5.1.2导数的概念及其几何意义（第1课时）教学设计-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

5.1.2 导数的概念及其几何意义（第1课时） 一、教学目标 1.能从具体案例中抽象概括出函数在某点处导数的定义。 2.能根据函数在某点处导数的定义求简单函数在某点处的导数。 3.进一步体会函数在某点处的导数的内涵与意义，进一步体会极限思想。 二、教学重难点 重点: 函数在某点处导数的定义和极限思想 难点：从求瞬时速度，切线的斜率这些具体案例中抽象出函数在某点处导数的定义。. 三、教学过程 （一）新课导入 教师：上节课研究了两类变化率问题：一类是物理学中的问题，涉及平均速度和瞬时速度；另一类是几何学中的问题，涉及割线斜率和切线斜率.这两类问题都采用了由“平均变化率”逼近“瞬时变化率”的思想方法；问题的答案也有一样的表示形式.下面我们用上述思想方法研究更一般的问题. （二）探索新知 (1)平均变化率的定义； 对于函数，设自变量从变化到，相应的，函数值就从变化到，这时，的变化量为，的变化量为 我们把比值，即 叫做函数从到的平均变化率。 思考：（1） （2） （3） （2）函数在某点处导数的定义： 如果当时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称在处可导，并把这个确定的值叫做在处的导数（也称为瞬时变化率），记作或，即 思考：函数在处的导数还可以用别的式子表示吗？ （1）设函数在处切线斜率为2，则________ (2)已知函数在处可导，若，则_______________ (3) 已知是的导函数，且，则_________ (4)已知函数满足，则_________________ （三）导数的应用 例1 设，求. 解：. 例2 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热. 已知在第x h时，原油的温度（单位：）为. 计算第2 h与第6 h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义. 师生活动：（1）教师分析第2h时的原油温度的瞬时变化率； （2）学生求解第2h时，第6h时的原油温度的瞬时变化率，并展示，教师点评学生解答。 （3）学生思考并交流在第2h与第6h 时原有油温度的瞬时变化率的意义，教师结合学生的交流结果归纳出：在第2h附近，原油温度大约以的速率下降；在第6h附近，原油温度大约以的速率上升。一般的，反映了原油温度在时刻附近的变化情况。 解：在第2h 时，原油温度的瞬时变化率就是，根据导数的定义， 所以， 在第6h 时，原油温度的瞬时变化率就是，根据导数的定义， 所以， 设计意图：通过求解实际问题中的瞬时变化率，学生理解了导数的内涵和意义。 追问：求函数在处的导数的步骤是什么？ 师生活动：学生思考并回答，教师在学生回答的基础上总结出以下步骤： 第一步：写出函数的平均变化率并化简； 第二步：求极限，若存在，则导数 例3 一辆汽车在公路上沿直线变速行驶，假设时汽车的速度（单位：）为，求汽车在第2 s与第6 s时的瞬时加速度，并说明它们的意义. 师生活动：（1）教师解释加速度的意义，是学生明白加速度是速度对时间的导数。 （2）将学生分为两组，分别计算汽车在第2s与第6s 时的瞬时加速度并展示。 （3）教师点评学生解答并给出规范解答。 （4）学生表述和的意义，教师综合学生的意见后指出：在第2s与第6s时，汽车的瞬时速度分别是与。说明在第2s 附近，汽车的速度每秒大约增加；在第6s附近，汽车的速度每秒大约减少。 设计意图：通过求解运动物体的加速度，学生进一步理解了导数的内涵与意义，进一步熟悉根据导数的定义求函数在某点处导数的过程与步骤。 解：在第2 s和第6 s时，汽车的瞬时加速度就是和. 根据导数的定义， ， 所以.同理可得. 在第2 s与第6 s时，汽车的瞬时加速度分别是与.说明在第2 s附近，汽车的速度每秒大约增加；在第6 s附近，汽车的速度每秒大约减少. （4） 课堂练习 课本66页练习题1，2,3,4 （5） 小结 （1）什么是函数在某点处的导数？ （2）函数在某点处的导数的应用及其意义 （六）作业： 课本70页2题 ( — 3 — ) 学科网（北京）股份有限公司 $