第六单元：除数是两位数的除法（知识清单）数学人教版四年级上册

人教版四年级数学上册第六单元：除数是两位数的除法（单元复习讲义） （知识梳理+典例分析+变式练习） 知识点01：口算除法 1、除数是整十数的口算除法 （1）定义：除数是两位数的口算除法，是通过拆分被除数或利用乘法口诀，快速得出商的计算方法，适用于被除数和除数末尾有0的情况或简单数值计算。 （2）常用方法： ①想乘法算除法。 ②拆分法：将被除数拆成除数的倍数相加形式。 ③末尾去0法：被除数和除数同时去掉相同个数的0（以除数末尾0的个数为准），再计算。 2、除数是两位数的估算 估算方法：用“四舍五入”法，把被除数看作与它接近的整十数、整百数或几百几十数，把除数看作与它接近的整十数进行估算。 【名师点拨】 （1）末尾去0需同步：被除数和除数必须去掉相同个数的0，不能只去一方或个数不同。 （2）对于非整十数的口算，需结合乘法口诀拆分，不能强行去0。 知识点02：笔算除法 1、计算法则：从被除数的高位除起，先用除数试除被除数的前两位，如果前两位比除数小，就试除前三位；除到被除数的哪一位，商就写在那一位的上面；每次除后余下的数必须比除数小。 2、书写规范：商的数位要与被除数的数位对齐，除号、余数的书写位置要规范，步骤清晰（除、乘、减、落）。 【名师点拨】 （1）商的数位不能错：除到被除数的哪一位，商就写在那一位上方，避免高位商写在低位或低位商写在高位。 （2）余数必须比除数小：每次减得的余数要与下一位合起来再除，若余数大于或等于除数，说明商小了，需调大。 （3）被除数中间有 0 的处理：除到0所在的数位，若前一位没有余数，商的对应位写0占位。 3、多位数除以两位数的试商 （1）试商定义：在笔算时，通过估算除数的近似值，快速找到接近准确商的数值，减少调商次数的过程。 （2）常用试商方法： ①四舍法：除数个位上的数小于5（0、1、2、3、4），把除数看作与它接近的整十数试商。 ②五入法：除数个位上的数大于或等于5（5、6、7、8、9），把除数看作与它接近的整十数试商。 ③口算法：对于除数接近几十五的数，可直接用15、25等特殊数试商。 【名师点拨】 （1）四舍法易商大：把除数看小，试商可能偏大，需调小。 （2）五入法易商小：把除数看大，试商可能偏小，需调大。 （3）不盲目试商：结合被除数前两位与除数的关系，灵活选择方法（如被除数前两位大于除数，商是两位数，试商从十位开始；前两位小于除数，商是一位数，试商从个位开始）。 （4）调商后验证：调商后需用“商×除数”验证是否接近被除数，余数是否小于除数，避免反复调商。 4、判断商是几位数 （1）判断方法：看被除数的前两位与除数的大小关系： ①若被除数的前两位大于或等于除数，商的位数比被除数的位数少1。 ②若被除数的前两位小于除数，商的位数比被除数的位数少2。 【名师点拨】数位对齐判断：严格对比“被除数前两位”与“除数”，不是前一位或前三位。 5、商不变的规律：被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变。 【名师点拨】 （1）0除外的关键：不能同时乘或除以0，因为除数不能为0，否则算式无意义。 （2）同时性原则：被除数和除数必须同时乘或除以相同的数，不能一个乘、一个除以，或乘除的数不同。 （3）余数的变化：商不变，但余数会随被除数和除数的变化而变化。 6、商的变化规律 （1）规律1：除数不变，被除数乘（或除以）一个不为0的数，商也乘（或除以）相同的数。 （2）规律2：被除数不变，除数乘（或除以）一个不为0的数，商反而除以（或乘）相同的数。 【名师点拨】 （1）区分两个规律：除数不变时，商与被除数“同变”；被除数不变时，商与除数“反变”，避免混淆。 （2）0的限制：被除数和除数都不能乘或除以0，除数不能为0，被除数为0时商为0。 （3）余数的影响：规律仅适用于整除情况，有余数时，余数会随被除数或除数的变化而变化，需结合余数规则判断。 知识点03：解决问题: 解题步骤：审题找数量关系→确定用除法→列式计算→验证结果并作答。 【名师点拨】 （1）找准数量关系：明确谁是被除数、谁是除数，避免颠倒。 （2）结合实际取整：若结果为小数或有余数，需根据情境用“进一法”或“去尾法”取整。 考点1：口算除法 【典型例题1】某长方形的果园长500米，宽为400米，（ ）个这样的果园的占地面积约是1平方千米。 【典型例题2】70×（     ）＜560，括号里最大能填（     ）。 A．6 B．7 C．8 D．9 【练习】直接写得数。 510÷30＝                880÷40＝               600 ÷20＝            597÷12≈ 900÷60＝                770÷70＝                750÷50＝            542÷61≈ 考点2：笔算除法 【典型例题1】为开展阅读月活动，学校把585本课外书平均分给13个班。下图竖式中，虚线框内“4”和“6”表示的意思是（     ）。 A．每班分得4本，剩6本。 B．每班分得4本，剩60本。 C．每班分得40本，剩6本。 D．每班分得40本，剩60本。 【典型例题2】要使□58÷65的商是两位数，□里的数有（    ）种填法。 A．4 B．5 C．6 D．3 【练习】用竖式计算，带★的要验算。 209÷15＝                     940÷31＝                      ★168÷32＝ 考点3：商不变的规律及应用、商的变化规律及应用 【典型例题】已知算式504÷42＝12，那么504÷84＝（ ），252÷（ ）＝12。 