专题5.5 用二次函数解决问题（知识梳理+15个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共55题）-2025-2026学年苏科版数学九年级下册同步培优精编讲练

专题5.5 用二次函数解决问题 （知识梳理+15个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共55题） 【解析版】 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：根据实际问题列二次函数关系式 2 知识点梳理02：二次函数的应用 2 知识点梳理03：二次函数综合题 2 优选题型 考点讲练 3 题型1：图形问题(实际问题与二次函数) 3 题型2：图形运动问题(实际问题与二次函数) 4 题型3：拱桥问题(实际问题与二次函数) 9 题型4：销售问题(实际问题与二次函数) 12 题型5：投球问题(实际问题与二次函数) 14 题型6：喷水问题(实际问题与二次函数) 17 题型7：增长率问题(实际问题与二次函数) 20 题型8：其他问题(实际问题与二次函数) 21 题型9：线段周长问题(二次函数综合) 23 题型10：面积问题(二次函数综合) 27 题型11：角度问题(二次函数综合) 31 题型12：特殊三角形问题(二次函数综合) 38 题型13：特殊四边形(二次函数综合) 44 题型14：相似三角形问题(二次函数综合) 49 题型15：其他问题(二次函数综合) 56 中考真题 实战演练 60 难度分层 拔尖冲刺 67 基础夯实 67 培优拔高 74 知识点梳理01：根据实际问题列二次函数关系式 根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定． ①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是二次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题． ②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式． 知识点梳理02：二次函数的应用 （1）利用二次函数解决利润问题 在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围． （2）几何图形中的最值问题 几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论． （3）构建二次函数模型解决实际问题 利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题． 知识点梳理03：二次函数综合题 （1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题 解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项． （2）二次函数与方程、几何知识的综合应用 将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件． （3）二次函数在实际生活中的应用题 从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义． 题型1：图形问题(实际问题与二次函数) 【典例精讲】（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，一个边长为10的正方形，被2条平行于一组对边的直线，和2条平行于另一组对边的直线分成9个矩形，若中间矩形（标有“中”字样）的周长为10，则四个角落的矩形（阴影部分）面积之和的最大值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题利用周长和面积考查二次函数的性质．设中间矩形的邻边长为a和b，则，由题意知四个角落的矩形可以拼接成一个邻边长为和的矩形，则面积之和为，代入利用二次函数的性质求得最大值即可． 【规范解答】解：设中间矩形的邻边长为a和b， ∵中间矩形的周长为10， ∴，即， 又∵四个角落的矩形可以拼接成一个邻边长为和的矩形， ∴四个角落的矩形（阴影部分）面积之和为， 又∵， ∴， 则当时，S有最大值为， 故答案为：． 【变式训练】（24-25九年级下·陕西宝鸡·阶段练习）如图，为加强新时代中学生的劳动教育，培养学生的动手实践能力．某校生物兴趣小组用长为的篱笆，一面靠墙围成中间隔有一道篱笆的矩形菜园．当的长度为多少时，围成的菜园面积最大？求出此时菜园面积的最大值． 【答案】当的长度时，围成的菜园面积最大，此时菜园面积的最大值为． 【思路点拨】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是明确题意，写出相应的函数解析式，利用二次函数的性质求最值． 先设，则，然后得到面积关于长度的函数解析式，然后根据二次函数的性质即可求解． 【规范解答】解：设，则，菜园的面积为， 由题意可得：， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为192． 答：当的长度为时，围成的菜园面积最大，此时菜园面积的最大值为． 题型2：图形运动问题(实际问题与二次函数) 【典例精讲】（2025·安徽芜湖·二模）如图，为正方形的中心，分别为的中点，，点从点出发沿方向匀速运动，同时点从点出发沿方向匀速运动，两点运动速度相等，当点运动到点时，两点同时停止运动．设点运动的路程为的面积为，则随变化的函数图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了动点问题的函数图象，准确的分析动点的运动位置，获得相应的解题条件是本题的解题关键． 当时，点在上，点在上，求得，故图象是正比例函数，当时，点在上，点在上，求得，图象是开口向下的抛物线，当时，点在上，点在上，求得，据此可求出答案． 【规范解答】解：两点运动速度相等， 两点的运动路程相等， 当时，点在上，点在上，如图，   ，， ，故图象是正比例函数， 当时，点在上，点在上，如图，    此时， 为中点， ， ， 点到的距离为， ， 图象是开口向下的抛物线， 当时，点在上，点在上，如图，    此时， ， ， ，， ，图象与前一段函数一样， 据此判断A正确， 故选：A． 【变式训练】（2024九年级下·广东·专题练习）综合运用 在中，，D为边上一点，，动点P以每秒1个单位长度的速度从点C出发，在三角形的三边上沿匀速运动，到达点A时停止，以为边作正方形．设点P的运动时间为，正方形的面积为S，试探究S与t的关系． (1)如图1，当点P由点C运动到点B时，求S关于t的函数表达式． (2)当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象．请根据图象信息，求S关于t的函数表达式及线段的长． (3)若存在3个时刻，，（）对应的正方形的面积均相等． ①求的值； ②当时，求正方形的面积． 【答案】(1) (2)， (3)①4；② 【思路点拨】本题主要考查了二次函数与图形运动问题，待定系数法求函数解析式，勾股定理等等，正确理解题意利用数形结合的思想求解是解题的关键． （1）先求出，进而求出，则； （2）先由函数图象可得当点P运动到B点时，，由此求出当时，，可设S关于t的函数解析式为，利用待定系数法求出，进而求出当时，求得t的值即可得答案； （3）①根据题意可得可知函数可以看作是由函数向右平移四个单位得到的，设是函数上的两点，则，是函数上的两点，由此可得，则，根据题意可以看作，则；②由（3）①可得，再由，得到，继而得答案． 【规范解答】（1）解：∵动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在上匀速运动， ∴， ∵，， ∴， ∵四边形是正方形，且其面积为S， ∴； （2）解：由图2可知当点P运动到B点时，， ∴， 解得或（舍去）； ∴当时，， 由图2可知，对应的二次函数的顶点坐标为， ∴可设当点P由点B运动到点A时，S关于t的函数解析式为， 把代入中得：， 解得， ∴当点P由点B运动到点A时，S关于t的函数解析式为， 在中，当时，解得或（舍去）， ∴，且， ∴，； （3）解：①∵点P在上运动时，，点P在上运动时， ∴可知函数可以看作是由函数向右平移4个单位长度得到的， 设是函数上的两点，则点和点是函数上的两点， ∴，， ∴， ∵存在3个时刻（）对应的正方形的面积均相等． ∴可以看作， ∴； ②由（3）①得， ∵， ∴， ∴， ∴．    题型3：拱桥问题(实际问题与二次函数) 【典例精讲】（2025·陕西·中考真题）某景区有一座美丽的彩虹桥，它的部分截面示意图如图所示，桥，钢缆均呈抛物线型，线段为桥面，线段为立柱，关于所在直线对称．的最低点到的距离为，到的距离为．以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系、 (1)求所在抛物线的函数表达式； (2)现要悬挂两条灯带来增加夜景效果，均与垂直，点分别在上，点在上，点到的距离均为．已知所在抛物线的函数表达式为，求这两条灯带的总长． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】此题考查了二次函数的图象和性质、二次函数的应用等知识， （1）利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出当时，，即可得到答案． 【规范解答】（1）解：由题意知，所在抛物线的顶点为，且过， 设其表达式为， ， 解得， 所在抛物线的函数表达式为； （2）解：点到的距离均为， 当时，， ， 这两条灯带的总长为． 【变式训练】（2025·陕西·二模）圆弧形拱桥和抛物线形拱桥是常见的拱桥结构．坐落在河北省赵县洨河上的赵州桥的主桥拱便是圆弧形，北京八景之一“卢沟晓月”中卢沟桥的主桥拱可以近似看作抛物线． (1)如图1左图，甲桥主桥拱是圆弧形，已知跨度，拱顶C到水面的距离为，求这座桥主桥拱的半径； (2)如图1右图，乙桥的主桥拱是抛物线形，若水面宽，拱顶P到水面的距离为，按照如图2所示的方式建立平面直角坐标系，求桥拱所在抛物线的解析式； (3)在图1的基础上，某时刻桥拱和桥拱的桥下水位均上升了，求此时两桥的水面宽度； (4)如图3，将桥拱所在抛物线设为L，L在x轴下方部分与桥拱在平静水面中的倒影组成一个新函数图象．将新函数图象向右平移个单位长度，平移后的函数图象在时，y的值随x值的增大而减小，结合函数图象，直接写出满足条件的整数m的值． 【答案】(1) (2) (3) (4)5，6，7，8 【思路点拨】（1）设主桥拱的半径是，根据勾股定理可得，即可解得答案； （2）如图，建立直角坐标系，设桥拱抛物线的解析式为，用待定系数法可得桥拱抛物线的解析式为； （3）甲桥的桥下水位上升了到，连接，连接与交于点E．求出甲桥此时的水面宽度为，再列出，解方程求解即可； （4）根据倒影与桥对称，先求出倒影的解析式，再平移m个单位，根据二次函数的性质求出m的取值范围即可得出结论． 【规范解答】（1）解：如图，O为圆弧的圆心，连接与交于点D，连接． 在中，，，， ， 解得， 即这座桥的主拱桥的半径为； （2）解：依题意可知：抛物线的顶点为，， 设抛物线的解析式为， 将代入解析式，得， 解得， 抛物线的解析式为； （3）解：如图，水位上升到，连接，连接与交于点E． 在中，，， ， 解得， ，即甲桥此时的水面宽度为； 由，解得，， ∵， 乙桥此时的水面宽度为； （4）解：抛物线在x轴上方的部分与桥拱在平静水面中的倒影关于x轴成轴对称． 平移后函数图象的对称轴是直线， 当或时，y的值随x值的增大而减小， 当时，y的值随x值的增大而减小， 结合函数图象，①当且时满足题意，解得； ②当时满足题意，解得（舍）． 综上所述，m的取值范围是， 所以,整数m的值为5，6，7，8 题型4：销售问题(实际问题与二次函数) 【典例精讲】（25-26九年级上·广东广州·阶段练习）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件；每件可盈利40元．为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，商场采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件降价1元，商场平均每天可多售出2件．设每件衬衫降价元． (1)降价后每件衬衫利润为___________元，平均每天可售出___________件． (2)该商场平均每天最多盈利多少元？盈利最多时应降价多少元？ 【答案】(1)元，平均每天可售出件； (2)该商场平均每天最多盈利1250元，盈利最多时应降价15元． 【思路点拨】本题主要考查了二次函数的应用，理清数量关系，正确列出二次函数的解析式是解题的关键． （1）根据每件衬衫降价元后利润减少元，销量增加件即可解题；题意可得每天的销售量，然后由“每天盈利每天销售量每件盈利”进行解答； （2）设每件衬衫应降价元，每天盈利元，根据“每天售出件数每件盈利每天盈利”，列出函数解析式求出最大值即可． 【规范解答】（1）解：降价后每件衬衫利润为元，平均每天可售出件． （2）解：设每件衬衫应降价元，每天盈利元， ， ， ∵， ∴当时，最大， 答：该商场平均每天最多盈利元，盈利最多时应降价15元． 【变式训练】（2025·云南·模拟预测）随着母亲节的临近，鲜切花市场迎来又一高峰，在被誉为“亚洲花都”的云南斗南花卉市场，鲜切花供货量维持高位运转并逐步上涨，母亲节的拉动效应在康乃馨这一品类上体现得尤为突出．某花店销售商在昆明国际花卉拍卖交易中心10天全部售完，根据记录的数据发现，该康乃馨每天的销售量y(单位：把)与销售时间x(单位：天)(x为整数)之间的关系式为，销售价p(单位：元/把)与销售时间x(单位：天)之间的关系如图所示． (1)求p与x之间的函数关系式； (2)求日销售额的最大值． 【答案】(1)； (2)日销售额的最大值为5880元． 【思路点拨】本题主要考查了二次函数的应用： （1）依据题意，显然当时，，当时，用待定系数法求解析式； （2）依据题意，分当时和当时两种情形利用二次函数的性质进行计算可以得解． 【规范解答】（1）解：由题意，当时，； 当时，设函数解析式为， 又图象过，， ∴． ∴． ∴此时函数解析式为． 综上，； （2）解：由题意，结合（1）当时，单价为， 此时销量， ∴日销售额为， ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，最大值为； 当时，销量，单价为， ∴日销售额为 ， 又， ∴当时，随x的增大而减少， ∴当时，又x为整数，当时，取最大值，最大值为5880． ． 综上，当时，当时，日销售额的最大值为5880元． 题型5：投球问题(实际问题与二次函数) 【典例精讲】（2024·天津·模拟预测）如图所示，足球从距离地面5米处的空中沿x轴方向抛射，在距离初始发射位置米处第一次落地，经地面反弹后，在米时第二次达到最大高度3米，此后足球第二次落地，已知整个过程足球的运动轨迹都是抛物线，根据图中的信息，回答以下问题： (1)当_____米时，足球距离地面的高度最大；当_____米时，足球第二次落地； (2)当足球距离地面的高度小于2米时，位置x的范围是________． 【答案】(1)3；15 (2) 或 【思路点拨】本题考查了二次函数的图象与性质： （1）求出第一段抛物线的对称轴即可得足球距离地面的高度最大时x的值；求出关于对称的点即可求出足球第二次落地时x的值； （2）求出第一段和第二段抛物线的解析式，求出对应的x的范围即可． 【规范解答】（1）解：由图可知，对于第一段抛物线，其对称轴为， 故当米时，足球距离地面的高度最大； 对于第二段抛物线，其对称轴为， ∴当米时，足球第二次落地； 故答案为：3；15； （2）解：第一段抛物线的对称轴是，故其与x轴的另外一个交点横坐标为， 故可设第一段抛物线为，将代入得， ∴， ∴第一段抛物线为， 令，解得， 由图可知，对于第一段抛物线，当时，足球距离地面的高度小于2米； 由图可设第二段抛物线为， 将代入得， ∴， ∴第二段抛物线为， 令，解得， ∴对于第二段抛物线，当或时，足球距离地面的高度小于2米； 综上，当 或时，足球距离地面的高度小于2米． 【变式训练】（2025·河南·模拟预测）投掷实心球是2025年辉县市中考体育终结性考试项目，一名男生在投掷实心球时，得到一条抛物线，实心球的行进高度（米）与水平距离x（米）之间的函数关系如图所示，已知掷出时起点处高度为米，当水平距离达到米时，实心球行进至最高点，此时的行进高度为米． (1)求关于的函数表达式； (2)根据2025辉县市中考体育考试评分标准男生，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于米时，此项考试得分为满分分；请你按此评分标准，判断该生在此项考试中是否得满分，并说明理由． (3)实心球运动的抛物线经过，两点，且，分别位于对称轴两侧，若在两点之间的部分图象中，函数最大值与最小值的差为，求的值． 【答案】(1)关于的函数表达式为： (2)该生在此项考试中未得满分，理由见解析 (3)的值为或 【思路点拨】（1）设关于的函数表达式为：，将代入得，，解方程即可得到结论； （2）令，则，解方程得到（舍去），比较即可得到结论； （3）①如图，当时，，如图，当时，，解方程即可得到结论． 此题考查了二次函数的实际应用，待定系数法求抛物线的解析式，计算抛物线与坐标轴的交点，正确理解题意是解题的关键． 【规范解答】（1）解：依题意设关于的函数表达式为：， 将代入得：， 解得：， 关于的函数表达式为：； （2）解：该生在此项考试中未得满分，理由如下： 令， 则， 解得：舍去， ∵， 该生在此项考试中未得满分； （3）解：①如图，当时，， ∴， ∴， 解得或； 与相矛盾，故舍去， ； 如图，当时，， ∴， ∴， 解得或 与相矛盾，故舍去， ， 综上所述，的值为或． 题型6：喷水问题(实际问题与二次函数) 【典例精讲】（2024·湖北襄阳·模拟预测）年月日，商业首航完成中国民航商业运营国产大飞机正式起步时分航班抵达北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”寓意“接风洗尘”，是国际民航中高级别的礼仪如图，在一次“水门礼”的预演中，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱近似看作形状相同的抛物线的一部分如图，当两辆消防车喷水口A，的水平距离为米时，两条水柱在抛物线的顶点处相遇此时相遇点距地面米，喷水口A，距地面均为米若两辆消防车同时后退米，两条水柱的形状及喷水口，到地面的距离均保持不变，求此时两条水柱相遇点距地面多少米． 【答案】此时两条水柱相遇点距地面米 【思路点拨】本题考查二次函数的图象与性质、二次函数的应用等知识，根据题意，确定图象是关于y轴对称的二次函数图象，开口向下，顶点坐标为，根据这些条件设出解析式，代入A或B点坐标及可求出解析式；B后退至，抛物线向右平移10米，或者A退至，抛物线向左平移10米，；用这两个解析式当中的哪一个都可以，当x=0时求y值即可． 【规范解答】解：由题意得，， ， ，， 设抛物线解析式为， 将代入， 得，解得， ， 两辆消防车同时后退米， 抛物线向右平移后的解析式为， 当时，则， 答：此时两条水柱相遇点距地面米． 【变式训练】（2025·陕西咸阳·二模）某小区花园里安装了一个喷泉，在地面上垂直安装了一根高为的喷水管，由喷头A喷出的抛物线型水柱在与喷水管的水平距离为处达到最高，此时水柱与地面距离为．小区管理人员为提升喷泉的视觉效果，计划对该喷泉装置进行改造．如图，在水柱方向与喷水管距离的C处对应安装一个垂直于地面的落水回喷台，水柱从回喷台中心B处落入，再从B处向喷水管方向回喷抛物线型水柱，其中抛物线的开口大小和方向与抛物线相同，且在距离地面处达到最高，线段表示地面，以，所在直线分别为x轴，y轴，建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式及点B的坐标； (2)若小区管理人员计划在地面上修建一个以O为圆心，半径为的圆形水池．请判断抛物线型水柱是否会落入该圆形水池内，并说明理由． 【答案】(1)； (2)抛物线型水柱会落入该圆形水池内，理由见解析 【思路点拨】本题考查了二次函数的实际应用，正确理解题意，求出函数解析式是解题的关键． （1）设抛物线的函数表达式为，将点代入中，即可求解函数解析式，再将代入，即可求解点坐标； （2）设抛物线的函数表达式为，将代入中，求出抛物线的函数表达式为，将代入中，解方程，再比较即可． 【规范解答】（1）解：由题意得，抛物线的顶点坐标为，且经过点， 设抛物线的函数表达式为， 将点代入中， 得， 解得， 抛物线的函数表达式为； 由题意得，点的横坐标为3， 将代入，得， 点的坐标为； （2）解：抛物线型水柱会落入该圆形水池内． 理由如下： 抛物线的开口大小和方向与抛物线相同，且在距离地面处达到最高， 设抛物线的函数表达式为， 由（1）知，点的坐标为，将代入中， 得， 解得，（舍去）， 抛物线的函数表达式为． 当水柱落在地面上时，，将代入中， 得， 解得（舍去），， ， 抛物线型水柱会落入该圆形水池内． 题型7：增长率问题(实际问题与二次函数) 【典例精讲】（2025·上海·模拟预测） 某公司去年的销售额为万元，预计未来三年的销售额增长率将按照二次函数的模型增长．设增长率为，时间（年）为，假设增长率函数模型为．根据市场分析，今年（第一年）的增长率为，明年（第二年）的增长率为，那么第三年的增长率为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了二次函数的性质，用待定系数法求出二次函数解析式，再把代入解析式求出即可，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【规范解答】解：根据题意得：二次函数经过，， ∴， 解得 ， ∴二次函数解析式为， 当时，， ∴第三年的增长率为， 故答案为：． 【变式训练】（2025·上海闵行·一模）某印刷厂10月份印书20万册，如果第四季度从11月份起，每月的印书量的增长率都为，如果设12月份比10月份多印了万册，那么关于的函数解析式是 ．（不写定义域） 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了平均增长率的问题．根据10月份的印数表示出12月份的印数即可表示出答案． 【规范解答】解：根据题意得：． 故答案为：． 题型8：其他问题(实际问题与二次函数) 【典例精讲】（2025·广东·模拟预测）一天放学后，妈妈带小丽到面馆去吃牛肉面，爱思考的小丽仔细观察盛面的碗，如图1，她发现面碗的轴截面（不包含碗足部分）可以近似看成是抛物线的一部分．小丽从书包里拿出刻度尺、笔和本，向服务员借来一个空的面碗，把面碗正放在桌面上，对面碗进行了简单的测量，并根据测量数据画出面碗的轴截面，如图2，面碗的上口径，碗底直径，面碗的边沿上一点B到桌面的距离，碗足高．小丽又进一步建立以所在直线为x轴，以碗的中轴线（面碗的上下两个底面圆的圆心所在直线）m为y轴的平面直角坐标系（如图3）． (1)请你帮助小丽求出碗的轴截面所在抛物线的函数解析式； (2)小丽向空面碗中倒入一些水，当水面与桌面的距离为时，求此时面碗中水面的宽度． 【答案】(1) (2)此时面碗中水面的宽度为 【思路点拨】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）根据题意可知点、点，设抛物线的表达式为，然后根据待定系数法可进行求解； （2）由题意可知当与桌面的距离为时，则，然后代入二次函数解析式可得，进而问题可求解． 【规范解答】（1）解：由题意，可知点、点． 设抛物线的表达式为， ，解得； 抛物线的函数解析式为． （2）解：∵， ∴当与桌面的距离为时，则． 当时，，解得． ． 答：此时面碗中水面的宽度为． 【变式训练】（24-25九年级下·全国·期末）设计师将它的外轮廓设计成如图①所示的图形．它是由线段，线段，曲线，曲线围成的封闭图形，且，在x轴上，曲线与曲线关于y轴对称．已知曲线是以C为顶点的抛物线的一部分，其函数解析式为：（p 为常数，）． (1)当时，求曲线的函数解析式． (2)如图②，用三段塑料管，，围成一个一边靠岸的矩形荷花种植区，，分别在曲线，曲线上，，在轴上． 记米时所需的塑料管总长度为，米时所需的塑料管总长度为．若，求的取值范围． 当与的差为多少时，三段塑料管总长度最大？请你求出三段塑料管总长度的最大值． 【答案】(1) (2)；当与的差为时，三段塑料管总长度最大，最大值为 【思路点拨】本题考查了二次函数解析式和二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）先求出点C的坐标，根据对称性求出点A的坐标，即可求出抛物线的解析式； （2）设， ，根据，得出关于p的不等式解得即可；设，三段塑料管总长度为L，根据题意得出化简即可得出答案． 【规范解答】（1）解：当时，C坐标为， 由对称得点A坐标为， 抛物线的解析式为：； （2）解：根据题意，设，，      ， ，                     即：， 化简得：，                                  ， ； 解：设，三段塑料管总长度为L， 根据题意可得：， ， 化简得：， 当时，L有最大值110，                        当与的差为时，三段塑料管总长度最大，最大值为． 题型9：线段周长问题(二次函数综合) 【典例精讲】（25-26九年级上·江西南昌·阶段练习）如图，抛物线经过，两点． (1)求此抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上有一点P，使得值最小，求最小值以及此时点P的坐标； 【答案】(1) (2)， 【思路点拨】本题考查了一次函数与二次函数综合． （1）把，两点代入求出、的值即可； （2）因为点关于对称轴对称的点的坐标为，连接交对称轴直线于点，求出点坐标即可． 【规范解答】（1）解：抛物线经过，两点， ， 解得：，， 此拋物线的解析式为； （2）解：如图，连接，交对称轴于点， 则， 此时最小，，   拋物线的解析式为， 其对称轴为直线， 当时，， ， 又， 设的解析式为， ， 解得：， 的解析式为， 当时，， ， . 【变式训练】（25-26九年级下·山东临沂·阶段练习）如图，已知抛物线的顶点为，抛物线与轴交于点，与轴交于、两点，点是抛物线对称轴上的一个动点． (1)求此抛物线的解析式． (2)求、两点坐标及的面积． (3)求点P的坐标，使的周长最小． 【答案】(1) (2)；面积为 (3) 【思路点拨】1）用待定系数法求出抛物线解析式； （2）令，解方程得出点C，D坐标，再用三角形面积公式即可得出结论； （3）先将求的周长最小就转化为求的最小值，确定出最小时的点P的位置，再确定出直线的解析式即可． 【规范解答】（1）解：∵抛物线的顶点为， ∴设抛物线的解析式， 把点代入得，， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：由（1）知，抛物线的解析式为； 令，则， ∴或， ∴，； ∴， ∴； （3）解： 中， 令，则， ∴或， ∴，； ∵是定值，， 由抛物线的对称性，知点C与点D关于抛物线的对称轴直线对称， ∴，当点B，P，D三点共线时，取得最小值， 连接交直线于点P，此时的值最小，的周长最小． 设直线的解析式为， ， ， ． 当 时，． ∴． 题型10：面积问题(二次函数综合) 【典例精讲】（23-24九年级下·四川内江·阶段练习）如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过A、C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)D是第二象限内抛物线上的动点，求四边形面积的最大值及此时D点的坐标； (3)若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，使以点B、C、P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)，D (3)存在，P点坐标为或或或 【思路点拨】（1）先求得，，三点的坐标，将抛物线设为交点式，进一步求得结果； （2）作于，交于，根据点和点坐标可表示出的长，进而表示出三角形的面积，进而表示出的函数关系式，进一步求得结果； （3）先求得，则，设点的坐标为，分五种情况讨论：①直线与轴交于点，则，此时是等腰三角形，；②是延长交直线于点，此时，但、、三点在同一条直线上，所以不存在以、、三点为顶点的等腰三角形；③是，且点在轴的上方，由，列方程得，可求得；④是，且点在轴的下方，设直线与轴交于点，则，所以；⑤是，则，列方程得，可求得． 【规范解答】（1）解：当时，， ， 当时，， ， ， 对称轴为直线， ， 设抛物线的表达式：， ， ， 抛物线的表达式为：； （2）解：对于，当时，， 解得：，， 点的坐标为， 又点，点， ，，， 作于，交于，如图， ，， ， ， ， ， 当时，， 当时，， ； （3）解：存在点，使以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，理由如下： 设点的横坐标为，则， 解得：， ， ， 设点的坐标为， 如图2，直线与轴交于点，则， 点与点关于轴对称， ， 是等腰三角形，； 延长交直线于点， ， ，， ， ， ， 、、三点在同一条直线上， 不存在以、、三点为顶点的等腰三角形； 如图3，，且点在轴的上方， ， ， 解得：，， ； 如图3，，且点在轴的下方，设直线与轴交于点， ， ， ； 如图3，， ， ， 解得：， ， 综上所述：点的坐标为或或或． 【变式训练】（25-26九年级下·山西大同·阶段练习）如图，抛物线经过坐标原点，且与轴相交于点． (1)求点的坐标； (2)若点在抛物线上，且，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或或 【思路点拨】本题考查了二次函数的相关知识，包含求二次函数图像与x轴的交点，以及三角形面积公式与二次函数的综合应用，解决本题的关键是熟练掌握二次函数的相关知识 （1）令求解x的值，即可求解点的坐标； （2）设点，再根据，结合三角形面积公式求解即可． 【规范解答】（1）解：令，即， 解得，， ∴点的坐标为； （2）解：设点， 由（1）知，， ∴， 即，解得， ∴， 当时，即， 整理可得，解得， 此时点的坐标为； 当时，即， 整理可得， ∴， ∴，， 此时点的坐标为或； 综上，点的坐标为或或． 题型11：角度问题(二次函数综合) 【典例精讲】（2025·广东东莞·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点，且点在点的左侧，与轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图，直线与轴交于点，与轴交于点，动点为抛物线第一象限上的一点，于点， 轴交于点，求的周长的最大值，及此时点的坐标； (3)如图，连接，将原抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，使平移后的新抛物线经过点，新抛物线与x轴的另一交点为点，请问在新抛物线上是否存在一点，使得？若存在，则直接写出点的坐标；若不存在，则说明理由． 【答案】(1)； (2)周长的最大值为，此时点P的坐标为； (3)存在，坐标为或． 【思路点拨】（）用待定系数法可得抛物线的函数表达式为； （）设，则，；求出，，可得，即可知是等腰直角三角形，故，有，根据二次函数性质可得答案； （）当在轴上方时，延长，交于，求出，设新抛物线函数表达式为，把代入可解得新抛物线函数表达式为，可得，而直线函数表达式为，设，根据，，得，即，解得m得，故直线函数表达式为，联立，即可解得；当在轴下方时，设关于x轴的对称点为，则，由轴对称性质可知，为直线与新抛物线的交点，同理可解得 【规范解答】（1）解：把，代入得：， 解得， 抛物线的函数表达式为． （2）解：设， 轴，H在直线上， ， ； 在中，令得，令得， ，， ， ， 轴， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， 当时，取最大值，最大值为， 此时， 的周长的最大值为，此时点P的坐标为． （3）解：在新抛物线上存在一点T，使得，理由如下： 当在轴上方时，延长，交于，如图： 在中，令得或， ， 由，设抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位， 新抛物线函数表达式为， 把代入得：， 解得舍去或， 新抛物线函数表达式为， 在中，令得或， ， 由，可得直线函数表达式为， 设， ，， ， ， ， ， 解得， ， 由，可得直线函数表达式为， 联立， 解得或， ； 当在轴下方时，设关于轴的对称点为，则，由轴对称性质可知，为直线与新抛物线的交点， 由，得直线函数表达式为， 联立， 解得或， ； 综上所述，的坐标为或． 【变式训练】（2024·山西·模拟预测）如图，已知二次函数与x轴交于A、B两点，点A的坐标为，且与y轴交于点C，直线经过点C，与x轴交于点D． (1)求二次函数的解析式； (2)点E是图中的抛物线上的一个动点，设点E的横坐标为，求的面积的最大值及此时点E的坐标． (3)在抛物线上是否存在点P，使，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)最大值是3， (3)存在，P为或 【思路点拨】（1）根据一次函数解析式求出点C的坐标，将A，C坐标代入二次函数解析式即可求出b，c，进而得到答案； （2）过点作轴于点，交于点，表示出G点坐标，从而表示出长度，根据即可表示出的面积，再结合二次函数图象性质即可求其最大值和此时E的坐标； （3）过点作一条直线与的夹角为，交二次函数的图象于点，过点作，两线交于点，过点作轴于点，分两种情况：当点在直线的右侧时和当点在直线的左侧时进行讨论即可． 本题主要考查二次函数的解析式求解、三角形面积的最大值求解以及特定角度的点坐标求解．需要利用给定的点坐标、直线方程和二次函数的性质来逐步解答各个小问． 【规范解答】（1）解：把代入，得， ， 二次函数图象与轴交于两点，点的坐标为， ， ， 二次函数的解析式为； （2）解：如图①，过点作轴于点，交于点， 设点的坐标是，则点的纵坐标为， 代入直线，得点的横坐标为， 点的坐标是， ， ， ， 的最大值是3，此时点的坐标为； （3）解：存在，如图，过点作一条直线与的夹角为，交二次函数的图象于点，过点作，两线交于点，过点作轴于点，情况一：如图②，当点在直线的右侧时， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， 在与中，， ， ， 易知， ， ， ， 设直线的解析式为， 将代入，得， 直线的解析式为． 联立，得， 解得（舍去），， 将代入，得， 点的坐标为； 情况二：如图③， 当点在直线的左侧时，同理可得：直线的解析式为． 联立，得， 解得（舍去），， 将代入，得， 点的坐标为． 综上所述，点的坐标为或． 题型12：特殊三角形问题(二次函数综合) 【典例精讲】（2024·湖北·三模）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且，P是第一象限内抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P关于直线的对称点恰好落在直线上，求点P的坐标； (3)动点M，N在直线上，其横坐标分别为m，，设的面积为S，若，设点P的横坐标为t，求t的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【思路点拨】（1）利用待定系数法解答即可； （2）将沿直线翻折，得到，则直线与第一象限内抛物线的交点即为P，根据，可得，从而得到，进而得到，再求出直线的解析式，即可求解； （3）过点P作轴，交于点E，求出直线的解析式为，再由，可得，从而得到，再由点M，N的横坐标分别为m，，可得，从而得到，再由二次函数的性质解答即可． 【规范解答】（1）解：∵抛物线的对称轴为，， ∴点，， 将点代入得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为 （2）解：将沿直线翻折，得到，则直线与第一象限内抛物线的交点即为P． 当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线， 联立， 解得，， ∴点； （3）解：过点P作轴，交于点E． 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， ∵设，则， ∴， ∵点M，N的横坐标分别为m，， ∴， ∴， 当时，，解得或； 当时，，解得或． ∴当时，t的取值范围是或． 【变式训练】（2024·广东·模拟预测）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，且．直线与抛物线交于、两点，与轴交于点，点是抛物线的顶点，设直线上方的抛物线上的动点的横坐标为． (1)求该抛物线的解析式及顶点的坐标． (2)连接，直接写出线段与线段的数量关系和位置关系． (3)连接、，当为何值时？ (4)在直线上是否存在一点，使为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，点的坐标为 (2)，且 (3)或 (4)存在，点的坐标为或 【思路点拨】（1）直线与抛物线交于、两点，可得点和点坐标，再求出点、的坐标分别为：、，利用待定系数法即可求解； （2）分别求出和的长，根据待定系数法求出直线的解析式，即可求解； （3）根据题意将的面积和的面积表示出来，令，即可解出的值； （4）分、、三种情况，分别求解即可． 【规范解答】（1）解：直线与抛物线交于、两点，则点、点． ∵，， ∴点的坐标为， 故抛物线的表达式为， 将点的坐标代入，得， 解得， ∴抛物线的表达式为， ∴顶点的坐标为． （2）解：，且，理由： ∵，， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入，得， 解得， 故直线的解析式为； ∵、点， ∴， 故； ∵直线的解析式为，直线的解析式为， 故将直线向上平移个单位得到直线， ∴， 故，且． （3）解：∵， 解得，， ∴点的坐标为． 如图，过点作轴的平行线，交于点， 设点，则点， ∴． 解得或． （4）解：存在，点的坐标为或． 设点，点，，而点， ①当时， 如图，过点作轴的平行线，过点、点作轴的平行线，交过点且平行于轴的直线于点、， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 即，， 解得． 当时，， 解得，（舍去）， ∴点． ②当时，如图： 此时，则点、关于抛物线的对称轴对称， 点在抛物线上， 由抛物线的对称性可知，点在抛物线上， 又点在直线上， 点与点重合，此时纵坐标为3， ∴点． ③当时， 当点在抛物线对称轴的右侧时，如图， 点在的下方，与题意不符，舍去； 当点在抛物线对称轴的左侧时，如图，同理可得， 解得（舍去），． 故点． 综上可得，点的坐标为或． 题型13：特殊四边形(二次函数综合) 【典例精讲】（2024·江苏无锡·模拟预测）如图1，抛物线与x轴交于点A，与直线交于点，点在y轴上．点P从点B出发，沿线段方向匀速运动，运动到点O时停止． (1)求抛物线的表达式； (2)当时，请在图1中过点P作交抛物线于点D，连接，，判断四边形的形状，并说明理由； (3)如图2，点P从点B开始运动时，点Q从点O同时出发，以与点P相同的速度沿x轴正方向匀速运动，点P停止运动时点Q也停止运动．连接，，求的最小值． 【答案】(1) (2)四边形是平行四边形，理由见解析 (3) 【思路点拨】（1）用待定系数法求二次函数解析式即可； （2）作交抛物线于点，垂足为，连接，，由点在上，可知，，连接，得出，则，当时，，进而得出，然后证明，即可得出结论； （3）由题意得，，连接．在上方作，使得，，证明，根据得出的最小值为，利用勾股定理求得，即可得解． 【规范解答】（1）解：∵抛物线过点， ∴， ∴， ∴； （2）四边形是平行四边形． 理由：如图1，作交抛物线于点，垂足为，连接，． ∵点在上， ∴，， 连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （3）如图2，由题意得，，连接． 在上方作，使得，， ∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴（当，，三点共线时最短）， ∴的最小值为， ∵， ∴， 即的最小值为． 【变式训练】（2024·广东广州·模拟预测）已知抛物线∶，抛物线的顶点为． (1)求抛物线顶点的纵坐标；（用含的式子表示） (2)若抛物线与轴交于位于原点异侧的两点和，且，若两点间的距离不大于6． ①求抛物线的顶点的纵坐标的取值范围； ②若抛物线与轴交于点C，的外接圆与轴交于点D，是否存在四边形为平行四边形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①顶点的纵坐标的取值范围为． ②存在，的值为． 【思路点拨】本题考查了抛物线顶点公式、二次函数与坐标轴交点关系、韦达定理、圆的对称性及平行四边形判定（对边平行且相等或对角线中点重合），解题的关键是准确确定、、、 坐标，结合的取值范围（）验证方程解的有效性． （1）用抛物线顶点纵坐标公式直接计算； （2）①由“原点异侧”得，结合求范围，再代入顶点纵坐标表达式求范围； （2）②利用圆的对称性定、坐标，用“对角线中点重合”列方程，筛选出符合范围的解． 【规范解答】（1）解：对于抛物线，顶点纵坐标公式为 已知，，，代入得： 故答案为：． （2）①解：∵抛物线与轴交于原点异侧的两点、， ∴，即，得； ∴，则， 代入得： ∵， ∴，即，解得； 结合，得 ∵，且 在上随增大而减小， 当时，； 当时，； 故顶点的纵坐标的取值范围为． ②解：点：抛物线与轴交点，令，得，故； 点：外接圆的圆心，、在轴上，故的横坐标为中点横坐标，设； 由（半径相等），得， 化简得，故； 点：与轴的另一交点，轴上、的中点纵坐标等于的纵坐标，即（为的纵坐标），解得，故； 点：抛物线顶点，故 四边形的对角线为与，若为平行四边形，则两对角线中点坐标相等． 中点横坐标：DP与CQ的中点横坐标均为，已相等； 中点纵坐标相等： 两边同乘消分母： 展开并化简： ， 即 用求根公式（，，）， 得： 当时，，故，满足； 当时，，不满足，舍去． 故存在四边形为平行四边形，的值为． 答：存在，的值为． 题型14：相似三角形问题(二次函数综合) 【典例精讲】（23-24九年级上·山东·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点，点P为x轴下方抛物线上一点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，当点P的横坐标为2时，D为直线上一点，的周长为7是否成立，若成立，请求出D点坐标，若不成立，请说明理由； (3)若直线与y轴交于点M，直线与抛物线交于点Q，连接与y轴交于点H，求的值． 【答案】(1) (2)不成立，理由见解析 (3)3 【思路点拨】（1）将，两点代入解析式即可求解； （2）过P作轴,作O关于直线的对称点，连接与交于D，连接，可推出此时，最小．由翻折可得：，进而得在中， ，最小值为， 最小值为 ，据此即可判断； （3）过P作轴交于F，过P作轴交于N，过Q作轴交于E，过Q作轴交于K，设，可推出得，；再证得，；进而得；最后证，即可求解； 【规范解答】（1）解：∵抛物线过，两点， ∴， 解得，， ∴抛物线的解析式为； （2）解：不成立．理由如下： 过P作轴， 由题意得：当时，， ∴， ∴， ∴． ∴， ∵， ∴， 作O关于直线的对称点，连接与交于D，连接， 此时最小． 由翻折可得：， ∴， ∴， 当时，， 解得， ∴． ∴， ∴， 在中， ， ∴最小值为， ∴最小值为 ， ∵， ∴的周长不可能为7； （3）解：过P作轴交于F，过P作轴交于N，过Q作轴交于E，过Q作轴交于K， 设， ∴， ∵轴，． ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵轴，轴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【变式训练】（2025·江苏苏州·二模）【问题背景】 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于、B两点，交y轴于点C，抛物线对称轴交x轴于点D，抛物线与双曲线交于点，把点P绕点D顺时针旋转得到的对应点为Q． 【构建联系】 （1）分别求出抛物线和双曲线的解析式，并说明点Q是否在双曲线上． （2）如图2，双曲线与抛物线对称轴交于点E，连接，，求证：． 【深入探究】 （3）如图3，连接、，将绕着点旋转得到，其中点、分别是、两点的对应点，在旋转的过程中，当与重叠部分恰好是一个点时，求出此时点的坐标． 【答案】（1）双曲线的解析式为；抛物线的解析式为；点在双曲线上；（2）见解析；（3）点的坐标为或 【思路点拨】（1）待定系数法先求出k的值，即可得到反比例的函数解析式，再将，代入中，解方程组即可得到抛物线的解析式；进而得到点D的坐标，分别作轴，轴，分别交轴于、两点，证明，得到点Q的坐标，即可判断； （2）证明，即可得到结论； （3）分与重叠部分是点，与重叠部分是点，两种情况讨论即可． 【规范解答】解：（1）把代入中， ∴ ∴双曲线的解析式为 把，代入中，可得方程组 ， 解得 ∴抛物线的解析式为 ∴抛物线的对称轴为直线 ∴ 点在双曲线上，理由如下： 分别作轴，轴，分别交轴于、两点，如图 ∴ ∵把点绕点顺时针旋转得到的对应点 ∴， ∴，， ∴ ∵，， ∴ ∴，， ∴ ∴点在双曲线上． （2）∵双曲线与抛物线对称轴交于点， ∴， ∴ ∵，抛物线对称轴为直线，、关于对称轴对称， ∴， ∴ ∵， ∴ ∵， ∴， ∴ （3）①当与重叠部分是点时，如图 分别作轴，轴，分别交轴于、两点 ∵ ∴， ∴ ∵， ∴， 点的坐标为． ②当与重叠部分是点时，如图 ∴点在线段上 ∵抛物线解析式为， ∴ ∵， 设的解析式为， 把和代入， 得， 解得， ∴直线的解析式为， ∴设的坐标为 ∵， ∴ 解得，（舍去） ∴点的坐标为． 综上：点的坐标为或． 题型15：其他问题(二次函数综合) 【典例精讲】（25-26九年级下·内蒙古乌兰察布·月考）如图，抛物线：过点，顶点为Q．抛物线：（其中t为常数，且），顶点为P． (1)直接写出a的值和点Q的坐标． (2)嘉嘉说：无论t为何值，将的顶点Q向左平移2个单位长度后一定落在上． 淇淇说：无论t为何值，总经过一个定点． 请选择其中一人的说法进行说理． (3)当时， ①求直线的解析式； ②作直线，当l与的交点到x轴的距离恰为6时，求l与x轴交点的横坐标． 【答案】(1)， (2)选择嘉嘉（或淇淇），理由见详解 (3)①直线的解析式为；②直线与轴交点的横坐标为或 【思路点拨】（1）直接利用待定系数法求解抛物线的解析式，再化为顶点式即可得到顶点坐标； （2）把向左平移2个单位长度得到对应点的坐标为，再检验即可，再根据函数化为，可得函数过定点； （3）①先求解的坐标，再利用待定系数法求解一次函数的解析式即可； ②如图，当（等于6两直线重合不符合题意），可得，设与轴交点横坐标为，再进一步求解即可． 【规范解答】（1）解：∵抛物线：过点，顶点为， ， 解得， ∴抛物线为， ∴； （2）解：把向左平移2个单位长度得到对应点的坐标为， 当时，， ∴在上， ∴嘉嘉说法正确； ， 当时，， ∴过定点， ∴淇淇说法正确； （3）解：①当时，， ∴顶点， 而， 设为， ， 解得， ∴直线的解析式为； ②∵， 到轴的距离为6， 与交点的纵坐标为， 当时（等于6两直线重合不符合题意）， ， ， ∵直线的解析式为， 当时，， 解得， 时，解得， 设与轴交点横坐标为， 则， 解得， 此时直线与轴交点的横坐标为； ， 解得， 此时直线与轴交点的横坐标为． 综上，直线与轴交点的横坐标为或． 【变式训练】（2025·山东滨州·中考真题）在平面直角坐标系中，已知点在抛物线上． (1)求抛物线的顶点坐标； (2)点在抛物线上，若点N到y轴的距离小于4，请直接写出b的取值范围． (3)把直线向下平移个单位长度后与抛物线的两个交点都在第四象限，求n的取值范围． 【答案】(1)抛物线的顶点坐标为 (2) (3) 【思路点拨】本题考查二次函数图象和性质，二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键： （1）把点代入函数解析式，进行求解即可； （2）根据点N到y轴的距离小于4，得到，根据二次函数的增减性，进行求解即可； （3）由题意，得到平移后的直线的解析式为，联立两个解析式，得到，根据直线与抛物线有2个交点，得到，再根据时，直线和抛物线的两个交点恰好在对称轴上，即可得出结果． 【规范解答】（1）解：把代入抛物线，得 解得． ∴． ∴抛物线的顶点坐标为． （2）∵， ∴抛物线的开口向上，抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵点在抛物线上，点N到y轴的距离小于4， ∴， ∴当时，最小为，当时，最大为， ∴； （3）∵直线向下平移个单位长度， ∴平移后直线解析式为． 由得，即． ∵直线与抛物线有两个交点， ∴方程有两个不相等的实数根． ∴． 解得． 又当时，， 解得， ∴直线与抛物线的两个交点为，恰好在坐标轴上， ∴的取值范围为． 1．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，直线与抛物线相交于、两点，若，则的值为 ．    【答案】 【思路点拨】本题考查的知识点是一次函数与二次函数的 综合应用，涉及到联立方程求交点、根与系数的关系的运用、全等三角形的判定与性质以及两点间距离公式等知识；利用相似三角形的性质找出是解题的关键．联立两函数解析式成方程组，通过解方程组求出点、的坐标，利用两点间的距离公式可求出、、的长度，设直线与轴的交点为，由直线的解析式为可得出，结合公共角可得出∽，根据相似三角形的性质可得出，代入数据即可得出，解之即可得出值． 【规范解答】：联立两函数解析式成方程组， ， 解得：，， 点，， ，，． 设直线与轴的交点为如图所示，则点的坐标为．    直线的解析式为， ． 又， ∽， ， ，即， 整理得：， 解得：或不合题意，舍去． 故答案为：． 2．（2024·江苏南通·中考真题）已知二次函数的图象与y轴交于点A，过点A的直线与二次函数的图象交于另一点B（B在A的右侧），点在直线下方的二次函数图象上（包括端点A，B），若n的最大值与最小值的和为1，则点B的横坐标为 ． 【答案】或 【思路点拨】本题主要考查二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征，灵活应用二次函数性质解题是解题的关键． 先根据二次函数的解析式求出A的坐标，再求出直线的解析式，联立，解方程求出A，B的横坐标，根据点B在点A得出k的取值范围；再根据点在直线下方的二次函数图象上（包括端点A，B），得出n的最小值为，然后求出n的最大值为6，再把和分别代入求出x的值，并取大于0的值即可． 【规范解答】解：∵的图象与y轴交于点A， ∴， 又∵A在直线上， ∴， ∴． 又∵B为的交点， ∴， 把②代入①得：， ∴，即，解得，， ∵B在A的右侧， ∴， ∴， ∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵点在直线下方的二次函数图象上（包括端点A，B）， ∴n的最小值为， ∵n的最大值与最小值的和为1， ∴n的最大值为6， ∵， ∴点B在抛物线的图象上高于点A， ∴， 如图： ∴当时，，解得： ，（舍去）， ∴B的横坐标为：． 当时，点P在点A处取得最大值，即， ∴当时，，解得（舍去）或， ∴B的横坐标为：． 当时，直线轴，点P在点A处或点B处取得最大值，即， 与时情形相同，B的横坐标为：． 综上，点B的横坐标为或． 故答案为：或． 3．（2024·江苏南京·中考真题）如图，正方形的边长为，动点P，Q同时从点A出发，在正方形的边上，分别按，的方向，都以的速度运动，到达点C处运动终止．连接，设运动时间为，的面积为，则下列图象中能大致表示y与x的函数关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了动点问题的函数图象，根据题意结合图形，分情况讨论：①时，根据，列出函数关系式，从而得到函数图象；②时，根据列出函数关系式，从而得到函数图象，再结合四个选项即可得解． 【规范解答】解：①当时， ∵正方形的边长为， ∴； ②当时，如图， ， 所以，只有A选项图象符合， 故选：A． 4．（2024·江苏无锡·中考真题）如图，正方形的顶点A，C在抛物线上，点D在y轴上．若A，C两点的横坐标分别为m，n，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征、全等三角形的判定与性质及正方形的性质，分别过A，两点作轴的垂线，进而得出全等三角形，根据全等三角形的性质得出，即可解决问题． 【规范解答】解：分别过点A和点作轴的垂线，垂足分别为和， 将A，两点的横坐标代入函数解析式得， 点坐标为，点坐标为， ∴，，，． ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 5．（2024·江苏宿迁·中考真题）“母亲节”期间，某校部分团员参加社会公益活动，准备购进一批许愿瓶进行销售，并将所得纯收入捐给慈善机构，许愿瓶的进价为5元/个，根据市场调查，若每个许愿瓶的售价不超过10元，每天可销售300个；若每个许愿瓶售价超过10元，每提高1元，每天的销售量就会减少30个，此次公益活动每天的基本活动费用（不含许愿瓶成本）为500元，为了便于结算，每个许愿瓶的售价（x元）取正整数，每天销售这种许愿瓶的纯收入为（W元）．（注：纯收入销售额成本基本活动费用） (1)当每个许愿瓶不超过10元时，请直接写出W与x的函数关系式： ．当每个许愿瓶超过10元时，请直接写出W与x的函数关系式： ． (2)若为了既能更多的吸引顾客并扩大公益活动的宣传效果，使每天的销售额增大，又能获得最高纯收入，则每个许愿瓶的售价应定为多少元时可以满足要求？此时最大纯收入是多少元？ 【答案】(1)； (2)每个许愿瓶的售价应定为12元时可以满足要求，此时最大纯收入是1180元 【思路点拨】本题考查了二次函数在销售问题中的应用，一次函数的应用等，会利用二次函数性质求最值是解题的关键； （1）找出等量关系式：销售利润单个许愿瓶销售利润销售量基本活动费用，据此列出函数关系式即可求解； （2）分别求出当时或当时，相应的一次函数和二次函数的最值，比较得出结论即可． 【规范解答】（1）解：由题意得：当每个许愿瓶不超过10元时，请直接写出W与x的函数关系式： ； 当每个许愿瓶超过10元时，请直接写出W与x的函数关系式： ； （2）解：当时，， ， ∴W随x的增大而增大， ∴当时，W取最大值，最大值为元； 当时， ， ， 当时，W取最大值， 又∵x取正整数， ∴或13，W取最大值， ∵要使每天的销售额较大， ∴，此时最大值元； ∵， ∴每个许愿瓶的售价应定为12元时可以满足要求，此时最大纯收入是1180元． 基础夯实 1．（24-25九年级下·山西·阶段练习）在中考体育训练期间，小童对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度（米）与水平距离（米）之间的关系式为，由此可知小童此次实心球训练的成绩为（    ） A．6米 B．7米 C．8米 D．9米 【答案】D 【思路点拨】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键． 令，即可求解． 【规范解答】解：令，则， 解得：， ∴该函数图象与x轴的交点坐标为和， 即小童此次实心球训练的成绩为9米． 故选：D 2．（2025·四川巴中·中考真题）从地面竖直向上抛出一小球，小球高度与小球运动时间之间的关系式是．有下列结论： ①小球运动时间是时，高度为； ②小球运动中高度可以是； ③当时，高度h随着时间t的增大而减小． 其中正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【思路点拨】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质，化成顶点式的方法是解题的关键． ①当时，求出的值即可判断；②把函数解析式化为顶点式求出最大值即可判断；③根据函数的性质即可判断． 【规范解答】解：①当时，，故①正确； ②， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为，故②错误； ③由②可知，二次函数的图象开口向下，对称轴为直线， ∴当时，高度随着时间的增大而减小，故③正确， ∴正确的个数有 2 个， 故选：C． 3．（24-25九年级下·吉林长春·阶段练习）某商场购进一批文创商品，进价为每件20元．当售价为每件28元时，每周可卖出160件；售价每降低1元，每周销量增加20件，设每件售价为x元，每周利润为y元，y与x的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查根据实际问题列二次函数关系式，根据每周的利润=每件商品的利润×销售量，列出函数关系式即可． 【规范解答】解：由题意得：． 故选：A． 4．（2025·甘肃酒泉·一模）用总长为米的篱笆围成矩形的场地，矩形的面积随矩形的一边长的变化而变化，则当是 时，场地的面积最大？ 【答案】 【思路点拨】本题主要考查二次函数的应用，根据长方形面积公式列出函数解析式，将其配方成顶点式是解题的关键． 根据题意表示出矩形的另一边长，再根据长方形面积公式列出函数解析式并配方成顶点式，从而得出其最值情况． 【规范解答】解：根据题意，矩形的一边长为米，则另一边长为米， ， 即当时，， 故答案为：． 5．（2025·青海西宁·一模）某车刹车距离与开始刹车时的速度之间的函数关系式为，这辆汽车以的速度行驶，在前方处停放一辆故障车，此时刹车 有危险（填“会”或“不会”）． 【答案】不会 【思路点拨】本题考查二次函数的实际应用，将代入函数解析式，求出，进行判断即可． 【规范解答】解：∵， ∴当时，， ∴此时刹车不会有危险； 故答案为：不会． 6．（2024·广东·模拟预测）当用发射器（发射器的高度忽略不计）将一个小球从地面竖直向上抛时，小球距离地面的高度h和时间t满足函数关系式：（不计空气阻力），当小球达到最高点时，时间t的值为 ． 【答案】1 【思路点拨】这道题考查二次函数的性质，具体是利用二次函数的顶点式来求小球达到最高点的时间，解题关键是理解对于二次函数，可以化为顶点式，当时，抛物线开口向下，顶点为函数的最大值点．先将化为顶点式，由即可求出小球达到最高点时的t值． 【规范解答】解：， ， ， 当，时有最大值为5，即小球达到最高点， 故答案为：1． 7．（2023·山东·中考真题）要修一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心，水管高度应为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了二次函数在实际问题中的应用．设抛物线的解析式为，用待定系数法求得抛物线的解析式，再令，求得的值，即可得出答案． 【规范解答】解：设抛物线的解析式为， 由题意可知抛物线的顶点坐标为，与轴的一个交点为， ， 解得：， 抛物线的解析式为：， 当时，， 水管的高度为， 故答案为：． 8．（25-26九年级上·山东德州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，与x轴交于点A、B（点A在点B左侧）． (1)求二次函数的解析式及顶点坐标； (2)求B点的坐标，并求出的面积． 【答案】(1)，顶点坐标 (2)，6 【思路点拨】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的顶点坐标，二次函数与图形面积，正确利用待定系数法求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）根据待定系数法求出解析式，求解即可． （2）先求出B点的坐标，再根据面积公式求解即可． 【规范解答】（1）解：将代入， 可得， 解得：， ∴， 顶点坐标是； （2）解：令，则， 解得：或， ∴， ∴． 9．（24-25九年级下·福建福州·月考）A公司电商平台，在2024年国庆期间举行了商品打折促销活动，经市场调查发现，周销售量（件）与售价（元/件）之间的函数图象如图所示． (1)求关于的函数解析式； (2)若该商品进价为30元/件，当售价为多少元时，周销售利润最大？并求出此时的最大利润． 【答案】(1)与的函数表达式为 (2)当时，周销售利润最大，最大利润为元； 【思路点拨】本题考查二次函数的应用，一次函数的应用，解本题的关键是理解题意，掌握二次函数的性质和销售问题中利润公式． （1）设，把和代入可得解析式． （2）根据利润（售价进价）数量，得，再化成顶点式，顶点的纵坐标是最大值． 【规范解答】（1）解：设与的函数表达式为，将点和代入得： ， 解得：， 与的函数表达式为； （2）由题意得：， ， 当时，周销售利润最大，最大利润为元． 10．（2025·陕西西安·模拟预测）春节将至，为营造节日氛围，幸福小区物业准备在小区主通道上悬挂灯带，通道两侧有立柱，物业在通道的上方拉了笔直的水平钢丝，钢丝两边固定在立柱上，悬挂的灯带为抛物线形，灯带的最低点距离钢丝米．以钢丝为x轴，左侧立柱为y轴，钢丝与立柱的固定点为原点建立直角坐标系（如图所示）． (1)小青设计的方案，把灯带的一端固定在钢丝与立柱的固定点O，另一端固定在钢丝上的点A处，米，求出此时抛物线的表达式． (2)小玲设计的方案，把灯带的一端固定在钢丝上的点B处，米，另一端固定在立柱上的C处，为了美观，灯带的最低点和小青设计的相同（顶点相同），求出O与C的距离． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】该题考查了二次函数的应用，求出函数解析式是解题的关键． （1）根据题意设此时抛物线的表达式为，代入求解即可． （2）根据题意设此时抛物线的表达式为，代入求出解析式，再令，即可求解． 【规范解答】（1）解：∵米，灯带的最低点距离钢丝米， ∴， 设此时抛物线的表达式为， 将代入得，解得：， ∴此时抛物线的表达式为． （2）解：∵米，灯带的最低点和小青设计的相同（顶点相同）， ∴， 设此时抛物线的表达式为， 将代入得，解得：， ∴此时抛物线的表达式为． 令，则， ∴O与C的距离是． 培优拔高 11．（2025·安徽淮南·二模）如图，为线段上一点（不包括端点），四边形和四边形均为矩形，三点在同一条直线上，三点在同一条直线上，，，记矩形和矩形的面积分别为，．设，，则关于的函数图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了二次函数的几何应用，过点作交的延长线于点，可证，得到，，即得，，进而即可判断求解，正确求出与之间的函数关系式是解题的关键． 【规范解答】解：如图，过点作交的延长线于点，则， ∴， ∵四边形和四边形均为矩形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 即， ∴是的二次函数，开口向下，顶点坐标为， ∴A选项正确， 故选：． 12．（25-26九年级上·安徽淮北·月考）小明受二次函数的图象启发，为某葡萄酒大赛设计了一款杯子．如图所示的是杯子的设计稿，若，，则杯子的高CE为（    ） A．3 B．5 C．7 D．11 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了二次函数的应用，求出顶点D和点B的坐标是解题的关键． 先求二次函数的顶点D点的坐标为，然后根据，可知B点的横坐标为，代入得到，所以，又，进而求得杯子的高度． 【规范解答】解：如图： ∵， ∴抛物线顶点D的坐标为， ∵， ∴B点的横坐标为， 把代入，得到， ∴， ∴． 故选：D． 13．（24-25九年级下·湖南邵阳·阶段练习）如图，直角梯形的边在轴上，O为坐标原点，垂直于轴，，．若动点、同时从点O出发，点沿折线运动，到达点时停止；点沿运动，到达点时停止，它们运动的速度都是每秒个单位长度．设运动秒时，的面积为（平方单位），则关于的函数图象大致为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了二次函数的动点问题、一次函数的应用、勾股定理，由题意可得，，，再分三种情况：当时，；当点运动到点时，点运动到点时，此时点停止运动，点在上运动，的面积不变；当点运动到点，点在上运动时；分别求解即可，采用分类讨论与数形结合的思想是解此题的关键． 【规范解答】解：∵，， ∴，，， ∵动点、同时从点O出发，点沿折线运动，到达点时停止；点沿运动，到达点时停止，它们运动的速度都是每秒个单位长度．设运动秒时， ∴当时，， 如图，作于，于点， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴，此时为二次函数； 当点运动到点时，点运动到点时，此时点停止运动，点在上运动，的面积不变，始终为； 当点运动到点，点在上运动时，如图： 此时，， ∴，此时为一次函数； 故选：C． 14．（24-25九年级下·浙江衢州·自主招生）如图，，是抛物线上两点，点为的中点，过点作轴的垂线，交抛物线于点，．设，两点的横坐标分别为，．则的值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了二次函数的性质以及完全平方公式的应用，熟练掌握中点坐标公式和完全平方公式是解题的关键．先根据中点坐标公式求出点的横坐标，进而得到点和的纵坐标，再根据列出方程，最后利用完全平方公式求出的值． 【规范解答】解：∵，，点是的中点， ∴点的横坐标为，纵坐标为． ∵过作轴的垂线交抛物线于， ∴的横坐标为，纵坐标为． ∵， ∴． ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 15．（24-25九年级下·安徽亳州·阶段练习）一个函数的图象关于轴成轴对称图形时，我们称该函数为“偶函数”．若二次函数是“偶函数”，该函数的图象与轴交于点和点，顶点为，则的面积是 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了二次函数综合，根据题意可得二次函数关于y轴对称，则对称轴为y轴，根据对称轴计算公式可推出函数解析式，进而可求出点A，点B和点P的坐标，再根据列式求解即可． 【规范解答】解：∵二次函数是“偶函数”， ∴二次函数关于y轴对称， ∴二次函数的对称轴为y轴， ∴， ∴， ∴二次函数的解析式为， ∴顶点P的坐标为， 在中，当时，， ∴（不妨设点A在点B左边）， ∴， 故答案为：． 16．（25-26九年级下·云南曲靖·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点，与轴交于点，点为抛物线上一动点，若的面积为，则点的坐标为 ． 【答案】或或或． 【思路点拨】本题考查了二次函数的图象和性质、待定系数法求解析式和抛物线上点的坐标和特征，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键． 利用待定系数法求出函数解析式，再根据三角形面积求出P点的纵坐标，进而由函数解析式求出横坐标． 【规范解答】解：依题意得： ，解得：， ∴抛物线解析式为：， ∵，， ∴， 令得，解得，； 令得，解得，． 所以P坐标为或或或． 17．（25-26九年级下·广东广州·阶段练习）如图，一名同学推铅球，铅球出手后行进过程中离地面的高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足函数关系，已知铅球落地时的水平距离为．则铅球出手时离地面的高度是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了二次函数的应用，根据铅球落地时的水平距离为，可得点的坐标是，把点的坐标代入，求出，可得抛物线的解析式是，当时，对应的函数值就是高度． 【规范解答】解：铅球落地时的水平距离为， 点的坐标是， 把点的坐标代入， 可得：， 解得：， 抛物线的解析式是， 当时，可得：， 铅球出手时离地面的高度是． 故答案为：． 18．（2025·安徽淮南·二模）在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线（，，为常数，且）与轴交于，两点，与轴交于点，对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式； (2)已知横坐标分别为，的两个动点，均在线段上（不包括端点，），且，求的最小值； (3)若是第四象限内抛物线上的一点，横坐标为，过点作轴的平行线交直线于点，交轴于点，当时，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【思路点拨】（1）将点的坐标代入解析式，结合对称轴代入公式即可求得； （2）利用坐标表示，然后利用二次函数的性质求的最小值； （3）利用点的坐标表达线段长度，再利用线段表达面积，最后利用求出的值 【规范解答】解：（1）由题意得解得 抛物线的表达式为． （2）如图，过点作轴于点，过点作轴于点，过点作于点． 设， 解得： 即：直线的函数表达式为． 由题意，得点，，其中， ，， ， 当时，取最小值为． （3）如图，当时；， 解得：， 即：点， 点，，，其中， ． ，， ， ． ，， ， 解得，（舍去）， 的值为． 19．（2025·浙江丽水·二模）定义：若点满足，则称该点为“k倍点”．已知二次函数（c为常数）． (1)当时，求出该函数图像上的“二倍点”坐标； (2)若该函数图像上存在唯一的“二倍点”，求c的值； (3)在的范围内，若二次函数的图像上至少存在一个“三倍点”，求c的取值范围． 【答案】(1)或 (2) (3) 【思路点拨】题目主要考查关于二次函数的新定义题型，理解题意，熟练掌握运用二次函数的性质是解题关键． （1）根据题意设这个“二倍点”坐标为，代入求解计算即可； （2）设这个“二倍点”坐标为，根据题意列出方程求解即可； （3）由题意得，三倍点所在的直线为，将在的范围内，二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”，转化为在的范围内，二次函数与x轴至少有一个交点，即可求解． 【规范解答】（1）解：当时，， 设这个“二倍点”坐标为， 代入得：， 解得：或， ∴或， ∴“二倍点”坐标为或； （2）解：设这个“二倍点”坐标为， 代入得：， 整理得：， ∵存在唯一的“二倍点”， ∴， 解得：； （3）解：由题意得，三倍点所在的直线为， ∵在的范围内，二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”， ∴在的范围内，二次函数和至少有一个交点， 令，整理得，， 则，解得； 设，开口向上， 对称轴为， 使得在之间与x轴至少有一个交点， ∴在的最小值为：当时，， 最大值为：当时，， ∴， 解得：． 20．（24-25九年级下·重庆沙坪坝·月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图像与一次函数 的图像交于A，B两点，已知． (1)求抛物线的表达式； (2)点C是直线上方抛物线上的一动点，连接．点M，N是y轴上的两动点（M在N上方），且满足 ，连接，当 的面积取得最大值时，求的最小值； (3)当（2）中取得最小值时，将点N向下平移1个单位得到点P，将该抛物线沿直线的方向平移得到新抛物线 ，Q为新抛物线的顶点，在平移过程中，是否存在以A，B，Q为顶点的三角形和 全等?若存在，请直接写出所有满足条件的点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不存在，理由见详解 【思路点拨】（1）根据一次函数图象的性质得到，把点的坐标代入二次函数，运用待定系数法即可求解； （2）设，结合二次函数图象得到的面积，利用二次函数最值的计算得到，根据造桥问题的最短路径的计算方法：作点关于轴的对称点，则，连接，将向下平移个单位，即点重合，得到，则，连接，交轴于点，此时的线段最短，即的值最小，由两点坐标距离公式即可得到的值，由此即可求解； （3）根据题意得到直线的解析式为，则，则，根据全等三角形的判定和性质，轴对称图形的性质，平行四边形的性质，结合图形，分类讨论即可求解． 【规范解答】（1）解：一次函数 中，当时，，当时，， ∴，则直线于坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形， ∴， ∵抛物线的图像与一次函数 的图像交于A，B两点，已知， ∴， 解得，， ∴抛物线的表达式为； （2）解：点C是直线上方抛物线上的一动点， ∴设， 如图所示，过点作轴，交于点， ∴， ∴， ∴， ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴，即， 如图所示，作点关于轴的对称点，则，连接，则，将向下平移个单位，即点重合，得到，则，连接，交轴于点，此时的线段最短，即的值最小， ∴， ∴的最小值为， ∴， ∴的最小值为； （3）解：存在，所有满足条件的点 Q 的坐标为或，理由如下， ∵，设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， 当时，，即， ∵将点N向下平移1个单位得到点P， ∴， ∴，， ， ∵抛物线的表达式为， ∴顶点坐标为， 如图所示，作点关于的对称点，连接交于点，则，此时，以A，B，Q为顶点的三角形和 全等， ∴抛物线沿直线的方向平移得到的新抛物线 ，若新抛物线 过点则满足条件， ∵， ∴， 在中，， ∴，即是等腰直角三角形， 根据轴对称的性质得到是等腰直角三角形，则， 由（1）可知， ∴，即轴， ∴，即新抛物线的顶点坐标为， ∴，即原抛物线的向右平移个单位，向下平移个单位得到的新抛物线的顶点，但不符合沿方向平移，故舍去； 如图所示，当四边形是平行四边形时，以A，B，Q为顶点的三角形和 全等， ∴抛物线沿直线的方向平移得到的新抛物线 ，若新抛物线 过点则满足条件， 设，且，，， ∴， 解得，， ∴，即新抛物线的顶点坐标为， ∵，即原抛物线的向右平移个单位，向下平移个单位得到的新抛物线的顶点，但不符合沿方向平移，故舍去， 综上所述，不存在点 Q ，以A，B，Q为顶点的三角形和 全等． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5.5 用二次函数解决问题 （知识梳理+15个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共55题） 【原卷版】 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：根据实际问题列二次函数关系式 2 知识点梳理02：二次函数的应用 2 知识点梳理03：二次函数综合题 2 优选题型 考点讲练 3 题型1：图形问题(实际问题与二次函数) 3 题型2：图形运动问题(实际问题与二次函数) 4 题型3：拱桥问题(实际问题与二次函数) 5 题型4：销售问题(实际问题与二次函数) 6 题型5：投球问题(实际问题与二次函数) 7 题型6：喷水问题(实际问题与二次函数) 9 题型7：增长率问题(实际问题与二次函数) 10 题型8：其他问题(实际问题与二次函数) 10 题型9：线段周长问题(二次函数综合) 11 题型10：面积问题(二次函数综合) 12 题型11：角度问题(二次函数综合) 13 题型12：特殊三角形问题(二次函数综合) 14 题型13：特殊四边形(二次函数综合) 16 题型14：相似三角形问题(二次函数综合) 17 题型15：其他问题(二次函数综合) 19 中考真题 实战演练 20 难度分层 拔尖冲刺 22 基础夯实 22 培优拔高 24 知识点梳理01：根据实际问题列二次函数关系式 根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定． ①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是二次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题． ②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式． 知识点梳理02：二次函数的应用 （1）利用二次函数解决利润问题 在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围． （2）几何图形中的最值问题 几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论． （3）构建二次函数模型解决实际问题 利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题． 知识点梳理03：二次函数综合题 （1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题 解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项． （2）二次函数与方程、几何知识的综合应用 将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件． （3）二次函数在实际生活中的应用题 从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义． 题型1：图形问题(实际问题与二次函数) 【典例精讲】（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，一个边长为10的正方形，被2条平行于一组对边的直线，和2条平行于另一组对边的直线分成9个矩形，若中间矩形（标有“中”字样）的周长为10，则四个角落的矩形（阴影部分）面积之和的最大值为 ． 【变式训练】（24-25九年级下·陕西宝鸡·阶段练习）如图，为加强新时代中学生的劳动教育，培养学生的动手实践能力．某校生物兴趣小组用长为的篱笆，一面靠墙围成中间隔有一道篱笆的矩形菜园．当的长度为多少时，围成的菜园面积最大？求出此时菜园面积的最大值． 题型2：图形运动问题(实际问题与二次函数) 【典例精讲】（2025·安徽芜湖·二模）如图，为正方形的中心，分别为的中点，，点从点出发沿方向匀速运动，同时点从点出发沿方向匀速运动，两点运动速度相等，当点运动到点时，两点同时停止运动．设点运动的路程为的面积为，则随变化的函数图象大致是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（2024九年级下·广东·专题练习）综合运用 在中，，D为边上一点，，动点P以每秒1个单位长度的速度从点C出发，在三角形的三边上沿匀速运动，到达点A时停止，以为边作正方形．设点P的运动时间为，正方形的面积为S，试探究S与t的关系． (1)如图1，当点P由点C运动到点B时，求S关于t的函数表达式． (2)当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象．请根据图象信息，求S关于t的函数表达式及线段的长． (3)若存在3个时刻，，（）对应的正方形的面积均相等． ①求的值； ②当时，求正方形的面积． 题型3：拱桥问题(实际问题与二次函数) 【典例精讲】（2025·陕西·中考真题）某景区有一座美丽的彩虹桥，它的部分截面示意图如图所示，桥，钢缆均呈抛物线型，线段为桥面，线段为立柱，关于所在直线对称．的最低点到的距离为，到的距离为．以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系、 (1)求所在抛物线的函数表达式； (2)现要悬挂两条灯带来增加夜景效果，均与垂直，点分别在上，点在上，点到的距离均为．已知所在抛物线的函数表达式为，求这两条灯带的总长． 【变式训练】（2025·陕西·二模）圆弧形拱桥和抛物线形拱桥是常见的拱桥结构．坐落在河北省赵县洨河上的赵州桥的主桥拱便是圆弧形，北京八景之一“卢沟晓月”中卢沟桥的主桥拱可以近似看作抛物线． (1)如图1左图，甲桥主桥拱是圆弧形，已知跨度，拱顶C到水面的距离为，求这座桥主桥拱的半径； (2)如图1右图，乙桥的主桥拱是抛物线形，若水面宽，拱顶P到水面的距离为，按照如图2所示的方式建立平面直角坐标系，求桥拱所在抛物线的解析式； (3)在图1的基础上，某时刻桥拱和桥拱的桥下水位均上升了，求此时两桥的水面宽度； (4)如图3，将桥拱所在抛物线设为L，L在x轴下方部分与桥拱在平静水面中的倒影组成一个新函数图象．将新函数图象向右平移个单位长度，平移后的函数图象在时，y的值随x值的增大而减小，结合函数图象，直接写出满足条件的整数m的值． 题型4：销售问题(实际问题与二次函数) 【典例精讲】（25-26九年级上·广东广州·阶段练习）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件；每件可盈利40元．为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，商场采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件降价1元，商场平均每天可多售出2件．设每件衬衫降价元． (1)降价后每件衬衫利润为___________元，平均每天可售出___________件． (2)该商场平均每天最多盈利多少元？盈利最多时应降价多少元？ 【变式训练】（2025·云南·模拟预测）随着母亲节的临近，鲜切花市场迎来又一高峰，在被誉为“亚洲花都”的云南斗南花卉市场，鲜切花供货量维持高位运转并逐步上涨，母亲节的拉动效应在康乃馨这一品类上体现得尤为突出．某花店销售商在昆明国际花卉拍卖交易中心10天全部售完，根据记录的数据发现，该康乃馨每天的销售量y(单位：把)与销售时间x(单位：天)(x为整数)之间的关系式为，销售价p(单位：元/把)与销售时间x(单位：天)之间的关系如图所示． (1)求p与x之间的函数关系式； (2)求日销售额的最大值． 题型5：投球问题(实际问题与二次函数) 【典例精讲】（2024·天津·模拟预测）如图所示，足球从距离地面5米处的空中沿x轴方向抛射，在距离初始发射位置米处第一次落地，经地面反弹后，在米时第二次达到最大高度3米，此后足球第二次落地，已知整个过程足球的运动轨迹都是抛物线，根据图中的信息，回答以下问题： (1)当_____米时，足球距离地面的高度最大；当_____米时，足球第二次落地； (2)当足球距离地面的高度小于2米时，位置x的范围是________． 【变式训练】（2025·河南·模拟预测）投掷实心球是2025年辉县市中考体育终结性考试项目，一名男生在投掷实心球时，得到一条抛物线，实心球的行进高度（米）与水平距离x（米）之间的函数关系如图所示，已知掷出时起点处高度为米，当水平距离达到米时，实心球行进至最高点，此时的行进高度为米． (1)求关于的函数表达式； (2)根据2025辉县市中考体育考试评分标准男生，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于米时，此项考试得分为满分分；请你按此评分标准，判断该生在此项考试中是否得满分，并说明理由． (3)实心球运动的抛物线经过，两点，且，分别位于对称轴两侧，若在两点之间的部分图象中，函数最大值与最小值的差为，求的值． 题型6：喷水问题(实际问题与二次函数) 【典例精讲】（2024·湖北襄阳·模拟预测）年月日，商业首航完成中国民航商业运营国产大飞机正式起步时分航班抵达北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”寓意“接风洗尘”，是国际民航中高级别的礼仪如图，在一次“水门礼”的预演中，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱近似看作形状相同的抛物线的一部分如图，当两辆消防车喷水口A，的水平距离为米时，两条水柱在抛物线的顶点处相遇此时相遇点距地面米，喷水口A，距地面均为米若两辆消防车同时后退米，两条水柱的形状及喷水口，到地面的距离均保持不变，求此时两条水柱相遇点距地面多少米． 【变式训练】（2025·陕西咸阳·二模）某小区花园里安装了一个喷泉，在地面上垂直安装了一根高为的喷水管，由喷头A喷出的抛物线型水柱在与喷水管的水平距离为处达到最高，此时水柱与地面距离为．小区管理人员为提升喷泉的视觉效果，计划对该喷泉装置进行改造．如图，在水柱方向与喷水管距离的C处对应安装一个垂直于地面的落水回喷台，水柱从回喷台中心B处落入，再从B处向喷水管方向回喷抛物线型水柱，其中抛物线的开口大小和方向与抛物线相同，且在距离地面处达到最高，线段表示地面，以，所在直线分别为x轴，y轴，建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式及点B的坐标； (2)若小区管理人员计划在地面上修建一个以O为圆心，半径为的圆形水池．请判断抛物线型水柱是否会落入该圆形水池内，并说明理由． 题型7：增长率问题(实际问题与二次函数) 【典例精讲】（2025·上海·模拟预测） 某公司去年的销售额为万元，预计未来三年的销售额增长率将按照二次函数的模型增长．设增长率为，时间（年）为，假设增长率函数模型为．根据市场分析，今年（第一年）的增长率为，明年（第二年）的增长率为，那么第三年的增长率为 ． 【变式训练】（2025·上海闵行·一模）某印刷厂10月份印书20万册，如果第四季度从11月份起，每月的印书量的增长率都为，如果设12月份比10月份多印了万册，那么关于的函数解析式是 ．（不写定义域） 题型8：其他问题(实际问题与二次函数) 【典例精讲】（2025·广东·模拟预测）一天放学后，妈妈带小丽到面馆去吃牛肉面，爱思考的小丽仔细观察盛面的碗，如图1，她发现面碗的轴截面（不包含碗足部分）可以近似看成是抛物线的一部分．小丽从书包里拿出刻度尺、笔和本，向服务员借来一个空的面碗，把面碗正放在桌面上，对面碗进行了简单的测量，并根据测量数据画出面碗的轴截面，如图2，面碗的上口径，碗底直径，面碗的边沿上一点B到桌面的距离，碗足高．小丽又进一步建立以所在直线为x轴，以碗的中轴线（面碗的上下两个底面圆的圆心所在直线）m为y轴的平面直角坐标系（如图3）． (1)请你帮助小丽求出碗的轴截面所在抛物线的函数解析式； (2)小丽向空面碗中倒入一些水，当水面与桌面的距离为时，求此时面碗中水面的宽度． 【变式训练】（24-25九年级下·全国·期末）设计师将它的外轮廓设计成如图①所示的图形．它是由线段，线段，曲线，曲线围成的封闭图形，且，在x轴上，曲线与曲线关于y轴对称．已知曲线是以C为顶点的抛物线的一部分，其函数解析式为：（p 为常数，）． (1)当时，求曲线的函数解析式． (2)如图②，用三段塑料管，，围成一个一边靠岸的矩形荷花种植区，，分别在曲线，曲线上，，在轴上． 记米时所需的塑料管总长度为，米时所需的塑料管总长度为．若，求的取值范围． 当与的差为多少时，三段塑料管总长度最大？请你求出三段塑料管总长度的最大值． 题型9：线段周长问题(二次函数综合) 【典例精讲】（25-26九年级上·江西南昌·阶段练习）如图，抛物线经过，两点． (1)求此抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上有一点P，使得值最小，求最小值以及此时点P的坐标； 【变式训练】（25-26九年级下·山东临沂·阶段练习）如图，已知抛物线的顶点为，抛物线与轴交于点，与轴交于、两点，点是抛物线对称轴上的一个动点． (1)求此抛物线的解析式． (2)求、两点坐标及的面积． (3)求点P的坐标，使的周长最小． 题型10：面积问题(二次函数综合) 【典例精讲】（23-24九年级下·四川内江·阶段练习）如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过A、C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)D是第二象限内抛物线上的动点，求四边形面积的最大值及此时D点的坐标； (3)若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，使以点B、C、P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式训练】（25-26九年级下·山西大同·阶段练习）如图，抛物线经过坐标原点，且与轴相交于点． (1)求点的坐标； (2)若点在抛物线上，且，求点的坐标． 题型11：角度问题(二次函数综合) 【典例精讲】（2025·广东东莞·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点，且点在点的左侧，与轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图，直线与轴交于点，与轴交于点，动点为抛物线第一象限上的一点，于点， 轴交于点，求的周长的最大值，及此时点的坐标； (3)如图，连接，将原抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，使平移后的新抛物线经过点，新抛物线与x轴的另一交点为点，请问在新抛物线上是否存在一点，使得？若存在，则直接写出点的坐标；若不存在，则说明理由． 【变式训练】（2024·山西·模拟预测）如图，已知二次函数与x轴交于A、B两点，点A的坐标为，且与y轴交于点C，直线经过点C，与x轴交于点D． (1)求二次函数的解析式； (2)点E是图中的抛物线上的一个动点，设点E的横坐标为，求的面积的最大值及此时点E的坐标． (3)在抛物线上是否存在点P，使，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由． 题型12：特殊三角形问题(二次函数综合) 【典例精讲】（2024·湖北·三模）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且，P是第一象限内抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P关于直线的对称点恰好落在直线上，求点P的坐标； (3)动点M，N在直线上，其横坐标分别为m，，设的面积为S，若，设点P的横坐标为t，求t的取值范围． 【变式训练】（2024·广东·模拟预测）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，且．直线与抛物线交于、两点，与轴交于点，点是抛物线的顶点，设直线上方的抛物线上的动点的横坐标为． (1)求该抛物线的解析式及顶点的坐标． (2)连接，直接写出线段与线段的数量关系和位置关系． (3)连接、，当为何值时？ (4)在直线上是否存在一点，使为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 题型13：特殊四边形(二次函数综合) 【典例精讲】（2024·江苏无锡·模拟预测）如图1，抛物线与x轴交于点A，与直线交于点，点在y轴上．点P从点B出发，沿线段方向匀速运动，运动到点O时停止． (1)求抛物线的表达式； (2)当时，请在图1中过点P作交抛物线于点D，连接，，判断四边形的形状，并说明理由； (3)如图2，点P从点B开始运动时，点Q从点O同时出发，以与点P相同的速度沿x轴正方向匀速运动，点P停止运动时点Q也停止运动．连接，，求的最小值． 【变式训练】（2024·广东广州·模拟预测）已知抛物线∶，抛物线的顶点为． (1)求抛物线顶点的纵坐标；（用含的式子表示） (2)若抛物线与轴交于位于原点异侧的两点和，且，若两点间的距离不大于6． ①求抛物线的顶点的纵坐标的取值范围； ②若抛物线与轴交于点C，的外接圆与轴交于点D，是否存在四边形为平行四边形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 题型14：相似三角形问题(二次函数综合) 【典例精讲】（23-24九年级上·山东·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点，点P为x轴下方抛物线上一点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，当点P的横坐标为2时，D为直线上一点，的周长为7是否成立，若成立，请求出D点坐标，若不成立，请说明理由； (3)若直线与y轴交于点M，直线与抛物线交于点Q，连接与y轴交于点H，求的值． 【变式训练】（2025·江苏苏州·二模）【问题背景】 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于、B两点，交y轴于点C，抛物线对称轴交x轴于点D，抛物线与双曲线交于点，把点P绕点D顺时针旋转得到的对应点为Q． 【构建联系】 （1）分别求出抛物线和双曲线的解析式，并说明点Q是否在双曲线上． （2）如图2，双曲线与抛物线对称轴交于点E，连接，，求证：． 【深入探究】 （3）如图3，连接、，将绕着点旋转得到，其中点、分别是、两点的对应点，在旋转的过程中，当与重叠部分恰好是一个点时，求出此时点的坐标． 题型15：其他问题(二次函数综合) 【典例精讲】（25-26九年级下·内蒙古乌兰察布·月考）如图，抛物线：过点，顶点为Q．抛物线：（其中t为常数，且），顶点为P． (1)直接写出a的值和点Q的坐标． (2)嘉嘉说：无论t为何值，将的顶点Q向左平移2个单位长度后一定落在上． 淇淇说：无论t为何值，总经过一个定点． 请选择其中一人的说法进行说理． (3)当时， ①求直线的解析式； ②作直线，当l与的交点到x轴的距离恰为6时，求l与x轴交点的横坐标． 【变式训练】（2025·山东滨州·中考真题）在平面直角坐标系中，已知点在抛物线上． (1)求抛物线的顶点坐标； (2)点在抛物线上，若点N到y轴的距离小于4，请直接写出b的取值范围． (3)把直线向下平移个单位长度后与抛物线的两个交点都在第四象限，求n的取值范围． 1．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，直线与抛物线相交于、两点，若，则的值为 ．    2．（2024·江苏南通·中考真题）已知二次函数的图象与y轴交于点A，过点A的直线与二次函数的图象交于另一点B（B在A的右侧），点在直线下方的二次函数图象上（包括端点A，B），若n的最大值与最小值的和为1，则点B的横坐标为 ． 3．（2024·江苏南京·中考真题）如图，正方形的边长为，动点P，Q同时从点A出发，在正方形的边上，分别按，的方向，都以的速度运动，到达点C处运动终止．连接，设运动时间为，的面积为，则下列图象中能大致表示y与x的函数关系的是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·江苏无锡·中考真题）如图，正方形的顶点A，C在抛物线上，点D在y轴上．若A，C两点的横坐标分别为m，n，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（2024·江苏宿迁·中考真题）“母亲节”期间，某校部分团员参加社会公益活动，准备购进一批许愿瓶进行销售，并将所得纯收入捐给慈善机构，许愿瓶的进价为5元/个，根据市场调查，若每个许愿瓶的售价不超过10元，每天可销售300个；若每个许愿瓶售价超过10元，每提高1元，每天的销售量就会减少30个，此次公益活动每天的基本活动费用（不含许愿瓶成本）为500元，为了便于结算，每个许愿瓶的售价（x元）取正整数，每天销售这种许愿瓶的纯收入为（W元）．（注：纯收入销售额成本基本活动费用） (1)当每个许愿瓶不超过10元时，请直接写出W与x的函数关系式： ．当每个许愿瓶超过10元时，请直接写出W与x的函数关系式： ． (2)若为了既能更多的吸引顾客并扩大公益活动的宣传效果，使每天的销售额增大，又能获得最高纯收入，则每个许愿瓶的售价应定为多少元时可以满足要求？此时最大纯收入是多少元？ 基础夯实 1．（24-25九年级下·山西·阶段练习）在中考体育训练期间，小童对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度（米）与水平距离（米）之间的关系式为，由此可知小童此次实心球训练的成绩为（    ） A．6米 B．7米 C．8米 D．9米 2．（2025·四川巴中·中考真题）从地面竖直向上抛出一小球，小球高度与小球运动时间之间的关系式是．有下列结论： ①小球运动时间是时，高度为； ②小球运动中高度可以是； ③当时，高度h随着时间t的增大而减小． 其中正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（24-25九年级下·吉林长春·阶段练习）某商场购进一批文创商品，进价为每件20元．当售价为每件28元时，每周可卖出160件；售价每降低1元，每周销量增加20件，设每件售价为x元，每周利润为y元，y与x的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·甘肃酒泉·一模）用总长为米的篱笆围成矩形的场地，矩形的面积随矩形的一边长的变化而变化，则当是 时，场地的面积最大？ 5．（2025·青海西宁·一模）某车刹车距离与开始刹车时的速度之间的函数关系式为，这辆汽车以的速度行驶，在前方处停放一辆故障车，此时刹车 有危险（填“会”或“不会”）． 6．（2024·广东·模拟预测）当用发射器（发射器的高度忽略不计）将一个小球从地面竖直向上抛时，小球距离地面的高度h和时间t满足函数关系式：（不计空气阻力），当小球达到最高点时，时间t的值为 ． 7．（2023·山东·中考真题）要修一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心，水管高度应为 ． 8．（25-26九年级上·山东德州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，与x轴交于点A、B（点A在点B左侧）． (1)求二次函数的解析式及顶点坐标； (2)求B点的坐标，并求出的面积． 9．（24-25九年级下·福建福州·月考）A公司电商平台，在2024年国庆期间举行了商品打折促销活动，经市场调查发现，周销售量（件）与售价（元/件）之间的函数图象如图所示． (1)求关于的函数解析式； (2)若该商品进价为30元/件，当售价为多少元时，周销售利润最大？并求出此时的最大利润． 10．（2025·陕西西安·模拟预测）春节将至，为营造节日氛围，幸福小区物业准备在小区主通道上悬挂灯带，通道两侧有立柱，物业在通道的上方拉了笔直的水平钢丝，钢丝两边固定在立柱上，悬挂的灯带为抛物线形，灯带的最低点距离钢丝米．以钢丝为x轴，左侧立柱为y轴，钢丝与立柱的固定点为原点建立直角坐标系（如图所示）． (1)小青设计的方案，把灯带的一端固定在钢丝与立柱的固定点O，另一端固定在钢丝上的点A处，米，求出此时抛物线的表达式． (2)小玲设计的方案，把灯带的一端固定在钢丝上的点B处，米，另一端固定在立柱上的C处，为了美观，灯带的最低点和小青设计的相同（顶点相同），求出O与C的距离． 培优拔高 11．（2025·安徽淮南·二模）如图，为线段上一点（不包括端点），四边形和四边形均为矩形，三点在同一条直线上，三点在同一条直线上，，，记矩形和矩形的面积分别为，．设，，则关于的函数图象为（    ） A． B． C． D． 12．（25-26九年级上·安徽淮北·月考）小明受二次函数的图象启发，为某葡萄酒大赛设计了一款杯子．如图所示的是杯子的设计稿，若，，则杯子的高CE为（    ） A．3 B．5 C．7 D．11 13．（24-25九年级下·湖南邵阳·阶段练习）如图，直角梯形的边在轴上，O为坐标原点，垂直于轴，，．若动点、同时从点O出发，点沿折线运动，到达点时停止；点沿运动，到达点时停止，它们运动的速度都是每秒个单位长度．设运动秒时，的面积为（平方单位），则关于的函数图象大致为（　　） A． B． C． D． 14．（24-25九年级下·浙江衢州·自主招生）如图，，是抛物线上两点，点为的中点，过点作轴的垂线，交抛物线于点，．设，两点的横坐标分别为，．则的值为 ． 15．（24-25九年级下·安徽亳州·阶段练习）一个函数的图象关于轴成轴对称图形时，我们称该函数为“偶函数”．若二次函数是“偶函数”，该函数的图象与轴交于点和点，顶点为，则的面积是 ． 16．（25-26九年级下·云南曲靖·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点，与轴交于点，点为抛物线上一动点，若的面积为，则点的坐标为 ． 17．（25-26九年级下·广东广州·阶段练习）如图，一名同学推铅球，铅球出手后行进过程中离地面的高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足函数关系，已知铅球落地时的水平距离为．则铅球出手时离地面的高度是 ． 18．（2025·安徽淮南·二模）在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线（，，为常数，且）与轴交于，两点，与轴交于点，对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式； (2)已知横坐标分别为，的两个动点，均在线段上（不包括端点，），且，求的最小值； (3)若是第四象限内抛物线上的一点，横坐标为，过点作轴的平行线交直线于点，交轴于点，当时，求的值． 19．（2025·浙江丽水·二模）定义：若点满足，则称该点为“k倍点”．已知二次函数（c为常数）． (1)当时，求出该函数图像上的“二倍点”坐标； (2)若该函数图像上存在唯一的“二倍点”，求c的值； (3)在的范围内，若二次函数的图像上至少存在一个“三倍点”，求c的取值范围． 20．（24-25九年级下·重庆沙坪坝·月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图像与一次函数 的图像交于A，B两点，已知． (1)求抛物线的表达式； (2)点C是直线上方抛物线上的一动点，连接．点M，N是y轴上的两动点（M在N上方），且满足 ，连接，当 的面积取得最大值时，求的最小值； (3)当（2）中取得最小值时，将点N向下平移1个单位得到点P，将该抛物线沿直线的方向平移得到新抛物线 ，Q为新抛物线的顶点，在平移过程中，是否存在以A，B，Q为顶点的三角形和 全等?若存在，请直接写出所有满足条件的点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $