27.2.3相似三角形的应用举例 自主达标测试题 2025-2026学年人教版（2012）九年级数学下册

2025-2026学年人教版九年级数学下册《27.2.3相似三角形的应用举例》 自主达标测试题（附答案） 一、单选题（满分24分） 1．《孙子算经》中有这样一个问题：“今有竿不知长短，度其影得一丈五尺．别立一表，长一尺五寸，影得五寸．问竿长几何？”译文：今有竿不知其长短，在阳光下，将其垂直立于地面，测得影长为一丈五尺．同一时刻，测得直立于地面长一尺五寸的标杆的影长为五寸．问竿的长度是多少？（1丈尺，1尺寸）设竿的长度为尺，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 2．制作一块长方形广告牌的成本是120元，在每平方米制作成本相同的情况下，若将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，那么扩大后长方形广告牌的成本是（    ） A．360元 B．720元 C．1080元 D．3240元 3．小李在做“小孔成像”实验时，蜡烛到挡板的距离与挡板到屏幕的距离之比是．若烛焰的高是，则实像的商是（    ） A． B． C． D． 4．《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法．如图所示，在井口处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端观察井水水岸，视线与井口直径交于点，如果测得米，米，米，那么为（   ）米 A． B． C． D． 5．四分仪是一种古老的测量工具，可以追溯到公元2世纪的托勒密时代．如图就是一种四分仪在距离测量上的应用，该四分仪是在边长为1 米的正方形的一个顶点处安装一根方向杆．若将该四分仪的方向杆对准远处的目标物 E，在四分仪上读出的长度为20厘米，已知点 B，C，E在同一条直线上，则目标物 E 与点 B 之间的距离为（    ） A．1米 B．4米 C．5米 D．6米 6．如图，树垂直立在地面上，小明在时测得树的影子长为时又测得该树的影子长为，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度长为（   ） A． B．5m C． D． 7．如图，衣夹简化的示意图中夹臂可分别绕点M，N旋转，此时夹嘴闭合（即C，D两点重合）， ．当夹子完全张开时（即A，B两点重合），能夹衣物的最大厚度是（   ） A． B． C． D． 8．图①是伸缩折叠不锈钢晾衣架的实物图，图②是它的侧面示意图，和相交于点，点A、B之间的距离为1.2米，，根据图②中的数据可得C、D之间的距离是（   ）米． A．0.68 B．0.69 C．0.86 D．0.96 二、填空题（满分24分） 9．如图是跷跷板示意图，支柱经过的中点，与地面垂直于点，，当跷跷板的一端着地时，另一端离地面的高度为 ． 10．如图，水平地面上放置盛有液体的容器，是液面线，经测量，，把长为的木棍的一端探到容器的底部，另一端与点A重合，则没入液体部分的长为 ． 11．图1是装满了液体的高脚杯（数据如图），用去部分液体后，放在水平的桌面上如图2所示，此时液体 ． 12．小明和几位同学做手的影子游戏时，发现对于同一物体，影子的大小与光源到物体的距离有关．因此，他们认为：可以借助物体的影子长度计算光源到物体的位置．于是，他们做了以下尝试．如图，垂直于地面放置的正方形框架，边长为，在其上方点处有一灯泡，在灯泡的照射下，正方形框架的横向影子， 的长度和为，那么灯泡离地面的高度为 ． 13．如图，利用标杆测量楼高，已知，标杆，，，则楼高 ． 14．如图，身高1.5米的张亮想利用路灯下的影子测量路灯的高度．张亮晚上由路灯A正下方的B处走到C处，测得影子的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子的长为2米，路灯的高度为 米． 15．如图，学校为举办文艺汇演搭建了舞台及登台的台阶，台阶总高度，台阶部分铺红地毯，地毯长度为，支撑钢梁，且D为的中点，则钢梁的长为 ． 16．如图是凸透镜成像示意图，是蜡烛通过凸透镜所成的虚像，已知蜡烛的高度是，蜡烛与凸透镜的水平距离，该凸透镜的焦距，且，则的长是 ． 三、解答题（满分72分） 17．如图，阳阳要测量一座钟塔的高度，他在与钟塔底端处在同水平面上的地面放置一面镜子，并在镜子上做一个标记，当他站在离镜子处1.4m的处时，看到钟塔的顶端在镜子中的像与标记重合．已知，，在同直线上，阳阳的眼睛离地面的高度m，m，求钟塔的高度． 18．如图，工地上竖立着两根电线杆、，它们相距，分别自两杆上高出地面、的A、C处，向两侧地面上的E和D、B和F处用钢丝绳拉紧，以固定电线杆，那么钢丝绳与的交点P离地面的高度是多少米？ 19．中国高铁近年来以震惊世界的速度不断发展，已成为当代中国一张耀眼的“国家名片”． 修建高铁时常常要逢山开道、遇水搭桥，如图，某高铁在修建时需打通一直线隧道（在山的两侧），工程人员为了计算两点之间的直线距离，选择了在测量点进行测量，点分别在上，现测得米，米，米，米，米，求隧道的长． 20．小明决定利用所学数学知识测量出旗杆的高度．如图，已知A，B，C在同一条直线上，A，E，D也在同一条直线上，，，垂足分别是点B和点C，小明眼睛到地面高米，且米，的长度为9米． (1)求旗杆的高度； (2)小明在测量时发现通过地面直线上F处的一个小水坑刚好看到旗杆顶端D，求小水坑F到小明的距离的长． 21．如图，小明在晚上由路灯走到路灯．当他走到P点时，发现身后他影子的顶部刚好落在路灯的底部，当他再步行15米达到点Q时，发现身前自己影子的顶部刚好落在路灯的底部．已知小明的身高是1.8米，两个路灯的高度都是9米，且． (1)求两个路灯之间的距离； (2)当小明走到路灯时，他在路灯下的影长是多少？ 22．【综合与实践】现实生活中，人们可以借助光源来测量物体的高度．已知榕树，和灯柱如图①所示，在灯柱上有一盏路灯P，榕树和灯柱的底端在同一水平线上，两棵榕树在路灯下都有影子，只要测量出其中一些数据，则可求出所需要的数据，具体操作步骤如下： ①根据光源确定榕树在地面上的影子； ②测量出相关数据，如高度，影长等； ③利用相似三角形的相关知识，可求出所需要的数据． 根据上述内容，解答下列问题： (1)如图①，若榕树的高度为3.6米，其离路灯的距离为6米，两棵榕树的影长，均为4米，两棵树之间的距离为6米，求榕树的高度； (2)无论太阳光还是点光源，其本质与视线问题相同．日常生活中我们也可以直接利用视线解决问题．如图②，建筑物高为50米，建筑物上有一个广告牌，合计总高度为70米，两座建筑物之间的直线距离为30米．一个观测者（身高不计）先站在A处观测，发现能看见广告牌的底端M处，观测者沿着直线向前走了5米到B处观测，发现刚好看到广告牌的顶端E处．则广告牌的高度为多少米． 23．直线分别交x轴、y轴于A、B两点，绕点O按逆时针方向旋转后得到，抛物线经过A、C、D三点． (1)写出点A、B、C、D的坐标； (2)求经过A、C、D三点的抛物线表达式，并求抛物线顶点G的坐标； (3)在直线上是否存在点Q，使得以点A、B、Q为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 参考答案 1．B 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质的应用， 根据同一时刻物体高度与影长成比例建立方程即可． 【详解】解：根据题意，得 ． 故选：B． 2．C 【分析】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 根据题意，首先求出原来广告牌的面积，即可求出长方形广告牌每平方米的成本，根据相似多边形的性质求出扩大后长方形广告牌的面积，然后用其乘以每平方米的成本，即可得到所求结果． 【详解】解：，制作一块长方形广告牌的成本是120元， ∴长方形广告牌的成本是元/， 将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍， 则面积扩大为原来的9倍， ∴扩大后长方形广告牌的面积， ∴扩大后长方形广告牌的成本是元． 选：C． 3．A 【分析】本题考查了相似三角形的应用，根据证明，利用相似三角形的性质求解即可．熟练掌握相似三角形的性质是解答本题的关键． 【详解】解：如图所示：、相交于点， 是烛焰的高，是实像的高， ， ， 蜡烛到挡板距离与挡板到屏幕距离之比是，， ， ． 故选：A． 4．D 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．先求出米，再证出，利用相似三角形的性质求解即可得． 【详解】解：∵米，米， ∴米， 由题意得：， ∴， ∴， ∴， ∵米， ∴， 解得（米）， 故选：D． 5．C 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，通过已知的边长比例关系求解未知距离，熟练运用相关知识点是正确解答此题的关键． 由正方形中，，证明，得，即，求出进而得解． 【详解】解：， ， 正方形中，， ， ， ， ， ， 解得， ． 故答案为：C． 6．D 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 利用两角对应相等的两个三角形相似证明，进而可得，代入数据可得答案． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， 解得或 (舍去)， ∴树的高度长为 故选： D． 7．A 【分析】本题考查了相似三角形的应用，掌握两边对应成比例，其夹角相等的两个三角形相似是解题的关键．根据题意，可得，，，由此可得，根据相似三角形的性质，对应边成比例得到，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵ ． ∴，即， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 8．D 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．先证明，再根据相似三角形的对应高之比等于相似比求解即可． 【详解】解：， ， ， 米， 米， 即C、D之间的距离是0.96米， 故选：D． 9．60 【分析】本题考查了相似三角形的判断与性质，过作垂直于地面，则，得到，即可得到． 【详解】解：如图，过作垂直于地面， ∵O是的中点，垂直于地面，垂直于地面， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴另一端B离地面的高度为， 故答案为：60． 10． 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质． 根据题意可得，代入数据计算即可． 【详解】解：依题意得：， ∴， ∴， 由题意，， 解得， 故答案为：． 11． 【分析】本题考查相似三角形的应用，解本题的关键熟练掌握相似三角形的判定与性质． 高脚杯前后的两个三角形相似．根据相似三角形的判定和性质即可得出结果． 【详解】解：如图： ， ，即相似比为, ， , 故答案为：． 12．140 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，注意运用相似三角形对应高的比等于相似比这个性质． 根据相似三角形的判定可得，利用相似三角形的对应边的比等于对应高的比，可得灯泡离地面的高度 【详解】解：如图， ∵ ，． ∴， 根据相似三角形对应高的比等于相似比的性质，可得 ， ， 解得． 灯泡离地面的高度为； 故答案为：140． 13． 【分析】根据题意过点A作，垂足为M，交于点N，得出，进而求出的长，进而得出答案． 本题考查了三角形相似的判定和性质，熟练掌握三角形相似的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：过点A作，垂足为M，交于点N， 则四边形都是矩形， 故， ∵，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：， 故． 故答案为：． 14．6 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键； 证明，，列出比例式进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：，，，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 即：路灯的高度等于6米； 故答案为：6． 15．/24厘米 【分析】本题考查了相似三角形的应用，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 根据题意可得：，从而根据垂直的定义可得，再根据已知得：，从而在中，利用勾股定理可求出的长，然后根据线段的中点定义可得，再证明，从而利用相似三角形的性质进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得：， ， ， ， ， ， ， ， 点D为的中点， ， ， ， ， ， 解得：， ∴钢梁的长为， 故答案为：． 16．20 【分析】本题主要考查了相似三角形的实际应用，可证明得到，则；再证明得到，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，，， ∵， ∴（点F为点O右边的那个点，下面的点F一样）， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：20． 17． 【分析】先证明，后利用相似三角形性质求出即可. 【详解】解：，， ， ， ， ， ， ， 故钟塔的高度为． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，掌握相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等是解题的关键. 18．2.4米 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，正确找出相似三角形是解答本题的关键．设米，米，根据，得到，，再利用相似三角形的性质列出方程组，然后即可求解． 【详解】解：由题意得：米，米，米， 设米，米，则米， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， 解得：， 答：钢丝绳与的交点P离地面的高度是米． 19．隧道的长为3000米 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，将实际问题转化为数学问题成为解题的关键． 先根据题中的数据可得，再结合可得，根据相似三角形的性质可得，最后将数据代入计算即可． 【详解】解：，， ． 又， ． ． 又米， 米． 答：隧道的长为3000米． 20．(1)旗杆的高度为6米 (2)小水坑F到小明的距离的长为米 【分析】本题考查了相似三角形的应用． （1）证明，利用相似三角形的性质求解即可； （2）证明，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解： ， ． ， ． ． ， ． ． ． 经检验，是原分式方程的解． 答：旗杆的高度为6米． （2）解：由题意得： ，， ． ． ． ． 即 经检验：是原分式方程的解． 答：小水坑F到小明的距离的长为米． 21．(1)两路灯的距离为25米 (2)当小明走到路灯时，他在路灯下的影长是6.25米 【分析】本题考查了相似三角形的应用． （1）如图1，先证明，利用相似比可得，进而得，，解得米； （2）如图2，当小明走到路灯时，他在路灯下的影子为，证明，利用相似三角形的性质得，然后利用比例性质求出即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 而， ∴， ∴， 答：两路灯的距离为25米； （2）解：如图2，当小明走到路灯时，他在路灯下的影子为， ∵， ∴， ∴，即， 解得． 答：当小明走到路灯时，他在路灯下的影长是6.25米． 22．(1)榕树的高度为米 (2)广告牌的高度为米 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质的应用，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）证明，根据相似三角形的性质列出比例式，把已知数据代入计算即可； （2）根据求出，再根据求出，进而求出． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，即， 解得：， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， 答：榕树的高度为米； （2）解：∵， ∴， ∴，即， 解得：， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， ∴（米）， 答：广告牌的高度为米． 23．(1)，，， (2)抛物线的解析式为，顶点 (3)符合要求的点的坐标分别为，，， 【分析】（1）在中，当时，，即，当时，，解得，即，由旋转的性质可得，，即可得解； （2）利用待定系数法求出抛物线的解析式，再将解析式化为顶点式即可得解； （3）过点作轴于，由勾股定理逆定理得出，从而可得，求出直线的解析式为，设点，再分两种情况：当时，；当时，，分别求解即可． 【详解】（1）解：在中，当时，，即， 当时，，解得，即， ∴，， 由旋转的性质可得：，， ∴，； （2）解：设抛物线的解析式为， 将，，代入解析式可得， 解得：， ∴抛物线的解析式为， ∵， ∴顶点； （3）解：如图，过点作轴于， ， ∵，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵点Q在直线上， ∴设点， ∵以点A、B、Q为顶点的三角形与相似， ∴当时，， ∴， 即， 解得：， ∴，； 当时，， ∴， 即， 解得：， ∴，， 综上所述，符合要求的点的坐标分别为，，，． 学科网（北京）股份有限公司 $