【典型例题2】两个数的商是600，当被除数和除数都除以3时，商是（ ）；如果被除数不变，除数乘30，商是（ ）。 【练习】两数相除，如果被除数乘2，除数除以2，那么商就会（     ）。 A．乘4 B．除以4 C．不变 考点4：双归一问题 【典型例题】东东要完成375道口算练习题，4天做了100道，照这样的速度，要完成这些口算练习共需要几天？ 【练习】12箱蜜蜂一年可以酿900千克蜂蜜。小林家养了这样的8箱蜜蜂，一年可以酿多少千克蜂蜜？ 考点5：单归一问题 【典型例题】同学们要做240朵花，每人做5朵，每个小组有12人，要几组同学来做？ 【练习】学校在捐书活动中，共捐赠720本图书。要把这些图书15本捆一捆，8捆装一箱。一共需要装多少个箱子？ 考点6：归总问题 【典型例题】毛毛看一本故事书，计划每天看16页，18天看完，实际12天看完，每天实际比计划多看多少页？ 【练习】师傅每小时生产零件60个，徒弟每小时生产36个零件，师傅3小时生产的零件，徒弟要几小时才能完成？ 考点7：相遇问题 【典型例题】一辆摩托车和一辆小汽车分别从相距320千米的甲、乙两地相向而行，摩托车每小时行驶50千米，小汽车每小时行驶85千米，小汽车行驶了2小时后两车相遇，摩托车提前出发了多少小时？ 【练习】A、B两港相距975千米。甲货轮从A港开往B港，乙货轮从B港开往A港，两艘货轮同时开出，甲货轮的速度是24千米/时，乙货轮的速度是27千米/时，航行19小时两艘货轮能相遇吗？ 考点8：追及问题 【典型例题】乌龟和蜗牛在直的花坛边上爬行，它们从同一点出发，同时反方向爬行。乌龟每分钟爬75厘米，蜗牛每分钟爬50厘米，各自爬了10分钟后，乌龟又转头去追蜗牛，它要多少分钟才能追上蜗牛？ 【练习】小明早上以每分钟50米的速度从家向学校出发，12分钟后，小明的爸爸发现小明没有带文具盒，骑自行车以每分钟110米的速度去追小明，请问爸爸多少分钟后能追上小明？ 考点9：流水行船问题 【典型例题】一艘轮船从甲港开往乙港，由于顺水，每小时可以航行28千米，3小时到达。这艘轮船从乙港返回甲港时，由于逆水，每小时只能航行21千米。这艘轮船往返一次每小时的平均速度是（ ）千米/小时。 【练习】甲乙两港相距240千米，一艘轮船顺水行完全程要10小时，已知，这段航程的水流速度是每小时4千米，这艘轮船逆水行完全程要用多少小时？ 考点10：火车过桥问题 【典型例题】一列火车匀速通过360米长的隧道用了18秒，以同样的速度通过216米长的隧道用了14秒。求这列火车的速度和车长？ 【练习】一条隧道长360米，其中火车从车头入洞到全车进洞共用了8秒，从车头入洞到全车出洞共用了20秒。这列火车长多少米？ 一、选择题 1．2□62÷27，要使商中间有0，□应填（     ）。 A．3 B．6 C．7 2．两数相除，如果除数乘10，要使商不变，被除数应该（     ）。 A．不变 B．除以10 C．乘10 3．下面几个问题可以用算式“114×57”解决的是（     ）。 A．一个长方形花坛长114米，宽57米，这个花坛的周长是多少 B．一辆汽车的速度是57千米/时，行驶114千米需要几个小时 C．某公益平台给希望小学捐赠了57套书，每套书114元，这些书价值多少元 4．小明用计算器计算750×40时，不小心把750输成了150，但他仍然算出了正确的结果。他输入的算式可能是（     ）。 A．150×8 B．150×50 C．150×200 5．学校买来720本《儿童绘本》，每班分45本，可以分给几个班？小英用竖式计算出了结果（下图）。竖式中“←”所指的“45”表示的是（     ）。    A．分给1个班，已经分了45本 B．分给10个班，已经分了450本 C．分给16个班，已经分了450本 二、填空题 6．根据85×4＝340，直接写出下面各题的积。 850×4＝（ ）           3400÷40＝（ ） 7．□÷〇＝18……17，〇最小是（ ），这时□是（ ）。 8．26的201倍是（ ），930里面有（ ）个15。 9．一个除法算式的被除数、除数都除以3以后，商是20，那么原来的商是（ ）。 10．如图所示，小明在计算□□□÷25时，先用4试商，发现被除数与乘积的差是26，请你判断正确的商是（ ），余数是（ ）。 11．381÷7，要使商是一位数，里最小填（ ）。要使43÷23的商的末尾有0，里可以填（ ）。 12．一个数除以18，商是20，余数是9，这个数是（ ）。 13．要使672÷□4的商是两位数，□里最大能填（ ）。要使商是一位数，□里最小能填（ ）。 14．小明在计算除法时，把除数63看成了36，结果得到的商是52，余数是18，正确的商是（ ）。 15．计算872÷79时，应该把除数看作（ ）试商，商是（ ）位数。 16．416÷39的商是（ ）位数，最高位是（ ）位。 17．服装加工厂有368米布，做了95套成人服装后，还剩83米布。平均每套成人服装用布（ ）米。 18．有同样大小的白色、黑色、红色三种颜色的珠子共284颗，按8颗白珠、5颗黑珠、6颗红珠的规律排列，最后一颗是（ ）颜色。 19．秋收时节，明明到乡下帮爷爷摘苹果，他把每20个苹果放进一个纸箱，刚好放了10箱。如果每箱放40个，需要纸箱（ ）个。 三、判断题 20．甲数除以乙数，商是12，如果甲数和乙数都扩大为原来的2倍，商就是24。（ ） 21．试商时，如果除后的余数比除数大，应该把商调大。（ ） 22．□46÷95，无论方框里填几，商都是一位数。（ ） 23．计算350÷26时，可以把26看作30来试商，商偏小。（ ） 24．两个数的商是20，如果被除数和除数都缩小到原来的一半，商仍是20。（ ） 25．34×☐＜160，☐里最大能填5。（ ） 四、计算题 26．直接写得数。 200÷40＝              540÷90＝              280÷40＝ 150÷30＝              360÷60＝              210÷30＝ 350÷70＝              300÷50＝              490÷70＝ 27．列竖式计算，带“*”的要验算。 312÷39＝                        579÷56＝ 868÷62＝                        *400÷47＝ 五、解答题 28．王大爷家的果园收获了800千克橘子。如果每24千克装满1箱，能装满多少箱？还剩多少千克？ 29．某淘宝店寄特快专递花了612元，每件特快专递要花18元，共寄了多少件特快专递？ 30．新华书店新进《儿童百科全书》540本，每12本装一包，卖出15包，还剩多少包？ 31．甲、乙两地相距950千米，一辆汽车以每小时50千米的速度行驶，多少小时可以到达乙地？ 32．一棵树苗15元，买4棵送1棵。165元最多能买多少棵这样的树苗？ 33．某工程队修一条水渠，计划每天修65米，15天完成任务，实际提前2天完成任务，实际每天修多少米？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版四年级数学上册第六单元：除数是两位数的除法（单元复习讲义） （知识梳理+典例分析+变式练习） 知识点01：口算除法 1、除数是整十数的口算除法 （1）定义：除数是两位数的口算除法，是通过拆分被除数或利用乘法口诀，快速得出商的计算方法，适用于被除数和除数末尾有0的情况或简单数值计算。 （2）常用方法： ①想乘法算除法。 ②拆分法：将被除数拆成除数的倍数相加形式。 ③末尾去0法：被除数和除数同时去掉相同个数的0（以除数末尾0的个数为准），再计算。 2、除数是两位数的估算 估算方法：用“四舍五入”法，把被除数看作与它接近的整十数、整百数或几百几十数，把除数看作与它接近的整十数进行估算。 【名师点拨】 （1）末尾去0需同步：被除数和除数必须去掉相同个数的0，不能只去一方或个数不同。 （2）对于非整十数的口算，需结合乘法口诀拆分，不能强行去0。 知识点02：笔算除法 1、计算法则：从被除数的高位除起，先用除数试除被除数的前两位，如果前两位比除数小，就试除前三位；除到被除数的哪一位，商就写在那一位的上面；每次除后余下的数必须比除数小。 2、书写规范：商的数位要与被除数的数位对齐，除号、余数的书写位置要规范，步骤清晰（除、乘、减、落）。 【名师点拨】 （1）商的数位不能错：除到被除数的哪一位，商就写在那一位上方，避免高位商写在低位或低位商写在高位。 （2）余数必须比除数小：每次减得的余数要与下一位合起来再除，若余数大于或等于除数，说明商小了，需调大。 （3）被除数中间有 0 的处理：除到0所在的数位，若前一位没有余数，商的对应位写0占位。 3、多位数除以两位数的试商 （1）试商定义：在笔算时，通过估算除数的近似值，快速找到接近准确商的数值，减少调商次数的过程。 （2）常用试商方法： ①四舍法：除数个位上的数小于5（0、1、2、3、4），把除数看作与它接近的整十数试商。 ②五入法：除数个位上的数大于或等于5（5、6、7、8、9），把除数看作与它接近的整十数试商。 ③口算法：对于除数接近几十五的数，可直接用15、25等特殊数试商。 【名师点拨】 （1）四舍法易商大：把除数看小，试商可能偏大，需调小。 （2）五入法易商小：把除数看大，试商可能偏小，需调大。 （3）不盲目试商：结合被除数前两位与除数的关系，灵活选择方法（如被除数前两位大于除数，商是两位数，试商从十位开始；前两位小于除数，商是一位数，试商从个位开始）。 （4）调商后验证：调商后需用“商×除数”验证是否接近被除数，余数是否小于除数，避免反复调商。 4、判断商是几位数 （1）判断方法：看被除数的前两位与除数的大小关系： ①若被除数的前两位大于或等于除数，商的位数比被除数的位数少1。 ②若被除数的前两位小于除数，商的位数比被除数的位数少2。 【名师点拨】数位对齐判断：严格对比“被除数前两位”与“除数”，不是前一位或前三位。 5、商不变的规律：被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变。 【名师点拨】 （1）0除外的关键：不能同时乘或除以0，因为除数不能为0，否则算式无意义。 （2）同时性原则：被除数和除数必须同时乘或除以相同的数，不能一个乘、一个除以，或乘除的数不同。 （3）余数的变化：商不变，但余数会随被除数和除数的变化而变化。 6、商的变化规律 （1）规律1：除数不变，被除数乘（或除以）一个不为0的数，商也乘（或除以）相同的数。 （2）规律2：被除数不变，除数乘（或除以）一个不为0的数，商反而除以（或乘）相同的数。 【名师点拨】 （1）区分两个规律：除数不变时，商与被除数“同变”；被除数不变时，商与除数“反变”，避免混淆。 （2）0的限制：被除数和除数都不能乘或除以0，除数不能为0，被除数为0时商为0。 （3）余数的影响：规律仅适用于整除情况，有余数时，余数会随被除数或除数的变化而变化，需结合余数规则判断。 知识点03：解决问题: 解题步骤：审题找数量关系→确定用除法→列式计算→验证结果并作答。 【名师点拨】 （1）找准数量关系：明确谁是被除数、谁是除数，避免颠倒。 （2）结合实际取整：若结果为小数或有余数，需根据情境用“进一法”或“去尾法”取整。 考点1：口算除法 【典型例题1】某长方形的果园长500米，宽为400米，（ ）个这样的果园的占地面积约是1平方千米。 【答案】5 【分析】根据长方形面积＝长×宽，求出一个长方形果园的面积；再根据1公顷＝10000平方米，把一个长方形果园的面积换算成用公顷作单位；最后根据1平方千米＝100公顷，用100公顷除以一个长方形果园的面积即可解答。 【详解】500×400＝200000（平方米） 200000平方米＝20公顷 1平方千米＝100公顷 100÷20＝5（个） 则5个这样的果园的占地面积约是1平方千米。 【典型例题2】70×（     ）＜560，括号里最大能填（     ）。 A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】根据题意，要求最大填几，根据有余数的除法，用所比较的数除以已知因数，若有余数，所得的商即为最大数；若没有余数，用所得的商减去1，即为最大数；据此解答。 【详解】根据分析：560÷70＝8，，8－1＝7，则括号里最大能填7。 故答案为：B 【练习】直接写得数。 510÷30＝                880÷40＝               600 ÷20＝            597÷12≈ 900÷60＝                770÷70＝                750÷50＝            542÷61≈ 【答案】17；22；3；50； 15；11；15；9 考点2：笔算除法 【典型例题1】为开展阅读月活动，学校把585本课外书平均分给13个班。下图竖式中，虚线框内“4”和“6”表示的意思是（     ）。 A．每班分得4本，剩6本。 B．每班分得4本，剩60本。 C．每班分得40本，剩6本。 D．每班分得40本，剩60本。 【答案】D 【分析】整数除法法则：从被除数的高位起，除数是几位数，就先看被除数的前几位，如果不够除，就要多看一位。除到哪一位就要把商写在那一位的上面。每次除得的余数都必须比除数小。根据整数除法计算法则，商和余数在被除数的十位表示几个十，在被除数的个位表示几个一。 【详解】观察竖式，先用58个百除以13，表示先将580本课外书平均分给13个班，每个班分得40本，剩60本。 故答案为：D 【典型例题2】要使□58÷65的商是两位数，□里的数有（    ）种填法。 A．4 B．5 C．6 D．3 【答案】A 【分析】三位数除以两位数，当被除数的前两位大于或等于除数时，商是两位数。据此解答。 【详解】要使□58÷65的商是两位数，则□5大于或等于65，则□里可以填6、7、8、9，则□里的数有4种填法。 故答案为：A 【练习】用竖式计算，带★的要验算。 209÷15＝                     940÷31＝                      ★168÷32＝ 【答案】13……14；30……10；5……8 【分析】整数除法的计算法则：先从被除数的高位除起，除数是几位数，就看被除数的前几位；如果不够除，就多看一位，除到被除数的哪一位，商就写在哪一位的上面。如果哪一位上不够商1，要补“0”占位；每次除得的余数要小于除数。 有余数除法的验算方法是商×除数＋余数＝被除数。 【详解】209÷15＝13……14                 940÷31＝30……10                     ★168÷32＝5……8                                  验算： 考点3：商不变的规律及应用、商的变化规律及应用 【典型例题】已知算式504÷42＝12，那么504÷84＝（ ），252÷（ ）＝12。 【答案】 6 21 【分析】被除数不变，除数乘几（0除外），商就除以几；被除数和除数乘或除以一个相同的数，商不变。 （1）对比算式504÷42＝12和算式504÷84可知，被除数不变，42×2＝84，除数乘2，商应该除以2。 （2）对比算式504÷42＝12和算式252÷（    ）＝12可知，商不变，被除数和除数都应该乘或除以相同的数。504÷2＝252，即被除数除以2，那么除数也应该除以2。 【详解】（1）12÷2＝6，所以504÷84＝6。 （2）42÷2＝21，所以252÷21＝12。 已知算式504÷42＝12，那么504÷84＝6，252÷21＝12。 【典型例题2】两个数的商是600，当被除数和除数都除以3时，商是（ ）；如果被除数不变，除数乘30，商是（ ）。 【答案】 600 20 【分析】商不变的规律：被除数和除数都乘（或除以）一个相同的数（0除外），商不变； 被除数不变，商随除数变化的规律：除数乘（或除以）几（0除外），商反而除以（或乘）几；据此解答即可。 【详解】两个数的商是600，当被除数和除数都除以3时，商不变，仍然是600；如果被除数不变，除数乘30，商是600÷30＝20。 【练习】两数相除，如果被除数乘2，除数除以2，那么商就会（     ）。 A．乘4 B．除以4 C．不变 【答案】A 【分析】根据商的变化规律可知，被除数乘2，除数不变，商乘2。被除数不变，除数除以2，商乘2。则被除数乘2，除数除以2，2×2＝4，商应乘4。 【详解】由分析得： 如果被除数乘2，除数除以2，那么商就会乘4。 故答案为：A 考点4：双归一问题 【典型例题】东东要完成375道口算练习题，4天做了100道，照这样的速度，要完成这些口算练习共需要几天？ 【答案】 要完成这些口算练习共需要15天 【分析】根据题目可以知道，4天做了100道题，则平均每天做100÷4＝25道题。用练习题总数量除以平均每天做题数量，求出需要的天数。 【详解】375÷（100÷4） ＝375÷25 ＝15（天） 答：要完成这些口算练习共需要15天。 【练习】12箱蜜蜂一年可以酿900千克蜂蜜。小林家养了这样的8箱蜜蜂，一年可以酿多少千克蜂蜜？ 【答案】600千克 【分析】根据题意，用一年可以酿蜂蜜的质量除以蜜蜂的箱数，即900÷12，求出一箱蜜蜂一年可以酿蜂蜜的质量，再用一箱蜜蜂一年可以酿蜂蜜的质量乘蜜蜂的箱数，即可求出小林家养了这样的8箱蜜蜂，一年可以酿多少千克蜂蜜。 【详解】900÷12×8 ＝75×8 ＝600（千克） 答：一年可以酿600千克蜂蜜。 考点5：单归一问题 【典型例题】同学们要做240朵花，每人做5朵，每个小组有12人，要几组同学来做？ 【答案】4组 【分析】要做的花的朵数除以每人做的朵数等于做花需要的人数，再除以每个小组的人数，即等于做花需要的组数，据此即可解答。 【详解】240÷5÷12 ＝48÷12 ＝4（组） 答：要4组同学来做。 【练习】学校在捐书活动中，共捐赠720本图书。要把这些图书15本捆一捆，8捆装一箱。一共需要装多少个箱子？ 【答案】6个 【分析】总共捐赠图书的本数除以捆一捆的本数等于可以捆的捆数，再除以一箱的装的捆数即等于需要装的箱子个数，据此即可解答。 【详解】720÷15÷8 ＝48÷8 ＝6（个） 答：一共需要装6个箱子。 考点6：归总问题 【典型例题】毛毛看一本故事书，计划每天看16页，18天看完，实际12天看完，每天实际比计划多看多少页？ 【答案】8页 【分析】每天看16页，18天看完，16乘18即可求出这本故事书的总页数，实际12天看完，再用总页数除以12，即可求出实际每天看的页数，用实际每天看的页数减16即可解答此题。 【详解】16×18÷12－16 ＝288÷12－16 ＝24－16 ＝8（页） 答：每天实际比计划多看8页。 【练习】师傅每小时生产零件60个，徒弟每小时生产36个零件，师傅3小时生产的零件，徒弟要几小时才能完成？ 【答案】5小时 【分析】师傅每小时生产零件60个，那么3小时能生产（60×3）个，用师傅3小时生产的个数除以徒弟每小时生产的个数，即得师傅3小时生产的零件，徒弟要几小时完成。 【详解】60×3÷36 ＝180÷36 ＝5（小时） 答：徒弟要5小时才能完成。 考点7：相遇问题 【典型例题】一辆摩托车和一辆小汽车分别从相距320千米的甲、乙两地相向而行，摩托车每小时行驶50千米，小汽车每小时行驶85千米，小汽车行驶了2小时后两车相遇，摩托车提前出发了多少小时？ 【答案】1小时 【分析】根据题意，用小汽车的每小时行驶的路程乘相遇时小汽车行驶的时间，先算出小汽车相遇时行驶的路程；用求出的小汽车相遇时行驶的路程与甲乙两地的距离作差，即可求出相遇时摩托车行驶的路程，再除以摩托车每小时行驶的路程，即可求出相遇时摩托车行驶的时间；最后用求出的相遇时摩托车行驶的时间与相遇时小汽车行驶的时间作差，即可求出摩托车提前出发多少小时；据此解答。 【详解】320－85×2 ＝320－170 ＝150（千米） 150÷50＝3（小时） 3－2＝1（小时） 答：摩托车提前出发了1小时。 【练习】A、B两港相距975千米。甲货轮从A港开往B港，乙货轮从B港开往A港，两艘货轮同时开出，甲货轮的速度是24千米/时，乙货轮的速度是27千米/时，航行19小时两艘货轮能相遇吗？ 【答案】不能相遇 【分析】用AB两港的距离÷甲乙货轮的速度和，得到两货轮相加跑完全程最少需要的时间，然后和19比较，如果比19小，则可以相遇，如果比19大，则不可以相遇。 【详解】24＋27＝51（千米/时） 975÷51＝19（小时）……6（千米） 所以还差6千米。 答：不能相遇。 考点8：追及问题 【典型例题】乌龟和蜗牛在直的花坛边上爬行，它们从同一点出发，同时反方向爬行。乌龟每分钟爬75厘米，蜗牛每分钟爬50厘米，各自爬了10分钟后，乌龟又转头去追蜗牛，它要多少分钟才能追上蜗牛？ 【答案】50分钟 【分析】分析题目，根据路程＝速度×时间求出10分钟蜗牛和乌龟爬的路程和；接下来用10分钟蜗牛和乌龟爬的路程和除以两个动物的速度差可求乌龟追上蜗牛需要的时间。 【详解】（50＋75）×10÷（75－50） ＝125×10÷25 ＝1250÷25 ＝50（分钟） 答：它要50分钟才能追上蜗牛。 【练习】小明早上以每分钟50米的速度从家向学校出发，12分钟后，小明的爸爸发现小明没有带文具盒，骑自行车以每分钟110米的速度去追小明，请问爸爸多少分钟后能追上小明？ 【答案】10分钟 【分析】爸爸与小明相距（12×50）米，每分钟爸爸追小明（110－50）米。用相距路程除以速度差等于追上的时间。 【详解】12×50÷（110－50） ＝600÷60 ＝10（分钟） 答：爸爸10分钟后能追上小明。 考点9：流水行船问题 【典型例题】一艘轮船从甲港开往乙港，由于顺水，每小时可以航行28千米，3小时到达。这艘轮船从乙港返回甲港时，由于逆水，每小时只能航行21千米。这艘轮船往返一次每小时的平均速度是（ ）千米/小时。 【答案】24 【分析】由“每小时可以航行28千米，3小时到达”可以求出甲乙两港的距离，由“这艘轮船从乙港返回甲港时，由于逆水，每小时只能航行21千米”，求出逆水所用的时间，再根据往返路程除以往返时间，解决问题。 【详解】28×3＝84（千米） 84÷21＝4（小时） 84×2÷（3＋4） ＝168÷7 ＝24（千米/小时） 【练习】甲乙两港相距240千米，一艘轮船顺水行完全程要10小时，已知，这段航程的水流速度是每小时4千米，这艘轮船逆水行完全程要用多少小时？ 【答案】15小时 【分析】由路程和顺水航行的时间可以求得顺水速度；再减去水流速度即可得出逆水速度，再利用公式时间＝路程÷速度即可得解。 【详解】顺水速度：240÷10＝24（千米/时） 逆水速度：24－4－4＝16（千米/时） 用时：240÷16＝15（小时） 答：这艘轮船逆水行完全程要用15小时。 考点10：火车过桥问题 【典型例题】一列火车匀速通过360米长的隧道用了18秒，以同样的速度通过216米长的隧道用了14秒。求这列火车的速度和车长？ 【答案】36米/秒；288米 【分析】火车完全过桥，行驶的路程包括火车长和桥的长度，360米的桥比216米的桥长了144米，多走这144米，多用了4秒，可以求出火车的速度；然后求出火车18秒内行驶的距离减去360米，即为火车长。 【详解】（360－216）÷（18－14） ＝144÷4 ＝36（米/秒） 18×36＝648（米） 648－360＝288（米） 答：这列火车的速度是36米/秒，这列火车的车长是288米。 【练习】一条隧道长360米，其中火车从车头入洞到全车进洞共用了8秒，从车头入洞到全车出洞共用了20秒。这列火车长多少米？ 【答案】240米 【分析】火车从车头入洞到全车进洞用了8秒钟，说明火车8秒所行的路程就是火车的车身长，从车头入洞到全车出洞共用了20秒钟，20秒所行的路程是隧道长加车长，20－8＝12（秒），这12秒所行的路程就是隧道的长度，由此用360÷12可得火车的速度，用速度乘8即得火车的车身长度。 【详解】360÷（20－8） ＝360÷12 ＝30（米） 30×8＝240（米） 答：这列火车长240米。 一、选择题 1．2□62÷27，要使商中间有0，□应填（     ）。 A．3 B．6 C．7 【答案】C 【分析】2□62÷27，要使商中间有0，商一定是三位数，根据除法运算规则，先用前两位除以27，商的最高位应在百位上，被除数前两位必须大于或等于27，所以□至少应填7，还可以是8或9，再计算哪种填法的十位是0。 【详解】由分析可知□可以填7，8，9。 2762÷27＝102⋯⋯8 2862÷27＝106 2962÷27＝109⋯⋯19 选项中只有7符合题意。 故答案为：C 2．两数相除，如果除数乘10，要使商不变，被除数应该（     ）。 A．不变 B．除以10 C．乘10 【答案】C 【分析】根据商不变的性质：被除数和除数同时乘或除以相同的不为0的数，商不变。据此解答即可。 【详解】由分析知，两数相除，如果除数乘10，要使商不变，被除数应该乘10。 故答案为：C 3．下面几个问题可以用算式“114×57”解决的是（     ）。 A．一个长方形花坛长114米，宽57米，这个花坛的周长是多少 B．一辆汽车的速度是57千米/时，行驶114千米需要几个小时 C．某公益平台给希望小学捐赠了57套书，每套书114元，这些书价值多少元 【答案】C 【分析】根据长方形周长＝（长＋宽）×2列式； 根据时间＝路程÷速度列式； 根据总价＝数量×单价列式。 【详解】A．求这个花坛的周长，列式为：（114＋57）×2，不符合题意； B．求需要的时间，列式为：114÷57，不符合题意； C．求这些书的总价值，列式为：114×57，符合题意。 故答案为：C 4．小明用计算器计算750×40时，不小心把750输成了150，但他仍然算出了正确的结果。他输入的算式可能是（     ）。 A．150×8 B．150×50 C．150×200 【答案】D 【分析】根据乘法积的变化规律，一个因数由750变为了150，相当于除以5，要使积不变，另一个因数应乘5，据此作答。 【详解】750÷150＝5 750×40＝（750÷5）×（40×5）＝150×200 所以，他输入的算式可能是150×200。 故答案为：C 5．学校买来720本《儿童绘本》，每班分45本，可以分给几个班？小英用竖式计算出了结果（下图）。竖式中“←”所指的“45”表示的是（     ）。    A．分给1个班，已经分了45本 B．分给10个班，已经分了450本 C．分给16个班，已经分了450本 【答案】B 【分析】根据题意可知，学校买《儿童绘本》的总本书除以每班分的本数，得到的商就是可以分的班级数，依此根据三位数除以两位数的计算法则进行选择即可。 【详解】商的最高位是十位，10×45＝450（本），即竖式中“←”所指的“45”表示的是分给10个班，已经分了450本。 故答案为：B 二、填空题 6．根据85×4＝340，直接写出下面各题的积。 850×4＝（ ）           3400÷40＝（ ） 【答案】 3400 85 【分析】一个因数不变，另一个因数乘（或除以）几，积也乘（或除以）相同的数。 商不变的性质指在除法算式中，被除数和除数同时乘或除以一个相同的数（0除外），商的大小不变。 【详解】85×10＝850，所以积340×10＝3400，故850×4＝3400； 85×4＝340转化为340÷4＝85，被除数和除数同时乘10，商不变，故3400÷40＝85。 7．□÷〇＝18……17，〇最小是（ ），这时□是（ ）。 【答案】 18 341 【分析】根据余数和除数的关系可知，余数要小于除数，则〇里面的数要大于17，最小是18。再根据被除数＝商×除数＋余数解答即可。 【详解】17＋1＝18 18×18＋17 ＝324＋17 ＝341 〇最小是18，这时□是341。 8．26的201倍是（ ），930里面有（ ）个15。 【答案】 5226 62 【分析】求一个数的几倍是多少用乘法，将26×201列式求解； 求一个数里有几个几用除法，将930÷15列式求解。 【详解】26×201＝5226 930÷15＝62 26的201倍是（  5226  ），930里面有（  62  ）个15。 9．一个除法算式的被除数、除数都除以3以后，商是20，那么原来的商是（ ）。 【答案】20 【分析】被除数和除数同时乘或除以一个相同的数（0除外），商不变。据此解答。 【详解】一个除法算式的被除数、除数都除以3以后，商是20，那么原来的商是（  20  ）。 10．如图所示，小明在计算□□□÷25时，先用4试商，发现被除数与乘积的差是26，请你判断正确的商是（ ），余数是（ ）。 【答案】 5 1 【分析】先用4试商，被除数与乘积的差是26，26＞25，因此需要将商调大，应改商5，依此根据整数除法的计算法则进行解答即可。 【详解】25×5＝125，125－100＝25，26－25＝1。 由此可知，正确的商是5，余数是1。 11．381÷7，要使商是一位数，里最小填（ ）。要使43÷23的商的末尾有0，里可以填（ ）。 【答案】 4 6、7 【分析】381÷7，要使商是一位数，则被除数前两位的数要小于除数； 要使43÷23商的末尾是0，则商是整十数，三位数百位上是4，除数是23，则商只能是20，余数小于23，余数最大为22，最小为0，据根据被除数＝商×除数＋余数计算出三位数即可填空。 【详解】381÷7，要使商是一位数，38＜7，里最小填4； 余数为22时的被除数： 20×23＋22 ＝460＋22 ＝482 余数为0时的被除数； 20×23＝460 被除数43个位上是3，在460至482之间，满足条件的数字有463和473； 则要使43÷23的商的末尾有0，里可以填6、7。 12．一个数除以18，商是20，余数是9，这个数是（ ）。 【答案】369 【分析】根据在有余数的除法中，被除数÷除数＝商……余数，被除数＝商×除数＋余数，代入数据计算即可。 【详解】20×18＋9 ＝360＋9 ＝369 一个数除以18，商是20，余数是9，这个数是（369）。 13．要使672÷□4的商是两位数，□里最大能填（ ）。要使商是一位数，□里最小能填（ ）。 【答案】 6 7 【分析】三位数除以两位数除法中，当被除数前两位大于或等于除数，商是两位数，当被除数前两位小于除数，商是一位数。 【详解】由以上分析可知： 672÷□4的商是两位数，67大于或等于□4，□里的数应小于等于6，可以填6、5、4、3、2、1，所以最大填6； 672÷□4的商是一位数，67小于□4，□里的数应大于6，可以填7、8、9，所以最小填7。 14．小明在计算除法时，把除数63看成了36，结果得到的商是52，余数是18，正确的商是（ ）。 【答案】30 【分析】在有余数的除法中，被除数÷除数＝商……余数，被除数＝商×除数＋余数。此题可将错就错，用52×36＋18，求出正确的被除数，再用正确的被除数除以正确的除数63，可得到正确的商。 【详解】52×36＋18 ＝1872＋18 ＝1890 1890÷63＝30 小明在计算除法时，把除数63看成了36，结果得到的商是52，余数是18，正确的商是（30）。 15．计算872÷79时，应该把除数看作（ ）试商，商是（ ）位数。 【答案】 80 两 【分析】根据三位数除以两位数的除法法则，首先把除数利用“四舍五入法”看作与它接近的整十数进行试商，然后按照除数是整十的除法法则进行计算，如果被除数的前两位比除数大，则商就是两位数；反之，商就是一位数。 【详解】计算872÷79时，79接近80，所以应该把除数看作80试商，因为87＞79，所以商是两位数。 16．416÷39的商是（ ）位数，最高位是（ ）位。 【答案】 两 十 【分析】三位数除以两位数，要知道商是几位数，先将被除数百位、十位上的数合起来，如果这个数等于或大于除数时，那么商就是两位数，此时商的最高位是十位；如果这个数小于除数，那么商就是一位数，此时商的最高位是个位。依此填空即可。 【详解】41＞39，即416÷39的商是两位数，最高位是十位。 17．服装加工厂有368米布，做了95套成人服装后，还剩83米布。平均每套成人服装用布（ ）米。 【答案】3 【分析】要求平均每套成人服装用布多少米，需要先求出一共用了多少米布，即用共有的368米布减去剩下的83米布；再根据用了的米数÷套数＝平均每套用布的米数，即用一共用了的米数除以95套，得到平均每套成人服装用布的米数。据此解答。 【详解】（368－83）÷95 ＝285÷95 ＝3（米） 答：平均每套成人服装用布3米。 18．有同样大小的白色、黑色、红色三种颜色的珠子共284颗，按8颗白珠、5颗黑珠、6颗红珠的规律排列，最后一颗是（ ）颜色。 【答案】红 【分析】观察发现珠子是以（8＋5＋6）颗为一组，用284除以（8＋5＋6）计算出组数，余数是几就是一组中的第几颗；据此解答。 【详解】根据分析：8＋5＋6＝19（颗），284÷19＝14（组）……18（颗），一组中第18颗是红色，所以最后一颗是红颜色。 19．秋收时节，明明到乡下帮爷爷摘苹果，他把每20个苹果放进一个纸箱，刚好放了10箱。如果每箱放40个，需要纸箱（ ）个。 【答案】5 【分析】用每箱苹果的个数乘箱数，可以计算出苹果的总数，再用苹果的总数除以实际每箱的个数，计算出需要纸箱多少个。 【详解】20×10÷40 ＝200÷40 ＝5（个） 需要纸箱5个。 三、判断题 20．甲数除以乙数，商是12，如果甲数和乙数都扩大为原来的2倍，商就是24。（ ） 【答案】× 【分析】被除数和除数同时乘或除以不为0的相同的数，商不变。 【详解】根据分析可知甲数除以乙数，商是12，如果甲数和乙数都扩大为原来的2倍，商还是12。原题说法错误。 故答案为：× 21．试商时，如果除后的余数比除数大，应该把商调大。（ ） 【答案】√ 【分析】除数是两位数的除法，一般按照四舍五入法，把除数看作和它接近的整十数来试商，然后再根据除得的余数进行调商，当试商偏小时，就要将商调大；当试商偏大时，就要将商调小，依此判断。 【详解】试商时，如果除后的余数比除数大，应该把商调大。 例如计算203÷27时，商6，27×6＝162，203－162＝41，41＞27，商6偏小，则需要将6调大，该商7；原题说法正确。 故答案为：√ 22．□46÷95，无论方框里填几，商都是一位数。（ ） 【答案】√ 【分析】三位数除以两位数，要知道商是几位数，先将被除数百位、十位上的数合起来，如果这个数等于或大于除数时，那么商就是两位数；如果这个数小于除数，那么商就是一位数；依此即可判断。 【详解】□4一定小于95，因此□46÷95，无论方框里填几，商都是一位数。 故答案为：√ 23．计算350÷26时，可以把26看作30来试商，商偏小。（ ） 【答案】√ 【分析】计算三位数除以两位数，如果将两位数估小来试商，商可能会偏大；如果将两位数估大来试商，商可能会偏小；据此解答。 【详解】根据分析：计算350÷26时，可以把26看作30来试商，商偏小，原题说法正确。 故答案为：√ 24．两个数的商是20，如果被除数和除数都缩小到原来的一半，商仍是20。（ ） 【答案】√ 【分析】根据商的变化规律，在除法算式中，被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变，据此解答即可。 【详解】如果被除数和除数都缩小到原来的一半，两个数的商不变，所以商仍是20。 故答案为：√ 25．34×☐＜160，☐里最大能填5。（ ） 【答案】× 【分析】在括号里填入一个最大数，只要使它们的积满足条件即可，因数＝积÷另一个因数，因此可用小于符号后面的数除以前面的一个数，再根据计算出的结果确定出括号里的最大值即可判断。 【详解】160÷34＝4……24；34×☐＜160，☐里最大能填4。 故答案为：× 四、计算题 26．直接写得数。 200÷40＝              540÷90＝              280÷40＝ 150÷30＝              360÷60＝              210÷30＝ 350÷70＝              300÷50＝              490÷70＝ 【答案】5；6；7 5；6；7 5；6；7 27．列竖式计算，带“*”的要验算。 312÷39＝                        579÷56＝ 868÷62＝                        *400÷47＝ 【答案】8；10……19；14；8……24 【分析】三位数除以两位数，先看被除数的前两位够不够除，如果够除商就定在被除数的第二位上面；如果前两位不够除，就要看前三位，也就是把商定在第三位；每次除得的余数必须比除数小，利用商乘除数加余数进行验算即可。 【详解】312÷39＝8            579÷56＝10……19 868÷62＝14               *400÷47＝8……24                验算： 五、解答题 28．王大爷家的果园收获了800千克橘子。如果每24千克装满1箱，能装满多少箱？还剩多少千克？ 【答案】33箱；8千克 【分析】用橘子总重量除以每箱装橘子重量，求得的商是装满箱数，余数是还剩下橘子重量。 【详解】800÷24＝33（箱）……8（千克） 答：能装满33箱，还剩8千克。 29．某淘宝店寄特快专递花了612元，每件特快专递要花18元，共寄了多少件特快专递？ 【答案】34件 【分析】根据公式总价＝数量×单价，数量＝总价÷数量进行计算。快递的总价是612元，快递的单价是18元，用612除以18就是寄快递的数量。再根据除数是两位数的除法法则：从被除数的最高位除起，先用除法的前两位数，如果它比除数小，再试除前三位；除到被除数的哪一位，就在那一位上面写商；每求出一位商，余下的数必须比除数小；除到哪一位不够商1，商就在那一位商0占位。进行除法的计算即可。 【详解】612÷18＝34（件） 答：共寄了34件特快专递。 30．新华书店新进《儿童百科全书》540本，每12本装一包，卖出15包，还剩多少包？ 【答案】30包 【分析】先用540除以12，求出这些书一共可以装多少包，再减去卖出的15包，即为还剩下多少包，据此作答。 【详解】根据上述分析可得： 540÷12＝45（包） 45－15＝30（包） 答：还剩30包。 31．甲、乙两地相距950千米，一辆汽车以每小时50千米的速度行驶，多少小时可以到达乙地？ 【答案】19小时 【分析】题目中给出甲、乙两地相距950千米，一辆汽车以每小时50千米的速度行驶，即已知路程和速度，求时间，根据路程、速度和时间的数量关系：时间＝路程÷速度，代入数据计算即可解答。 【详解】950÷50＝19（小时） 答：19小时可以到达乙地。 32．一棵树苗15元，买4棵送1棵。165元最多能买多少棵这样的树苗？ 【答案】13棵 【分析】先用165除以15计算出没有活动的话能买多少棵树苗，买4棵送1棵，再除以4计算出的商就是能送的棵数，再加上没有活动能买的树苗棵数，就是实际购买到的棵数；据此解答。 【详解】165÷15＝11（棵） 11÷4＝2……3 11＋2＝13（棵） 答：165元最多能买13棵这样的树苗。 33．某工程队修一条水渠，计划每天修65米，15天完成任务，实际提前2天完成任务，实际每天修多少米？ 【答案】75米 【分析】这是一个归总问题，用65×15，求出这条水渠长多少米，实际提前2天完成任务用15－2求出实际用的天数，再用水渠长除以实际用的天数，就是实际每天修多少米。 【详解】65×15÷（15－2） ＝65×15÷13 ＝975÷13 ＝75（米） 答：实际每天修75米。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $