专题5.3-5.4 用待定系数法确定二次函数解析式、二次函数与一元二次方程（知识梳理+11个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共58题）-2025-2026学年苏科版数学九年级下册同步培优精编讲练

专题5.3-5.4 用待定系数法确定二次函数解析式、二次函数与一元二次方程 （知识梳理+11个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共58题） 【解析版】 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：二次函数解析式常见有以下几种形式 ： 2 知识点梳理02：用待定系数法求二次函数解析式的步骤 2 知识点梳理03：二次函数与一元二次方程的关系 2 知识点梳理04：利用二次函数图象求一元二次方程的近似解 4 知识点梳理06：抛物线与不等式的关系 5 优选题型 考点讲练 6 题型1：待定系数法求二次函数解析式 6 题型2：根据二次函数图象确定相应方程根的情况 9 题型3：求抛物线与x轴的交点坐标 12 题型4：求抛物线与y轴的交点坐标 15 题型5：已知二次函数的函数值求自变量的值 16 题型6：抛物线与x轴的交点问题 19 题型7：求x轴与抛物线的截线长 21 题型8：图象法确定一元二次方程的近似根 25 题型9：图象法解一元二次不等式 27 题型10：利用不等式求自变量或函数值的范围 30 题型11：根据交点确定不等式的解集 34 中考真题 实战演练 37 难度分层 拔尖冲刺 41 基础夯实 41 培优拔高 46 知识点梳理01：二次函数解析式常见有以下几种形式 ： (1) 一般式：(a，b，c为常数，a≠0)； (2)顶点式：(a，h，k为常数，a≠0)； (3)交点式：(，为抛物线与x轴交点的横坐标，a≠0)． 知识点梳理02：用待定系数法求二次函数解析式的步骤 第一步，设：先设出二次函数的解析式，如或， 或，其中a≠0； 第二步，代：根据题中所给条件，代入二次函数的解析式中，得到关于解析式中待定系数的方程(组)； 第三步，解：解此方程或方程组，求待定系数； 第四步，还原：将求出的待定系数还原到解析式中． 特别说明： 在设函数的解析式时，一定要根据题中所给条件选择合适的形式：①当已知抛物线上的三点坐标时，可设函数的解析式为；②当已知抛物线的顶点坐标或对称轴或最大值、最小值时．可设函数的解析式为；③当已知抛物线与x轴的两个交点(x1，0)，(x2，0)时，可设函数的解析式为． 知识点梳理03：二次函数与一元二次方程的关系 1.二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况 　　求二次函数(a≠0)的图象与x轴的交点坐标，就是令y＝0，求中x的值的问题．此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与x轴的交点的个数，它们的关系如下表： 判别式 二次函数 一元二次方程 图象 与x轴的交点坐标 根的情况 △＞0 抛物线与x轴交于，两点，且， 此时称抛物线与x轴相交 一元二次方程 有两个不相等的实数根 △＝0 抛物线与x轴交切于这一点，此时称抛物线与x轴相切 一元二次方程 有两个相等的实数根 △＜0 抛物线与x轴无交点，此时称抛物线与x轴相离 一元二次方程 在实数范围内无解（或称无实数根） 【易错点拨】 　　 二次函数图象与x轴的交点的个数由的值来确定的. 　 (1)当二次函数的图象与x轴有两个交点时，，方程有两个不相等的实根； 　　(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点时，，方程有两个相等的实根； 　　(3)当二次函数的图象与x轴没有交点时，，方程没有实根. 2.抛物线与直线的交点问题 抛物线与x轴的两个交点的问题实质就是抛物线与直线的交点问题．我们把它延伸到求抛物线(a≠0)与y轴交点和二次函数与一次函数的交点问题． 抛物线(a≠0)与y轴的交点是(0，c)． 抛物线(a≠0)与一次函数(k≠0)的交点个数由方程组的解的个数决定． 当方程组有两组不同的解时两函数图象有两个交点； 当方程组有两组相同的解时两函数图象只有一个交点； 当方程组无解时两函数图象没有交点． 总之，探究直线与抛物线的交点的问题，最终是讨论方程(组)的解的问题． 【易错点拨】 求两函数图象交点的问题主要运用转化思想，即将函数的交点问题转化为求方程组解的问题或者将求方程组的解的问题转化为求抛物线与直线的交点问题． 知识点梳理04：利用二次函数图象求一元二次方程的近似解 　　用图象法解一元二次方程的步骤： 1.作二次函数的图象，由图象确定交点个数，即方程解的个数； 2. 确定一元二次方程的根的取值范围．即确定抛物线 与x轴交点的横坐标的大致范围； 3. 在(2)确定的范围内，用计算器进行探索.即在(2)确定的范围内，从大到小或从小到大依次取值，用表格的形式求出相应的y值． 4.确定一元二次方程的近似根．在(3)中最接近0的y值所对应的x值即是一元二次方的近似根． 【易错点拨】 　　求一元二次方程的近似解的方法（图象法）： 　(1)直接作出函数的图象，则图象与x轴交点的横坐标就是方程的根； 　(2)先将方程变为再在同一坐标系中画出抛物线和直线图象交点的横坐标就是方程的根； 知识点梳理05：抛物线与x轴的两个交点之间的距离公式 当△＞0时，设抛物线与x轴的两个交点为A(，0)，B(，0)，则、是一元二次方程的两个根．由根与系数的关系得，． ∴ 即 （△＞0） 知识点梳理06：抛物线与不等式的关系 二次函数(a≠0)与一元二次不等式(a≠0)及(a≠0)之间的关系如下： 判别式 抛物线与x轴的交点 不等式的解集 不等式的解集 △＞0 或 △＝0 （或） 无解 △＜0 全体实数 无解 注：a＜0的情况请同学们自己完成． 【易错点拨】 抛物线在x轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是不等式的解集；在x轴下方的部分点的纵坐标都为负，所对应的x的所有值就是不等式的解集．不等式中如果带有等号，其解集也相应带有等号． 题型1：待定系数法求二次函数解析式 【典例精讲】（2025·浙江丽水·二模）已知二次函数（a，b为常数，）的图象经过点． (1)求二次函数的表达式； (2)若时，，求m的取值范围； (3)若时，y的最大值为，求n的值． 【答案】(1) (2) (3) 【思路点拨】本题考查二次函数的表达式求解、给定区间下函数值的范围以及区间内最大值问题． (1)利用待定系数法求解析式； (2)通过分析函数图像和不等式确定m的范围； (3)通过区间位置讨论最大值存在条件，并解方程求n的值． 【规范解答】（1）解：∵二次函数的图象经过点， ∴代入得： ， 即， 解得， ∴二次函数的表达式为． （2）解：∵， ∴函数最小值为，且当时，，当时，． ∵时，，且恒成立， ∴只需，即， 即， ∴， ∴， 又∵， ∴m的取值范围为． （3）解：∵， ∵， 当时，函数在区间上递减，最大值在处， ∴， 设最大值为， ∴， 即， 解得或， ∵， ∴； 当时，函数的最大值在处，同理解得或，不符合题意舍去； 当时，函数的最大值不存在； 当时，即，函数在递增，函数的最大值不存在， 综上，． 【变式训练1】（2024九年级下·浙江·学业考试）如图，已知二次函数 图象经过原点 ，且与轴交于点 ．    (1)求该二次函数的表达式及其图象的顶点坐标； (2)若将该二次函数的图象向上平移 个单位长度后，图象的顶点落在 轴与函数 的图象之间 （不含边界），请直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【思路点拨】（）利用待定系数法求出解析式，再把解析式转化为顶点式可求出顶点坐标； （）由平移可得平移后抛物线顶点坐标为，把代入，得，进而根据题意可得，解不等式即可求解； 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的平移，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【规范解答】（1）解：由题意得，， 解得 ， ∴二次函数的表达式为， ∵， ∴顶点坐标为； （2）解：把二次函数的图象向上平移 个单位长度后，顶点坐标为， 把代入，得， ∵平移后图象的顶点落在 轴与函数的图象之间（不含边界）， ∴， ∴ ． 【变式训练2】（2024·云南曲靖·模拟预测）已知抛物线，点，． (1)求该抛物线的对称轴与顶点坐标；（用含c的式子表示） (2)若抛物线与线段只有一个公共点，求c的取值范围． 【答案】(1)该抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为 (2)当或时，抛物线与线段只有一个公共点 【思路点拨】本题考查二次函数一般式化为顶点式，抛物线与直线的交点； （1）通过配方将抛物线一般式化为顶点式，即可求出对称轴和顶点坐标； （2）数形结合从图上观察抛物线与线段的交点个数，当抛物线顶点在的线段上时符合题意，当抛物线在经过B点和经过A点之间的时候，但不包正好经过B点的时候也符合题意，据此即可求解. 【规范解答】（1）解：将抛物线的一般式化为顶点式得： ， ∴该抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为 （2）解：∵，， ∴线段与x轴平行， ∵抛物线与线段只有一个公共点， 如图所示，抛物线对称轴为直线，抛物线的位置会随着参数c的变化而上下移动 ①当抛物线顶点在线段上，此时抛物线与线段只有一个交点 即 解得 ②当抛物线顶点向上移动，使得抛物线经过B点时 将B点代入解析式得 解得，此时抛物线与线段有两个交点，抛物线从此位置再向上移动与线段就只有一个交点了 ③当抛物线向上移动经过A点时 将A点代入解析式得 解得，此时抛物线与线段只有一个交点，从此位置再向上移动，抛物线将与线段没有交点 综上所述：当抛物线在①位置时和在②位置、③位置之间但不包括②位置本身时抛物线与线段只有一个交点 即或时抛物线与只有一个交点 题型2：根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【典例精讲】（2024·湖北·三模）抛物线与x轴交于点，对称轴为，与y轴的交点在，之间（不包含端点），则下列结论：①；②；③若点，在抛物线上，则；④关于x的方程必有一实根大于2．其中结论正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 根据题意可得，再由对称轴为，可得，故①错误；根据，可得，再由与y轴的交点在，之间（不包含端点），可得，故②正确；根据二次函数图象的增减性可得，故③正确；根据题意可得直线经过和两点，当时，二次函数的值，从而得到直线上与抛物线必有一交点的横坐标大于2，故④正确． 【规范解答】解：抛物线与x轴交于点，对称轴为，与y轴的交点在，之间（不包含端点）， ∴抛物线开口向下， ∴． ∵对称轴为， ∴， ∴，故①错误； ∵， ∴， ∴， ∵与y轴的交点在，之间（不包含端点）， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵，对称轴为，且点M离对称轴的距离比点N离对称轴的距离小，且， ∴，故③正确； 对于抛物线，由对称性得：当时，， 对于， 当时，，当时，， ∴直线经过和两点， ∵， ∴抛物线解析式为， 当时，， ∵， ∴， 即当时，二次函数的值， ∴直线与抛物线必有一交点的横坐标大于2，故④正确． 故选C． 【变式训练1】（25-26九年级下·广东揭阳·阶段练习）已知对于任意实数a，关于x的方程总有两个不相等的实数根，直线与x轴、y轴相交于A、B两点，则的面积为整数值的三角形个数有 个． 【答案】15 【思路点拨】此题考查了一元二次方程根的判别式、一次函数的性质和三角形面积公式的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识，进行正确地计算、讨论、求解． 运用一元二次方程根的判别式、一次函数的性质和三角形面积公式等知识进行求解． 【规范解答】解：∵关于的方程，总有两个不相等的实数根， ∴ ， 关于的二次函数的图象在x轴上方， ， 解得， 直线与轴交于，与轴交于， ，， ， 且， ，故 ， 的面积为整数值的三角形个数有15个， 故答案为：15． 【变式训练2】（23-24九年级下·江苏盐城·期末）已知二次函数的图象如图所示，则一元二次方程的解是 ． 【答案】， 【思路点拨】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数（a，b，c是常数，）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．先根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一个交点坐标为，然后根据抛物线与x轴的交点问题可得到方程的解． 【规范解答】解：∵抛物线的对称轴为直线，抛物线与x轴的一个交点坐标为， 抛物线与x轴的一个交点坐标与对称轴距离为：． ∴根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标：． ∴抛物线与x轴的一个交点坐标为． 即或2时，． ∴一元二次方程的解为，． 故答案为：，． 题型3：求抛物线与x轴的交点坐标 【典例精讲】（24-25九年级下·福建·开学考试）如图，抛物线与x轴相交于点A，B（点A在B的左侧），与y轴相交于点C，直线经过点B、C． (1)求直线的函数关系式； (2)当时，请直接写出x的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【思路点拨】本题主要考查了一次函数和二次函数的结合，函数的图象和性质，利用待定系数法求函数解析式，通过图象交点求不等式的解集等内容，解题的关键是掌握两个函数的图象和性质． （1）利用二次函数的解析式求出点的坐标，再利用待定系数法求函数解析式即可； （2）通过函数图象的交点得出不等式的解集即可． 【规范解答】（1）解：由抛物线解析式得， 当时，， ∴， 当时，， 解得， ∴， 将和代入得， ， 解得 ∴直线的函数关系式为； （2）解：如图所示， 由图象可得，当时，或． 【变式训练1】（25-26九年级下·山西朔州·阶段练习）如图，抛物线与轴交于点A，顶点B在轴的正半轴上，连接，若是等腰直角三角形，则的值为 ． 【答案】1 【思路点拨】本题考查了抛物线与坐标轴的交点，求出A、B的坐标，从而求出，根据是等腰直角三角形即可求出a． 【规范解答】解：由图象可知，抛物线的开口向上，则中的， 令，则， ∴，， 令，则， ∴，则， ∵是等腰直角三角形，， ∴， 故答案为：1． 【变式训练2】（2024·广东茂名·模拟预测）已知二次函数的图象与轴交于、两点（n为正整数），则的值是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查二次函数与轴的交点、一元二次方程的解法以及简便运算． 在中，令，得，，不妨设，，代入计算即得． 【规范解答】在中， 令， 则． 解方程， 得，． ∵、是方程的两个根， 不妨设，． ∴，． ∴ ． 故答案为：． 题型4：求抛物线与y轴的交点坐标 【典例精讲】（24-25九年级下·江西赣州·期中）已知二次函数，则该二次函数图象与轴交点坐标为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了二次函数与y轴的交点坐标问题，掌握与y轴的交点坐标的横坐标为0是解题的关键．将代入二次函数求解即可． 【规范解答】解：将代入二次函数中，则， 故二次函数与y轴的交点坐标为． 故答案为：． 【变式训练1】（24-25九年级下·全国·期末）抛物线与轴的交点坐标是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，求出时，的值即可得到抛物线与轴的交点坐标，根据轴上点的横坐标为求出交点的纵坐标是解题的关键． 【规范解答】解：当时，， ∴抛物线与轴的交点坐标是， 故答案为：． 【变式训练2】（24-25九年级下·湖南常德·阶段练习）已经抛物线与x轴的交点为A、B，与y轴的交点为C (1)求A、B、C三点的坐标； (2)若该抛物线的顶点为P，求的面积． 【答案】(1)，，； (2)． 【思路点拨】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的顶点坐标． （1）令，则，计算求解可得、B点的坐标；令，则，可得C点的坐标； （2）由，可得顶点，利用三角形面积公式计算求解即可． 【规范解答】（1）解：令，则， 解得，， ∴，， 令，则， ∴； （2）解：∵， ∴顶点， ∴． 题型5：已知二次函数的函数值求自变量的值 【典例精讲】（2025·安徽·模拟预测）已知关于x的方程的一个根比1大且另一个根比1小，则a的取值范围正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查二次函数与一元二次方程，可以利用二次函数的图象与性质分析判断即可． 【规范解答】解：设， ∵， ∴抛物线开口向上， ∵关于x的方程的一个根比1大且另一个根比1小， ∴当时，函数值， ∴， 对于一元二次方程，解得，， ∴， 故选：A． 【变式训练1】（24-25九年级下·贵州六盘水·阶段练习）已知二次函数（，为常数）的图象经过点，对称轴为直线． (1)求二次函数的表达式； (2)若点向下平移个单位长度，向右平移个单位长度后，恰好落在的图象上，求的值； (3)当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【思路点拨】（1）依据题意，将点代入，再由对称轴，即可求解二次函数关系式； （2）依据题意，先求出平移后点的坐标，然后把点的坐标代入二次函数的解析式即可； （3）依据题意，分为，，时，分别建立方程求解即可． 【规范解答】（1）解：∵二次函数 （，为常数）的图象经过点，对称轴为直线， ∴， 解得：， ∴二次函数的表达式为； （2）∵将点向下平移个单位长度，向右平移个单位长度， ∴点平移后的点的坐标为， ∵点平移后恰好落在的图象上， ∴， ∴或（负值不符合题意，舍去）， ∴的值为； （3）∵二次函数的对称轴为直线， ∴该二次函数的图象开口向下，当时，函数取得最大值， 又∵当时，二次函数的最大值与最小值的差为， 当时，最大值与最小值的差为， 解得：（不符合题意，舍去）； 当时，最大值与最小值的差为，符合题意； 当时，最大值与最小值的差为， 解得：或（均不符合题意，舍去）； 综上所述，的取值范围为． 【变式训练2】（24-25九年级下·安徽芜湖·自主招生）已知函数．当时，记的最小值为． (1)求的表达式； (2)是否存在，使得？若存在，求出；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【思路点拨】（）分和两种情况解答即可； （）根据（）的结果，由列出方程解答即可求解； 本题考查了复合函数的有关问题，理解题意是解题的关键． 【规范解答】（1）解：， ①当时，在时为增函数， ∴在时的最小值为； ②当时，； 综上所述，； （2）解：由（）知，当时，， ∴当时，， 由得，， 即， 整理得，， 解得或， 又∵， ∴， 即存在，使得成立． 题型6：抛物线与x轴的交点问题 【典例精讲】（2025·青海西宁·一模）下列哪一个函数，其图象与轴有两个交点（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了二次函数与轴交点个数问题，能够选用合适的方法来判断是解题的关键． 由在轴上的点纵坐标为0，故看当时，所得方程是否有实数根即可判断． 【规范解答】解：A．当时，方程无实数根，所以该函数与轴没有交点，故该选项不符合题意； B．当时，方程无实数根，所以该函数与轴没有交点，故该选项不符合题意； C．当时，方程无实数根，所以该函数与轴没有交点，故该选项不符合题意； D．当时，方程有两个不相等的实数根，所以该函数与轴有两个交点，故该选项符合题意． 故选D． 【变式训练1】（2025·江苏镇江·一模）在直角坐标系中，若三点中恰有两点在抛物线（且a，b均为常数）的图象上，以下列结论： ①抛物线的对称轴是直线 ；  ②抛物线与x轴的交点坐标是和； ③ 当时，关于x的一元二次方程有两个实数根； ④若和都是抛物线上的点且，则． 上述结论中正确的结论 （填写序号） 【答案】①④ 【思路点拨】本题考查抛物线与x轴的交点、根的判别式、二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征，可以数形结合根据题意画出相关的草图，充分掌握求二次函数的对称轴及交点坐标的方法． 利用待定系数法可得抛物线经过点A和点C，其解析式为，故①正确；令，可得抛物线与x轴的交点坐标是和，故②错误；利用一元二次方程根的判别式，可得，故③错误；根据抛物线与x轴的交点坐标是和，且抛物线开口向上，可得，故④正确． 【规范解答】解：∵三点中恰有两点在抛物线的图像上， ∴分三种情况讨论： 当抛物线图象经过点A和点B时，将分别代入， 得， 解得，不符合题意； 当抛物线图象经过点B和点C时，将分别代入， 得 ，此时方程组无解； 当抛物线图象经过点A和点C时，将分别代入， 得 ，解得       ∴点A和点C在抛物线的图象上． ∴ ∴抛物线的对称轴是直线，①正确． 当时， ∴ ∴抛物线与x轴的交点坐标是和，②错误． 当即，有两个实数根时，， ∴， ∴，③错误． ∵抛物线与x轴交于点和，且其图象开口向上，若和都是抛物线上的点，且，得． ∴④正确． ∴①④正确． 故答案为：①④ 【变式训练2】（2024九年级下·浙江·学业考试）设二次函数（，是实数）的图象过点，下列说法错误的是（   ） A．该函数图象的对称轴为直线 B．当时，随的增大而减小 C．当时， D．当时，该函数图象与轴一定有交点 【答案】B 【思路点拨】本题考查了二次函数的性质．由题意求得，对称轴为直线，利用二次函数的性质逐一判断即可． 【规范解答】解：∵二次函数（，是实数）的图象过点， ∴， ∴， ∴对称轴为直线，故A正确； ∵， ∴当时，，故C正确； 当时，，该函数图象与轴一定有交点，故D正确； 只有当时，才有“当时，随的增大而减小”，故B错误， 故选：B． 题型7：求x轴与抛物线的截线长 【典例精讲】（24-25九年级下·湖北武汉·阶段练习）定义为函数的特征数，下面给出特征数为的函数的一些结论： ①当时，函数图象的顶点坐标是； ②无论为何值，函数图象一定经过同一个点． ③当时，函数在时，随的增大而减小； ④当时，函数图象截轴所得的线段长度大于； 其中正确的结论是 ．（填序号） 【答案】①②④ 【思路点拨】此题考查二次函数的性质，顶点坐标，两点间的距离公式，以及二次函数图象上点的坐标特征. ①把代入，求得，求得解析式，利用顶点坐标公式解答即可；②根据特征数的特点，直接得出的值，进一步验证即可解答；③首先求得对称轴，利用二次函数的性质解答即可；④令函数值为，求得与轴交点坐标，利用两点间的距离公式解决问题. 【规范解答】解：①当时，特征数为， ∴ 函数图象的顶点坐标是：故①正确； ②当时，即 对任意，函数图象都经过点，故②结论正确； ③当时，是一个开口向下的抛物线，其对称轴是：，在对称轴的右边随的增大而减小.因为当时，，即对称轴在右边，因此函数在右边先递增到对称轴位置，再递减，故③错误； ④当时，令，有， 解得， ∴， 所以当时，函数图象截轴所得的线段长度大于故④正确； 故答案为：①②④． 【变式训练1】（2025·辽宁·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，过点与轴平行的直线交抛物线于点、，则的长为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了抛物线与坐标轴的交点，求线段长，根据抛物线与轴交于点，先求得，进而将代入，求得的坐标，即可求解． 【规范解答】∵抛物线与y轴交于点， 当时， ∴点坐标为． 当时，，解得， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式训练2】（24-25九年级下·北京·阶段练习）已知抛物线． (1)若，求抛物线与轴的两个交点之间的距离． (2)已知点和点是抛物线上的两点． ①直接写出的值； ②若对于任意的，直线与抛物线有两个交点和，且当时，总有．结合图象，求的取值范围． 【答案】(1) (2)①；② 【思路点拨】本题考查了二次函数与坐标轴的交点，二次函数的图象与性质，以及函数图象交点与一元二次方程的关系，数形结合是解答本题的关键． （1）把代入，然后令求解即可； （2）①由顶点坐标可知，即可求出的值；②画出函数图象，结合图象求出h的临界值即可． 【规范解答】（1）解：把代入，得 ， 当时，， 解得， ∴， ∴物线与轴的两个交点之间的距离为； （2）解：①∵， ∴抛物线顶点坐标为， ∵点在抛物线上， ∴， ∴； ②∵抛物线顶点坐标为， ∴顶点在直线上移动． 如图1，当与抛物线的交点在对称轴的右侧时，当时，不总有，故不符合题意； 如图2，当与抛物线的交点在对称轴上及对称轴的左侧，与抛物线相切时，当时，总有， 把代入，得 ， 解得，即． 由，得 ， ∵与抛物线相切， ∴， 解得， ∴当时，总有，的取值范围是． 题型8：图象法确定一元二次方程的近似根 【典例精讲】（24-25九年级上·河北石家庄·期末）根据下列表格的对应值，判断方程（为常数）的一个解的范围是（   ） x 3.23 3.24 3.25 3.26 0.03 0.09 A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了二次函数与一元二次方程，令，由二次函数的图像与轴的交点横坐标是对应方程的解，判断当时，的图像与轴有一个交点，即可求解． 【规范解答】解：令， 当时，， 当时，， 当时，的图像与轴有一个交点， 方程有一个解的范围是． 故选：C． 【变式训练1】（24-25九年级下·山东淄博·期末）如表是代数式的部分值的情况． 1.1 1.2 1.3 1.4 －0.59 0.84 2.29 3.76 根据表格中的数据，则关于方程的一个正根的判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查利用二次函数的图象估算一元二次方程的近似解，根据抛物线与x轴的交点的左右两边的函数值的符号为一正一负，即可得出结果． 【规范解答】解：由表格可知：时，， 当时，， ∴当，存在一个x的值使， ∴关于x的方程的一个解x的范围是； 故选：B． 【变式训练2】（2025·吉林长春·模拟预测）如图是抛物线的图象，结合图象，可知方程有 个实数根． 【答案】3 【思路点拨】本题考查函数与方程的关系，根据函数图象交点的个数即为两解析式联立方程的解得个数解答即可． 【规范解答】解：在同一平面直角坐标系中作出与的图象，结合图像可得有三个交点， ∴方程有3个实数根． 故答案为：3． 题型9：图象法解一元二次不等式 【典例精讲】（24-25九年级下·河北保定·阶段练习）“不等式在上恒成立”的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查了一元二次不等式恒成立问题，涉及到分类讨论思想和一元二次方程判别式的应用．当时，当时，两种情况进行讨论，即可解答． 【规范解答】解：①当时，原不等式变为，即， ∴不能在上恒成立，不合题意， ∴； ②当时，不等式是一元二次不等式， 对于一元二次函数， 当时，函数图象开口向上，要使恒成立，即函数图象在轴上方， ∴需要满足判别式， 由不等式，得，，， ∴， 即， 解得：， 当时，二次项系数，二次函数的图象开口向下，必然存在实数使得不满足不等式，在上恒成立． 综上可得：． 故选：A． 【变式训练1】（2025·青海西宁·三模）已知二次函数与x轴的一个交点为，其对称轴为直线，其部分图象如图所示，有下列5个结论：①，②；③；④若关于x的方程有两个实数根，，且满足则；⑤直线经过点，则关于x的不等式的解集是．其中正确结论的个数为 ． 【答案】4 【思路点拨】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数与不等式等知识．数形结合是解题的关键． 由题意知，图象开口向下，即，对称轴为直线，则，，当时，，可得，可判断①的正误；图象与轴有两个交点，则有两个不相等的实数根，即，可判断②的正误；将代入得，，可判断③的正误；由题意知，关于对称轴对称的点坐标为，则关于x的方程的两个实数根，为图象交点的横坐标，如图1，由图象可知，，；可判断④的正误；由，可知过点，如图2，由图象可知，关于x的不等式，即的解集为，可判断⑤的正误． 【规范解答】解：由题意知，图象开口向下，即， 对称轴为直线，则， ∴， 当时，， ∴，①正确，故符合要求； 图象与轴有两个交点，则有两个不相等的实数根，即，②错误，故不符合要求； 将代入得，，③正确，故符合要求； 由题意知，关于对称轴对称的点坐标为， ∵关于x的方程的两个实数根，为图象交点的横坐标，如图1， 由图象可知，，；④正确，故符合要求； ∵， ∴过点，如图2， ∴关于x的不等式，即的解集为，⑤正确，故符合要求； ∴正确结论的个数为4个， 故答案为：4． 【变式训练2】（24-25九年级下·河北保定·阶段练习）一元二次不等式的解集为R，则必有（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了用函数角度求解一元二次不等式的解集问题，根据一元二次不等式解集为全体实数的条件，可转化为抛物线开口向下且与x轴无交点． 【规范解答】解：对于不等式的解集为R，抛物线必须开口向下（即），且与x轴无交点（即判别式）． 此时抛物线始终位于x轴下方，所有实数x均满足不等式． 选项B满足且， 故选：B． 题型10：利用不等式求自变量或函数值的范围 【典例精讲】（2025·云南丽江·一模）在学习了函数的有关知识后，小强同学对函数的图象和性质进行了探究． (1)当时， ①把图中的图象补充完整，并写出一条该函数的性质； ②如果关于x的方程有四个解，请直接写出对应m的取值范围． (2)在平面直角坐标系中，若某点的横、纵坐标均为整数，则称此点为“整点”，将过点平行于x轴的直线记为p，函数图象与p所围区域（不包含边界）记为Q，当Q中恰好有个“整点”时，求a的取值范围． 【答案】(1)①见详解，性质：图象关于直线对称（答案不唯一）；② (2)或 【思路点拨】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数图象求自变量的范围，解题关键是掌握二次函数的图象与性质． （1）①当时，可得到和，分别得出对称轴，与坐标轴的交点，再补全函数图象，写出一条性质；②方程有四个解，将代入，得到，结合图象求得m的取值范围是； 分、两种情况讨论，结合函数图象，分别求出a的取值范围． 【规范解答】（1）解：①当时，， 和， ∴两函数对称轴均为直线， 令，得， 解得，， 又的顶点坐标为， ∴和的图象在x轴和x轴上方， 补全的图象如图所示． 图象的性质：图象关于直线对称；当或时，y随着x的增大而增大等． ②方程有四个解，即， 从图象上看，就是直线与函数的图象有四个交点，所以m的取值范围是 （2）分两种情况讨论： ①当时，区域Q为函数的图象与直线围成的封闭区域，若在此区域内存在10个“整点”，由Q关于直线对称，故“整点”也呈对称分布，对称轴每侧各五个“整点”． （ⅰ）如果对称轴右侧的“整点”为，，，，，其呈“刀把型”，如图所示． 当时，， 当时，． 由图象得，．解得． （ⅱ）如果对称轴右侧“整点”为，，，，，其呈T型，如图所示． 当时，， 当时，． 由图象得，．解得． ②当时，与p围成的封闭区域中，“整点”分布以为中心，两边呈对称展开，如图所示，所以“整点”数均为奇数，封闭区域Q内“整点”数不存在恰好为个的情况． 综上所述，或． 【变式训练1】（24-25九年级下·河北保定·阶段练习）当时，不等式恒成立，则k的取值范围是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次不等式的关系．先将变形为，再分三种情况利用二次函数的性质解答即可． 【规范解答】解： ， ∴当时，恒成立， 当时，即对应的二次函数在范围内其图象在轴下方， ∴二次函数的图象关于对称， ∵， ∴二次函数的图象开口向上，且时，有最大值， ∴，解得：， ∴； 当时，即对应的二次函数在范围内其图象在轴下方， ∵， ∴二次函数的图象开口向下， ∴，解得：， ∴； 当时，恒成立； 综上，k的取值范围是． 故答案为：． 【变式训练2】（24-25九年级下·浙江宁波·开学考试）已知二次函数的图象经过点． (1)求的值； (2)若点和点均在该抛物线上，当时，请你比较的大小关系； (3)若，点在该抛物线上，若点到轴的距离小于2，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【思路点拨】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数图象上点的特征是解题的关键． （1）把点代入二次函数求解即可； （2）由（1）知，二次函数为，点和点代入二次函数，对作差比较即可； （3）由可得二次函数为，且，当，最小值为，即可得到的取值范围． 【规范解答】（1）解：二次函数的图象经过点， ， 解得：； （2）解：由（1）知，二次函数为， ，， ， ， ， ， 即； （3）解： ， 二次函数为， 点在该抛物线上，若点到轴的距离小于2， ， 当时，， 当时，， 当时，最小值， 的取值范围． 题型11：根据交点确定不等式的解集 【典例精讲】（24-25九年级下·上海·自主招生）的最大值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了一元二次方程根的判别式的意义，二次函数与不等式；设，，则，整理得出关于一元二次方程，根据判别式得出不等式，进而求得的最大值，即可求解． 【规范解答】解：设，， ∴， 即， 整理得， 当，即时，方程为，解得，有实数解，符合题意； 当时，该方程为关于t的一元二次方程，需满足， ∴ ， ∵，， ∴， 解得：， ∴的最大值为． 故答案为：． 【变式训练1】（2024·浙江·模拟预测）如图，已知一次函数的图象与二次函数的图象交于原点和点． (1)求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标； (2)当 时，请根据图象直接写出 的取值范围． 【答案】(1) ，顶点坐标为 (2) 【思路点拨】本题主要考查了求函数解析式、二次函数的性质、二次函数与不等式等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）把代入可得，即；再利用待定系数法即可求得二次函数的解析式，再根据二次函数的性质确定顶点坐标即可； （2）直接根据函数图象即可解答． 【规范解答】（1）解：把代入，即，解得：， 把，代入， 得，解得： ， ∴ ， ∴顶点坐标为． （2）解：当时，一次函数的图象在二次函数的图象的上方，即图象所对x的取值范围为；即的解集为． 【变式训练2】（2025·山东济南·模拟预测）若二次函数的图象与轴交于，两点，且满足，，则下列说法错误的是（   ） A． B．抛物线开口向上 C．当时，的取值范围为 D．关于的方程的一个解小于 【答案】C 【思路点拨】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数与方程的关系是解题的关键．由二次函数与方程的关系可知，是方程的两个根，利用根与系数的关系即可判断A、B；利用抛物线的对称性及增减性可判断C；利用抛物线与直线交点的情况即可判断D． 【规范解答】解：∵二次函数的图象与轴交于，两点， ∴，是方程的两个根， ∴，，故A选项说法正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴， ∴抛物线开口向上，故B选项说法正确，不符合题意； ∵的对称轴为直线， 当时，， ∴时，， ∴当或时，，故C选项说法错误，符合题意； ∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增小， ∵时，，时，， 故直线与抛物线的交点在轴的上方， ∴关于的方程的一个解小于，故D选项说法正确，不符合题意； 故选：C． 1．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，已知抛物线过A，B，C三点，点A的坐标为，点B的坐标为，且，则此抛物线的表达式为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式．先得到，，则，再利用得到，可得到C点坐标为，设二次函数的解析式为，把C点坐标代入可求出a的值为，代入求解即可． 【规范解答】解：∵点A的坐标为，点B的坐标为， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴C点坐标为， 设二次函数的解析式为， 把代入得， 解得， ∴二次函数的解析式为． 故答案为：． 2．（2024·江苏无锡·中考真题）已知一抛物线的形状与的形状相同，对称轴为，且与x轴的两交点之间的距离为2，则此抛物线的解析式是 ． 【答案】或 【思路点拨】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，根据题意确定与x轴的交点坐标，设出抛物线解析式为，根据抛物线的形状与抛物线相同即可确定a的值，从而求出解析式． 【规范解答】解：∵对称轴是直线，且与x轴的两交点之间的距离为2， ∴由对称性可知，与x轴的交点分别为，， 设抛物线解析式为， ∵抛物线的形状与抛物线相同， ∴， ∴抛物线解析式为， 即抛物线解析式为或． 3．（2024·江苏常州·中考真题）若抛物线与轴有两个交点，则k的取值范围是 ． 【答案】且 【思路点拨】本题考查抛物线与x轴的交点问题．该抛物线与轴有两个交点，则方程有两个不相等的实数根，可得且，进而可得答案． 【规范解答】解：∵抛物线与轴有两个交点， ∴， 解得且， 故答案为：且． 4．（2024·江苏盐城·中考真题）已知抛物线 （a，b，c是常数，）经过点，其中．下列结论： ①关于x的一元二次方程一定有一个根是小于的实数； ②； ③若关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，则 ④当时，y随x的增大而减小； 其中正确的结论是 ．（填写序号） 【答案】②④ 【思路点拨】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，根据抛物线开口向上，与轴交于正半轴，位于第四象限，画出大致函数图象，再结合函数图象分析即可． 【规范解答】解：∵抛物线 （a，b，c是常数，）， ∴抛物线开口向上，与轴交于正半轴， ∵点，其中． ∴位于第四象限， ∴抛物线 （a，b，c是常数，）的大致图象如下： 由函数图象可得，关于x的一元二次方程的根都是正数，一定不会有一个根是小于的实数，故结论①错误； 对称轴在轴右边，即，由可得，故结论②正确； 根据图象发现，与有两个不同的交点，即关于x的一元二次方程 一定有两个不相等的实数根，不可能有两个相等的实数根，故结论③错误； 将点坐标代入得，， ∴， ∴对称轴， ∵，， ∴， ∴， ∴当时，y随x的增大而减小，故结论④成立； 故答案为：②④． 5．（2024·江苏徐州·中考真题）已知抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴交于，两点，若，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了二次函数的图像与性质，二次函数与x轴的交点，根据二次函数的开口方向，与x轴的交点数，判断出函数的单调性，对称性，逐项判断即可． 【规范解答】解：抛物线对称轴为直线，与轴交于，两点， ，B两点关于对称， ，即， ， ，故A正确，不符合题意； 抛物线与轴有两个交点， ，故B正确，不符合题意； 当时，， ，对称轴为直线，点 且， 时，，故C错误，符合题意； 当时，， ，抛物线在时，y随x的增大而减小， 当时，， 又， ，故D正确，不符合题意， 故选：C． 基础夯实 1．（2025九年级上·浙江·专题练习）一个二次函数图象的顶点坐标是，且过另一点，则这个二次函数的解析式为(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】主要考查待定系数法求二次函数的解析式．当知道二次函数的顶点坐标时通常使用二次函数的顶点式来求解析式．顶点式：． 设抛物线的表达式为，将代入上式，即可求解； 【规范解答】解：∵抛物线的顶点坐标是， ∴设抛物线的表达式为，其中， 将代入上式，得 ， 解得， 故抛物线的表达式为． 故选C． 2．（25-26九年级上·湖北十堰·阶段练习）抛物线与x轴的一个交点坐标为，则它与x轴的另外一个交点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了二次函数的图象和性质，抛物线的对称性．先根据二次函数的解析式求出抛物线的对称轴，再利用对称性即可找出抛物线与轴的另一交点坐标． 【规范解答】解：∵抛物线的对称轴为直线，且抛物线与轴的一个交点为， ∴抛物线与轴的另一交点坐标为． 故选：A． 3．（24-25九年级上·河北沧州·阶段练习）如图，一次函数与二次函数的图象相交于两点，则关于的不等式的解集为（　　） A． B． C． D．或 【答案】D 【思路点拨】本题考查了一次函数与二次函数的交点问题，找出一次函数图象位于二次函数图象下方对应的自变量的取值范围即可求解，掌握数形结合思想是解题的关键． 【规范解答】解：由函数图象可知，当或时，一次函数图象位于二次函数图象下方，即， ∴不等式的解集为或， 故选：． 4．（22-23九年级下·天津红桥·月考）若抛物线与x轴有两个交点，则k的取值范围为 ． 【答案】/ 【思路点拨】本题考查二次函数图象与轴交点问题．抛物线与轴有两个交点，即对应二次方程有两个不相等的实数根，判别式需大于零，再进一步求解即可． 【规范解答】解：∵抛物线 与轴有两个交点， ∴二次方程 有两个不相等的实数根， ∴， 解得：． 故答案为： ． 5．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）抛物线与轴交于点，与轴交于点，，则线段长是 ． 【答案】4 【思路点拨】本题主要考查了二次函数的图象与轴的交点，根据抛物线与轴的一个交点是点 ，求出的值，再求出抛物线与轴的交点坐标，从而计算线段 的长度． 【规范解答】解： 抛物线 与 轴交于点 ， 把点 的坐标代入 ， 可得： ， 抛物线解析式为 ， 令 ， 可得方程： ， 因式分解得：， 解得：，， 抛物线与 轴交于点 和 ， 点 和点 均在 轴上， 线段 的长度为 ． 故答案为： 4． 6．（25-26九年级上·广东广州·阶段练习）如图，抛物线与直线相交于点和点，点，的横坐标分别为和，则当时，的取值范围为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了二次函数与不等式，根据抛物线图像在直线图像上方部分对应的范围即为，从而求解，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【规范解答】解：∵点，的横坐标分别为和， ∴根据图像可知当时，的取值范围为， 故答案为：． 7．（2025·江西吉安·二模）已知二次函数关于x轴对称的图象经过点，则a的值为 ． 【答案】2 【思路点拨】本题考查了坐标与图形变化——轴对称，利用待定系数法求二次函数表达式．二次函数图象上的点的坐标都满足函数关系式，掌握以上知识是解题的关键． 由题意可知二次函数的图象经过点，再将代入求解即可． 【规范解答】∵二次函数关于x轴对称的的图象经过点， ∴二次函数的图象经过点， 将点代入，得， 整理得， 解得． 故答案为：2． 8．（25-26九年级上·江西宜春·阶段练习）已知二次函数的图象经过点． (1)求该二次函数图象的顶点坐标． (2)当时，求的值． 【答案】(1)顶点坐标为 (2) 【思路点拨】本题考查了二次函数的图象与性质， （1）二次函数图象经过点和利用待定系数法求解确定解析式，化为顶点式即可得； （2）将代入函数解析式，即可求解． 【规范解答】（1）解：∵二次函数图象经过点和， ∴， 解得，， ∴二次函数的解析式为， ， ∴二次函数图象的顶点坐标为； （2）解： 将代入得， ． 9．（25-26九年级上·浙江·课后作业）已知二次函数． (1)当时，求函数的值； (2)当函数值为2时，求自变量x的值． 【答案】(1)2 (2)或 【思路点拨】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数上点的坐标特征，解题的关键是代入后正确的计算， （1）将给定的自变量值代入函数表达式，通过计算即可得到对应的函数值； （2）把给定的函数值代入函数表达式，得到一个关于自变量的一元二次方程，然后通过因式分解等方法求解方程的根，即自变量的值即可． 【规范解答】（1）解：当时，， ∴当时，函数的值为2； （2）解：当时，即， 解得，或， ∴当函数值为2时，自变量x的值为或． 10．（25-26九年级上·浙江·阶段练习）抛物线（b，c为常数）的图像过点． (1)求抛物线的解析式； (2)方程的解是_______； (3)当时，y的取值范围是_______． 【答案】(1) (2) (3) 【思路点拨】本题主要考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键． （1）把点A、B坐标代入进行求解即可； （2）由（1）可令进行求解即可； （3）由函数性质可知，二次函数图像开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，然后根据二次函数的增减性可进行求解． 【规范解答】（1）解：抛物线（b，c为常数）的图像过点， ∴， 解得， ∴； （2）解：二次函数， ∴当时，， ∴， 解得，； 故答案为：； （3）解：由函数性质可知，二次函数图像开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为， 在时，随的增大而增大， 当时，；当时，； ∴此时函数值的范围为； 在时，随的增大而减小， 当，则；当时，； 此时函数值的范围为； 综上所述，当时，y的取值范围是， 故答案为：． 培优拔高 11．（25-26九年级上·天津·阶段练习）如图所示是抛物线的部分图像，其顶点坐标为，且与x轴的一个交点在点和之间，则下列结论：①；②；③；④（m为任意实数）．其中正确的结论个数是（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【思路点拨】本题考查二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系，掌握相关知识是解决问题的关键．由图象开口方向判断出的正负，由对称轴和开口方向得出的正负，由抛物线与轴的交点判断的正负，由抛物线与轴交点的个数确定，再结合抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与轴的一个交点在点和之间，进行逐项分析，即可作答． 【规范解答】解：①抛物线开口向下， ， 对称轴直线， 即， 抛物线交的正半轴， ， ， 所以①错误； ②抛物线与轴的一个交点在点和之间，而抛物线的对称轴为直线， 抛物线与轴的另一个交点在点和之间． 由图象知当时，， ， ， ， 所以②正确； ③抛物线顶点坐标为， 抛物线与直线有唯一一个交点， 即方程有两个相等的实数根， ， ， ， 因此③正确； ④由图象可得时，为最大值， ，即， 所以④错误． 综上所述，正确的结论有②③，共2个， 故选：． 12．（25-26九年级上·江苏南通·月考）对称轴为直线的抛物线（，，为常数，且）如图所示，小明同学得出了以下结论：①，②，③，④，⑤（为任意实数），⑥当时，随的增大而减小．其中结论正确的个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【思路点拨】本题考查了二次函数的图象与性质，由图象可得，抛物线开口向上，与轴交于负半轴，从而可得，，求出，即可判断①；根据抛物线图象与轴有两个交点即可判断②；由图象可得，时，，即可判断③；由图象可得，当时，，即可判断④；由图象可得，当时，二次函数有最小值为，即可判断⑤；由图象可得，当时，随的增大而减小，即可判断⑥；采用数形结合的思想是解此题的关键． 【规范解答】解：由图象可得，抛物线开口向上，与轴交于负半轴， ∴，， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线图象与轴有两个交点， ∴， ∴，故②正确； 由图象可得，时，，故，故③错误； 由图象可得，当时，，故，故④正确； 由图象可得，当时，二次函数有最小值为， ∴为任意实数，，即，故⑤正确； 由图象可得，当时，随的增大而减小，故⑥正确； 综上所述，正确的有①②④⑤⑥，共个， 故选：C． 13．（2025·陕西·模拟预测）已知二次函数（，，为常数，且）的自变量与函数的几组对应值如下表： … … … … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（   ） A．图象的开口向上 B．图象经过第二、三、四象限 C．当时，的值随的值增大而增大 D．图象的对称轴是直线 【答案】D 【思路点拨】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．利用待定系数法求出二次函数的解析式，根据即可判断选项A；根据四个象限内均存在函数图象经过的点，即可判断选项B；根据二次函数的增减性和对称性即可判断选项C、D． 【规范解答】解：将点，和代入二次函数得： ， 解得， 二次函数的解析式为， ， 函数图象的开口向下，故A选项错误，不符合题意； 当时，， 当时，， 函数图象经过点， 位于第一象限， 函数图象经过点， 位于第三象限， 由表格可知，函数图象经过点， 位于第二象限， 函数图象经过点， 位于第四象限， 这个二次函数的图象经过第一、二、三、四象限，故B选项错误，不符合题意； 对称轴为直线 ， ， 当时，的值随的值增大而增大， 当时，的值随的值增大而减小，故C选项错误，不符合题意； D选项正确，符合题意． 故选：D ． 14．（2024·广东·模拟预测）已知二次函数的图象经过点和，则 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查二次函数图象上点的坐标特征．把和代入，可得和，代入计算即可． 【规范解答】解：∵二次函数的图象经过点和， ∴， 解得， ∴ ． 故答案为：． 15．（25-26九年级上·山东济宁·阶段练习）已知二次函数的图象如图所示，有下列4个结论：(①；②；③；④，正确的结论有 个． 【答案】2 【思路点拨】本题考查了二次函数的性质，二次函数的图象，二次函数的最值，二次函数的对称轴，根据图象开口方向，与轴交点及对称轴可判断①；由时，函数有最大值可判断②；由图象与轴的另一个交点在与之间，由此判断③；由二次函数的图象与x轴有两个交点可判断④，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【规范解答】解：∵抛物线开口向下 ∴， ∵对称轴为直线 ∴， ∵抛物线与y轴交于正半轴 ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向下， ∴当时，函数有最大值，即最大值为， ∴当时，， 即，故②错误； ∵抛物线的对称轴为直线，图象与轴的一个交点在与之间， ∴图象与轴另一个交点在与之间， ∴当时， 即，故③正确； 由图象知，二次函数的图象与轴有两个交点， ∴，故④错误． 综上，正确的结论有2个． 故答案为：2． 16．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知抛物线（a，b，c是常数）经过，下列四个结论： ①若此抛物线顶点在第四象限，则； ②若抛物线经过，则对称轴为直线； ③若函数的图象与x轴只有一个公共点，则； ④，点在此抛物线上，且， 若恒有，则或． 其中正确的结论是 （填序号）． 【答案】①② 【思路点拨】本题主要考查二次函数图象与二次函数系数之间的关系，掌握知识点是解题的关键． 逐项分析判断，即可解答． 【规范解答】解：①把点代入，得， ∴， ∵此抛物线顶点在第四象限， ∴， ∴， 故①正确； ②∵抛物线经过，， ∴抛物线对称轴为直线， 故②正确； ③时，与x轴只有一个公共点，此时，故③错； ④∵对称轴为直线， ∴或或时， 恒有， ∴或或．故④错． 综上所述，正确的结论是①②． 故答案为：①②． 17．（2024·江苏宿迁·三模）已知抛物线经过点和点，且对称轴在y轴的左侧，则下列结论：①；②；③抛物线经过点；④关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．其中正确的是 （填写序号）． 【答案】①②④ 【思路点拨】本题主要考查二次函数的图象和性质，一元二次方程．根据题意作出抛物线的示意图，根据图象的性质做出解答即可． 【规范解答】解：由题意作图如下： 由图知，，故①正确； ∵抛物线经过点和点， ∴， ∴，故②正确； ∵对称轴在y轴的左侧， ∴抛物线不经过，故③错误； 由图象知，抛物线与直线有两个交点，故关于x的一元二次方程即有两个不相等的实数根，故④正确； 综上，正确的有①②④． 故答案为：①②④． 18．（2024·北京·三模）在平面直角坐标系中，已知抛物线：． (1)求抛物线的顶点坐标(用含t的代数式表示)； (2)点，在抛物线上，其中， ①若的最小值是，求的最大值； ②若对于都有，直接写出t的取值范围． 【答案】(1) (2)①12；②或 【思路点拨】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数的最值、二次函数与不等式，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）将抛物线的解析式化为顶点式，即可得出抛物线的顶点坐标； （2）①根据二次函数的性质得到抛物线开口向上，对称轴为，结合的范围可知当时，有最小值，则有，再根据二次函数的性质即可求出的最大值；②利用二次函数的性质求出的最大值以及的值，再结合列出关于的不等式，即可求出t的取值范围． 【规范解答】（1）解：， ∴抛物线的顶点坐标为； （2）解：①， ∴抛物线开口向上，对称轴为， ∵， ∴当时，有最小值， ∵的最小值是， ∴， ∴，， ∵，，， ∴当时，有最大值， ∴的最大值为12； ②当时，， ∵，，， ∴当时，有最大值， ∵对于都有， ∴， 解得或； ∴t的取值范围为或． 19．（24-25九年级上·山西临汾·期末）已知二次函数． (1)该二次函数的图像与x轴的交点坐标是 、 ，顶点坐标是 ； (2)在平面直角坐标系中，画出二次函数的图像；（要求至少描出5个格点） (3)当时，结合函数图像，直接写出y的取值范围 ． 【答案】(1)；； (2)见解析 (3) 【思路点拨】本题考查了二次函数的图像和性质，画二次函数图像． （1）把一般式配成顶点式得到抛物线的顶点坐标，分别令求得与坐标轴的交点坐标即可； （2）先确定抛物线与坐标轴的交点坐标，然后利用描点法画出二次函数图像； （3）结合二次函数图像，写出当时对应的y的取值范围． 【规范解答】（1）解：令，则， 解得：， ∴二次函数图像与轴的交点坐标是，， ∵， ∴该二次函数图像顶点坐标为． （2）解：列表： 描点，连线，如图： ． （3）解：由图像可知，当时，． 20．（25-26九年级上·安徽阜阳·阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A，将点A向右平移4个单位长度得到点B，点B恰好也在抛物线上． (1)求m的值． (2)将抛物线沿x轴翻折得到抛物线，求抛物线的顶点坐标． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查了抛物线的性质以及点的平移和翻折变换． （1）先求出点A的坐标，再根据点的平移规律得到点B的坐标，最后将点B的坐标代入抛物线的解析式中，求解m的值； （2）先将抛物线的解析式化为顶点式，得到其顶点坐标，再根据关于x轴对称的点的坐标特征求出抛物线的顶点坐标． 【规范解答】（1）解：对于抛物线，令， 可得， ∴点A的坐标为， ∵点A向右平移4个单位长度得到点B， ∴点B的坐标为， ∵点在抛物线上， ∴，解得． （2）解：由（1）可知，则抛物线的解析式为， 将其化为顶点式：， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵抛物线是抛物线沿x轴翻折得到的， ∴抛物线的顶点坐标为． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5.3-5.4 用待定系数法确定二次函数解析式、二次函数与一元二次方程 （知识梳理+11个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共58题） 【原卷版】 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：二次函数解析式常见有以下几种形式 ： 2 知识点梳理02：用待定系数法求二次函数解析式的步骤 2 知识点梳理03：二次函数与一元二次方程的关系 2 知识点梳理04：利用二次函数图象求一元二次方程的近似解 4 知识点梳理06：抛物线与不等式的关系 5 优选题型 考点讲练 6 题型1：待定系数法求二次函数解析式 6 题型2：根据二次函数图象确定相应方程根的情况 7 题型3：求抛物线与x轴的交点坐标 7 题型4：求抛物线与y轴的交点坐标 8 题型5：已知二次函数的函数值求自变量的值 9 题型6：抛物线与x轴的交点问题 10 题型7：求x轴与抛物线的截线长 10 题型8：图象法确定一元二次方程的近似根 11 题型9：图象法解一元二次不等式 12 题型10：利用不等式求自变量或函数值的范围 13 题型11：根据交点确定不等式的解集 14 中考真题 实战演练 14 难度分层 拔尖冲刺 15 基础夯实 15 培优拔高 17 知识点梳理01：二次函数解析式常见有以下几种形式 ： (1) 一般式：(a，b，c为常数，a≠0)； (2)顶点式：(a，h，k为常数，a≠0)； (3)交点式：(，为抛物线与x轴交点的横坐标，a≠0)． 知识点梳理02：用待定系数法求二次函数解析式的步骤 第一步，设：先设出二次函数的解析式，如或， 或，其中a≠0； 第二步，代：根据题中所给条件，代入二次函数的解析式中，得到关于解析式中待定系数的方程(组)； 第三步，解：解此方程或方程组，求待定系数； 第四步，还原：将求出的待定系数还原到解析式中． 特别说明： 在设函数的解析式时，一定要根据题中所给条件选择合适的形式：①当已知抛物线上的三点坐标时，可设函数的解析式为；②当已知抛物线的顶点坐标或对称轴或最大值、最小值时．可设函数的解析式为；③当已知抛物线与x轴的两个交点(x1，0)，(x2，0)时，可设函数的解析式为． 知识点梳理03：二次函数与一元二次方程的关系 1.二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况 　　求二次函数(a≠0)的图象与x轴的交点坐标，就是令y＝0，求中x的值的问题．此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与x轴的交点的个数，它们的关系如下表： 判别式 二次函数 一元二次方程 图象 与x轴的交点坐标 根的情况 △＞0 抛物线与x轴交于，两点，且， 此时称抛物线与x轴相交 一元二次方程 有两个不相等的实数根 △＝0 抛物线与x轴交切于这一点，此时称抛物线与x轴相切 一元二次方程 有两个相等的实数根 △＜0 抛物线与x轴无交点，此时称抛物线与x轴相离 一元二次方程 在实数范围内无解（或称无实数根） 【易错点拨】 　　 二次函数图象与x轴的交点的个数由的值来确定的. 　 (1)当二次函数的图象与x轴有两个交点时，，方程有两个不相等的实根； 　　(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点时，，方程有两个相等的实根； 　　(3)当二次函数的图象与x轴没有交点时，，方程没有实根. 2.抛物线与直线的交点问题 抛物线与x轴的两个交点的问题实质就是抛物线与直线的交点问题．我们把它延伸到求抛物线(a≠0)与y轴交点和二次函数与一次函数的交点问题． 抛物线(a≠0)与y轴的交点是(0，c)． 抛物线(a≠0)与一次函数(k≠0)的交点个数由方程组的解的个数决定． 当方程组有两组不同的解时两函数图象有两个交点； 当方程组有两组相同的解时两函数图象只有一个交点； 当方程组无解时两函数图象没有交点． 总之，探究直线与抛物线的交点的问题，最终是讨论方程(组)的解的问题． 【易错点拨】 求两函数图象交点的问题主要运用转化思想，即将函数的交点问题转化为求方程组解的问题或者将求方程组的解的问题转化为求抛物线与直线的交点问题． 知识点梳理04：利用二次函数图象求一元二次方程的近似解 　　用图象法解一元二次方程的步骤： 1.作二次函数的图象，由图象确定交点个数，即方程解的个数； 2. 确定一元二次方程的根的取值范围．即确定抛物线 与x轴交点的横坐标的大致范围； 3. 在(2)确定的范围内，用计算器进行探索.即在(2)确定的范围内，从大到小或从小到大依次取值，用表格的形式求出相应的y值． 4.确定一元二次方程的近似根．在(3)中最接近0的y值所对应的x值即是一元二次方的近似根． 【易错点拨】 　　求一元二次方程的近似解的方法（图象法）： 　(1)直接作出函数的图象，则图象与x轴交点的横坐标就是方程的根； 　(2)先将方程变为再在同一坐标系中画出抛物线和直线图象交点的横坐标就是方程的根； 知识点梳理05：抛物线与x轴的两个交点之间的距离公式 当△＞0时，设抛物线与x轴的两个交点为A(，0)，B(，0)，则、是一元二次方程的两个根．由根与系数的关系得，． ∴ 即 （△＞0） 知识点梳理06：抛物线与不等式的关系 二次函数(a≠0)与一元二次不等式(a≠0)及(a≠0)之间的关系如下： 判别式 抛物线与x轴的交点 不等式的解集 不等式的解集 △＞0 或 △＝0 （或） 无解 △＜0 全体实数 无解 注：a＜0的情况请同学们自己完成． 【易错点拨】 抛物线在x轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是不等式的解集；在x轴下方的部分点的纵坐标都为负，所对应的x的所有值就是不等式的解集．不等式中如果带有等号，其解集也相应带有等号． 题型1：待定系数法求二次函数解析式 【典例精讲】（2025·浙江丽水·二模）已知二次函数（a，b为常数，）的图象经过点． (1)求二次函数的表达式； (2)若时，，求m的取值范围； (3)若时，y的最大值为，求n的值． 【变式训练1】（2024九年级下·浙江·学业考试）如图，已知二次函数 图象经过原点 ，且与轴交于点 ．    (1)求该二次函数的表达式及其图象的顶点坐标； (2)若将该二次函数的图象向上平移 个单位长度后，图象的顶点落在 轴与函数 的图象之间 （不含边界），请直接写出的取值范围． 【变式训练2】（2024·云南曲靖·模拟预测）已知抛物线，点，． (1)求该抛物线的对称轴与顶点坐标；（用含c的式子表示） (2)若抛物线与线段只有一个公共点，求c的取值范围． 题型2：根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【典例精讲】（2024·湖北·三模）抛物线与x轴交于点，对称轴为，与y轴的交点在，之间（不包含端点），则下列结论：①；②；③若点，在抛物线上，则；④关于x的方程必有一实根大于2．其中结论正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式训练1】（25-26九年级下·广东揭阳·阶段练习）已知对于任意实数a，关于x的方程总有两个不相等的实数根，直线与x轴、y轴相交于A、B两点，则的面积为整数值的三角形个数有 个． 【变式训练2】（23-24九年级下·江苏盐城·期末）已知二次函数的图象如图所示，则一元二次方程的解是 ． 题型3：求抛物线与x轴的交点坐标 【典例精讲】（24-25九年级下·福建·开学考试）如图，抛物线与x轴相交于点A，B（点A在B的左侧），与y轴相交于点C，直线经过点B、C． (1)求直线的函数关系式； (2)当时，请直接写出x的取值范围． 【变式训练1】（25-26九年级下·山西朔州·阶段练习）如图，抛物线与轴交于点A，顶点B在轴的正半轴上，连接，若是等腰直角三角形，则的值为 ． 【变式训练2】（2024·广东茂名·模拟预测）已知二次函数的图象与轴交于、两点（n为正整数），则的值是 ． 题型4：求抛物线与y轴的交点坐标 【典例精讲】（24-25九年级下·江西赣州·期中）已知二次函数，则该二次函数图象与轴交点坐标为 ． 【变式训练1】（24-25九年级下·全国·期末）抛物线与轴的交点坐标是 ． 【变式训练2】（24-25九年级下·湖南常德·阶段练习）已经抛物线与x轴的交点为A、B，与y轴的交点为C (1)求A、B、C三点的坐标； (2)若该抛物线的顶点为P，求的面积． 题型5：已知二次函数的函数值求自变量的值 【典例精讲】（2025·安徽·模拟预测）已知关于x的方程的一个根比1大且另一个根比1小，则a的取值范围正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】（24-25九年级下·贵州六盘水·阶段练习）已知二次函数（，为常数）的图象经过点，对称轴为直线． (1)求二次函数的表达式； (2)若点向下平移个单位长度，向右平移个单位长度后，恰好落在的图象上，求的值； (3)当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求的取值范围． 【变式训练2】（24-25九年级下·安徽芜湖·自主招生）已知函数．当时，记的最小值为． (1)求的表达式； (2)是否存在，使得？若存在，求出；若不存在，请说明理由． 题型6：抛物线与x轴的交点问题 【典例精讲】（2025·青海西宁·一模）下列哪一个函数，其图象与轴有两个交点（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】（2025·江苏镇江·一模）在直角坐标系中，若三点中恰有两点在抛物线（且a，b均为常数）的图象上，以下列结论： ①抛物线的对称轴是直线 ；  ②抛物线与x轴的交点坐标是和； ③ 当时，关于x的一元二次方程有两个实数根； ④若和都是抛物线上的点且，则． 上述结论中正确的结论 （填写序号） 【变式训练2】（2024九年级下·浙江·学业考试）设二次函数（，是实数）的图象过点，下列说法错误的是（   ） A．该函数图象的对称轴为直线 B．当时，随的增大而减小 C．当时， D．当时，该函数图象与轴一定有交点 题型7：求x轴与抛物线的截线长 【典例精讲】（24-25九年级下·湖北武汉·阶段练习）定义为函数的特征数，下面给出特征数为的函数的一些结论： ①当时，函数图象的顶点坐标是； ②无论为何值，函数图象一定经过同一个点． ③当时，函数在时，随的增大而减小； ④当时，函数图象截轴所得的线段长度大于； 其中正确的结论是 ．（填序号） 【变式训练1】（2025·辽宁·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，过点与轴平行的直线交抛物线于点、，则的长为 ． 【变式训练2】（24-25九年级下·北京·阶段练习）已知抛物线． (1)若，求抛物线与轴的两个交点之间的距离． (2)已知点和点是抛物线上的两点． ①直接写出的值； ②若对于任意的，直线与抛物线有两个交点和，且当时，总有．结合图象，求的取值范围． 题型8：图象法确定一元二次方程的近似根 【典例精讲】（24-25九年级上·河北石家庄·期末）根据下列表格的对应值，判断方程（为常数）的一个解的范围是（   ） x 3.23 3.24 3.25 3.26 0.03 0.09 A． B． C． D． 【变式训练1】（24-25九年级下·山东淄博·期末）如表是代数式的部分值的情况． 1.1 1.2 1.3 1.4 －0.59 0.84 2.29 3.76 根据表格中的数据，则关于方程的一个正根的判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】（2025·吉林长春·模拟预测）如图是抛物线的图象，结合图象，可知方程有 个实数根． 题型9：图象法解一元二次不等式 【典例精讲】（24-25九年级下·河北保定·阶段练习）“不等式在上恒成立”的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 【变式训练1】（2025·青海西宁·三模）已知二次函数与x轴的一个交点为，其对称轴为直线，其部分图象如图所示，有下列5个结论：①，②；③；④若关于x的方程有两个实数根，，且满足则；⑤直线经过点，则关于x的不等式的解集是．其中正确结论的个数为 ． 【变式训练2】（24-25九年级下·河北保定·阶段练习）一元二次不等式的解集为R，则必有（   ） A． B． C． D． 题型10：利用不等式求自变量或函数值的范围 【典例精讲】（2025·云南丽江·一模）在学习了函数的有关知识后，小强同学对函数的图象和性质进行了探究． (1)当时， ①把图中的图象补充完整，并写出一条该函数的性质； ②如果关于x的方程有四个解，请直接写出对应m的取值范围． (2)在平面直角坐标系中，若某点的横、纵坐标均为整数，则称此点为“整点”，将过点平行于x轴的直线记为p，函数图象与p所围区域（不包含边界）记为Q，当Q中恰好有个“整点”时，求a的取值范围． 【变式训练1】（24-25九年级下·河北保定·阶段练习）当时，不等式恒成立，则k的取值范围是 ． 【变式训练2】（24-25九年级下·浙江宁波·开学考试）已知二次函数的图象经过点． (1)求的值； (2)若点和点均在该抛物线上，当时，请你比较的大小关系； (3)若，点在该抛物线上，若点到轴的距离小于2，请直接写出的取值范围． 题型11：根据交点确定不等式的解集 【典例精讲】（24-25九年级下·上海·自主招生）的最大值为 ． 【变式训练1】（2024·浙江·模拟预测）如图，已知一次函数的图象与二次函数的图象交于原点和点． (1)求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标； (2)当 时，请根据图象直接写出 的取值范围． 【变式训练2】（2025·山东济南·模拟预测）若二次函数的图象与轴交于，两点，且满足，，则下列说法错误的是（   ） A． B．抛物线开口向上 C．当时，的取值范围为 D．关于的方程的一个解小于 1．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，已知抛物线过A，B，C三点，点A的坐标为，点B的坐标为，且，则此抛物线的表达式为 ． 2．（2024·江苏无锡·中考真题）已知一抛物线的形状与的形状相同，对称轴为，且与x轴的两交点之间的距离为2，则此抛物线的解析式是 ． 3．（2024·江苏常州·中考真题）若抛物线与轴有两个交点，则k的取值范围是 ． 4．（2024·江苏盐城·中考真题）已知抛物线 （a，b，c是常数，）经过点，其中．下列结论： ①关于x的一元二次方程一定有一个根是小于的实数； ②； ③若关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，则 ④当时，y随x的增大而减小； 其中正确的结论是 ．（填写序号） 5．（2024·江苏徐州·中考真题）已知抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴交于，两点，若，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 基础夯实 1．（2025九年级上·浙江·专题练习）一个二次函数图象的顶点坐标是，且过另一点，则这个二次函数的解析式为(   ) A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·湖北十堰·阶段练习）抛物线与x轴的一个交点坐标为，则它与x轴的另外一个交点的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·河北沧州·阶段练习）如图，一次函数与二次函数的图象相交于两点，则关于的不等式的解集为（　　） A． B． C． D．或 4．（22-23九年级下·天津红桥·月考）若抛物线与x轴有两个交点，则k的取值范围为 ． 5．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）抛物线与轴交于点，与轴交于点，，则线段长是 ． 6．（25-26九年级上·广东广州·阶段练习）如图，抛物线与直线相交于点和点，点，的横坐标分别为和，则当时，的取值范围为 ． 7．（2025·江西吉安·二模）已知二次函数关于x轴对称的图象经过点，则a的值为 ． 8．（25-26九年级上·江西宜春·阶段练习）已知二次函数的图象经过点． (1)求该二次函数图象的顶点坐标． (2)当时，求的值． 9．（25-26九年级上·浙江·课后作业）已知二次函数． (1)当时，求函数的值； (2)当函数值为2时，求自变量x的值． 10．（25-26九年级上·浙江·阶段练习）抛物线（b，c为常数）的图像过点． (1)求抛物线的解析式； (2)方程的解是_______； (3)当时，y的取值范围是_______． 培优拔高 11．（25-26九年级上·天津·阶段练习）如图所示是抛物线的部分图像，其顶点坐标为，且与x轴的一个交点在点和之间，则下列结论：①；②；③；④（m为任意实数）．其中正确的结论个数是（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 12．（25-26九年级上·江苏南通·月考）对称轴为直线的抛物线（，，为常数，且）如图所示，小明同学得出了以下结论：①，②，③，④，⑤（为任意实数），⑥当时，随的增大而减小．其中结论正确的个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 13．（2025·陕西·模拟预测）已知二次函数（，，为常数，且）的自变量与函数的几组对应值如下表： … … … … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（   ） A．图象的开口向上 B．图象经过第二、三、四象限 C．当时，的值随的值增大而增大 D．图象的对称轴是直线 14．（2024·广东·模拟预测）已知二次函数的图象经过点和，则 ． 15．（25-26九年级上·山东济宁·阶段练习）已知二次函数的图象如图所示，有下列4个结论：(①；②；③；④，正确的结论有 个． 16．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知抛物线（a，b，c是常数）经过，下列四个结论： ①若此抛物线顶点在第四象限，则； ②若抛物线经过，则对称轴为直线； ③若函数的图象与x轴只有一个公共点，则； ④，点在此抛物线上，且， 若恒有，则或． 其中正确的结论是 （填序号）． 17．（2024·江苏宿迁·三模）已知抛物线经过点和点，且对称轴在y轴的左侧，则下列结论：①；②；③抛物线经过点；④关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．其中正确的是 （填写序号）． 18．（2024·北京·三模）在平面直角坐标系中，已知抛物线：． (1)求抛物线的顶点坐标(用含t的代数式表示)； (2)点，在抛物线上，其中， ①若的最小值是，求的最大值； ②若对于都有，直接写出t的取值范围． 19．（24-25九年级上·山西临汾·期末）已知二次函数． (1)该二次函数的图像与x轴的交点坐标是 、 ，顶点坐标是 ； (2)在平面直角坐标系中，画出二次函数的图像；（要求至少描出5个格点） (3)当时，结合函数图像，直接写出y的取值范围 ． 20．（25-26九年级上·安徽阜阳·阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A，将点A向右平移4个单位长度得到点B，点B恰好也在抛物线上． (1)求m的值． (2)将抛物线沿x轴翻折得到抛物线，求抛物线的顶点坐标． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $