2.4.2圆的一般方程教学设计-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学教学设计聚焦圆的一般方程，从复习圆的标准方程入手，通过展开整理引出一般方程形式，再以问题链探究其表示圆的条件，构建从标准到一般的知识脉络，形成学习支架。 亮点在于以“思考1-4”驱动探究，结合待定系数法（例1）和相关点法（例2）实例，培养数学思维的推理能力与数学语言的模型观念，助力学生深化知识理解，提升教师课堂教学的逻辑性与高效性。

圆的一般方程 一 教学目标 1．在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一般方程的代数特征，由圆的一般方程确定圆的圆心坐标，半径长度，掌握方程x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0表示圆的条件. 2.能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方程，掌握用待定系数法求圆的方程. 3.通过对方程x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0表示圆的条件的探究，培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力. 二 教学重点与难点 重点：圆的一般方程的代数特征，一般方程与标准方程间的互化，根据已知条件确定方程中的系数D、E、F. 难点：对圆的一般方程的认识、掌握和运用. 　三 教学过程 　（一）复习并引入新课 　　师：圆的标准方程是什么？． 　生：．圆心坐标是，半径是. 师：将其展开并整理，能得到什么样的方程？ 　　生：． 师：我们把记为，把记为，把记为，就得到了. 这说明圆的标准方程可以变形为 (*) 反过来，形如(*)的方程一定能通过恒等变形变为圆的标准方程吗？ （二）探索新知 思考1：下列方程分别表示什么图形： 如果表示圆，请指出圆心坐标和半径长 。 (1) (2) (3) 思考2： 方程在什么条件下表示圆？ 　　师: 请大家动动手，将方程左边配方. 　　 (放手让同学讨论，教师适当指导，然后由同学说，教师板书．) 　　 　　 1．当D 2+E2－4F＞0时，比较(△)式和圆的标准方程知：(*)式表示以 　　 　 　2．即(*)式表示一个点 　　 3．当D 2+E2－4F<0时，(*)式没有实数解，因而它不表示任何图形． 教师总结：当D 2+E2－4F＞0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示一个圆，我们把方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫圆的一般方程 思考3：圆的一般方程形式上有什么特点？ （1） x2和y2的系数相同,不等于0. （2） 没有xy这样的二次项 （3） D 2+E2－4F＞0 思考4：圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点？ 圆的标准方程指出了圆心坐标与半径大小,几何特征明显; 圆的一般方程表明圆的方程是一种特殊的二元二次方程,代数特征明显, （三）应用举例 例1．求过三点的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标。 分析：由于不在同一条直线上，因此经过三点有唯一的圆． 解：法一：设圆的方程为， ∵三点都在圆上， ∴三点坐标都满足所设方程，把代入所设方程， 得：解之得： 所以，所求圆的方程为．圆心坐标（4，-3），半径r=5. 法二：设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2=r2,因为O(0,0)、M(1,1)、M(4,2)在圆上,所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标代入上面的方程,可以得到关于a、b、r的方程组,即 解此方程组得所以所求圆的方程为(x－4)2＋(y+3)2=52,圆心坐标为(4,-3),半径为5. 点评：已知圆上点的坐标求圆的方程，用那种形式更简单？ 师：用“待定系数法”求圆的方程的步骤是什么？ 生：(1)根据题意,选择标准方程或一般方程; (2)根据条件列出关于a, b, r 或D, E, F的方程组; (3)解出a,b,r 或D,E,F,代入标准方程或一般方程. 例2：已知线段 AB 的端点 B 的坐标是 (4，3)，端点 A 在圆上运动，求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程． 分析：如图，点 A 运动引起点 M 运动，而点 A 在已知圆上运动，点 A 的坐标满足方程．建立点 M 与点 A 坐标之间的关系，就可以利用点 A 的坐标所满足的关系式得到点 M 的坐标满足的关系式，求出点 M 的轨迹方程 解：设点M的坐标是(x,y)，点A的坐标是． 由于点B的坐标是(4,3)，且M是线段AB的中点，所以 于是有，．① 因为点 A 在圆 上运动，所以点 A 的坐标满足圆的方程，即 ．② 把①代入②，得 整理，得 这就是点M的轨迹方程，它表示以 为圆心，半径为 1 的圆. 点M的轨迹方程是指点M的坐标(x,y)满足的关系式.轨迹是指点在运动变化过程中形成的图形.在解析几何中，我们常常把图形看作点的轨迹（集合）. 拓展：求动点的轨迹方程时，通常采用代入法求轨迹方程，其主要步骤如下： 1.设动点坐标为(x,y)（求谁设谁） 2.用动点坐标把相关点的坐标表示出来 3.把相关点的坐标代入已知的轨迹方程 4.整理化简，得到动点的轨迹方程 (四)、课堂检测 1.求下列各圆的圆心坐标和半径. （1）； （2）； （3）． 2.求过，，三点的圆的方程. 3.长为2a的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，求线段AB的中点的轨迹方程，并说明轨迹的形状． (五)、小结 知识方面：1.圆的一般方程； 2.圆的一般方程与标准方程的特点； 3.用待定系数法求圆的方程；4.相关点法求点的轨迹方程. 数学思想方面：特殊到一般的数学思想； 待定系数法求曲线方程的方法。 （6） 、作业： 1.课本88页，习题2.4复习巩固1,4题； 2.课本88页，习题2.4综合运用7,9题 学科网（北京）股份有限公司 $