精品解析：吉林省长春外国语学校2025-2026学年高一上学期期中考试数学试卷

长春外国语学校2025－2026学年第一学期期中考试高一年级 数学 出题人：陈燕 审题人：刘宇航 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共2页.考试结束后，将答题卡交回. 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区. 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚. 3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效. 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑. 5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（本题共8小题，每题5分，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题，则（ ） A. B. C. D. 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 充分必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 下列函数中，函数的图象关于原点对称的是（ ） A B. C. D. 5. 已知函数则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 12 6. 下列四组中的函数，表示同一个函数的是（ ） A ， B. ，． C. ， D. ， 7. 已知函数为上的增函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 定义在上的函数若满足：①对任意，都有；②对任意，都有，则称函数是以为中心的“中心捺函数”.已知函数是以为中心的“中心捺函数”，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分.若只有2个正确选项，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分.） 9. 已知a，b，c，d均为实数，下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C 若，则 D. 若，，则 10. 已知正数，满足，下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为4 D. 的最小值为 11. 下列说法正确的序号是（    ） A. 偶函数的定义域为，则 B. 一次函数满足，则函数的解析式为 C. 奇函数在上单调递增，且最大值为8，最小值为，则 D. 若集合中至多有一个元素，则 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 函数的定义域为____________； 13. 已知定义在上的奇函数，当时，，当时，__________． 14. 已知函数的定义域为，且，，当时，，则______. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. （1）求值： （2）化简：. 16. 已知集合，集合. （1）当时，求； （2）若，求实数m取值范围. 17. 已知命题：对任意且，不等式恒成立；命题． （1）若命题为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题和命题中至少有一个为真命题，求实数的取值范围． 18. 已知函数是定义域在上的奇函数，且. （1）求a，b的值； （2）用定义法证明函数在上单调递增； （3）解不等式 19. 已知函数，. （1）求函数的值域； （2）设，，，求函数的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长春外国语学校2025－2026学年第一学期期中考试高一年级 数学 出题人：陈燕 审题人：刘宇航 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共2页.考试结束后，将答题卡交回. 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区. 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚. 3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效. 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑. 5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（本题共8小题，每题5分，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出集合，再根据交集定义即可得到答案. 【详解】，又因为， 则. 故选：A. 2. 命题，则是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据全称命题的否定为特称命题即可得到答案. 【详解】根据全称命题的否定为特称命题知是. 故选：B. 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 充分必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据必要不充分条件的判断方法即可得到答案. 【详解】，解得， 则“”可以推出“”，则必要性成立， “”无法推出“”，则充分性不成立. 则“”是“”的必要不充分条件. 故选：C. 4. 下列函数中，函数的图象关于原点对称的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性进行判断. 【详解】对A：因为函数的定义域为，所以函数为非奇非偶函数，图象不关于原点对称，故A不满足题意； 对B：因为，所以为奇函数，图象关于原点对称，故B满足题意； 对C：因为，所以为偶函数，图象关于轴对称，不关于原点对称，故C不满足题意； 对D：因为，所以为偶函数，图象关于轴对称，不关于原点对称，故D不满足题意. 故选：B 5. 已知函数则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】根据分段函数的解析式直接求值即可. 详解】由题意知，， ，. 故选：A 6. 下列四组中的函数，表示同一个函数的是（ ） A. ， B. ，． C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，结合同一函数的判定方法，结合函数的定义域和对应关系，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，函数与，两函数的定义域不同， 所以不是同一函数，不符合题意； 对于B中，函数与，两函数的定义域不同， 所以不是同一函数，不符合题意； 对于C中，函数与，两函数的定义域不同， 所以不是同一函数，不符合题意； 对于D中，函数与，两函数的定义域都为，对应关系相同， 所以两个函数同一函数，符合题意. 故选：D. 7. 已知函数为上的增函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用分段函数的单调性，结合一次函数、二次函数的单调性列式求解即得. 【详解】由函数为上的增函数，得，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：B 8. 定义在上的函数若满足：①对任意，都有；②对任意，都有，则称函数是以为中心的“中心捺函数”.已知函数是以为中心的“中心捺函数”，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知不等式，结合函数单调性的定义可以判断出函数的单调性，再根据函数平移的性质，结合已知定义可以判断函数的奇偶性，最后利用函数的单调性、奇偶性，结合基本不等式进行求解即可. 【详解】对任意，都有， 不妨设，由， 所以函数是上的减函数. 函数的图象向左平移一个单位变成函数的图象， 因为函数是以为中心“中心捺函数”， 所以函数是以为中心的“中心捺函数”， 因此函数是奇函数. 由 ， 当时，则有，此时没有意义， 当时，由， ，由， 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据不等式判断函数的单调性，利用函数平移判断函数的对称性. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分.若只有2个正确选项，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分.） 9. 已知a，b，c，d均为实数，下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，，则 【答案】CD 【解析】 【分析】对ACD由不等式性质即可判断，对B，作差即可判断. 【详解】对于A：，则，则由同向可加性知， 故A错误； 对于B：因为，，则，， 作差有，即，故B错误； 对于C：因为，则，则成立，故C正确； 对于D：由，知，，由同向同正可乘性知，故D正确. 故选：CD 10. 已知正数，满足，下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为4 D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用基本不等式及“1”的妙用逐项求解判断即可. 【详解】正数，满足， 对于A，，解得，当且仅当时取等号，A正确； 对于B，， 当且仅当时取等号，B正确； 对于C，，当且仅当时取等号，C错误； 对于D，， 当且仅当，即时取等号，D正确. 故选：ABD 11. 下列说法正确的序号是（    ） A. 偶函数的定义域为，则 B. 一次函数满足，则函数的解析式为 C. 奇函数在上单调递增，且最大值为8，最小值为，则 D. 若集合中至多有一个元素，则 【答案】AC 【解析】 【分析】对A，由偶函数定义域对称解出参数即可； 对B，设，则可得，建立方程组求解即可； 对C，由单调性得，，由奇偶性得，，即可求解； 对D，分别讨论、解的个数即可 【详解】对A，偶函数的定义域为，，解得，A对； 对B，设一次函数，则， ∵，，解得或，函数的解析式为或，B错； 对C，奇函数在上单调递增，且最大值为8，最小值为， ，，，，，C对； 对D，集合中至多有一个元素，方程至多有一个解， 当时，方程只有一个解，符合题意； 当时，由方程至多有一个解，可得，解得， 或，D错. 故选：AC 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 函数的定义域为____________； 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得到不等式组，解出即可. 【详解】由题意得，解得或， 则其定义域为. 故答案：. 13. 已知定义在上奇函数，当时，，当时，__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性求解. 【详解】设，则， 所以， 又因为定义在上的奇函数，所以， 所以， 故答案为：． 14. 已知函数的定义域为，且，，当时，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】依题意可得为偶函数且是周期为的周期函数，根据周期性及所给解析式计算可得答案. 【详解】因为函数的定义域为，且， ，则， 则，则， 则， 所以为偶函数且是周期为的周期函数， 又当时，， 所以. 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. （1）求值： （2）化简：. 【答案】（1）2；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据分数指数幂的意义，将根式化为分数指数幂，根据分数指数幂的运算性质化简即可求得结果； （2）根据分数指数幂的运算性质化简即可求得结果. 【详解】（1） ； （2）. 16. 已知集合，集合. （1）当时，求； （2）若，求实数m的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据集合并集的定义进行求解即可； （2）根据集合并集的运算性质进行求解即可. 【小问1详解】 当时，， 则. 【小问2详解】 因为， 所以， 当时，，解得； 当时，于是有， 所以实数m的取值范围为. 17. 已知命题：对任意且，不等式恒成立；命题． （1）若命题为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题和命题中至少有一个为真命题，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）运用基本不等式求最小值，再解一元二次不等式即可； （2）的最小值求出来，后得到，再根据题意列不等式组，解不等式组即可. 【小问1详解】 当且仅当即取得等号． 要使得命题为真命题，只需要，解得 所以实数的取值范围是． 【小问2详解】 令．当时． 要使得命题为真命题，只需要，故． 因为命题和命题中至少有一个为真命题情况较多，先考虑对立情况，即命题和命题 都是假命题，此时或，可得． 所以命题和命题中至少有一个为真命题时，实数的取值范围是． 18. 已知函数是定义域在上的奇函数，且. （1）求a，b的值； （2）用定义法证明函数在上单调递增； （3）解不等式 【答案】（1），； （2）证明见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合和，列出方程，即可求得的值； （2）由（1）得，根据函数单调性的概念与判定方法，即可证得是上的单调递增； （3）根据题意，把不等式转化为，结合函数的定义域和单调性，列出不等式组，即可求解. 【小问1详解】 由函数是定义域在上的奇函数，可得， 又由，可得，解得. 则，其定义域为，关于原点对称， 且，满足函数为奇函数. 【小问2详解】 ，其中， 任取，且， 则， 因为，且，可得， 所以，即， 所以函数是上的单调递增函数. 【小问3详解】 因为函数是定义域在上的奇函数，且在上的单调递增函数， 则不等式，即为， 则满足，解得，所以不等式的解集为. 19. 已知函数，. （1）求函数的值域； （2）设，，，求函数的最小值. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）先判断出函数在区间上的单调性，再利用单调性求值域即可. （2）先利用配方法将化为二次型，再换元，然后由二次函数的对称轴与定义区间的位置关系分类讨论即可得出其最小值. 【小问1详解】 在上任取，且，则，， 所以， 即，所以是上的增函数， 故当时，取得最小值，当时，取得最大值0， 所以函数的值域为. 【小问2详解】 ，， 令，，则. ①当时，在上单调递增，故； ②当时，在上单调递减，故； 当时，在上单调递减，在上单调递增，故； 综上所述，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $