专题07 三角函数的图像与性质（讲义）-2026版山东省（春季高考）二轮复习《数学考纲专题练》

编写说明：2026版山东省（春季高考）二轮复习《数学考纲专题练》依据《中等职业学校数学课程标准》及山东省历年真题编写。本资料紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套对应讲义和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2026版山东省（春季高考）二轮复习《数学考纲专题练》的第7个专题，内容为三角函数的图像与性质。 2026版山东省（春季高考） 《数学考纲专题练》 专题07 三角函数的图像与性质 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 一、课标解读 1.理解角的概念的推广，理解象限角、界限角和终边相同的角的概念 2.掌握弧度制，能正确进行弧度和角度的换算 3.理解任意角的三角函数的定义；掌握特殊角的三角函数值；能判断任意角三角函数值的符号 4.掌握同角三角函数的基本关系式（两个），能运用这些公式进行化简和求值运算． 5.掌握4组诱导公式：能运用诱导公式化简三角函数式、求任意角的三角函数值与证明简单的三角恒等式． 6.掌握正弦函数、正弦型函数的图象和性质，了解余弦函数的图象和性质， 掌握已知三角函数值求指定区间内的角度（一般指定区间为(-,]及）． 二、考情聚焦 年份 题型 题号 考查内容 分值 考情总结 2023 选择题 11 已知三角函数值的符号判断角所在的象限 3 （1）题型：选择题、填空题、解答题。 （2）分值：每年都有涉及，分值占9-10分（所有三角函数的考点一共18-21分，本专题占比一半）。 （3）内容：根据角判断所在象限、三角函数与单位圆的关系、三角函数图像、三角函数的简单变换、三角函数的周期和对称轴。 选择题 16 由角的定义域结合、正弦函数的值域求参数的范围 3 填空题 23 角终边上一点与单位圆结合角的范围求角 4 解答题 29 三角函数（正弦定理求角、五点作图法）（2问） 8 2024 选择题 7 已知角的象限确定三角函数值的符合 3 选择题 9 两角和的正切公式 3 填空题 25 正弦型函数（涉及辅助角公式、图像变换） 4 解答题 29 解三角形 8 2025 选择题 3 诱导公式和正弦函数 3 选择题 15 三角函数的最值问题 3 选择题 18 倍角公式、辅助角公式、正弦型函数的周期 3 填空题 22 余弦定理 4 解答题 29 三角函数问题（两角和的正弦公式、两点间的距离公式、同角三角函数的平方关系式、与圆有关的点的坐标） 8 三、考点预测 根据2023-2025年的真题考情，预估2026年山东省春季高考有4道题，分别是选择题、填空题和解答题，考查三角函数的图像和性质，分值占10分。 具体考点可能涉及如下内容： · 单位圆与三角函数值的关系 · 三角函数的基本关系 · 含参的正弦型三角函数 · 常见的特殊三角函数值 四、知识梳理 （一）角的概念 1.象限角 如果角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限． 2.终边相同的角 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和． 3弧度与角度的换算 （1）1°＝rad；②1rad＝°. (2)常用特殊角的弧度数 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360° 0 π 2π 4.弧度制下的弧长公式与扇形面积公式 (1)弧长公式 在半径为r的圆中，l＝|α|r，其中α的单位是弧度． (2)扇形面积公式 ． （二）三角函数定义 1.任意角的三角函数 设是任意大小的角，点为角的终边上的任意一点（不与原点重合），点P到原点的距离为，那么角的正弦、余弦、正切分别定义为 ；；． 2.三角函数值的符号 如图所示： 简记口诀为：一全正、二正弦、三正切、四余弦． 3.特殊角的三角函数值 0 0 1 0 −1 0 1 0 −1 0 1 0 1 不存在 0 不存在 0 （三）同角关系式与诱导公式 1.同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1. (2)商数关系： 2.三角函数的诱导公式 组数 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α (k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sinα －sinα －sinα sinα cosα cosα 余弦 cosα －cosα cosα －cosα sinα －sinα 正切 tanα tanα －tanα －tanα （四）三角函数的图象与性质 1．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质 函数 性质 y＝sinx y＝cosx 图象 定义域 {x|x∈R} {x|x∈R} 值域 {y|－1≤y≤1} {y|－1≤y≤1} 单调性 在， k∈Z上递增； 在， k∈Z上递减 在[(2k－1)π，2kπ]，k∈Z上递增； 在[2kπ，(2k＋1)π]，k∈Z上递减 最值 x＝＋2kπ(k∈Z)时，ymax＝1； x＝－＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1 x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝1； x＝π＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1 奇偶性 奇 偶 最小 正周期 2π 2π 2.参数A，ω，φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响 (1)φ对y＝sin(x＋φ)，x∈R的图象的影响． (2)ω(ω>0)对y＝sin(ωx＋φ)的图象的影响． (3)A(A>0)对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响． 五、10分钟小测验 1．将75°化为弧度是（    ） A． B． C． D． 2．下列各角中，与2025°角终边相同的是（   ） A．225° B． C．45° D． 3．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．角满足，则角终边一定过第（   ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 5．已知，则（   ） A． B． C． D． 6．已知，则（    ） A．2 B．3 C．5 D．6 7．已知为第三象限角，，则（    ） A． B． C． D． 8．函数的最小正周期为（   ） A． B． C． D．1 9．函数的图象的一条对称轴为（    ） A． B． C． D． 10．函数在区间上的简图是（    ） A． B． C． D． 【答案解析】 1．A 【分析】根据角度制与弧度制的互化公式，准确计算，即可求解. 【详解】根据角度制与弧度制的互化公式，可得. 故选：A. 2．A 【分析】根据终边相同的角的判断方法逐一判断即得. 【详解】因，即与的终边相同. 对于A，由上分析可得，故A正确； 对于B，因不是的整倍数，故B错误； 对于C，因不是的整倍数，故C错误； 对于D，因不是的整倍数，故D错误. 故选：A. 3．A 【分析】利用推出关系来确定充要关系即可. 【详解】因为，所以，即“”是“”的充分条件， 因为，所以，即“”不是“”的必要条件， 故选：A 4．D 【分析】利用诱导公式以及各象限三角函数值的符号即可判断得出结论. 【详解】由可得， 又，可知角终边一定在第四象限. 故选：D 5．D 【分析】根据条件，利用“齐次式”，即可求解. 【详解】因为，则， 故选：D. 6．C 【分析】根据题意，结合三角函数的基本关系式，根据“齐次式”进行弦化切，最后代入正切值即可. 【详解】根据题意，，且， 则. 故选：C. 7．B 【分析】根据各象限三角函数的符号，结合同角三角函数的基本关系求值. 【详解】因为为第三象限角，且， 所以，且. 所以. 故选：B. 8．C 【分析】由题结合正弦函数最小正周期计算公式可得答案. 【详解】因，则最小正周期为：. 故选：C 9．A 【分析】利用整体法求解对称轴方程，即可结合选项求解. 【详解】由题得，解得， 则函数图象对称轴为， 结合选项得为函数图象的一条对称轴． 故选：A 10．A 【分析】由的函数值即可判断. 【详解】令，得，排除BD． 由且，排除C． 故选：A 六、经典例题解析 【考试题型1】三角函数的定义 例1.（24山东真题）已知，是第二象限角，是第三象限角，下列说法正确的是（） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】根据角所在的象限判断三角函数的符号易得答案. 【详解】因为是第二象限角，是第三象限角， 所以， 所以. 故选：C. 例2.（23山东真题）若，，则是（） A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 【答案】B 【分析】由三角函数值的符号判定所在象限角即可. 【详解】根据题意有， 所以可能为第二或第三象限角或在x轴负半轴上， 又因为， 所以可能为第二或第四象限角， 所以为第二象限角. 故选:B. 【考试题型2】三角函数求值 例1.（23山东真题）已知角的顶点是坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点，若，则_______． 【答案】## 【分析】根据三角函数的定义，求出，再根据根据诱导公式即可求解. 【详解】因为角的终边过点， 所以； 又因为，角的终边在第二象限内， 且，， 则 故答案为：. 例2.（22山东真题）已知，且是第二象限角，则等于（） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】由已知，根据诱导公式可得，再利用同角三角函数的基本关系可求解. 【详解】由，可得， 所以，解得， 又因为是第二象限角， 所以. 故选：C 【考试题型3】三角函数图像与性质 例1.（23山东真题）已知，，则实数a的取值范围是（）． A. B. C. D. 【答案】D 【分析】先求出的取值范围，再求解不等式即可求解a的取值范围. 【详解】因为，所以， 则由得，， 所以实数a的取值范围是. 故选：D. 例2.（21山东真题）函数的部分图像如图所示，则下列说法正确的是（） A.该函数为偶函数 B.该函数的最大值为1 C.该函数的最小正周期为 D.的值为 【答案】C 【分析】根据正弦型函数的图像与性质分析即可. 【详解】A选项，通过图像可以看出为非奇非偶函数，A错误； B选项，通过图像可以看出的最小值为，则其最大值为，B错误； C选项，通过图像可知，得，故C正确； D选项，因为，则，故， 将代入，得，即 所以，即， 又，所以，故D错误. 故选：C. 例3.（21山东真题）函数的最大值是_________. 【答案】 【分析】根据正弦函数的最大值代入求解即可. 【详解】因为的最大值为1， 所以的最大值为. 故答案为：. 【考试题型4】三角函数的基本关系 例1.（22山东真题）已知，且是第二象限角，则等于（） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】由已知，根据诱导公式可得，再利用同角三角函数的基本关系可求解. 【详解】由，可得， 所以，解得， 又因为是第二象限角， 所以. 故选：C 例2.（18山东真题）已知，若，则等于． 【答案】 【详解】分析：根据平方关系得，再根据范围取负值. 详解：因为，所以 因为，所以 例3.（17山东真题）已知角终边落在直线上，则的值是（） A. B. C. D. 【分析】由直线方程，设出直线上点的坐标，可求cosα，利用诱导公式，二倍角的余弦函数公式可求cos（π+2α）的值． 【解答】解：若角α的终边落在直线y=﹣3x上， （1）当角α的终边在第二象限时，不妨取x=﹣1，则y=3，r==， 所以cosα=，可得cos（π+2α）=﹣cos2α=1﹣2cos2α=； （2）当角α的终边在第四象限时，不妨取x=1，则y=﹣3，r==， 所以sinα=，cosα=，可得cos（π+2α）=﹣cos2α=1﹣2cos2α=， 故选：B． 七、专题归纳小结 【专题内容总结1三角函数的定义】 1.掌握三角函数值与单位圆的关系，会利用单位圆判断三角函数的分类。 【专题内容总结2三角函数求值】 2.牢记常用的特殊三角函数值，并利用这些特殊三角函数值来计算其他普通三角函数。 【专题内容总结3三角函数图像与性质】 3.掌握正弦和余弦的三角函数图像，要具备把特殊函数图像推广到一般函数图像的能力。 【专题内容总结4三角函数的基本关系】 4.掌握正弦、余弦、正切的三角函数转换，熟练运用三角函数转换公式。 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $