综合与实践：制作一个尽可能大的无盖长方体形收纳盒 教学设计2025-2026学年七年级数学北师大版上册

《制作一个尽可能大的无盖长方体形收纳盒》教学设计 学科 初中数学 年级 七年级上册 教师 贺薇 课题 《制作一个尽可能大的无盖长方体形收纳盒》 教学目标 1.理解无盖长方体收纳盒的制作原理，掌握无盖长方体体积计算方法。 2.初步感知 “体积优化” 规律：能通过数据对比，发现 “随着高度的增大，体积先增大后减小” 的变化趋势，找到给定纸板（如边长 20cm 正方形）对应的最大体积大致范围。 3.发展合作探究能力：在小组合作中（6 人一组），能分工完成 “纸板裁剪、体积计算、数据记录” 任务，并用表格呈现探究结果，清晰表达小组发现。 4.体会数学与生活的联系：认识到 “收纳盒制作” 是数学（长方体体积、优化思想）在生活中的实际应用，增强用数学解决实际问题的意识。 教学内容 教学重点： 1.无盖长方体的制作原理与体积计算：能独立完成 “从正方形纸板到无盖长方体” 的剪拼操作，准确推导并运用体积公式计算不同边长对应的体积 。 2. 通过实践与数据对比感知体积优化趋势：能通过缩短高度的范围，确定最大体积的大致范围。 教学难点： 1.理解 “剪去的小正方形边长与体积的关系”：难以从 “单个的体积” 上升到 “变化对体积的影响规律”，易混淆 “边长增大” 与 “体积增大” 的关系。 2.初步理解 “优化思想”：难以用语言或简单推理解释 “为什么体积会先增后减”。 教学过程 1、 情景导入 （一）展示图片，引出湘东镇中学七年级开展“变废为宝”的创意大赛，要用废纸做无盖收纳盒，既要践行环保理念（尽量减少耗材），又要能装下最多同学捐出的闲置文具，怎样设计才能让它成为“容量冠军”呢？引出课题。 （二）个人展示。 请同学们展示一下自己制作的无盖长方体纸盒。 2、 初步感知 （一）发现：在四个角上剪去四个大小相同的小正方形。 （二）设大正方形纸片的边长为 a cm，剪去小正方形的边长为 h cm（所折无盖长方体形盒子的高度为h cm ）。 问题1：哪些因素会影响所折成的无盖长方体形盒子的容积？ 问题2：随着 h 的变化，V 的变化是否存在规律？ （三）设大正方形纸片的边长为 20 cm。 小组分工合作，利用V=(20-2h)2•h求值，探究 h 和 V 之间的关系和规律。 问题1：观察表中数据，随着高度 h 的增大，容积 V 有怎样的变化规律？ 问题2：高度 h 未必都是整数值，你估计 h 在哪个范围内取值时容积V 最大？ 问题3：改变 h 的值，你能得到比上表的容积更大的无盖长方体盒子吗？ 3、 深入探究 表1 问题1：估计高度h在哪个范围内取值时，容积V 最大？ 表2 问题2：当高度h为多少时，最接近容积V最大值 4、 举一反三 同学们，你们还想探究原大正方形的边长为多少 cm 折叠成的无盖长方体？当高度 h 等于多少cm时，容积取得最大值？ 发现：当 a=6h 时，容积 V 最大。 5、 总结归纳 同学们，通过本节课的探究你有什么收获？ 六、课后自评 七、作业设计 （一）基础作业 1.若正方形硬纸板边长为 a cm，剪去小正方形边长为 x cm，无盖长方体容积V的计算公式正确的是（ ） A. V = (a-2x)2•x B. V = (a-x)2•x C. V = a2•x D. V = (a-2x)•x 2.当正方形硬纸板边长 a = 54 cm 时，下列x值对应的容积最大的是（ ） A. x = 7 cm B. x = 8 cm C. x = 9 cm D. x = 10 cm （二）拓展作业 用长 12cm、宽 8cm 的长方形硬纸板制作无盖长方体，剪去的小正方形边长为 xcm，此时长方体的长、宽、高分别为多少？容积公式是什么？ （三）实践操作 若用两张边长为 12cm 的正方形硬纸板，一张制作无盖长方体（剪去小正方形边长​x），另一张全部剪成 4 个相同的小正方形（无剩余），再用这 4 个小正方形和一张正方形底面（边长与小正方形边长相同）制作一个无盖长方体。请问：两个长方体的容积是否可能相等？若可能，求​x的值；若不可能，说明理由。 学科网（北京）股份有限公司 $