专题24.4 圆周角（知识梳理 + 题型精析 +同步练习）- 2025-2026学年人教版九年级数学上册基础知识专项突破讲练

专题24.4 圆周角 目录 一． 知识梳理与题型分类精析 1 【知识点一】圆周角定义 1 【题型1】圆周角的辨析 1 【知识点二】圆周角定理 2 【题型2】圆周角定理——同弧或等弧所对的圆周角等于所于这么弧所对圆心角的一半 2 【题型3】圆周角——同弧或等弧所对的圆周角相等 3 【知识点三】圆周角定理的推论 4 【题型4】圆周角的推论——半圆或直径所以的圆周角等于90度 4 【题型5】圆周角的推论——90度的圆周角所对的弦是直径 5 【知识点四】圆内接四边形 6 【题型6】利用圆内接四边形求值 7 【题型7】利用圆内接四边形进行证明 8 二. 同步练习 9 【基础巩固（16题）】 9 【能力提升（16题）】 13 1． 知识梳理与题型分类精析 【知识点一】圆周角定义 　　像图1中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 　　　　　　 图1　　　　　 【题型1】圆周角的辨析　 【例题1】（24-25九年级上·河南商丘·期中）下列圆中既有圆心角又有圆周角的是（    ） A．   B．   C．   D．   【变式1】（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，所对的圆周角是 ，所对的圆周角是 ．    【变式2】（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，点均在圆上，则图中有 个圆周角． 【知识点二】圆周角定理 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 图形 条件 结论 在中， 在中， 【题型2】圆周角定理——同弧或等弧所对的圆周角等于所于这么弧所对圆心角的一半　 【例题2】（根据人教版九上P88第3题改编）（24-25九年级下·江西·阶段练习）如图，，，都是的半径，． （1）求证：； （2）若，求证：． 【变式1】（根据人教版九上P89复习与巩固第5题改编）（25-26九年级上·重庆·阶段练习）如图，是的外接圆，作于点，连接，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2023·湖北武汉·中考真题）如图，都是的半径，． （1）求证：； （2）若，求的半径． 【题型3】圆周角——同弧或等弧所对的圆周角相等　 【例题3】（25-26九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，A、P、B、C是上的四个点，． （1）判断的形状，并证明你的结论； （2）判断与之间的关系，并证明． 【变式1】（2025·广东深圳·二模）船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁．如图，A，B表示灯塔，暗礁分布在经过A，B两点的一个圆形区域内，优弧AB上任一点C都是有触礁危险的临界点，就是“危险角”．船P与两个灯塔的夹角为，若，则船P位于安全区域时，的大小可能为 °．（写出一个即可） 【变式2】（24-25九年级上·江苏·阶段练习）如图，点、、、在上，，则为 【知识点三】圆周角定理的推论 　　半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 图形 条件 结论 在中，为的直径 在中， 为的直径 【特别说明】 　　（1）圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交. 　　（2）圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中. 【题型4】圆周角的推论——半圆或直径所以的圆周角等于90度　 【例题4】（2025九年级上·全国·专题练习）如图，已知中，为半圆O的直径，、分别交半圆O于点E、D，且． （1）求证：点是的中点． （2）若点E是的中点，判断的形状，并说明理由． 【变式1】（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，是的直径，A，C在圆上，，的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·天津河北·期中）如图，的顶点都在上，已知直径，，则的长为 ． 【变式3】（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·期中）如图，是的直径，C是上一点，于点D，，． （1）求的长； （2）求的长． 【题型5】圆周角的推论——90度的圆周角所对的弦是直径　 【例题5】（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，经过原点且与两坐标轴分别交于点和点，点的坐标为，点的坐标为，解答下列各题： （1）求线段的长； （2）求的半径及圆心的坐标． 【变式1】（25-26九年级上·陕西安康·期中）现有一个未知圆心的圆形纸片和一块足够大的直角三角板（无刻度）可以使用，下列操作能找到圆形纸片的直径的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·黑龙江牡丹江·期中）如图，中，，是内部的一个动点，且满足，则线段的最小值为 ． 【变式3】（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在中，弦与弦相交于点E，，，，则的半径长为 ． 【知识点四】圆内接四边形 （1）定义: 圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形． （2）性质：圆内接四边形对角互补，外角等于内对角（即它的一个外角等于它相邻内角的对角）． 图形 条件 结论 在圆内接边边形中 （1） （2） 【题型6】利用圆内接四边形求值　 【例题6】（25-26九年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，是的内接四边形的一个外角，如果，请求出的度数． 【变式1】（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，的内接四边形的两组对边的延长线分别交于，，当，，求的度数；设，要解题过程 【变式2】（25-26九年级上·浙江宁波·期中）如图，是四边形的外接圆，交于点，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26九年级上·陕西安康·期中）如图，是半的直径，点C，D在半上． （1）若，求的度数． （2）若的半径为6，，求圆心O到弦的距离． 【题型7】利用圆内接四边形进行证明 【例题7】（2025·江西·二模）课本再现 （1）如图（1），四边形内接于，请你写出 与 之间的关系，并给出证明； 拓展应用 （2）如图（2），内接于． ，将 弧沿着边对折，与边交于点 D，连接．求证：． 【变式1】（25-26九年级上·江苏·阶段练习）已知：四边形内接于．求证：．（用两种不同方法证明） 证法1： 证法2： 【变式2】（25-26九年级上·吉林·期中）如图，A，P，B，C是上的四个点，． （1）______； （2）判断的形状，并证明你的结论． （3）当点O落在上时，直接写出四边形的形状． 【变式3】（25-26九年级上·江苏·阶段练习）已知：如图，在中，弦、相交于点P，，．求证：弦是的直径． 二. 同步练习​ 【基础巩固（16题）】 一、单选题 1．（2025·湖北十堰·三模）以为中心点的量角器与直角三角板按如图方式摆放，量角器的刻度线与斜边重合．点为斜边上一点，作射线交于点，如果点所对应的读数为，那么（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在中，，有下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（   ） A．②③④ B．①②③④ C．①②④ D．①②③ 3．（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）如图，圆是矩形的外接圆，若，，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·吉林·期中）如图，为的弦，连接，，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）如图，等腰内接于点O，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·河北邯郸·期中）如图，把直角三角板的直角顶点O放在破损的圆形瓷盘的圆周上，两直角边与圆弧分别交于点P、Q，量得，，则该圆形瓷盘的半径是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（25-26九年级上·陕西安康·期中）如图， 是的直径，C，D是上两点．若，则的度数为 ． 8．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，是直径，点C，D在半圆上，若，则的度数是 ． 9．（25-26九年级上·内蒙古乌兰察布·期中）如图，四边形是的内接四边形，点D是弧的中点，点E是弧上的一点，若，则的度数为 10．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，的半径为4，A，B，C三点在圆上，，则的长等于 ． 11．（25-26九年级上·江苏南京·期中）如图，A、B、C、D是上的点，若的度数为，则 ． 12．（25-26九年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，是的弦，点P为优弧上的一点，的平分线交于点，则在点P运动的过程中，长的最大值为 ． 三、解答题 13．（25-26九年级上·内蒙古乌兰察布·期中）（1）解方程： （2）如图，已知为的直径，是弦，且于点E，连接，．求的度数． 14．（25-26九年级上·江苏扬州·月考）如图，为的直径，D是弦延长线上一点，，的延长线交于点E，连接． （1）求证：． （2）若的度数为，则的度数为________． 15．（24-25九年级上·全国·随堂练习）如图，的内接四边形两组对边的延长线分别相交于点，． （1）若，求证：． （2）若，，且．请用含，的代数式表示的大小． 16．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，A、B、C是上的三点，． （1）图中所对的圆周角为______，其度数为________； （2）求的度数； （3）以为底边作的内接等腰，则的度数为________． 【能力提升（16题）】 一、单选题 1．（25-26九年级上·天津和平·期中）如图，四边形内接于，，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·广东深圳·期中）如图，内接于，，，为的直径，，那么的值为（   ） A． B．4 C． D．3 3．（23-24九年级上·广东江门·月考）如图，在平面直角坐标系中，点在轴负半轴上，点在轴正半轴上，经过，，，四点，，，则圆心点的坐标是（    ） A． B． C． D． 4．（江苏省徐州市2025-2026学年上学期第一次质量检测九年级数学试题）如图，等边三角形的顶点在上，边、与分别交于点、，点是劣弧上一点，且与、不重合，连接、，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·天津南开·期中）如图1，为⊙的直径，，如图2所示，按以下步骤作图： ①在直径上顺次截取线段，，使； ②分别以点，为圆心，以大于长为半径作弧，两条弧交于点，； ③作直线，与⊙相交于，两点，连接． 下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，点、分别在轴、轴上，以为直径的圆经过原点，是的中点，连结，．下列结论：①；②；③若，，则的面积等于5；④若，则点的坐标是．其中正确的结论有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 二、填空题 7．（25-26九年级上·江苏南京·期中）如图，是半圆的直径，，是半圆上两点，的度数为，则 ． 8．（22-23九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，、切于点、，点是上一点，且，则 度． 9．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，内接于，，将沿着弦翻折后，恰好经过弦的中点D，则弦的长为 ． 10．（25-26九年级上·四川绵阳·期中）如图，四边形内接于，延长交于点，连接，若，，则的大小为 11．（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，内接于，．分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线交于点D，连接并延长交于点E，连接，则的度数是 ． 12．（25-26九年级上·江苏南京·期中）如图，是的外接圆，是的中点，是弦上一点，连接．若的半径为2，，，则的长为 ． 三、解答题 13．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）如图，为的直径，，垂足为，点是上一动点，连接分别交，于点，． （1）当时，与有何关系？证明你的结论． （2）当点在什么位置时，？证明你的结论． 14．（25-26九年级上·北京·期中）如图，为的直径，、为圆上的两点，，交于点． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 15．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求实数m的取值范围； （2）若该方程的两个实数根分别是矩形的长和宽，该矩形外接圆的半径为2，求实数m的值． 16．（22-23九年级上·福建莆田·期中）【教材呈现】下面是人教版九年级上册数学教材的 《圆》部分内容． 圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧相等．由圆周角定理，可以得到以下推论：的圆周角所对的弦是直径．（如图） 【推论证明】如图①已知：的三个顶点都在上，且． 求证：线段是的直径． 请你结合图①写出推论的证明过程． 【深入探究】如图②，点A，B，C，D均在半径为5的上，为直径，，是的角平分线．求线段的长． 【拓展应用】如图③，已知矩形，，，M为边上的点．若满足的点M恰好有两个，求m的取值范围． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题24.4 圆周角 目录 一． 知识梳理与题型分类精析 1 【知识点一】圆周角定义 1 【题型1】圆周角的辨析 1 【知识点二】圆周角定理 3 【题型2】圆周角定理——同弧或等弧所对的圆周角等于所于这么弧所对圆心角的一半 3 【题型3】圆周角——同弧或等弧所对的圆周角相等 7 【知识点三】圆周角定理的推论 10 【题型4】圆周角的推论——半圆或直径所以的圆周角等于90度 10 【题型5】圆周角的推论——90度的圆周角所对的弦是直径 14 【知识点四】圆内接四边形 17 【题型6】利用圆内接四边形求值 18 【题型7】利用圆内接四边形进行证明 21 二. 同步练习 26 【基础巩固（16题）】 26 【能力提升（16题）】 39 1． 知识梳理与题型分类精析 【知识点一】圆周角定义 　　像图1中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 　　　　　　 图1　　　　　 【题型1】圆周角的辨析　 【例题1】（24-25九年级上·河南商丘·期中）下列圆中既有圆心角又有圆周角的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】本题主要考查了圆周角与圆心角的识别，掌握圆周角和圆心角的定义是解答本题的关键．顶点在圆周上，角的两边与圆相交的角是圆周角；圆心角的定义：顶点在圆的角是圆心角．根据圆周角和圆心角的定义解答即可． 解：A．图中只有圆周角，没有圆心角，选项不符合题意； B．图中既有圆心角，也有圆周角，选项符合题意； C．图中图中只有圆周角，没有圆心角，选项不符合题意； D．图中只有圆心角，没有圆周角，选项不符合题意； 故选：B． 【变式1】（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，所对的圆周角是 ，所对的圆周角是 ．    【答案】 【分析】根据圆周角的定义即可解答． 解：如图，    所对的圆周角是， 所对的圆周角是． 故答案为：；． 【点拨】本题考查了圆周角，顶点在圆周上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角． 【变式2】（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，点均在圆上，则图中有 个圆周角． 【答案】8 【分析】根据圆周角的定义，圆周角的顶点必在圆周上，据此可把顶点分别为A、B、C、D的圆周角数出来，即可得到答案． 解：以点为顶点的圆周角各有3个，以点为顶点的圆周角各有1个，共有8个圆周角． 故答案为8． 【点拨】本题考查圆周角的定义和分类思想的应用，根据圆周角的定义对图中圆周角进行分类统计即可得到正确答案． 【知识点二】圆周角定理 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 图形 条件 结论 在中， 在中， 【题型2】圆周角定理——同弧或等弧所对的圆周角等于所于这么弧所对圆心角的一半　 【例题2】（根据人教版九上P88第3题改编）（24-25九年级下·江西·阶段练习）如图，，，都是的半径，． （1）求证：； （2）若，求证：． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】本题考查圆周角定理、三角形的内角和定理、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握圆周角定理以及等腰三角形的判定与性质是解答的关键． （1）利用圆周角定理得到，，结合已知可得结论； （2）设与相交与E，，则，，利用平行线的性质和等腰三角形的性质可得，，在中，利用三角形的内角和定理列方程求得，进而求得，利用等角对等边得到，，利用等量代换可得结论． 解：（1）证明：∵，， ∴，， ∵， ∴； （2）证明：设与相交与E，设，则， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， 在中，， ∴，解得， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴． 【变式1】（根据人教版九上P89复习与巩固第5题改编）（25-26九年级上·重庆·阶段练习）如图，是的外接圆，作于点，连接，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查圆周角定理，根据圆周角得到，然后根据等边对等角求的度数即可． 解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【变式2】（2023·湖北武汉·中考真题）如图，都是的半径，． （1）求证：； （2）若，求的半径． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】（1）由圆周角定理得出，，再根据，即可得出结论； （2）过点作半径于点，根据垂径定理得出，证明，得出，在中根据勾股定理得出，在中，根据勾股定理得出，求出即可． 解：（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ， ． （2）解：过点作半径于点，则， ， ∴， ， ， ， 在中， ， 在中，， ， ，即的半径是．      【点拨】本题主要考查了勾股定理，垂径定理，圆周角定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握圆周角定理． 【题型3】圆周角——同弧或等弧所对的圆周角相等　 【例题3】（25-26九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，A、P、B、C是上的四个点，． （1）判断的形状，并证明你的结论； （2）判断与之间的关系，并证明． 【答案】（1）等边三角形，证明见分析；（2），证明见分析 【分析】本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质等知识点，正确作出辅助线、构造全等三角形是解题的关键． （1）根据圆周角定理得到，进而得到，最后根据等边三角形的判定定理即可解答； （2）在上截取=，连接，得到为等边三角形，证明），根据全等三角形的性质并结合图形即可解答． 解：（1）解：是等边三角形，理由如下， 由圆周角定理得到，， ， ， 为等边三角形； （2），理由如下， 证明：如图：在上截取，连接， ， 是等边三角形， ，，则， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 【变式1】（2025·广东深圳·二模）船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁．如图，A，B表示灯塔，暗礁分布在经过A，B两点的一个圆形区域内，优弧AB上任一点C都是有触礁危险的临界点，就是“危险角”．船P与两个灯塔的夹角为，若，则船P位于安全区域时，的大小可能为 °．（写出一个即可） 【答案】54 【分析】本题考查了圆周角定理，方向角．设与相交于点D，先利用三角形的外角性质可得，然后利用同弧所对的圆周角相等可得，从而可得，即可解答． 解：设与相交于点D， ∵是的一个外角， ∴， ∵， ∴， ∴α的大小可能为， 故答案为：54（答案不唯一）． 【变式2】（24-25九年级上·江苏·阶段练习）如图，点、、、在上，，则为 【答案】/度 【分析】本题考查了同弧所对的圆周角相等，根据同圆中同弧所对的圆周角相等进行求解即可，灵活运用所学知识是解题的关键． 解：∵点、、、在上，， ∴， 故答案为：． 【知识点三】圆周角定理的推论 　　半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 图形 条件 结论 在中，为的直径 在中， 为的直径 【特别说明】 　　（1）圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交. 　　（2）圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中. 【题型4】圆周角的推论——半圆或直径所以的圆周角等于90度　 【例题4】（2025九年级上·全国·专题练习）如图，已知中，为半圆O的直径，、分别交半圆O于点E、D，且． （1）求证：点是的中点． （2）若点E是的中点，判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）见分析；（2）是等边三角形，理由见分析 【分析】本题考查的是圆周角定理，直角三角形的性质，等边三角形的判定，掌握圆周角定理是解题的关键． （1）连接，根据圆周角定理得到，证明，根据全等三角形的性质证明； （2）根据直角三角形的性质得到，得到，根据等边三角形的判定定理证明． 解：（1）证明：连接， ∵为半圆O的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴， 即点是的中点； （2）解：∵， ∴， ∵，点E是的中点， ∴， 由（1）得，， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 【变式1】（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，是的直径，A，C在圆上，，的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是圆周角定理，熟知直径所对的圆周角是直角是解答此题的关键． 由是⊙O的直径，得到，再根据及与互余即可求解． 解：∵是⊙O的直径， ∴， ∵， ∴（同弧所对的圆周角相等）， ． 故选：C． 【变式2】（25-26九年级上·天津河北·期中）如图，的顶点都在上，已知直径，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，圆周角的性质，以及直径所对的圆周角为直角，解决本题的关键是判断出是等腰直角三角形． 作出辅助线，由圆周角的性质可得，再判断出是等腰直角三角形，由此可求解． 解：连接，如图， 则， ， ， 是圆的直径， ， 是等腰直角三角形． ． 故答案为：． 【变式3】（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·期中）如图，是的直径，C是上一点，于点D，，． （1）求的长； （2）求的长． 【答案】（1）6；（2） 【分析】本题考查了圆的性质，勾股定理及利用三角形面积公式求高， （1）根据圆上任意一点与直径构成的三角形为直角三角形这一性质，利用勾股定理求得的距离； （2）利用三角形面积公式求出的距离即可． 解：（1）解：∵是的直径，C是上一点， ∴， 又∵，， 在中，由勾股定理得，． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． 【题型5】圆周角的推论——90度的圆周角所对的弦是直径　 【例题5】（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，经过原点且与两坐标轴分别交于点和点，点的坐标为，点的坐标为，解答下列各题： （1）求线段的长； （2）求的半径及圆心的坐标． 【答案】（1）；（2）的半径为，圆心的坐标为 【分析】（）连接，利用勾股定理即可求得线段的长； （）过点作于点，过点作于点，由垂径定理可求得点的坐标，然后由圆周角定理可得是直径，即可求得的半径． 解：（1）解：连接， ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴，， ∵， ∴； （2）解：过点作于点，过点作于点， ∴，， ∴圆心的坐标为； ∵， ∴是的直径， ∴的半径为． 【点拨】本题考查了圆周角定理，勾股定理，垂径定理，坐标与图形，正确作出辅助线是解题的关键． 【变式1】（25-26九年级上·陕西安康·期中）现有一个未知圆心的圆形纸片和一块足够大的直角三角板（无刻度）可以使用，下列操作能找到圆形纸片的直径的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．根据的圆周角所对的弦是直径，逐个判断图中弦所对应的角是否是直角即可． 解：∵直角所对的弦是直径， ∴四个选项中只有B选项中的所对应的角是直角，即是直径， 故选：B． 【变式2】（25-26九年级上·黑龙江牡丹江·期中）如图，中，，是内部的一个动点，且满足，则线段的最小值为 ． 【答案】2 【分析】本题为求线段的最值-隐圆问题，考查了“直角所对的弦是直径”，勾股定理等知识﹒根据，得到点P在以为直径的圆上，以为直径作圆O，连接交圆O于点P，此时有最小值﹒根据勾股定理求出，即可求出有最小值为2﹒ 解：如图，∵是内部的一个动点，且满足， ∴点P在以为直径的圆上， 以为直径作圆O，连接交圆O于点P，此时有最小值﹒ ∵， ∴， ∵， ∴在中，， ∴﹒ 故答案为：2 【变式3】（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在中，弦与弦相交于点E，，，，则的半径长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，直角所对的弦是直径，勾股定理；连接，过点作于点，连接，先证明得出是的直径，在中，根据勾股定理求得的长，即可求解． 解：如图所示，连接，过点作于点，连接， ∵，，则， ∴，， ∴， 又∵，， ∴． ∴，． ∴是的直径， ∴． ∴． ∴，则， 在中，． ∴． ∴的半径长为． 故答案为：． 【知识点四】圆内接四边形 （1）定义: 圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形． （2）性质：圆内接四边形对角互补，外角等于内对角（即它的一个外角等于它相邻内角的对角）． 图形 条件 结论 在圆内接边边形中 （1） （2） 【题型6】利用圆内接四边形求值　 【例题6】（25-26九年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，是的内接四边形的一个外角，如果，请求出的度数． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理和圆的内接四边形的性质，根据圆周角定理可求出，根据圆的内接四边形的性质和邻补角的性质可求出，即可求解． 解：∵， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， 又， ∴． 【变式1】（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，的内接四边形的两组对边的延长线分别交于，，当，，求的度数；设，要解题过程 【答案】 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补；连接，根据圆内接四边形的性质得，再根据三角形外角性质得，则，然后根据三角形内角和定理有，解方程即可． 解：连接，如图， 四边形为圆的内接四边形， ∴ 又∵ ， ， ， ， 即， ， ． 【变式2】（25-26九年级上·浙江宁波·期中）如图，是四边形的外接圆，交于点，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质及平行线的性质，正确求出的度数是解题关键．利用圆内接四边形的性质得出，利用得出，再由得出，根据圆内接四边形的性质即可求出的度数． 解：∵是四边形的外接圆，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 【变式3】（25-26九年级上·陕西安康·期中）如图，是半的直径，点C，D在半上． （1）若，求的度数． （2）若的半径为6，，求圆心O到弦的距离． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了圆周角定理，圆内接四边形性质，中位线定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． （1）根据圆内接四边形对角互补，可求得的度数，再根据直径所对的圆周角为直角，三角形内角和定理即可求得的度数； （2）过作交于，连接，易得为中点，再根据勾股定理可求 ． 解：（1）解：∵四边形是的内接四边形， ∴， ， ∵是半圆O的直径， ∴， ， （2）过作交于，连接， 由题可知， 又∵， 为中点， ， ， 所以圆心O到弦的距离． 【题型7】利用圆内接四边形进行证明 【例题7】（2025·江西·二模）课本再现 （1）如图（1），四边形内接于，请你写出 与 之间的关系，并给出证明； 拓展应用 （2）如图（2），内接于． ，将 弧沿着边对折，与边交于点 D，连接．求证：． 【答案】（1）互补，见分析；（2）见分析 【分析】（1）连接，，根据圆周角定理得出，再根据，即可得出． （2）如图（2），作点 关于 的对称点 ，连接，，根据折叠的性质得在上， ，根据四点共圆得，则，证出，则．根据，，得出，则，即可证明． 解：（1）．     证明：如图（1），连接，， 则 ． ∵， ∴．     （2）证明：如图（2），作点 关于 的对称点 ，连接，， 则在上， ， ∵， ∴．     ∵， ∴， ∴．     又∵，， ∴， ∴，     ∴． 【点拨】该题考查了圆周角定理，四点共圆，轴对称的性质，等腰三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是掌握以上知识点，正确作出辅助线． 【变式1】（25-26九年级上·江苏·阶段练习）已知：四边形内接于．求证：．（用两种不同方法证明） 证法1： 证法2： 【答案】证明见分析 【分析】本题考查圆内接四边形对角互补的证明；证法1可从圆弧的度数与圆周角的关系角度证明，证法2可从直径所对的圆周角是直角角度证明. 解：证法1：连接、，如图所示， ∵的度数是的度数的一半，的度数是的度数的一半， 又∵与的度数和是， ∴. 证法2：作直径交于点E，连接、， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴. 【变式2】（25-26九年级上·吉林·期中）如图，A，P，B，C是上的四个点，． （1）______； （2）判断的形状，并证明你的结论． （3）当点O落在上时，直接写出四边形的形状． 【答案】（1）60；（2）等边三角形，证明见分析；（3）菱形． 【分析】（1）首先求出，然后根据圆内接四边形的性质求解即可； （2）根据同弧所对的圆周角相等得到，进而证明即可； （3）如图所示，连接，，设与交于点D，根据题意证明出和都是等边三角形，得到，即可得到四边形是菱形． 解：（1）∵ ∴ ∴； （2）是等边三角形． 证明：， ． 由（1）得． ． ∴是等边三角形； （3）如图所示，连接，，设与交于点D ∵当点O落在上时， ∴ ∵ ∴和都是等边三角形 ∴ ∴四边形是菱形． 【点拨】此题考查了圆内接四边形的性质，等边三角形的性质和判定，同弧所对的圆周角相等等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 【变式3】（25-26九年级上·江苏·阶段练习）已知：如图，在中，弦、相交于点P，，．求证：弦是的直径． 【答案】见分析 【分析】本题考查了圆周角定理的推论，圆内接四边形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，连接，，，，根据弧、弦的关系可得出，根据证明，可得出，根据证明，得出，根据圆内接四边形的性质，得出，则可求出，然后根据的圆周角所对的弦是直径即可得证． 解：证明：连接，，，， ∵， ∴， 又，， ∴， ∴，即， 又，， ∴， ∴， 又四边形是的内接四边形， ∴， ∴， ∴弦是的直径． 二. 同步练习​ 【基础巩固（16题）】 一、单选题 1．（2025·湖北十堰·三模）以为中心点的量角器与直角三角板按如图方式摆放，量角器的刻度线与斜边重合．点为斜边上一点，作射线交于点，如果点所对应的读数为，那么（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 连接，根据题意可得：，然后根据圆周角定理可得：，再利用角的和差关系进行计算即可解答． 解：连接， ∵ ∴点C在上， 由题意得：， ， ， 故选：A． 2．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在中，，有下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（   ） A．②③④ B．①②③④ C．①②④ D．①②③ 【答案】B 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等以及推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 利用同圆或等圆中弧，弦以及所对的圆心角之间的关系逐项分析即可． 解：在中，， ，故①正确； 为公共弧， ， ，，故②③④正确． 故选：B． 3．（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）如图，圆是矩形的外接圆，若，，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了圆内接四边形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确做出辅助线． 连接，首先根据题意得到点O是的中点，然后利用勾股定理求出，，然后利用阴影部分的面积代数求解即可． 解：如图所示，连接， ∵圆是矩形的外接圆， ∴点O是的中点 ∵，，， ∴ ∴ ∴阴影部分的面积． 故选：B． 4．（25-26九年级上·吉林·期中）如图，为的弦，连接，，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】该题考查了圆周角定理，根据同弧所对圆周角等于圆心角的一半得出，即可求解． 解：∵， ， ， 故选：C． 5．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）如图，等腰内接于点O，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆周角定理，等边对等角，三角形内角和定理，根据圆周角定理可得的度数，再由等边对等角可得的度数，据此利用三角形内角和定理求解即可． 解：∵等腰内接于圆O，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 6．（25-26九年级上·河北邯郸·期中）如图，把直角三角板的直角顶点O放在破损的圆形瓷盘的圆周上，两直角边与圆弧分别交于点P、Q，量得，，则该圆形瓷盘的半径是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】该题考查了圆周角定理和勾股定理，如图，连接，根据圆周角定理可以判定是直径，所以根据勾股定理求得直径，然后再来求半径即可． 解：连接， ∵， 为圆形瓷盘的直径， ∴， 半径为 ． 故选：B． 二、填空题 7．（25-26九年级上·陕西安康·期中）如图， 是的直径，C，D是上两点．若，则的度数为 ． 【答案】/36度 【分析】本题主要考查了圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，先根据同弧所对的圆周角相等得，再根据圆周角定理得出答案． 解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 8．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，是直径，点C，D在半圆上，若，则的度数是 ． 【答案】/130度 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，直径所对的圆周角是直角，三角形内角和定理，根据直径所对的圆周角是直角和三角形内角和定理可求出的度数，再根据圆内接四边形对角互补可求出的度数． 解：∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是以为直径的圆的内接四边形， ∴， 故答案为：． 9．（25-26九年级上·内蒙古乌兰察布·期中）如图，四边形是的内接四边形，点D是弧的中点，点E是弧上的一点，若，则的度数为 【答案】 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，同弧或等弧所对的圆周角相等，由圆内接四边形对角互补得到的度数，再由可得，据此求解即可． 解：如图所示，连接， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵点D是弧的中点， ∴， ∴， 故答案为：． 10．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，的半径为4，A，B，C三点在圆上，，则的长等于 ． 【答案】4 【分析】本题考查了圆周角定理，关键是掌握圆周角定理并运用． 如图，连接，根据圆周角定理求得，证明是等边三角形，已知，可得． 解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 故答案为：4． 11．（25-26九年级上·江苏南京·期中）如图，A、B、C、D是上的点，若的度数为，则 ． 【答案】155 【分析】本题主要考查圆周角的性质及圆内接四边形的性质，熟练掌握圆周角的性质及圆内接四边形的性质是解题的关键；连接，由题意易得，然后可得，进而问题可求解． 解：连接，如图所示： ∵， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴，即， ∴； 故答案为155． 12．（25-26九年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，是的弦，点P为优弧上的一点，的平分线交于点，则在点P运动的过程中，长的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理、垂径定理、含30度角的直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质，由题意得出当为的直径时，的长最大是解答的关键．先根据圆周角定理和垂径定理，结合弧和弦的关系证明是等边三角形，再根据含30度角的直角三角形的性质求解可得答案． 解：根据题意，当为的直径时，的长最大，如图，连接， 的平分线交于点Q，， ， ， 为的直径， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， 在点P运动的过程中，长的最大值为， 故答案为：． 三、解答题 13．（25-26九年级上·内蒙古乌兰察布·期中）（1）解方程： （2）如图，已知为的直径，是弦，且于点E，连接，．求的度数． 【答案】（1）；（2）． 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，圆周角定理，熟知相关知识是解题的关键． （1）利用公式法解方程即可； （2）由圆周角定理可得的度数，再根据直角三角形两锐角互余可得答案． 解：（1） ∵， ∴， ∴， 解得； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 14．（25-26九年级上·江苏扬州·月考）如图，为的直径，D是弦延长线上一点，，的延长线交于点E，连接． （1）求证：． （2）若的度数为，则的度数为________． 【答案】（1）证明见分析；（2） 【分析】本题主要考查了圆周角定理和线段垂直平分线的性质，灵活运用所学知识是解题关键． （1）如图：连接，先证明，再根据等腰三角形的性质以及等量代换即可证明结论； （2）连接，根据的度数为可得到，根据且即可解答． 解：（1）证明：如图：连接， 是直径， ， 又， ， ， ， ； （2）解：连接， 的度数为， ， 且， ． 15．（24-25九年级上·全国·随堂练习）如图，的内接四边形两组对边的延长线分别相交于点，． （1）若，求证：． （2）若，，且．请用含，的代数式表示的大小． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形的性质是解题关键． （1）根据三角形的内角和结合题意，得，根据圆内接四边形的性质可得，推得，即可求证； （2）根据圆内接四边形的性质得、，推得，，根据三角形的内角和定理即可求解． 解：（1）证明：∵，，， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵四边形是的内接四边形， ∴，， ∵，， ∴， ∵，， ∴． ∵在和中，， ∴， ∴． 16．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，A、B、C是上的三点，． （1）图中所对的圆周角为______，其度数为________； （2）求的度数； （3）以为底边作的内接等腰，则的度数为________． 【答案】（1）；；（2）；（3）或 【分析】本题主要考查了圆周角定理，等边对等角，三角形内角和定理，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据题意可得所对的圆周角为，利用圆周角定理求出的度数即可得到答案； （2）由等边对等角和三角形内角和定理可得的度数，再求出的度数，最后由等边对等角和三角形内角和定理即可求出答案； （3）分两种情况讨论，由圆周角定理可得答案． 解：（1）解：∵， ∴， 由题意得，所对的圆周角为，其度数为， 故答案为：；； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：如图，①当点在优弧上时， ∵， ∴； ②当点在劣弧上时， ∵， ∴， 综上：的度数为或， 故答案为：或． 【能力提升（16题）】 一、单选题 1．（25-26九年级上·天津和平·期中）如图，四边形内接于，，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理，根据圆内接四边形的性质得到，根据得到，即可得到的度数．关键是根据圆内接四边形的性质得到解答． 解：由圆内接四边形的性质可知：， ， ， ∵， ． 故选：C． 2．（25-26九年级上·广东深圳·期中）如图，内接于，，，为的直径，，那么的值为（   ） A． B．4 C． D．3 【答案】B 【分析】本题考查圆周角定理，等边对等角，含30度的直角三角形等知识，首先根据“等边对等角”的性质求出的度数，再结合圆周角定理得到，根据含30度角的直角三角形的性质，即可得出结果． 解：∵，， ∴， ∵内接于，为的直径， ∴， ∴； 故选B． 3．（23-24九年级上·广东江门·月考）如图，在平面直角坐标系中，点在轴负半轴上，点在轴正半轴上，经过，，，四点，，，则圆心点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理的推论，勾股定理，含30度的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先根据圆内接四边形的性质得到，再根据圆周角定理的推论得到为的直径，则点为的中点，然后利用含30度的直角三角形三边的关系得到，，得到点、的坐标，即可得到点坐标． 解：四边形为圆的内接四边形， ， ， ， 为的直径， 点为的中点， 在中，，， ， ， ，， 点为的中点， ， 故选：B． 4．（江苏省徐州市2025-2026学年上学期第一次质量检测九年级数学试题）如图，等边三角形的顶点在上，边、与分别交于点、，点是劣弧上一点，且与、不重合，连接、，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的性质及圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．根据等边三角形的性质可得，再根据圆内接四边形的对角互补即可求得答案． 解：是等边三角形， ， ， 故选：B． 5．（25-26九年级上·天津南开·期中）如图1，为⊙的直径，，如图2所示，按以下步骤作图： ①在直径上顺次截取线段，，使； ②分别以点，为圆心，以大于长为半径作弧，两条弧交于点，； ③作直线，与⊙相交于，两点，连接． 下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】题目主要考查垂直平分线的作法，垂径定理的性质，勾股定理解三角形等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． 根据题意得出，确定，连接，利用垂径定理及勾股定理求解即可． 解：根据题意得：，故A选项正确，不符合题意； ∴，故B选项正确，不符合题意； ∴， 连接， ∵，， ∴， ∴， ∴，选项C正确，不符合题意； ∵，， ∴， ∴，故选项D错误，符合题意； 故选：D． 6．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，点、分别在轴、轴上，以为直径的圆经过原点，是的中点，连结，．下列结论：①；②；③若，，则的面积等于5；④若，则点的坐标是．其中正确的结论有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查圆的有关知识，勾股定理及三角形全等等知识点，关键是综合运用几何知识点．根据圆周角定理判断①，弧、弦、圆心角的关系判断②，求出，根据等腰直角三角形的性质可判断③，作轴于，轴于，通过构造全等三角形，可判断④． 解：是直径， ，故①符合题意； 是中点， ，故②符合题意； ， ， 是等腰直角三角形， ， 的面积为，故③符合题意； 作轴于，轴于， ， ， ， ， ， ，， 是正方形， 设正方形的边长为， ， ， ， 点坐标是，故④不符合题意， 故选：B． 二、填空题 7．（25-26九年级上·江苏南京·期中）如图，是半圆的直径，，是半圆上两点，的度数为，则 ． 【答案】105 【分析】本题考查圆周角定理、圆内接四边形的性质、直角三角形的两个锐角互余，先根据圆周角定理求得 ，，则，然后根据圆内接四边形的对角互补求解即可． 解：连接，，如图， ∵是半圆的直径， ∴， ∵的度数为， ∴， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴． 故答案为：105． 8．（22-23九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，、切于点、，点是上一点，且，则 度． 【答案】 【分析】本题利用了切线的概念，圆周角定理，掌握四边形的内角和为度是解题的关键． 连接，，根据圆周角定理和四边形内角和定理求解． 解：连接，． 、切于点、，则， 由圆周角定理知，， ， ． 故答案为：50． 9．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，内接于，，将沿着弦翻折后，恰好经过弦的中点D，则弦的长为 ． 【答案】 【分析】本题重点考查圆周角定理、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，连接，作于点E，因为将沿着弦AB翻折后，恰好经过弦AC的中点D，所以，根据圆周角定理得，所以，则，由，得，则，所以，求得，则，于是得到问题的答案． 解：连接，作于点E，则， 将沿着弦翻折后，恰好经过弦的中点D， ， 与所对的圆周角相等， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为： 10．（25-26九年级上·四川绵阳·期中）如图，四边形内接于，延长交于点，连接，若，，则的大小为 【答案】 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．根据圆周角定理得到，求出，根据圆内接四边形的性质得到，计算即可． 解：∵是的直径， ∴， 又， ∴， ∵四边形内接于，， ∴， ∴， 故答案为：． 11．（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，内接于，．分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线交于点D，连接并延长交于点E，连接，则的度数是 ． 【答案】/50度 【分析】本题考查了尺规作图-作已知线段的垂直平分线，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，圆周角定理等知识．根据尺规作图可得直线是弦的垂直平分线，得到，进而求出，根据圆周角定理即可求出． 解：由尺规作图可得直线是弦的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为： 12．（25-26九年级上·江苏南京·期中）如图，是的外接圆，是的中点，是弦上一点，连接．若的半径为2，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查圆周角定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、圆内接四边形的性质勾股定理等知识，证明是解答的关键． 连接、、、，根据弦、弧关系和等腰三角形的性质得到，结合圆内接四边形的性质推导出，证明得到，进而利用圆周角定理得到，然后利用勾股定理求解即可． 解：连接、、、，如图， ∵是的中点， ∴， ∴，， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴，又， ∴，又， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴． 故答案为：． 三、解答题 13．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）如图，为的直径，，垂足为，点是上一动点，连接分别交，于点，． （1）当时，与有何关系？证明你的结论． （2）当点在什么位置时，？证明你的结论． 【答案】（1）；证明见分析；（2）当弧弧时，．证明见分析 【分析】主要考查了圆中的有关性质，掌握其中的圆周角定理、圆心角、弧、圆周角之间的关系是解题的关键． （1）由圆周角定理知：，在中，，证得，已知，可得，所以，即； （2）当弧弧时，，可得，进而可得，因此当弧弧时，． 解：（1）； 证明：连接， 为的直径， ． 又， ． ， ． ． ． （2）当弧弧时，， 证明：∵弧弧， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴． 14．（25-26九年级上·北京·期中）如图，为的直径，、为圆上的两点，，交于点． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 【答案】（1）见分析；（2）5 【分析】本题考查垂径定理，直径所对圆周角为直角，勾股定理，熟练掌握相关定理是解题的关键． （1）根据直径所对圆周角为直角，得到，再由平行形的性质可推出，然后根据垂径定理，即可得证； （2）根据垂径定理得到的长度，结合勾股定理建立方程进行求解即可． 解：（1）证明：∵为的直径， ∴， ∵， ∴，即， ∴； （2）解：由（1）知：， ∵， ∴， 设的半径为，则， ∵， ∴， 在中，， 即， 解得； ∴的半径为5． 15．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求实数m的取值范围； （2）若该方程的两个实数根分别是矩形的长和宽，该矩形外接圆的半径为2，求实数m的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，以及矩形的外接圆： （1）由根的判别式列出不等式，解不等式可得m的取值范围； （2）由根与系数的关系可得，，该矩形外接圆的直径是矩形的对角线，根据勾股定理可得，即可得到，解方程即可． 熟练掌握根与系数的关系和进行变形是解题的关键． 解：（1）解：因为关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根 所以 故； （2）解：由题可知： ∵该方程的两个实数根分别是矩形的长和宽，该矩形外接圆的半径为2， ∴，，， 则， ∴， 由（1）知 ∴． 16．（22-23九年级上·福建莆田·期中）【教材呈现】下面是人教版九年级上册数学教材的 《圆》部分内容． 圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧相等．由圆周角定理，可以得到以下推论：的圆周角所对的弦是直径．（如图） 【推论证明】如图①已知：的三个顶点都在上，且． 求证：线段是的直径． 请你结合图①写出推论的证明过程． 【深入探究】如图②，点A，B，C，D均在半径为5的上，为直径，，是的角平分线．求线段的长． 【拓展应用】如图③，已知矩形，，，M为边上的点．若满足的点M恰好有两个，求m的取值范围． 【答案】推论证明：见分析；深入探究：；拓展应用： 【分析】对于（1），取的中点为D，连接，根据直角三角形的性质得出答案； 对于（2），作，，交延长线点G，结合圆的性质可证明，可说明四边形是正方形，，然后证明，再根据勾股定理求出，即可得出答案； 对于（3），当过A、B两点的与只有一个交点时，即与相切，连结并延长交点E，根据勾股定理求，再说明四边形是矩形，可得此时m的值；当点M与D点或C点重合时，连结并延长交点E，再说明D、O、B三点共线，求出此时的m的值， 可得答案． 解：（1）取的中点为D，连接． ∵， ∴， ∴点D与点O重合 ∴线段是的直径； （2）过D点作，交点F．过D作，交延长线点G． ∵为直径， ∴． ∵平分， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴ ∴四边形是矩形， ∴四边形是正方形， ∴． ∵，半径为5， ∴． 根据勾股定理，得， ∴， ∴． 在中，； （3）当过A、B两点的与只有一个交点时，即与相切，连结并延长交点E． ∵， ∴． ∵， ∴， 解得． ∵，与相切， ∴， ∴四边形是矩形． 在中，， ∴， ∴． 当点M与D点或C点重合时，连结并延长交点E． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴D、O、B三点共线，． ∵， ∴， ∴． 【点拨】本题主要考查了直角三角形的性质，角平分线的性质，弧、弦、圆心角的关系，正方形的判定，勾股定理，圆周角定理，切线的性质等，勾股定理是求线段长的常用方法． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $