第二章 第五节 幂函数与二次函数-【优学精研】2026年高考数学一轮总复习教用课件

该高中数学高考复习课件聚焦幂函数与二次函数核心考点，依据新课标要求梳理定义、图象及性质，对接高考评价体系分析考点权重，归纳幂函数图象辨析、二次函数最值求解等常考题型，体现备考针对性与实用性。 课件亮点在于真题母题变式训练，如通过二次函数解析式求法的三种题型解析，培养学生数学思维与逻辑推理素养。特设易错点警示（如二次项系数对单调性影响），帮助学生掌握分类讨论等解题技巧，助力教师精准教学，提升复习效率。

第五节　幂函数与二次函数 高中总复习·数学 课标要求 1. 通过具体实例，了解幂函数及其图象的变化规律. 2. 掌握二次函数的图象与性质（单调性、对称性、顶点、最值等），能用 二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题. 目 录 CONTENTS 知识·逐点夯实 01. 考点·分类突破 02. 课时·跟踪检测 03. PART 01 知识·逐点夯实 必备知识 | 课前自修 目 录 1. 幂函数 （1）幂函数的定义 一般地，函数 叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数. （2）常见的五种幂函数的图象 y＝xα　 目 录 高中总复习·数学 ①幂函数在（0，＋∞）上都有定义； ②当α＞0时，幂函数的图象都过点 和 ，且在 （0，＋∞）上单调递增； ③当α＜0时，幂函数的图象都过点 ，且在（0，＋∞）上单 调递减. （1，1）　 （0，0）　 （1，1）　 （3）幂函数的性质 目 录 高中总复习·数学 2. 二次函数解析式的三种形式 （1）一般式：f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）； （2）顶点式：f（x）＝a（x－h）2＋k（a≠0）； （3）零点式：f（x）＝a（x－x1）（x－x2）（a≠0）. 3. 二次函数的图象和性质 解析式 f（x）＝ax2＋bx＋ c（a＞0） f（x）＝ax2＋bx＋c（a＜0） 图象 定义域 R R 目 录 高中总复习·数学 解析式 f（x）＝ax2＋bx＋c（a＞0） f（x）＝ax2＋bx＋c（a＜0） 值域 单调性 在x∈（－∞，－ ］上单 调递减； 在x∈ ⁠ 上单调递增 在x∈（－∞，－ ］上单调递 增； 在x∈ ⁠上单 调递减 对称性 函数的图象关于直线x＝ ⁠对称 （－ ，＋∞）　 （－ ，＋∞）　 － 　 目 录 高中总复习·数学 提醒 注意二次项系数对函数性质的影响，经常分二次项系数大于零与小于 零两种情况讨论. 目 录 高中总复习·数学 1. 幂函数图象的特征 （1）在（0，1）上，幂函数中指数越大，函数图象越接近x轴（简记为 “指大图低”）； （2）在（1，＋∞）上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴. 目 录 高中总复习·数学 2. 二次函数在闭区间上的最值 设二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c（a＞0），闭区间为[m，n]： （1）当－ ≤m时，最小值为f（m），最大值为f（n）； （2）当m＜－ ≤ 时，最小值为f ，最大值为f（n）； （3）当 ＜－ ≤n时，最小值为f ，最大值为f（m）； （4）当－ ＞n时，最小值为f（n），最大值为f（m）. 目 录 高中总复习·数学 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）函数y＝2 是幂函数. （　×　） （2）幂函数y＝xn（n＞0）在（0，＋∞）上单调递增. （　√　） （3）二次函数y＝ax2＋bx＋c（x∈R）不可能是偶函数. （　×　） （4）若幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点. （　√　） × √ × √ 目 录 高中总复习·数学 2. 函数f（x）＝－2x2＋4x，x∈[－1，2]的值域为（　　） A. [－6，2] B. [－6，1] C. [0，2] D. [0，1] 解析： 　函数f（x）＝－2x2＋4x的对称轴为直线x＝1，则f（x）在 [－1，1]上单调递增，在[1，2]上单调递减，∴f（x）max＝f（1）＝2， f（x）min＝f（－1）＝－2－4＝－6，即f（x）的值域为[－6，2]. √ 目 录 高中总复习·数学 3. （人A必修一P91练习1题改编）已知幂函数y＝f（x）的图象过点 ，则f（4）＝（　　） A. B. 4 C. D. 解析： 　设f（x）＝xα，∵图象过点 ，∴f（2）＝2α＝ ，解 得α＝－1，∴f（4）＝4－1＝ . √ 目 录 高中总复习·数学 4. 若幂函数y＝x－1，y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则m 与n的取值情况为（　　） A. －1＜m＜0＜n＜1 B. －1＜n＜0＜m＜ C. －1＜m＜0＜n＜ D. －1＜n＜0＜m＜1 √ 目 录 高中总复习·数学 解析： 　幂函数y＝xα，当α＞0时，y＝xα在（0，＋∞）上单调递 增，且0＜α＜1时，图象上凸，所以0＜m＜1；当α＜0时，y＝xα在 （0，＋∞）上单调递减.由结论可知，不妨令x＝2，由图象得2－1＜2n， 则－1＜n＜0，综上可知，－1＜n＜0＜m＜1.故选D. 目 录 高中总复习·数学 5. （人A必修一P100复习参考题4题改编）已知函数f（x）＝x2－2ax＋4 在[0，＋∞）上单调递增，则实数a的取值范围为（　　） A. （－∞，－1] B. [－1，＋∞） C. [0，＋∞） D. （－∞，0] 解析： 　函数f（x）＝x2－2ax＋4＝（x－a）2＋4－a2，所以f（x） 的单调递增区间是[a，＋∞），依题意知，[0，＋∞）⊆[a，＋∞），所 以a≤0，即实数a的取值范围是（－∞，0]，故选D. √ 目 录 高中总复习·数学 PART 02 考点·分类突破 精选考点 | 课堂演练 目 录 幂函数的图象与性质（基础自学过关） 1. （2025·重庆开学考试）已知幂函数f（x）＝（3m2－7m－5）xm－1是 定义域上的奇函数，则m＝（　　） A. － 或3 B. 3 C. D. － √ 目 录 高中总复习·数学 解析： 　由函数f（x）＝（3m2－7m－5）xm－1是幂函数，得3m2－7m －5＝1，解得m＝3或m＝－ ，当m＝3时，f（x）＝x2是R上的偶函 数，不符合题意，当m＝－ 时，f（x）＝ ＝ 是（－∞，0）∪ （0，＋∞）上的奇函数，符合题意，所以m＝－ .故选D. 目 录 高中总复习·数学 2. 如图所示是函数y＝ （m，n∈N*且互质）的图象，则（　　） A. m，n是奇数，且 ＜1 B. m是偶数，n是奇数，且 ＞1 C. m是偶数，n是奇数，且 ＜1 D. m，n是偶数，且 ＞1 √ 目 录 高中总复习·数学 解析： 　函数y＝ ＝ 的图象关于y轴对称，故m为偶数，n为奇 数，当x∈（0，1）时，y＝ 的图象在y＝x的图象的上方，当x∈ （1，＋∞）时，y＝ 的图象在y＝x的图象的下方，故 ＜1. 目 录 高中总复习·数学 3. 若（m＋1）－1＜（3－2m）－1，则实数m的取值范围是（　　） A. （ ， ） B. （－∞，－1） C. （－∞，－1）∪（ ， ） D. ⌀ √ 目 录 高中总复习·数学 解析： 　分三种情况考虑：① 解得 ＜m＜ ；② 此时无解；③ 解得m＜－1.综上可 得，m∈（－∞，－1）∪（ ， ）.故选C. 目 录 高中总复习·数学 4. 〔多选〕已知幂函数f（x）＝xα的图象经过点（16，4），则下列说法 正确的有（　　） A. f（x）是偶函数 B. f（x）是增函数 C. 当x＞1时，f（x）＞1 D. 当0＜x1＜x2时， ＜f（ ） √ √ √ 目 录 高中总复习·数学 解析： 　幂函数f（x）＝xα的图象经过 点（16，4），所以16α＝4，解得α＝ ，所 以f（x）＝ ＝ .所以f（x）的定义域 是[0，＋∞），是非奇非偶函数，且是增函 数.当x＞1时，f（x）＞f（1）＝1.画出f（x）在[0，＋∞）上的图象，如图所示.由图象知，当0＜x1＜x2时， ＜f（ ），故选B、C、D. 目 录 高中总复习·数学 练后悟通 1. 幂函数的图象与性质特征的关系 （1）幂函数的形式是y＝xα（α∈R），其中只有一个参数α，因此只需 一个条件即可确定其解析式； （2）判断幂函数y＝xα（α∈R）的奇偶性及求定义域时，当α是分数 时，一般将其先化为根式，再判断； （3）若幂函数y＝xα在（0，＋∞）上单调递增，则α＞0，若在（0，＋ ∞）上单调递减，则α＜0. 2. 幂函数单调性的应用 （1）利用单调性比较两个幂的大小； （2）利用单调性解不等式. 目 录 高中总复习·数学 二次函数的解析式（师生共研过关） 已知二次函数f（x）满足f（2）＝－1，f（－1）＝－1，且f（x） 的最大值是8，求二次函数f（x）的解析式. 解：法一（利用二次函数的一般式） 设f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）. 由题意得 解得 故所求二次函数解析式为f（x）＝－4x2＋4x＋7. 目 录 高中总复习·数学 法二（利用二次函数的顶点式） 设f（x）＝a（x－m）2＋n（a≠0）. ∵f（2）＝f（－1）， ∴二次函数图象的对称轴为x＝ ＝ . ∴m＝ ，又根据题意函数有最大值8，∴n＝8， ∴f（x）＝a ＋8. ∵f（2）＝－1，∴a ＋8＝－1，解得a＝－4， ∴f（x）＝－4 ＋8＝－4x2＋4x＋7. 目 录 高中总复习·数学 法三（利用二次函数的零点式）　由已知f（x）＋1＝0的两根为x1＝2， x2＝－1， 故可设f（x）＋1＝a（x－2）（x＋1）（a≠0）， 即f（x）＝ax2－ax－2a－1. 又函数有最大值8，即 ＝8. 解得a＝－4或a＝0（舍去）， 故所求函数解析式为f（x）＝－4x2＋4x＋7. 目 录 高中总复习·数学 解题技法 求二次函数解析式的方法 目 录 高中总复习·数学 1. （2025·高三全国专题练习）已知函数f（x）为二次函数，f（x）的图 象过点（0，2），对称轴为x＝－ ，函数f（x）在R上的最小值为 ，则 f（x）的解析式为 ⁠. 解析：因为f（x）的对称轴为x＝－ ，函数f（x）在R上的最小值为 ， 所以可设f（x）＝a（x＋ ）2＋ ，a＞0，将（0，2）代入f（x），得 a（0＋ ）2＋ ＝2，解得a＝1，故f（x）＝（x＋ ）2＋ . f（x）＝（x＋ ）2＋ 　 目 录 高中总复习·数学 2. 已知二次函数的图象过点（－3，0），（1，0），且顶点到x轴的距离 等于2，则二次函数的解析式为 ⁠. 解析：因为二次函数的图象过点（－3，0），（1，0），所以可设二次函 数为y＝a（x＋3）（x－1）（a≠0），展开得，y＝ax2＋2ax－3a，顶 点的纵坐标为 ＝－4a，由于二次函数图象的顶点到x轴的距离为 2，所以｜－4a｜＝2，即a＝± ，所以二次函数的解析式为y＝ x2＋x － 或y＝－ x2－x＋ . y＝ x2＋x－ 或y＝－ x2－x＋ 　 目 录 高中总复习·数学 二次函数的图象与性质（定向精析突破） 考向1　二次函数图象的识别 〔多选〕如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）图象的一部分，图象过点A（－3，0），对称轴为x＝ －1.给出下面四个结论中正确的为（　　） A. b2＞4ac B. 2a－b＝1 C. a－b＋c＝0 D. 5a＜b √ √ 目 录 高中总复习·数学 解析： 　因为图象与x 轴交于两点，所以b2－4ac＞0，即b2＞4ac，A 正确；对称轴为x＝－1，即－ ＝－1，2a－b＝0，B错误；结合图象， 当x＝－1时，y＞0，即a－b＋c＞0，C错误；由对称轴为x＝－1知，b ＝2a.根据抛物线开口向下，知a＜0，所以5a＜2a，即5a＜b，D正确. 目 录 高中总复习·数学 解题技法 识别二次函数图象应学会“三看” 目 录 高中总复习·数学 考向2　二次函数的单调性与最值 已知函数f（x）＝x2＋（2a－1）x－3. （1）当a＝2，x∈[－2，3]时，求函数f（x）的值域； 解： 当a＝2时，f（x）＝x2＋3x－3，x∈[－2，3]， 函数图象的对称轴为直线x＝－ ∈[－2，3]， ∴f（x）min＝f（－ ）＝ － －3＝－ ， f（x）max＝f（3）＝15， ∴f（x）的值域为［－ ，15］. 目 录 高中总复习·数学 （2）若函数f（x）在[－1，3]上的最大值为1，求实数a的值. 解： 函数图象的对称轴为直线x＝－ . ①当－ ≤1，即a≥－ 时，f（x）max＝f（3）＝6a＋3， ∴6a＋3＝1，即a＝－ ，满足题意； ②当－ ＞1，即a＜－ 时，f（x）max＝f（－1）＝－2a－1， ∴－2a－1＝1，即a＝－1，满足题意. 综上可知，a＝－ 或a＝－1. 目 录 高中总复习·数学 解题技法 二次函数最值问题的类型及求解策略 （1）类型：①对称轴、区间都是给定的；②对称轴变动、区间固定；③ 对称轴固定、区间变动. （2）求解策略：抓住“三点一轴”进行数形结合，三点是指区间的两个 端点和中点，一轴是指对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨 论的思想求解. 目 录 高中总复习·数学 1. 设abc＞0，二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c的图象可能是（　　） √ 目 录 高中总复习·数学 解析： 因为abc＞0，二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c，那么可知，在A 中，a＜0，b＜0，c＜0，不符合题意；B中，a＜0，b＞0，c＞0，不符 合题意；C中，a＞0，c＜0，b＞0，不符合题意，故选D. 目 录 高中总复习·数学 2. 已知二次函数f（x）满足f（2＋x）＝f（2－x），且f（x）在[0，2] 上单调递增，若f（a）≥f（0），则实数a的取值范围是（　　） A. [0，＋∞） B. （－∞，0] C. [0，4] D. （－∞，0]∪[4，＋∞） 解析： 　由f（2＋x）＝f（2－x）可知，函数f（x）图象的对称轴为直 线x＝2，又函数f（x）在[0，2]上单调递增，所以由f（a）≥f（0）可 得0≤a≤4. √ 目 录 高中总复习·数学 3. 函数f（x）＝x2－4x＋2在区间[a，b]上的值域为[－2，2]，则b－a 的取值范围是 ⁠. 解析：令f（x）＝x2－4x＋2＝2，解得x＝0或x＝4，令f（x）＝x2－4x ＋2＝－2，解得x＝2，由于函数f（x）在区间[a，b]上的值域为[－2， 2].若函数f（x）在区间[a，b]上单调，则[a，b]＝[0，2]或[a，b]＝ [2，4]，此时b－a取得最小值2；若函数f（x）在区间[a，b]上不单 调，且当b－a取最大值时，[a，b]＝[0，4]，所以b－a的最大值为4.所 以b－a的取值范围是[2，4]. [2，4]　 目 录 高中总复习·数学 PART 03 课时·跟踪检测 关键能力 | 课后练习 目 录 1. 已知幂函数f（x）的图象经过点（8，4），则函数f（x）的图象大致 为（　　） √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目 录 高中总复习·数学 解析： 　设幂函数f（x）＝xa，则8a＝4，即23a＝22，解得a＝ ，即f （x）＝ ，f（x）的定义域是R，f（－x）＝（－x ＝[（－x）2 ＝（x2 ＝ ＝f（x），函数为偶函数，由0＜ ＜1，则f（x）在[0， ＋∞） 上递增且越来越慢，故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目 录 高中总复习·数学 2. 已知函数f（x）＝ax2＋bx＋c，其中a＞0，f（0）＜0，a＋b＋c＝ 0，则（　　） A. ∀x∈（0，1），都有 f（x）＞0 B. ∀x∈（0，1），都有 f（x）＜0 C. ∃x∈（0，1），使得 f（x）＝0 D. ∃x∈（0，1），使得 f（x）＞0 √ 解析： 由a＞0，f（0）＜0，a＋b＋c＝0可知a＞0， c＜0，抛物线开口向上.因为f（0）＝c＜0，f（1）＝ a＋b＋c＝0，即1是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根，所 以∀x∈（0，1），都有f（x）＜0，B正确，A、C、D错误，故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目 录 高中总复习·数学 3. 已知幂函数f（x）＝mxn的图象过点（ ，2 ），设a＝f（m）， b＝f（n），c＝f（ln 2），则（　　） A. c＜b＜a B. c＜a＜b C. b＜c＜a D. a＜b＜c 解析： 　因为f（x）＝mxn为幂函数，故m＝1.因为函数f（x）＝mxn 的图象过点（ ，2 ），所以（ ）n＝2 ，解得n＝3.故函数f （x）＝x3，且函数为增函数.因为n＞m＞ln 2，故c＜a＜b. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目 录 高中总复习·数学 4. 已知函数f（x）＝x2－2（a－1）x＋a，若对于区间[－1，2]上的任 意两个不相等的实数x1，x2，都有f（x1）≠f（x2），则实数a的取值范 围是（　　） A. （－∞，0] B. [0，3] C. （－∞，0]∪[3，＋∞） D. [3，＋∞） 解析： 　二次函数f（x）＝x2－2（a－1）x＋a图象的对称轴为直线x ＝a－1，∵对于任意x1，x2∈[－1，2]且x1≠x2，都有f（x1）≠f （x2），即f（x）在区间[－1，2]上是单调函数，∴a－1≤－1或a－ 1≥2，∴a≤0或a≥3，即实数a的取值范围为（－∞，0]∪[3，＋∞）. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目 录 高中总复习·数学 5. 〔多选〕已知幂函数f（x）＝（m＋ ）xm，则（　　） A. f（－32）＝ B. f（x）的定义域是R C. f（x）是偶函数 D. 不等式f（x－1）≥f（2）的解集是[－1，1）∪（1，3] √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目 录 高中总复习·数学 解析： 　因为函数f（x）是幂函数，所以m＋ ＝1，得m＝－ ，即 f（x）＝ ，f（－32）＝[（－2）5 ＝（－2）－4＝ ，故A正确； 函数的定义域是{x｜x≠0}，故B不正确；因为定义域关于原点对称，f （－x）＝f（x），所以函数f（x）是偶函数，故C正确；易知函数f （x）＝ 在（0，＋∞）上单调递减，不等式f（x－1）≥f（2）等价 于｜x－1｜≤2，得－2≤x－1≤2，且x－1≠0，解得－1≤x≤3，且 x≠1，即不等式的解集是[－1，1）∪（1，3]，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目 录 高中总复习·数学 6. 〔多选〕已知二次函数y＝（m－2）x2＋2mx＋m－3的图象与x轴有 两个交点（x1，0），（x2，0），则下面说法正确的是（　　） A. 该二次函数的图象一定过定点（－1，－5） B. 若该函数图象开口向下，则m的取值范围为（ ，2） C. 当m＞2，且1≤x≤2时，y的最大值为4m－5 D. 当m＞2，且该函数图象与x轴两交点的横坐标x1，x2满足－3＜x1＜－ 2，－1＜x2＜0时，m的取值范围为（ ，11） √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目 录 高中总复习·数学 解析： 　由y＝（m－2）x2＋2mx＋m－3可得y＝m（x＋1）2－2x2 －3，当x＝－1时，y＝－5，故二次函数的图象一定过定点（－1，－ 5），A正确；若该函数图象开口向下，且与x轴有两个不同交点，则 解得 ＜m＜2，故B正确；当m＞2 时，函数图象开口向上，对称轴为x＝－ ＜0，故函数在1≤x≤2时单 调递增，当x＝2时，y＝9m－11，故y的最大值为9m－11，C错误；当m ＞2时，函数图象开口向上，又－3＜x1＜－2，－1＜x2＜0时，则x＝－3 时，y＝4m－21＞0，且x＝－2时，y＝m－11＜0，且x＝－1时，y＝－ 5＜0，且x＝0时，y＝m－3＞0，解得 ＜m＜11，m的取值范围为 （ ，11），D正确，故选A、B、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目 录 高中总复习·数学 7. 为了保证信息的安全传输，有一种密钥系统，其加密、解密原理为：发 送方由明文到密文（加密），接收方由密文到明文（解密）.设加密密钥 为y＝xα（α为常数），如“4”通过加密后得到密文“2”.若接收方接到 密文“3”，则解密后得到的明文是 ⁠. 解析：由题意可知，在函数y＝xα中，当x＝4时，y＝2，所以2＝4α，所 以α＝ .所以y＝ ，所以当y＝3时， ＝3，解得x＝9. 9　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目 录 高中总复习·数学 8. 二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图所示，确定下列各式的 正负：b 0，ac 0，a－b＋c 0.（填“＞”“＜”或 “＝”） 解析：因为a＜0，－ ＞0，c＞0，所以b＞0，ac＜0.设y＝f（x）＝ ax2＋bx＋c，则a－b＋c＝f（－1）＜0. ＞　 ＜　 ＜　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目 录 高中总复习·数学 9. 已知幂函数f（x）＝ （m∈N*），且该函数的图象经过点 （2， ）. （1）确定m的值； 解： 因为该函数的图象过点（2， ）， 所以 ＝ ＝ ， 所以m2＋m＝2，所以m＝1或m＝－2， 又m∈N*，故m＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目 录 高中总复习·数学 （2）求满足条件f（2－a）＞f（a－1）的实数a的取值范围. 解： 由（1）知f（x）＝ ，故f（x）为[0，＋∞）上的增函数， 又由f（2－a）＞f（a－1）， 得 解得1≤a＜ . 所以满足条件f（2－a）＞f（a－1）的实数a的取值范围为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目 录 高中总复习·数学 10. 已知幂函数f（x）的图象过点（2， ），则函数g（x）＝（x2＋3x ＋1）·f（x）在区间［ ，1］上的最小值为（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目 录 高中总复习·数学 解析： 　设f（x）＝xα，因为幂函数f（x）的图象过点（2， ），所 以 ＝2α，所以α＝－1，所以f（x）＝ ，所以g（x）＝（x2＋3x＋ 1）· ＝x＋ ＋3≥2 ＋3＝5，当且仅当x＝1时取等号，所以函数g （x）＝（x2＋3x＋1）·f（x）在区间［ ，1］上的最小值为5，故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目 录 高中总复习·数学 11. （2025·八省联考）已知函数f（x）＝x｜x－a｜－2a2，若当x＞2 时，f（x）＞0，则a的取值范围是（　　） A. （－∞，1] B. [－2，1] C. [－1，2] D. [－1，＋∞） √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目 录 高中总复习·数学 解析： 　法一 当a＞2，x＞2时，f（x）＝x｜x－a｜－2a2＝ 当2＜x＜a时，f（x）＝－x2＋ax－ 2a2，此时Δ＝a2－4×2a2＝－7a2＜0，所以f（x）＜0，不满足当x＞2 时，f（x）＞0，故a＞2不符合题意；当0＜a≤2，x＞2时，由f（x）＝ x｜x－a｜－2a2＝x2－ax－2a2＝（x－2a）（x＋a）＞0，解得x＞2a， 由于x＞2时，f（x）＞0，故2a≤2，解得0＜a≤1；当a＝0，x＞2时， f（x）＝x2＞0恒成立，符合题意；当a＜0，x＞2时，由f（x）＝x｜x －a｜－2a2＝x2－ax－2a2＝（x－2a）（x＋a）＞0，解得x＞－a，由 于x＞2时，f（x）＞0，故－a≤2，解得－2≤a＜0.综上－2≤a≤1， 故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目 录 高中总复习·数学 法二 ∵f（x）＝x｜x－a｜－2a2＝ ∴当x≥a 时对应的函数图象为开口向上的抛物线的一部分，而x＜a时对应的函 数图象为开口向下的抛物线的一部分.由图象分析可知，只有当x≥a时， 才有可能满足“当x＞2时，f（x）＞0”的题意.∴ 即 解得－2≤a≤1，故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目 录 高中总复习·数学 12. 〔多选〕已知函数f（x）＝x2－2x＋a有两个不同的零点x1，x2，以 下结论正确的是（　　） A. a＜1 B. 若x1x2≠0，则 ＋ ＝ C. f（－1）＝f（3） D. 函数y＝f（｜x｜）有四个零点 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目 录 高中总复习·数学 解析： 　二次函数对应二次方程根的判别式Δ＝（－2）2－4a＝4－ 4a＞0，a＜1，故A正确；由根与系数的关系得，x1＋x2＝2，x1x2＝a， ＋ ＝ ＝ ，故B正确；因为f（x）的对称轴为x＝1，点（－1， f（－1）），（3，f（3））关于对称轴对称，故C正确；当a＝0时，y＝ f（｜x｜）＝｜x｜2－2｜x｜＝｜x｜（｜x｜－2）＝0有三个零点，故 D不正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目 录 高中总复习·数学 13. 若集合A＝{α，β}⊆{－2，－1， ， ，2}，且函数f（x）＝xα与 g（x）＝xβ的图象恰有两个交点，则满足条件的不同集合A有 个. 解析：y＝x－2 的图象与y＝x－1，y＝ ，y＝ ，y＝x2的图象分别有1 个、1个、2个、2个交点；y＝x－1的图象与y＝ ，y＝ ，y＝x2的图象 分别有1个、1个、1个交点；y＝ 的图象与y＝ ，y＝x2的图象分别有 2个、2个交点；y＝ 的图象与y＝x2的图象有3个交点，综上可得，满足 函数f（x）＝xα与g（x）＝xβ的图象恰有两个交点的集合有4个：A＝ {－2， }，A＝{－2，2}，A＝{ ， }，A＝{ ，2}. 4　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目 录 高中总复习·数学 14. 已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≤0时，f（x）＝x2＋ 4x，函数f（x）在y轴左侧的图象如图所示，请根据图象： （1）画出f（x）在y轴右侧的图象，并写出函数f（x）（x∈R）的单调 区间； 解： 函数f（x）是定义在R上的奇函数，即函数f （x）的图象关于原点对称，则函数f（x）图象如图所 示. 故函数的单调递减区间为（－∞，－2），（2，＋ ∞），单调递增区间为（－2，2）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目 录 高中总复习·数学 （2）写出函数f（x）（x∈R）的解析式； 解： 根据题意，令x＞0，则－x＜0，则f（－x）＝x2－4x， 又因为函数f（x）是定义在R上的奇函数， 所以－f（x）＝f（－x）＝x2－4x，即f（x）＝－x2＋4x， 所以f（x）＝ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目 录 高中总复习·数学 （3）若函数g（x）＝f（x）＋（3－a）x＋4（x∈[2，4]），求函数g （x）的最小值. 解： 当x∈[2，4]时，f（x）＝－x2＋4x， 则g（x）＝－x2＋4x＋（3－a）x＋4＝－x2＋（7－a）x＋4， 其对称轴为x＝ ， 当 ＜3，即a＞1时，g（x）min＝g（4）＝16－4a， 当 ≥3，即a≤1时，g（x）min＝g（2）＝14－2a， 故g（x）min＝ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目 录 高中总复习·数学 15. （新定义）定义：满足f（x）＝x的实数x称为函数f（x）的不动 点，已知二次函数f（x）＝ax2＋bx，且f（x＋1）为偶函数，若函数f （x）有且仅有一个不动点. （1）求f（x）的解析式； 解： ∵f（x＋1）为偶函数，∴函数f（x）关于x＝1对称， ∴－ ＝1. ∵函数f（x）有且仅有一个不动点，则ax2＋bx＝x只有一个根， ∴Δ＝（b－1）2＝0，解得b＝1，又－ ＝1，∴a＝－ ， ∴f（x）的解析式为f（x）＝－ x2＋x. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目 录 高中总复习·数学 （2）若函数g（x）＝f（x）＋ ＋ x2，求函数g（x）在x∈[1，2]上 的最小值. 解： g（x）＝－ x2＋x＋ ＋ x2＝x＋ ，x∈[1，2]， g'（x）＝1－ ＝ ， 当k≤1时，g'（x）≥0，g（x）在[1，2]上单调递增，g（x）min＝g （1）＝1＋k； 当1＜k＜4时，g（x）在[1， ）上单调递减，在（ ，2]上单调递 增，g（x）min＝g（ ）＝2 ； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目 录 高中总复习·数学 当k≥4时，g'（x）≤0，g（x）在[1，2]上单调递减，g（x）min＝g （2）＝2＋ . 综上所述，当k≤1时，g（x）的最小值为1＋k；当1＜k＜4时，g（x） 的最小值为2 ；当k≥4时，g（x）的最小值为2＋ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目 录 高中总复习·数学 THANKS 演示完毕 感谢观看 $