精品解析：贵州省贵阳中天中学2025--2026学年九年级上学期10月期中数学试卷

2024－2025学年度第一学期九年级10月练习—数学学科 同学你好！答题前请认真阅读以下内容： 1．全卷共4页，三个大题，共25小题，练习时间为120分钟，练习形式闭卷． 2．一律在答题卡相应位置作答，在试题数上答题视为无效． 3．不能使用科学计算器． 一、选择题（每小题3分，共36分） 1. 一元二次方程的常数项为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，直接根据一元二次方程的标准形式，常数项是不含的项即可解答． 【详解】解：∵ 一元二次方程的标准形式为， ∴ 在方程中，常数项． 故选：D． 2. 如图，矩形中，对角线，交于点O．若，则的长为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，解题的关键是熟练掌握矩形对角线的性质，从而完成求解．根据矩形的对角线相等且互相平分的性质计算， 得，即可得到答案． 【详解】解：∵四边形为矩形，， ∴． 故选：B． 3. 由下表可知，关于x的一元二次方程的一个根的取值范围是（ ） x 5.17 5.18 5.19 5.20 0.01 0.04 0.1 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解，由表格可发现的值，再看对应的的值即可得． 【详解】解：由表可以看出，当取与之间的某个数时，，即这个数是的一个根． 则的一个解的取值范围为． 故选：B． 4. 顺次连接正方形四条边的中点，确定四边形的形状是（ ） A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查中位线定理和特殊四边形的判定，关键利用正方形对角线的性质． 通过连接正方形各边中点，利用中位线定理和平行四边形的判定，结合正方形对角线相等且垂直的性质，可推导出所得四边形为正方形． 【详解】解：设正方形，E、F、G、H分别为的中点， 连接， ∵ E、F为中点， ∴， 同理，， ∴， ∴ 四边形为平行四边形， ∵四边形是正方形， ∴， ∴ ∴平行四边形为矩形，也是菱形， ∴四边形为正方形． 故选：C 5. 小明在解方程x2﹣4x﹣10＝0时，他是这样求解的，移项，得x2﹣4x＝10，两边同时加4，得x2﹣4x+4＝14，∴（x﹣2）2＝14，∴x﹣2＝，∴x1＝2，x2＝2﹣．这种解方程的方法称为（　　） A. 待定系数法 B. 配方法 C. 公式法 D. 因式分解法 【答案】B 【解析】 【分析】通过配成完全平方式来解一元二次方程的方法，是配方法． 【详解】解：由题意， 将先移项，再将方程两边都加上一次项系数一半的平方，将方程左边配成完全平方式，再用直接开平方解方程，满足用配方法解一元二次方程的步骤． 故选：B 【点睛】本题考查用配方法解一元二次方程的步骤，牢记相关知识点是解题的关键． 6. 我国南宋数学家杨辉所著的《田亩比类乘除算法》中有这样一道题，意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的宽比长少12步，问它的长和宽各多少步？设这块田地的宽为x步，则所列的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．由矩形的宽及长与宽之间的关系可得出矩形的长为步，再利用矩形的面积公式即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：∵矩形的宽为x步，且宽比长少12步， ∴矩形的长为步． 依题意，得． 故选：C． 7. 如图，在菱形中，．要使菱形为正方形，则是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查正方形的判定，根据“有一个角是直角的菱形是正方形”，再根据正方形对角线平分一组对角即可解答． 【详解】解：∵四边形是菱形，， 当时，则菱形是正方形， ∴，即． 故选：B． 8. 关于x的方程的根的情况是（　　） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 无实数根 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根；计算出方程的判别式，根据判别式的符号即可判断． 【详解】解：∵， ∴方程有两个相等的实数根； 故选：A． 9. 如图，在中，，点D是中点，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的性质、三角形外角的性质，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质是解答的关键．根据直角三角形斜边上的中线性质得到，再根据等腰三角形的性质得到，最后利用三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：∵在中，，点D为边的中点， ∴，即， ∴， ∴． 故选：C． 10. 如图，菱形中，对角线、相交于点O，H为边中点，菱形的周长为16，则的长度是（ ） A. 5 B. 2 C. 2.5 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，直角三角形斜边中线等于斜边的一半． 