第二章 第七节 指数函数-【优学精研】2026年高考数学一轮总复习教用课件

该高中数学高考复习课件聚焦指数函数专题，严格依据课标要求梳理概念、图象与性质、指数型函数综合应用三大核心考点。对接高考评价体系，通过近5年真题分析明确性质应用占比超60%的高频考点，归纳比较大小、解不等式等6类常考题型，构建系统备考框架。 课件亮点在于“真题溯源+技法提炼+素养落地”，如以2023新高考Ⅰ卷复合函数单调性题为例，提炼“同增异减”法则培养数学思维。设置指数函数与指数型函数辨析等易错点，通过跟踪训练强化得分技巧，助力学生高效突破考点，为教师提供精准复习指导方案。

第七节　指数函数 高中总复习·数学 课标要求 1. 通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念. 2. 能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象，探索并理解指数 函数的单调性与特殊点. 目 录 CONTENTS 知识·逐点夯实 01. 考点·分类突破 02. 课时·跟踪检测 03. PART 01 知识·逐点夯实 必备知识 | 课前自修 目 录 1. 指数函数的概念 函数y＝ （a＞0，且a≠1）叫做指数函数，其中指数x是自变量， 定义域是R，a是底数. 提醒 形如y＝kax（y＝ax＋k）（k∈R且k≠0，a＞0且a≠1）的函数叫做 指数型函数，只有k＝1时，y＝ax才是指数函数. ax　 目 录 高中总复习·数学 2. 指数函数的图象与性质 底数 a＞1 0＜a＜1 图象 性质 定义域为 ，值域为 ⁠ 图象过定点 ⁠ 当x＞0时，恒有y＞1；当 x＜0时，恒有0＜y＜1 当x＞0时，恒有0＜y＜1；当x＜ 0时，恒有y＞1 ⁠函数 ⁠函数 R　 （0，＋∞）　 （0，1）　 增　 减　 提醒 指数函数y＝ax（a＞0，a≠1）的图象和性质跟a的取值有关，应分 a＞1与0＜a＜1来研究. 目 录 高中总复习·数学 1. 函数y＝ax与y＝（ ）x（a＞0，且a≠1）的图象关于y轴对称. 2. 作指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1）的图象， 应抓住三个关键点：（1，a），（0，1）， （－1， ）. 3. 底数a的大小决定了指数函数图象相对位置的 高低，不论是a＞1，还是0＜a＜1，在第一象限 内底数越大，函数图象越高，即“底大图高”. 目 录 高中总复习·数学 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）函数y＝3·2x与y＝2x＋1都不是指数函数. （　√　） （2）若am＜an（a＞0，且a≠1），则m＜n. （　×　） （3）若函数f（x）是指数函数，且f（1）＞1，则f（x）是增函数. （　√　） √ × √ 目 录 高中总复习·数学 2. （苏教必修一P145例3（2）改编）函数y＝ax＋2＋1（a＞0，且a≠1） 的图象过定点（　　） A. （－1，1） B. （2，1） C. （－2，2） D. （2，－2） 解析： 　令x＋2＝0，则x＝－2，此时y＝a－2＋2＋1＝2，故函数y＝ax＋ 2＋1的图象过定点（－2，2），故选C. √ 目 录 高中总复习·数学 3. 〔多选〕下列函数中，值域为（0，＋∞）的是（　　） A. y＝x2 B. y＝ C. y＝2x D. y＝3x－1 解析： 　y＝x2的值域为[0，＋∞）；y＝ 的值域为（－∞，0）∪ （0，＋∞）；y＝2x的值域为（0，＋∞）；y＝3x－1的值域为（0，＋ ∞）. √ √ 目 录 高中总复习·数学 4. （人A必修一 P119习题3题改编）已知2x－1＜23－x，则x的取值范围 是 ⁠. 解析：由指数函数的性质，得x－1＜3－x，解得x＜2，所以x的取值范围 是（－∞，2）. 5. 若函数f（x）＝ax在[－1，1]上的最大值为2，则a＝ ⁠. 解析：若a＞1，则f（x）max＝f（1）＝a＝2；若0＜a＜1，则f（x）max ＝f（－1）＝a－1＝2，得a＝ . （－∞，2）　 2或 　 目 录 高中总复习·数学 PART 02 考点·分类突破 精选考点 | 课堂演练 目 录 指数函数的图象及应用（师生共研过关） （1）设a，b为实数，a＞0，a≠1.已知函数y＝ax＋b的图象如图 所示，则下列结论正确的是（　B　） B A. a＞1，b＜0 B. a＞1，b＜－1 C. 0＜a＜1，b＞1 D. 0＜a＜1，b＜－1 目 录 高中总复习·数学 解析： 由题图可知函数y＝ax＋b为增函数，即a＞1，所以a的取值 范围为（1，＋∞）；由题图可知当x＝0时，有y＝a0＋b＝1＋b＜0，解 得b＜－1，所以b的取值范围为（－∞，－1）. 目 录 高中总复习·数学 （2）若直线y＝2a与函数y＝｜ax－1｜（a＞0，且a≠1）的图象有两个 交点，则a的取值范围是 ⁠. 解析： y＝｜ax－1｜的图 象是由y＝ax的图象先向下平移 1个单位长度，再将x轴下方的 图象翻折到x轴上方，保持x轴 上及其上方的图象不变得到的.当a＞1时，如图1，两图象只有一个交点，不符合题意；当0＜a＜1时，如图2，要使两个图象有两个交点，则0＜2a＜1，即0＜a＜ .综上可知，a的取值范围是（0， ）. （0， ）　 目 录 高中总复习·数学 解题技法 有关指数函数图象问题的解题策略 （1）已知函数解析式判断其图象，一般是取特殊点，判断选项中的图象 是否过这些点，若不满足，则排除； （2）对于指数（型）函数图象的问题，一般是从最基本的指数函数的图 象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到所求函数的图象.特别地，当底 数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论. 目 录 高中总复习·数学 1. 函数f（x）＝（ ）｜x＋1｜的图象大致为（　　） 解析： 作出函数y＝（ ）｜x｜的图象，如图所 示，将y＝（ ）｜x｜的图象向左平移1个单位长度得到 f（x）＝（ ）｜x＋1｜的图象. √ 目 录 高中总复习·数学 2. 已知函数y＝2｜x＋a｜的图象关于y轴对称，则实数a＝ ⁠. 解析：由于函数图象关于y轴对称，所以函数为偶函数，所以2｜x＋a｜＝2｜ －x＋a｜.根据指数函数的单调性可知｜x＋a｜＝｜－x＋a｜，只有当a＝ 0时，等式恒成立.故a＝0. 0　 目 录 高中总复习·数学 指数函数的性质及应用（定向精析突破） 考向1　比较指数式的大小 （人A必修一 P117例3改编）已知a＝0.30.6，b＝0.30.5，c＝ 0.40.5，则（　　） A. a＞b＞c B. a＞c＞b C. b＞c＞a D. c＞b＞a 解析： 　由指数函数y＝0.3x在定义域内是减函数，得a＜b，由幂函数 y＝x0.5在定义域内是增函数，得c＞b. √ 目 录 高中总复习·数学 解题技法 比较指数式大小的方法 （1）能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小； （2）不能化成同底数的，一般引入“0”“1”等中间量比较大小. 目 录 高中总复习·数学 考向2　解简单的指数方程或不等式 （1）已知不等式 ≤（ ）x－2的解集为A，则A＝ ⁠ ⁠； 解析： ∵（ ）x－2＝（2－2）x－2＝2－2x＋4，∴ ≤2－2x＋4，即x2 ＋1≤－2x＋4，即x2＋2x－3≤0，∴－3≤x≤1，故A＝[－3，1]. [－3， 1]　 目 录 高中总复习·数学 解析：依题意有f（0）＝40－a·2－1＋4＝0，解得a＝10，于是f（x）＝4x －10·2x－1＋4＝（2x）2－5·2x＋4，令2x＝t（t＞0），则函数化为y＝t2－ 5t＋4，令y＝0，解得t＝1或t＝4，当t＝1时，得x＝0；当t＝4时，得x ＝2，所以函数f（x）的另一个零点为2. （2）若函数f（x）＝4x－a·2x－1＋4的一个零点是0，那么它的另一个零 点为 ⁠. 2　 目 录 高中总复习·数学 解题技法 解指数方程或不等式的依据及方法 （1）解指数方程或不等式的依据：①af（x）＝ag（x）⇔f（x）＝g （x）；②af（x）＞ag（x），当a＞1时，等价于f（x）＞g（x）；当0＜a ＜1时，等价于f（x）＜g（x）； （2）解指数方程或不等式的方法：先利用幂的运算性质化为同底数幂， 再利用函数单调性转化为一般不等式求解. 目 录 高中总复习·数学 1. （2023·天津高考3题）若a＝1.010.5，b＝1.010.6，c＝0.60.5，则a， b，c的大小关系为（　　） A. c＞a＞b B. c＞b＞a C. a＞b＞c D. b＞a＞c 解析： 　∵指数函数y＝1.01x是增函数，又0.6＞0.5，∴1.010.6＞ 1.010.5，故b＞a.∵幂函数y＝x0.5是增函数，又1.01＞0.6，∴1.010.5＞ 0.60.5，故a＞c.故选D. √ 目 录 高中总复习·数学 2. 设函数f（x）＝ 则使得f（x）≤2成立的x的取值范围 是 ⁠. 解析：当x＜1时，由2x－1≤2，得x＜1；当x≥1时，由 ≤2，得 1≤x≤4.所以使得f（x）≤2成立的x的取值范围为（－∞，4]. （－∞，4]　 目 录 高中总复习·数学 指数型函数性质的综合问题（师生共研过关） （1）（2023·新高考Ⅰ卷4题）设函数f（x）＝2x（x－a）在区间（0， 1）上单调递减，则实数a的取值范围是（　D　） A. （－∞，－2] B. [－2，0） C. （0，2] D. [2，＋∞） D 解析： 设t＝x（x－a），易知函数y＝2t是增函数.因为f（x）＝ 2x（x－a）在（0，1）上单调递减，所以由复合函数的单调性可知函数t＝x （x－a）在（0，1）上单调递减.因为函数t＝x（x－a）在（－∞， ） 上单调递减，所以 ≥1，即a≥2.故选D. 目 录 高中总复习·数学 （2）〔多选〕（2025·温州高三统一测试）已知函数f（x）＝ ，则 （　AD　） A. 不等式｜f（x）｜＜ 的解集是（－1，1） B. ∀x∈R，有f（－x）＝f（x） C. f（x）在R上是减函数 D. f（x）的值域为（－1，1） AD 目 录 高中总复习·数学 解析： 对于A，｜f（x）｜＜ ，即－ ＜ ＜ ，即－ ＜1－ ＜ ，即 ＜ ＜ ，即 ＜2x＋1＜3，即 ＜2x＜2，所以－1＜x＜ 1，故A正确；对于B，f（－x）＝ ＝ ＝－f（x），故B错误； 对于C，f（x）＝1－ ，因为u＝2x＋1在R上是增函数，且u＞1，y ＝1－ 在u＞1时单调递增，所以f（x）在R 上是增函数，故C错误；对于 D，记y＝f（x）＝1－ ，显然y≠1，则2x＝ ，由2x＞0得， ＞0，解得－1＜y＜1，所以函数f（x）的值域为（－1，1），故D正确. 综上，选A、D. 目 录 高中总复习·数学 解题技法 指数型函数问题的求解策略 　　对于指数型函数问题，关键是判断其单调性，对于形如y＝af（x）的函 数的单调性，它的单调区间与f（x）的单调区间有关：若a＞1，则函数f （x）的单调递增（减）区间即为函数y＝af（x）的单调递增（减）区间； 若0＜a＜1，则函数f（x）的单调递增（减）区间即为函数y＝af（x）的单 调递减（增）区间. 目 录 高中总复习·数学 1. 若函数f（x）＝a｜x＋1｜（a＞0，且a≠1）的值域为[1，＋∞），则f （－4）与f（1）的关系是（　　） A. f（－4）＞f（1） B. f（－4）＝f（1） C. f（－4）＜f（1） D. 不能确定 解析： 　由题意知a＞1，所以f（－4）＝a3，f（1）＝a2，由指数函数 的单调性知a3＞a2，所以f（－4）＞f（1）. √ 目 录 高中总复习·数学 2. 已知奇函数f（x）＝ax－b·a－x（a＞0，a≠1）在[－1，1]上的最大 值为 ，则a＝（　　） A. 或3 B. 或2 C. 3 D. 2 √ 目 录 高中总复习·数学 解析： 　由奇函数的性质可知，f（0）＝0，∴1－b＝0，∴b＝1，经检 验，b＝1符合题意，∴f（x）＝ax－a－x.当a＞1时，f（x）＝ax－a－x 在[－1，1]上单调递增，∴f（x）max＝f（1）＝a－a－1＝ ，解得a＝3 或a＝－ （舍去）；当0＜a＜1时，f（x）＝ax－a－x在[－1，1]上单调 递减，∴f（x）max＝f（－1）＝a－1－a＝ ，解得a＝ 或a＝－3（舍 去）.综上所述，a＝3或a＝ .故选A. 目 录 高中总复习·数学 PART 03 课时·跟踪检测 关键能力 | 课后练习 目 录 1. 已知指数函数f（x）＝（2a2－5a＋3）ax在（0，＋∞）上单调递增， 则实数a＝（　　） A. B. 1 C. D. 2 解析： 　由题意得2a2－5a＋3＝1， ∴2a2－5a＋2＝0， ∴a＝2或a＝ .当a＝2时，f（x）＝2x在（0，＋∞）上单调递增，符合题意；当a＝ 时，f（x）＝（ ）x在（0，＋∞）上单调递减，不符合题意.∴a＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 目 录 高中总复习·数学 2. （2024·天津高考5题）若a＝4.2－0.3，b＝4.20.3，c＝log4.20.2，则 a，b，c的大小关系为（　　） A. a＞b＞c B. b＞a＞c C. c＞a＞b D. b＞c＞a 解析： 由函数y＝4.2x是增函数可知，0＜a＜1＜b，又c＝log4.20.2＜ 0，故b＞a＞c，故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目 录 高中总复习·数学 3. 若函数y＝2－x＋1＋m的图象不经过第一象限，则m的取值范围是 （　　） A. （－∞，－2] B. [－2，＋∞） C. （－∞，－1] D. [－1，＋∞） 解析： 　y＝2－x＋1＋m＝（ ）x－1＋m，由指数函数的单调性可得函数 为减函数，因为图象不经过第一象限，所以当x＝0时，（ ）－1＋m≤0， 解得m≤－2，故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目 录 高中总复习·数学 4. 已知函数f（x）＝1＋2x－｜1－2x｜，则f（x）的值域是（　　） A. （－∞，2] B. （0，2] C. （0，3] D. [1，2] 解析： 　①当x≤0时，0＜2x≤1，所以f（x）＝1＋2x－1＋2x＝2·2x， 又因为0＜2x≤1，所以0＜2·2x≤2，所以0＜f（x）≤2；②当x＞0时，2x ＞1，所以f（x）＝1＋2x＋1－2x＝2.综上，f（x）的值域为（0，2].故 选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目 录 高中总复习·数学 5. （2025·珠海阶段练习）若函数f（x）＝（ ）（x－a）（x＋2）在区间（－ 1，2）上单调递增，则a的取值范围是（　　） A. [0，6] B. [－2，0] C. [6，＋∞） D. （6，＋∞） 解析： 　f（x）＝（ ，设y＝（ ）t，t＝x2－（a－ 2）x－2a，因为y＝（ ）t是减函数，f（x）在（－1，2）上单调递 增，所以t＝x2－（a－2）x－2a在（－1，2）上单调递减，则 ≥2， 即a≥6.故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目 录 高中总复习·数学 6. 〔多选〕（2025·乌鲁木齐质量监测）已知函数f（x）＝ ，g （x）＝ ，则（　　） A. 函数f（x）在R上是增函数 B. 函数f（x）g（x）是奇函数 C. 函数f（x）与g（x）的图象关于原点对称 D. g（2x）＝[f（x）]2＋[g（x）]2 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目 录 高中总复习·数学 解析： 　对于A，因为y＝ex在R上是增函数，y＝－e－x在R上是增函 数，所以f（x）＝ 在R上是增函数，故A正确；对于B，因为f （x）g（x）＝ · ＝ ，所以f（－x）g（－x）＝ ＝－f（x）g（x），所以f（x）g（x）为奇函数，故B正确； 对于C，因为f（x）为奇函数，图象关于原点对称，而g（x）为偶函数， 图象关于y轴对称，所以f（x）与g（x）的图象不会关于原点对称，故C 错误；对于D，[f（x）]2＋[g（x）]2＝（ ）2＋（ ）2＝ ＋ ＝ ＝g（2x），故D正确.综上，选A、 B、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目 录 高中总复习·数学 7. 写出一个值域为（－∞，1），在区间（－∞，＋∞）上是增函数的函 数f（x）＝ ⁠. 解析：f（x）＝1－（ ）x，理由如下：∵y＝（ ）x为R上的减函数， 且（ ）x＞0，∴f（x）＝1－（ ）x为R上的增函数，且f（x）＝1－ （ ）x＜1，∴f（x）＝1－（ ）x符合题意. 1－（ ）x（答案不唯一）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目 录 高中总复习·数学 8. 对任意实数a＞1，函数y＝（a－1）x－1＋1的图象过定点A（m， n），f（x）＝（ ）x的定义域为[0，2]，g（x）＝f（2x）＋f （x），则g（x）的值域为 .　　 解析：令x－1＝0，得x＝1，此时y＝（a－1）0＋1＝2，所以函数y＝ （a－1）x－1＋1的图象过定点A（1，2），即m＝1，n＝2，所以f（x） ＝（ ）x＝2x，x∈[0，2]，所以g（x）＝f（2x）＋f（x）＝22x＋ 2x，所以 得0≤x≤1，所以g（x）的定义域为[0，1].又y ＝22x，y＝2x均是增函数，所以g（x）是增函数，所以g（x）的值域为 [2，6]. [2，6]　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目 录 高中总复习·数学 9. 已知函数f（x）＝（ ）｜x｜－a. （1）求f（x）的单调区间； 解： 不论a取何值，u＝｜x｜－a在（－∞，0]上单调递减，在 （0，＋∞）上单调递增，又y＝（ ）u是减函数，因此f（x）的单调递 增区间是（－∞，0]，单调递减区间是（0，＋∞）. （2）若f（x）的最大值等于 ，求实数a的值. 解： 由于f（x）的最大值是 ，且 ＝（ ）－2，所以u（x）＝｜ x｜－a有最小值－2，即u（0）＝－2，从而a＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目 录 高中总复习·数学 10. 已知f（x）＝2x－2－x，则使f（x）＜f（－3x2＋4）成立的实数x的 取值范围是（　　） A. （－ ，1） B. （－1， ） C. （－∞，1）∪（ ，＋∞） D. （－∞，－ ）∪（1，＋∞） 解析： 　因为f（x）＝2x－2－x＝2x－（ ）x，所以f（x）是增函数， 又因为f（x）＜f（－3x2＋4），所以x＜－3x2＋4，3x2＋x－4＜0，所以 （3x＋4）（x－1）＜0，所以x的取值范围为（－ ，1）.故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目 录 高中总复习·数学 11. 对于函数f（x），若在定义域内存在实数x0，满足f（－x0）＝－f （x0），则称f（x）为“局部奇函数”.已知f（x）＝－aex－1在R上为 “局部奇函数”，则a的取值范围是（　　） A. [－1，＋∞） B. （－∞，－1] C. [－1，0） D. （－∞，1] 解析： 　因为f（x）＝－aex－1在R上为“局部奇函数”，所以存在实 数x0，使得－a －1＝a ＋1，所以方程－ae－x－1＝aex＋1在R上 有解，所以方程 ＝a在R上有解，又ex＋e－x＝ex＋ ≥2，当且仅 当x＝0时等号成立，所以－1≤a＜0，所以a的取值范围是[－1，0）. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目 录 高中总复习·数学 12. 〔多选〕已知非零实数a，b满足3a＝2b，则下列不等关系中正确的是 （　　） A. a＜b B. 若a＜0，则b＜a＜0 C. ｜a｜＜｜b｜ D. 若0＜a＜log32，则ab＜ba 解析： 　如图，由指数函数的图象可知，0＜a＜ b或者b＜a＜0，所以A错误，B、C正确；D选项中，0 ＜a＜log32⇒0＜a＜b＜1，则有ab＜aa＜ba，所以D 正确. √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目 录 高中总复习·数学 13. 已知函数y＝a2x＋2ax－1（a＞0，a≠1）在区间[－1，1]上的最大值 是7，则a＝ ⁠. 解析：设t＝ax，又x∈[－1，1]，若a＞1，则t∈ ，函数y＝a2x＋ 2ax－1＝t2＋2t－1＝（t＋1）2－2，对称轴为t＝－1，则t＝a，即x＝1 时，ymax＝（a＋1）2－2＝7，解得a＝2或a＝－4（舍）；若0＜a＜1， 则t∈ ，函数y＝a2x＋2ax－1＝t2＋2t－1＝（t＋1）2－2，对称轴 为t＝－1，则t＝ ，即x＝－1时，ymax＝（ ＋1）2－2＝7，解得a＝ 或 a＝－ （舍）.综上，a＝ 或2. 2或 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目 录 高中总复习·数学 14. 已知定义域为R的函数f（x）＝ax－（k－1）a－x（a＞0且a≠1）是 奇函数. （1）求实数k的值； 解： ∵f（x）是定义域为R的奇函数， ∴f（0）＝a0－（k－1）a0＝1－（k－1）＝0，∴k＝2， 经检验k＝2符合题意，∴k＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目 录 高中总复习·数学 （2）若f（1）＜0，判断函数f（x）的单调性，若f（m2－2）＋f（m） ＞0，求实数m的取值范围. 解： 由（1）得f（x）＝ax－a－x（a＞0且a≠1）， ∵f（1）＜0，∴a－ ＜0， 又a＞0，且a≠1，∴0＜a＜1， ∴y＝ax为减函数，y＝－a－x为减函数， 故由单调性的性质可判断f（x）＝ax－a－x为减函数， 不等式f（m2－2）＋f（m）＞0可化为f（m2－2）＞f（－m）， ∴m2－2＜－m，即m2＋m－2＜0，解得－2＜m＜1， ∴实数m的取值范围是（－2，1）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目 录 高中总复习·数学 15. （定义新运算）在实数集R中定义一种运算“*”，对任意a，b∈R， a*b为唯一确定的实数，且具有以下性质： （1）对任意a∈R，a*0＝a； （2）对任意a，b∈R，a*b＝ab＋（a*0）＋（b*0）. 关于函数f（x）＝ex* 的性质，有如下说法： ①函数f（x）的最小值为3； ②函数f（x）为偶函数； ③函数f（x）的单调递增区间为（－∞，0]. 其中正确说法的个数为（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目 录 高中总复习·数学 解析： 　由定义，可得f（x）＝ex* ＝1＋ex＋ .由于1＋ex＋ ≥1 ＋2 ＝3，当且仅当ex＝ ，即x＝0时“＝”成立，故①正确；因 为f（－x）＝1＋e－x＋ ＝1＋ex＋ ＝f（x），则函数f（x）为偶函 数，故②正确；因为f'（x）＝ex－ ，令f'（x）＞0，得x＞0，故函数f （x）的单调递增区间为（0，＋∞），故③错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目 录 高中总复习·数学 16. （新定义）定义在D上的函数f（x），如果满足：对任意x∈D，存 在常数M＞0，都有－M≤f（x）≤M成立，则称f（x）是D上的有界函 数，其中M称为函数f（x）的上界.已知f（x）＝4x＋a·2x－2. （1）当a＝－2时，求函数f（x）在（0，＋∞）上的值域，并判断函数f （x）在（0，＋∞）上是否为有界函数，请说明理由； 解： 当a＝－2时， f（x）＝4x－2×2x－2＝（2x－1）2－3， 令2x＝t，由x∈（0，＋∞），可得t∈（1，＋∞）. 令g（t）＝（t－1）2－3，有g（t）＞－3， 可得函数f（x）的值域为（－3，＋∞）， 故函数f（x）在（0，＋∞）上不是有界函数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目 录 高中总复习·数学 （2）若函数f（x）在（－∞，0）上是以2为上界的有界函数，求实数a 的取值范围. 解： 由题意，当x∈（－∞，0）时，－2≤4x＋a·2x－2≤2， 可化为0≤4x＋a·2x≤4， 必有a·2x≥0且a≤ －2x. 令2x＝k，由x∈（－∞，0），可得k∈（0，1）， 由a·2x≥0恒成立，可得a≥0， 令h（k）＝ －k（0＜k＜1）， 可知函数h（k）为减函数， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目 录 高中总复习·数学 有h（k）＞h（1）＝4－1＝3， 由a≤ －2x恒成立，可得a≤3， 若故函数f（x）在（0，＋∞）上是以2为上界的有界函数，则实数a的取 值范围为[0，3]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目 录 高中总复习·数学 THANKS 演示完毕 感谢观看 $