第5章 微专题3-【名师大课堂】2026年高考数学艺术生总复习必备（教师课件）

第五章 三角函数 微专题(三)　三角函数中ω，φ的范围问题 第五章 三角函数 返回导航 下一页 上一页 01 高考预测练 第五章 三角函数 返回导航 下一页 上一页 第五章 三角函数 返回导航 下一页 上一页 　 第五章 三角函数 返回导航 下一页 上一页 第五章 三角函数 返回导航 下一页 上一页 第五章 三角函数 返回导航 下一页 上一页 第五章 三角函数 返回导航 下一页 上一页 第五章 三角函数 返回导航 下一页 上一页 第五章 三角函数 返回导航 下一页 上一页 D 第五章 三角函数 返回导航 下一页 上一页 第五章 三角函数 返回导航 下一页 上一页 第五章 三角函数 返回导航 下一页 上一页 第五章 三角函数 返回导航 下一页 上一页 第五章 三角函数 返回导航 下一页 上一页 第五章 三角函数 返回导航 下一页 上一页 　 第五章 三角函数 返回导航 下一页 上一页 第五章 三角函数 返回导航 下一页 上一页 第五章 三角函数 返回导航 下一页 上一页 第五章 三角函数 返回导航 下一页 上一页 第五章 三角函数 返回导航 下一页 上一页 第五章 三角函数 返回导航 下一页 上一页 第五章 三角函数 返回导航 下一页 上一页 B 第五章 三角函数 返回导航 下一页 上一页 第五章 三角函数 返回导航 下一页 上一页 第五章 三角函数 返回导航 下一页 上一页 　 第五章 三角函数 返回导航 下一页 上一页 第五章 三角函数 返回导航 下一页 上一页 第五章 三角函数 返回导航 下一页 上一页 第五章 三角函数 返回导航 下一页 上一页 第五章 三角函数 返回导航 下一页 上一页 第五章 三角函数 返回导航 下一页 上一页 CD 第五章 三角函数 返回导航 下一页 上一页 第五章 三角函数 返回导航 下一页 上一页 第五章 三角函数 返回导航 下一页 上一页 第五章 三角函数 返回导航 下一页 上一页 第五章 三角函数 返回导航 下一页 上一页 “课下练习”见“高考预测练（二十一）” (单击进入电子文档) 第五章 三角函数 返回导航 下一页 上一页 谢 谢 观 看 按ESC键退出全屏播放 第五章 三角函数 返回导航 下一页 上一页 三角函数中ω，φ的范围问题，是高考的重点和热点，主要考查由三角函数的最值(值域)、单调性、零点等求ω，φ的取值范围，难度中等偏上. 三角函数的最值(值域)与ω，φ的取值范围 　　(1)若函数f(x)＝sin(ωx－eq \f(π,4))(ω>0)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上的值域是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，1))，则ω的取值范围是(　　) A．(0，eq \f(3,2))　　　　　　 B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，3)) C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3，\f(7,2))) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，\f(7,2))) 【解析】　因为ω>0，所以当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))时，ωx－eq \f(π,4)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(ωπ,2)－\f(π,4))). 又因为函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx－\f(π,4)))(ω>0)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上的值域是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，1))， 所以eq \f(π,2)≤eq \f(ωπ,2)－eq \f(π,4)≤eq \f(5π,4)，解得eq \f(3,2)≤ω≤3. 【答案】　B (2)(多选)(2025·湖北省八市联考)已知函数f(x)＝sin(ωx＋eq \f(π,3))＋cos(ωx－eq \f(π,6))(ω>0)，将f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的eq \f(1,2)(纵坐标不变)得到函数g(x)的图象，若g(x)在(0，eq \f(π,12))上恰有一个最值点，则ω的取值可能是(　　) A．1 B．3 C．5 D．7 【解析】　f(x)＝sin(ωx＋eq \f(π,3))＋cos(ωx－eq \f(π,6))＝sin(ωx＋eq \f(π,3))＋cos(ωx＋eq \f(π,3)－eq \f(π,2))＝2sin(ωx＋eq \f(π,3))． 由题意，可得g(x)＝2sin(2ωx＋eq \f(π,3))， 由x∈(0，eq \f(π,12))， 可得2ωx＋eq \f(π,3)∈(eq \f(π,3)，eq \f(πω,6)＋eq \f(π,3))． 因为g(x)在(0，eq \f(π,12))上恰有一个最值点， 所以eq \f(π,2)<eq \f(πω,6)＋eq \f(π,3)≤eq \f(3π,2)，解得1<ω≤7， 由选项可知B，C，D满足． 【答案】　BCD 【规律方法】　求三角函数的最值(值域)问题，主要是整体代换ωx±φ，利用正、余弦函数的图象求解，要注意自变量的范围． [跟踪训练] 1．(1)(2025·株洲模拟)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)＋1(ω>0，|φ|≤eq \f(π,2))，其图象与直线y＝3相邻两个交点的距离为π，若f(x)>2对∀x∈(eq \f(π,24)，eq \f(π,3))恒成立，则φ的取值范围是(　　) A．(eq \f(π,6)，eq \f(π,2)) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,3))) C．(eq \f(π,12)，eq \f(π,3)) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,12)，\f(π,6))) (2)(2025·贵阳模拟)将函数f(x)＝sin(ωx＋eq \f(π,3))(ω>0)的图象向右平移eq \f(1,4)个周期后所得的图象在(0，eq \f(π,2))内有5个极值点，则ω的取值范围是　___________. eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(28,3)，\f(34,3))) 解析：(1)因为函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)＋1(ω>0，|φ|≤eq \f(π,2))，其图象与直线y＝3相邻两个交点的距离为π，所以函数周期T＝π，ω＝2，由f(x)>2知sin(2x＋φ)>eq \f(1,2)， 又当x∈(eq \f(π,24)，eq \f(π,3))时，2x＋φ∈(eq \f(π,12)＋φ，eq \f(2π,3)＋φ)， 且|φ|≤eq \f(π,2)， 所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(π,6)≤\f(π,12)＋φ，,\f(2π,3)＋φ≤\f(5π,6)，))解得eq \f(π,12)≤φ≤eq \f(π,6). (2)函数f(x)的最小正周期T＝eq \f(2π,ω)， 将函数f(x)的图象向右平移eq \f(T,4)后的解析式为 f (x－eq \f(π,2ω))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ω\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,2ω)))＋\f(π,3)))＝sin(ωx－eq \f(π,6))， 由x∈(0，eq \f(π,2))，可得ωx－eq \f(π,6)∈(－eq \f(π,6)，eq \f(ωπ,2)－eq \f(π,6))， 要使得平移后的图象有5个极值点，则函数图象有5个最值点，则需eq \f(9π,2)<eq \f(ωπ,2)－eq \f(π,6)≤eq \f(11π,2)， 解得eq \f(28,3)<ω≤eq \f(34,3). 单调性与ω，φ的取值范围 　(1)(2025·南通模拟)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋eq \f(π,4))(ω>0)，若f(x)在区间(eq \f(π,2)，π)上单调递增，则ω的取值范围是______________． 【解析】　令－eq \f(π,2)＋2kπ≤ωx＋eq \f(π,4)≤eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z，得－eq \f(3π,4ω)＋eq \f(2kπ,ω)≤x≤eq \f(π,4ω)＋eq \f(2kπ,ω)，k∈Z， 故f(x)的单调递增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3π,4ω)＋\f(2kπ,ω)，\f(π,4ω)＋\f(2kπ,ω)))，k∈Z， 又f(x)在(eq \f(π,2)，π)上单调递增， ∵eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\b\lc\ \rc\ (\a\vs4\al\co1(－\f(3π,4ω)＋\f(2kπ,ω)≤\f(π,2)，,\f(π,4ω)＋\f(2kπ,ω)≥π，)))) 解得－eq \f(3,2)＋4k≤ω≤2k＋eq \f(1,4)，k∈Z， 又ω>0，故0<ω≤eq \f(1,4). 【答案】　eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4))) (2)(2025·柳州模拟)若直线x＝eq \f(π,4)是曲线y＝sin(ωx－eq \f(π,4))(ω>0)的一条对称轴，且函数y＝sin(ωx－eq \f(π,4))在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,12)))上不单调，则ω的最小值为(　　) A．9 B．7 C．11 D．3 【解析】　因为直线x＝eq \f(π,4)是曲线 y＝sin(ωx－eq \f(π,4))(ω>0)的一条对称轴， 则eq \f(π,4)ω－eq \f(π,4)＝kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z， 即ω＝4k＋3，k∈Z，由－eq \f(π,2)≤ωx－eq \f(π,4)≤eq \f(π,2)， 得－eq \f(π,4ω)≤x≤eq \f(3π,4ω)， 则函数y＝sin(ωx－eq \f(π,4))在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4ω)，\f(3π,4ω)))上单调递增， 而函数y＝sin(ωx－eq \f(π,4))在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,12)))上不单调， 则eq \f(3π,4ω)<eq \f(π,12)，解得ω>9，所以ω的最小值为11. 【答案】　C 规律方法　若三角函数在区间[a，b]上单调递增，则区间[a，b]是该函数单调递增区间的子集，利用集合的包含关系即可求解． [跟踪训练] 2．已知f(x)＝sin(2x－φ)(0<φ<eq \f(π,2))在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))上单调递增，且f(x)在(0，eq \f(7π,8))上有最小值，那么φ的取值范围是(　　) A.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,2))) B.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,4))) C.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2))) D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,3))) 解析：由x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))， 可得2x－φ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－φ，\f(2π,3)－φ))， 又由0<φ<eq \f(π,2)，且f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))上单调递增， 可得eq \f(2π,3)－φ≤eq \f(π,2)，所以eq \f(π,6)≤φ＜eq \f(π,2). 当x∈(0，eq \f(7π,8))时，2x－φ∈(－φ，eq \f(7π,4)－φ)， 由f(x)在(0，eq \f(7π,8))上有最小值， 可得eq \f(7π,4)－φ>eq \f(3π,2)， 所以φ<eq \f(π,4).综上，eq \f(π,6)≤φ<eq \f(π,4). 零点与ω，φ的取值范围 　　(1)(2024·新高考全国Ⅰ)已知函数f(x)＝cos ωx－1(ω>0)在区间[0,2π]上有且仅有3个零点，则ω的取值范围是________． 【解析】　因为0≤x≤2π，所以0≤ωx≤2ωπ，令f(x)＝cos ωx－1＝0，则cos ωx＝1有3个根，令t＝ωx，则cos t＝1有3个根，其中t∈[0,2ωπ]，结合余弦函数y＝cos t的图象性质可得4π≤2ωπ<6π， 故2≤ω<3. 【答案】　[2,3) (2)将函数f(x)＝cos x的图象先向右平移eq \f(π,6)个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的eq \f(1,ω)(ω>0)倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，若函数g(x)在(0，eq \f(π,2))上没有零点，则ω的取值范围是________． 【解析】　将函数f(x)＝cos x的图象先向右平移eq \f(π,6)个单位长度，得到y＝cos(x－eq \f(π,6))的图象，再把所得函数图象的横坐标变为原来的eq \f(1,ω)(ω>0)倍，纵坐标不变，得到函数g(x)＝cos(ωx－eq \f(π,6))(ω>0)，周期T＝eq \f(2π,ω)， 因为函数g(x)在(0，eq \f(π,2))上没有零点，所以eq \f(π,2)－0≤eq \f(T,2)，得T≥π，即eq \f(2π,ω)≥π，得0<ω≤2，令g(x)＝0，则ωx－eq \f(π,6)＝kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，得x＝eq \f(kπ,ω)＋eq \f(2π,3ω)，k∈Z，令k＝0，得x＝eq \f(2π,3ω)，所以eq \f(2π,3ω)≥eq \f(π,2)，得ω≤eq \f(4,3)，又0<ω≤2，所以0<ω≤eq \f(4,3). 【答案】　eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(4,3))) 【规律方法】　已知函数的零点、极值点求ω，φ的取值范围问题，一是利用三角函数的图象求解；二是利用解析式，直接求函数的零点、极值点即可，注意函数的极值点即为三角函数的最大值、最小值点． [跟踪训练] 3．(多选)(2025·郴州模拟)将函数g(x)＝sin ωx(ω>0)的图象向左平移eq \f(π,5ω)个单位长度得到函数f(x)的图象，已知f(x)在[0,2π]上有且只有5个零点，则下列结论正确的是(　 　) A．f(x)的图象关于点(eq \f(π,2)，0)对称 B．f(x)在(0,2π)上有且只有5个极值点 C．f(x)在(0，eq \f(π,10))上单调递增 D．ω的取值范围是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,5)，\f(29,10))) 解析：由题意知f(x)＝g(x＋eq \f(π,5ω))＝sin(ωx＋eq \f(π,5))， 在[0,2π]上，令t＝ωx＋eq \f(π,5)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,5)，2ωπ＋\f(π,5)))， 所以y＝sin t在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,5)，2ωπ＋\f(π,5)))上有5个零点， 则5π≤2ωπ＋eq \f(π,5)<6π，解得eq \f(12,5)≤ω<eq \f(29,10)，D正确； 在(0,2π)上，t∈(eq \f(π,5)，2ωπ＋eq \f(π,5))，由上分析知，极值点个数可能为5或6个，B错误； f(eq \f(π,2))＝sin(eq \f(π,2)ω＋eq \f(π,5))且eq \f(π,2)ω＋eq \f(π,5)∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,5)，\f(33π,20)))， 故f (eq \f(π,2))不为0，A错误； 在(0，eq \f(π,10))上，t∈(eq \f(π,5)，eq \f(π,10)ω＋eq \f(π,5))， 则eq \f(π,10)ω＋eq \f(π,5)∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11π,25)，\f(49π,100)))， 故y＝sin t在(eq \f(π,5)，eq \f(π,10)ω＋eq \f(π,5))上单调递增，即f(x)在(0，eq \f(π,10))上单调递增，C正确． $