由双曲线的渐近线方程为，得， 而在双曲线上，则， 所以双曲线的标准方程为. （2）显然直线的斜率存在，设直线的方程为， 由消去并整理得， 当，即时，方程只有一个根， 此时直线与双曲线只有一个交点，因此，直线的方程为； 当时，，解得，直线的方程为， 所以直线的方程为或.    6．(24-25高二上·宁夏吴忠青铜峡宁朔中学·期末)过双曲线的右焦点，倾斜角为30°的直线交双曲线于A，B两点，为坐标原点，为左焦点． (1)求； (2)求△AOB的面积； (3)求证：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）设出直线的方程，联立双曲线方程，得到两根之和，两根之积，利用弦长公式求出答案； （2）在第一问的基础上，求出原点O到直线AB的距离，从而求出三角形的面积； （3）利用双曲线定义进行证明即可. 【详解】（1）由双曲线的方程得，， ∴，，． ∴直线的方程为． 设，，由得， ∴，． ∴． （2）直线AB的方程变形为， ∴原点O到直线AB的距离为， ∴． （3）证明：由双曲线的定义得，， ∴，整理得：． 7．(24-25高二上·青海海南州部分学校·期末)已知双曲线的左顶点为A，右焦点为F，抛物线的焦点与F重合，是与的一个公共点． (1)求与的标准方程； (2)过点A的直线l与交于D，E两点，若E是的中点，求直线l的斜率． 【答案】(1)的标准方程为，的标准方程为． (2)． 【分析】（1）将点代入抛物线方程求出，列出双曲线方程中方程求解； （2）设直线l的方程为，与抛物线联立，由韦达定理可得，结合E是的中点，求出的值. 【详解】（1）因为，所以， 解得，所以的标准方程为． 因为抛物线的焦点与F重合，所以，． 又，解得， 所以的标准方程为． （2）由（1）知．设直线l的方程为，，． 因为E是的中点，所以①． 联立，得， 则，②，． 由①②解得，， 所以，解得，即， 经验证，此时满足，所以直线的斜率为． 试卷第1页，共3页 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $