4.5.2形形色色的函数模型教学设计-2025-2026学年高一上学期数学湘教版必修第一册

《形形色色的函数模型》教学设计 一、内容分析 本节课是高中数学第一册《第4章 幂函数、指数函数和对数函数》的第五节，也是学生学习完常见的几种函数及其性质后的拓展学习. 本课时内容结合实际生活中的例子,理解数学建模的含义和步骤，体会不同的函数模型的差异. 课程标准对本节课内容提出具体要求，即通过数学建模来解决实际问题；会运用待定系数法确定已知函数模型中的参数；尝试函数模型的综合应用. 二、教学目的 1.通过具体实例理解数学建模的意义，理解数学建模的概念. 2.领会数学建模的步骤，会选择合理的数学模型把实际问题转化为数学问题． 3.会用待定系数法和方程的思想解决数学问题，渗透直观想象、数学运算、逻辑推理和数学建模的核心素养． 三、重点难点 重点：通过对数据的分析，提炼找到合适的数学模型． 难点：把实际问题转化为数学模型并选择恰当方法进行解答． 四、核心素养 ●直观想象、●数学运算、○数据分析、○数学抽象、●逻辑推理、●数学建模． 五、教学准备 课件. 六、教学流程 问题导入 -> 新知探索--> 典型剖析 -> 练习巩固 -> 归纳小结 七、教学过程 教学环节 教学内容 师生活动 设计意图 时间分配 (一) 问题导入 情景问题：在学习初等代数的时候，大家一定遇到过这样的“航行问题”： 甲、乙两地相距750km，船从甲到乙顺水航行需30h，从乙到甲逆水航行需50h，问：船速、水速各若干？ 我们是如何解决类似这种生活中遇到的问题呢？ 师：请大家用x、y分别代表船速和水速，解决实际问题。 生：可以列方程组 师：实际上，这组方程就是该航行问题的数学模型，列出方程，转化为数学问题，求解后最终给出了航行问题的答案. 让学生体会数学建模的含义， 理解数学建模步骤. 3分钟 (二)新知探索 把现实世界中的实际问题加以提炼，抽象为数学模型，求出模型的解，验证模型的合理性，并用该数学模型所提供的解来解释现实问题，数学知识的这一应用过程称为数学建模.结合前面的问题解决过程，请写出数学建模的步骤 学生总结数学建模的步骤： （1）正确理解并简化实际问题； （2）建立数学模型； （3）求得数学问题的解； （4）验证模型的准确性、合理性和适用性. 让学生从解决实际问题的过程中总结数学建模的步骤 5 分钟 （三） 典例剖析 例题 某商用无人机公司从2016年1月份开始投产，已知前4个月的产量分别为1万台，1.2万台，1.3万台，1.37万台.由于产品技术先进、质量可靠，前几个月的产品销售情况良好.为了方便营销人员在推销产品时，接受订单不至于过多或过少，需要估测以后几个月的产量.公司分析，产量的增加是由于工人技术日益熟练和生产流程更为优化，并且公司也暂时不准备增加设备和工人.假如你是公司管理者，将会采用什么办法估算以后几个月的产量？ 预案1：一次函数模拟 设模拟函数为，将，两点坐标代入，得 解得 所以得 . 该函数图象如图4.5-5所示. 此法的结论是：在不增加工人和设备的条件下，产量会每月上升1000台，这是不太可能的. 图4.5-5 预案2：二次函数模拟 设模拟函数为，将，，三点坐标代入，得 解得 所以得 . 该函数图象如图4.5-5所示. 评价 由此法算出4月份的产量为万台，比实际产量少了台，而且，由二次函数的性质可知，产量自4月份开始将每月下降（图象开口向下，对称轴是直线），这显然不符合实际情况. 预案3：利用幂函数模拟 设模拟函数为，为了方便起见，取，将，两点坐标代入，得 解得 所以得 . 借助计算机软件可作出该函数图象如图4.5-6所示. 评价 将及代入解析式，分别得到及，与实际产量差距较大. 预案4：利用指数函数模拟 设模拟函数为，将，，三点坐标代入，得 解得 所以得 . 借助计算机软件可作出该函数图象如图4.5-6所示. 评价 将代入解析式，得到与第4个月的产量比较接近. 师：这个问题给了该公司前4个月的产量，因此我们可以引入两个变量，，其中表示月份，表示相应的产量.在直角坐标系中（为了方便观察，取轴的单位长度较大），得到体现基本数据的四个点：，，，. 问题1：（小组活动）请同学们选择适当函数模型，估算该公司以后几个月的产量？ 问题2：比较上述四个模拟函数的优劣，选择哪个函数模型，比较接近客观实际？ 预案：选择模型首先要考虑到误差最小，其次也要考虑生产的实际情形，比如增产的趋势和可能性.经过筛选，以指数函数模型为最佳：一是误差最小；二是由于是新建生产线，随着工人技术、管理效率逐渐提高，一段时间内产量会明显上升，但过一段时间之后，如果不更新设备，产量必然趋于稳定，而求得的指数函数模型恰好反映了这种趋势，因此选用，比较接近客观实际. 让学生体会给定二维条件可引设出两个变量，初步描点后，观察点的变化趋势，设出函数模型，利用待定系数法和方程的思想求出函数解析式，验证函数模型的合理性，培养学生数学建模、数学运算和逻辑推理的核心素养． 20 分钟 （四） 练习巩固 练习： 在从国家统计局网站可以了解到中国居民2014-2017手机上网人数（单位：亿）（如下表所示） 年 份 2015 2016 2017 手机上网人数 6.2 6.95 7.53 （1）描绘画出手机上网人数随年份变化的大致图象； （2）试选择合适的函数类型建立数学模型，刻画手机上网人数随年份变化的规律，并预测2018年中国居民手机上网人数. 学生在学案、或书、或练习纸上写出各题答案. 利用授课助手，依次展示两个学生练习，请其余学生请纠正错误，指出所应用的知识点. 练习强化学生对数学建模的应用 10分钟 （五）归纳小结 本节课学习了哪些知识？有何收获？ 使用思维导图总结. 系统梳理整节课内容. 2分钟 八、板书设计 大致板书如下： 例题: 1. 一次函数模型 2. 二次函数模型 3. 幂函数模型 4. 指数函数模型 练习： 学科网（北京）股份有限公司 $