根据菱形性质得出，，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半得出． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴，， ∴， ∵H为边中点， ∴． 故选：B． 11. 《代数学》中记载，形如的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造4个面积为的矩形，得到大正方形的面积为，则大正方形边长为7，该方程的正数解为．”小聪按此方法解关于x的方程时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为45，则该方程的正数解为（ ） A. 9 B. 6 C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，借助数形结合的思想得出方程是解决本题的关键．根据阴影部分的面积四个矩形的面积大正方形的面积，得出，解方程即可． 【详解】解：∵阴影部分的面积为45， ∴，即， ∴大正方形边长为， ∴该方程的正数解为． 故选：C． 12. 如图,在边长为2的菱形ABCD中，∠B=45°,AE为BC边上的高，将△ABE沿AE所在直线翻折得△AB′E，AB′与CD边交于点F，则B′F的长度为（ ） A. 1 B. C. 2- D. 2﹣2 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得△ABB′为等腰直角三角形，AB=AB′=2，根据勾股定理求得BB′=2 ，再由BC=2可得B′C=BB′-BC=2-2， 【详解】解：∵在边长为2的菱形ABCD中，∠B=45°，AE为BC边上的高， ∴根据折叠易得△ABB′为等腰直角三角形，AB=AB′=2， ∴=2， ∵BC=2， ∴B′C= BB′-BC=2-2， ∴△FCB′为等腰直角三角形，B’F=CF， ∴， 解得：2-， 故选C． 【点睛】此题考查了菱形的性质以及等腰直角三角形的性质，勾股定理解三角形等．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用． 二、填空题 13. 方程是关于x的一元二次方程，则m的值是______． 【答案】 1 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．将“只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程是一元二次方程”修改为“只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，且二次项系数不为0的整式方程是一元二次方程”，根据定义得到，求解即可． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程， ∴， 解得． 故答案为：1． 14. 我国古代数学家贾宪提出的“从长方形的对角线上任意一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所得两长方形的面积具有一定的大小关系（如图所示）”请根据图形判断两个矩形阴影部分的面积大小__________．（填“”“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】矩形的对角线将矩形分成面积相等的两部分，由此即可得到结论. 【详解】由题意得： , ∵从长方形的对角线上任意一点作两条分别平行于两邻边的直线， ∴,, ∴, 故答案为：=. 【点睛】此题主要考查矩形的性质：矩形的对角线将矩形分成面积相等的两部分. 15. 已知，是一元二次方程的两个根，则的值为 _____． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．根据根与系数的关系得到，，然后利用整体代入的方法计算，即可解题． 【详解】解： ，是一元二次方程的两个根， ，， ． 故答案为：5． 16. 以的斜边BC为一边作正方形，正方形的对角线交点为O，连接AO，如果，，那么AC的长为______． 【答案】 或 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，三角形全等的性质和判定，图形与坐标，掌握相关知识是解决问题的关键．以点 为原点，所在直线为 轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，则点 ，设点 ，表示出正方形对角线交点为O的坐标，根据，列出方程求解即可． 【详解】解：以点 为原点，所在直线为 轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系， 则点 ，设点 ，其中 ， 以为边作正方形，其中心 的坐标取决于正方形的方向， 当正方形和三角形在异侧时， 根据正方形的性质，为等腰直角三角形， 过O作轴，， ∴，， ， ， ， ， ∴可设， 且， ， ∴点 的坐标为 ∵ 根据勾股定理： 解得 ， 或 （舍去负值）， 故 ； 当正方形和三角形在同侧时， 同理可证， ， ∴可设， 且， ， ∴点 的坐标为 由 ， 根据勾股定理： 解得 ， 或 （舍去负值）， 故 ； 综上所述的长为 或． 故答案为： 或． 三、解答题（本大题共10小题，共） 17. 解方程： （1）． （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的求解方法是解题的关键． （1）通过将方程左侧提取公因式的方式，将方程转化为两个一元一次方程求解． （2）利用配方法进行求解． 【小问1详解】 解：， ， ∴，． 【小问2详解】 解：， ， ， ， ∴，． 18. 如图，在中，对角线相交于点，，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求四边形的周长． 【答案】（1） 证明：，， 为等边三角形， ， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，菱形的判定和性质，直角三角形的性质． （1）先证明为等边三角形，得到，再结合四边形是平行四边形即可； （2）利用菱形的性质求出，，再利用直角三角形的性质求出即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是菱形，，， ，， ， 菱形的周长为． 19. 为了让学生养成热爱读书的习惯，某市抽出一部分资金用于购买图书，已知2022年该市用于购买图书的费用为50万元，2024年用于购买图书的费用为72万元． （1）求2022年～2024年购买图书资金的年平均增长率； （2）按照此增长率预测2025年该市用于购买图书的费用． 【答案】（1） （2）万元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）设2022~2024年购买图书资金的年平均增长率为，增长率的定义列式，求解即可； （2）根据增长率的定义及2024年的费用，列式计算即可． 【小问1详解】 解：设2022年～2024年购买图书资金的年平均增长率为x，根据题意得： ， 解得：（舍去）， 答：2022年～2024年购买图书资金的年平均增长率为； 【小问2详解】 解：万元， 答：预测2025年该市用于购买图书的费用为万元． 20. 如图，菱形对角线与交于点O，过点C作，过点B作，与相交于点E． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求四边形的面积． 【答案】（1） 证明：由题意得：，即； ∵，， ∴四边形是平行四边形； ∵； ∴四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质，掌握相关结论即可； （1）由题意得：，即；结合，，即可求证； （2）由题意得：，求出，即可； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由题意得：， ∵，， ∴， ∴四边形的面积； 21. 已知关于x的方程． （1）该方程有两个不相等的实数根，求m的范围； （2）若该方程有一个根，求m的值及另一个根． 【答案】（1） （2），另一个根为 【解析】 【分析】本题考查了根据一元二次方程根的情况求参数，一元二次方程的根与系数的关系，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先理解关于x的方程有两个不相等的实数根，得，再求出m的范围，即可作答． （2）记另一个根为，结合该方程有一个根，以及根与系数的关系，进行列式计算，即可作答． 【小问1详解】 解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴， ∴ 解得． 【小问2详解】 解：依题意，记另一个根为， ∵关于x的方程有一个根， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得． 22. 国庆节期间，某文具店开展促销活动，小红、小星去买文具后对话如下： 小红：某种钢笔的进价是每支22元； 小星：当这种钢笔的销售价为每支28元时，每天可售出160支；若每支降价1元，每天的销售量将增加40支． 根据他们的对话，解决下面问题： （1）若该种钢笔每支降价3元，文具店每天可以获得销售利润　　　元；． （2）若文具店想要每天销售该种钢笔利润为360元，又要尽可能让顾客得到实惠，求这种钢笔的销售价应定为每支多少元？ 【答案】（1）840 （2）这种钢笔的销售价应定为每支23元 【解析】 【分析】（1）由销售利润=（实际销售价进价）销售量，即可得出结果； （2）设这种钢笔的销售价应定为每支元，由题意得：文具店想要每天销售该种钢笔利润为360元，列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】解：（1）文具店每天可以获得销售利润为：（元）， 故答案为：840； （2）设这种钢笔的销售价应定为每支元， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， ∵要尽可能让顾客得到实惠， ∴， 答：这种钢笔的销售价应定为每支23元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 23. 已知：如图，在中，，，．点P从点A开始沿边向点以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点以的速度移动．设运动时间为． （1）填空：______，______．（用含t的代数式表示） （2）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的面积等于？ （3）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的长度等于？ 【答案】（1）， （2）点，分别从点A，同时出发，2秒或3秒后，的面积等于 （3）点，分别从点A，同时出发，5秒后，的长度等于 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解决本题的关键． （1）根据运动路程等于速度乘以时间即可求出，再根据即可解答； （2）根据的面积等于，列出方程进行求解即可； （3）根据的长度等于，利用勾股定理，列出方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意得，， ∵， ∴， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ， ， 解得或， 答：点，分别从点A，同时出发，2秒或3秒后，的面积等于； 【小问3详解】 解：∵，， ∴， ∴， ， ，即， ， 解得（此时，两点重合）或（舍去）， 答：点，分别从点A，同时出发，5秒后，的长度等于． 24. 如图所示，点E是正方形内一动点，满足，且． （1）【动手实践】将图中的绕点逆时针旋转得到，点与点重合，点B与点D重合，点E旋转后的对应点是点F，依题意在图中补全图形； （2）【问题探究】在补全的图中，分别延长和交于点，判断四边形的形状，并证明； （3）【拓展延伸】猜想线段，，之间的数量关系，用等式表示猜想结果，并说明理由． 【答案】（1） 补全图形，如图， （2） 解：四边形是正方形， 证明：绕点逆时针旋转得到， ，，， 四边形是矩形， 又， 矩形是正方形； （3） 解：线段，，的数量关系为：， 理由如下： 绕点逆时针旋转得到， ， 四边形是正方形， ， ， ． 【解析】 【分析】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，正方形的性质，矩形的判定和性质等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． （1）依题意补全图形； （2）由旋转的性质得出，，，得出矩形是正方形； （3）由正方形的性质得出，由旋转的性质得出，则可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 25. 某数学学习小组在学习旋转相关知识后，对特殊的四边形进行探究，有如下探究过程： 【问题解决】 （1）如图①，在矩形中，点E为边上一点，将绕点E顺时针旋转后得，若点F恰好落在边上，求证：； 【问题探究】 （2）如图②，在正方形中，点E为的中点，将绕点E顺时针旋转后得，连接．若，求点F到的距离； 【拓展延伸】 （3）如图③，在菱形中，点E为边上任意一点，点F在上，，交于点O．若，，当是以为腰的等腰三角形时，求的长． 【答案】 （1）证明：由旋转可知：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，旋转的性质，熟记相关定理内容是解题关键． （1）由旋转可知：，推出，即可； （2）作，证，得；根据四边形是矩形，得，即可求解； （3）若，则点与点重合，点与点重合，此时；若，证，得，即可求解 【详解】（1）略 （2）解：作，如图所示： 由旋转可知：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； ∴； ∵点E为的中点，， ∴； ∴； ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 即点F到的距离为； （3）解：若，则点与点重合，点与点重合，此时； 若， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年度第一学期九年级10月练习—数学学科 同学你好！答题前请认真阅读以下内容： 1．全卷共4页，三个大题，共25小题，练习时间为120分钟，练习形式闭卷． 2．一律在答题卡相应位置作答，在试题数上答题视为无效． 3．不能使用科学计算器． 一、选择题（每小题3分，共36分） 1. 一元二次方程的常数项为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 4 2. 如图，矩形中，对角线，交于点O．若，则的长为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 12 3. 由下表可知，关于x的一元二次方程的一个根的取值范围是（ ） x 5.17 5.18 5.19 5.20 0.01 0.04 0.1 A. B. C. D. 4. 顺次连接正方形四条边的中点，确定四边形的形状是（ ） A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 无法确定 5. 小明在解方程x2﹣4x﹣10＝0时，他是这样求解的，移项，得x2﹣4x＝10，两边同时加4，得x2﹣4x+4＝14，∴（x﹣2）2＝14，∴x﹣2＝，∴x1＝2，x2＝2﹣．这种解方程的方法称为（　　） A. 待定系数法 B. 配方法 C. 公式法 D. 因式分解法 6. 我国南宋数学家杨辉所著的《田亩比类乘除算法》中有这样一道题，意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的宽比长少12步，问它的长和宽各多少步？设这块田地的宽为x步，则所列的方程为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在菱形中，．要使菱形为正方形，则是（ ） A. B. C. D. 8. 关于x的方程的根的情况是（　　） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 无实数根 9. 如图，在中，，点D是中点，，则等于（ ） A. B. C. D. 10. 如图，菱形中，对角线、相交于点O，H为边中点，菱形的周长为16，则的长度是（ ） A. 5 B. 2 C. 2.5 D. 10 11. 《代数学》中记载，形如的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造4个面积为的矩形，得到大正方形的面积为，则大正方形边长为7，该方程的正数解为．”小聪按此方法解关于x的方程时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为45，则该方程的正数解为（ ） A. 9 B. 6 C. 3 D. 12. 如图,在边长为2的菱形ABCD中，∠B=45°,AE为BC边上的高，将△ABE沿AE所在直线翻折得△AB′E，AB′与CD边交于点F，则B′F的长度为（ ） A. 1 B. C. 2- D. 2﹣2 二、填空题 13. 方程是关于x的一元二次方程，则m的值是______． 14. 我国古代数学家贾宪提出的“从长方形的对角线上任意一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所得两长方形的面积具有一定的大小关系（如图所示）”请根据图形判断两个矩形阴影部分的面积大小__________．（填“”“”或“”） 15. 已知，是一元二次方程的两个根，则的值为 _____． 16. 以的斜边BC为一边作正方形，正方形的对角线交点为O，连接AO，如果，，那么AC的长为______． 三、解答题（本大题共10小题，共） 17. 解方程： （1）． （2）． 18. 如图，在中，对角线相交于点，，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求四边形的周长． 19. 为了让学生养成热爱读书的习惯，某市抽出一部分资金用于购买图书，已知2022年该市用于购买图书的费用为50万元，2024年用于购买图书的费用为72万元． （1）求2022年～2024年购买图书资金的年平均增长率； （2）按照此增长率预测2025年该市用于购买图书的费用． 20. 如图，菱形对角线与交于点O，过点C作，过点B作，与相交于点E． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求四边形的面积． 21. 已知关于x的方程． （1）该方程有两个不相等的实数根，求m的范围； （2）若该方程有一个根，求m的值及另一个根． 22. 国庆节期间，某文具店开展促销活动，小红、小星去买文具后对话如下： 小红：某种钢笔的进价是每支22元； 小星：当这种钢笔的销售价为每支28元时，每天可售出160支；若每支降价1元，每天的销售量将增加40支． 根据他们的对话，解决下面问题： （1）若该种钢笔每支降价3元，文具店每天可以获得销售利润　　　元；． （2）若文具店想要每天销售该种钢笔利润为360元，又要尽可能让顾客得到实惠，求这种钢笔的销售价应定为每支多少元？ 23. 已知：如图，在中，，，．点P从点A开始沿边向点以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点以的速度移动．设运动时间为． （1）填空：______，______．（用含t的代数式表示） （2）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的面积等于？ （3）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的长度等于？ 24. 如图所示，点E是正方形内一动点，满足，且． （1）【动手实践】将图中的绕点逆时针旋转得到，点与点重合，点B与点D重合，点E旋转后的对应点是点F，依题意在图中补全图形； （2）【问题探究】在补全的图中，分别延长和交于点，判断四边形的形状，并证明； （3）【拓展延伸】猜想线段，，之间的数量关系，用等式表示猜想结果，并说明理由． 25. 某数学学习小组在学习旋转相关知识后，对特殊的四边形进行探究，有如下探究过程： 【问题解决】 （1）如图①，在矩形中，点E为边上一点，将绕点E顺时针旋转后得，若点F恰好落在边上，求证：； 【问题探究】 （2）如图②，在正方形中，点E为的中点，将绕点E顺时针旋转后得，连接．若，求点F到的距离； 【拓展延伸】 （3）如图③，在菱形中，点E为边上任意一点，点F在上，，交于点O．若，，当是以为腰的等腰三角形时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $