第二章 第八节 对数函数-【优学精研】2026年高考数学一轮总复习教用课件

该高中数学高考复习课件聚焦对数函数专题，依据课标要求系统梳理定义、图象性质、反函数等核心考点，对接高考评价体系分析近五年高频考点分布，如比较大小占35%、复合函数单调性占40%，归纳图象识别、解不等式等常考题型，通过真题改编题和对点自测体现备考针对性。 课件亮点在于“真题引路+技法提炼+素养落地”，以2024新高考Ⅱ卷8题为例解析复合函数单调性，培养数学思维，用中间量法突破比较大小题，渗透数学眼光，总结“定义域优先+分类讨论”技巧，帮助学生掌握得分要点，教师可借助课时跟踪检测实现精准复习，助力高考冲刺。

第八节　对数函数 高中总复习·数学 课标要求 1. 通过具体实例，了解对数函数的概念；能用描点法或借助计算工具画出 具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点. 2. 知道对数函数y＝logax与指数函数y＝ax互为反函数（a＞0，且 a≠1）. 目 录 CONTENTS 知识·逐点夯实 01. 考点·分类突破 02. 课时·跟踪检测 03. PART 01 知识·逐点夯实 必备知识 | 课前自修 目 录 1. 对数函数 （1）定义：函数y＝ （a＞0，且a≠1）叫做对数函数，其中x 是自变量，定义域是 ⁠. 提醒 对数函数y＝logax的3个特征：①底数a＞0，且a≠1；②自变量x＞ 0；③系数为1. logax　 （0，＋∞）　 目 录 高中总复习·数学 （2）图象与性质 底数 a＞1 0＜a＜1 图象 目 录 高中总复习·数学 底数 a＞1 0＜a＜1 性质 定义域： ⁠ 值域：R 图象过定点 ，即恒有loga1＝0 当x＞1时，恒有y＞0； 当0＜x＜1时，恒有y＜0 当x＞1时，恒有y＜0； 当0＜x＜1时，恒有y＞0 在（0，＋∞）上是 ⁠ 在（0，＋∞）上是 ⁠ 提醒 当对数函数的底数a的大小不确定时，需分a＞1和0＜a＜1两种情况 进行讨论. （0，＋∞）　 （1，0）　 增函数　 减函数　 目 录 高中总复习·数学 2. 反函数 指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1）与对数函数y＝logax（a＞0，且 a≠1）互为反函数，它们的定义域与值域正好互换. 目 录 高中总复习·数学 1. 函数y＝logax与y＝lo x（a＞0，且a≠1）的图象关于x轴对称. 2. 对数函数y＝logax（a＞0，且a≠1）的图象过定点（1，0），且过点 （a，1），（ ，－1），函数图象只在第一、四象限. 3. 对数函数的图象与底数大小的比较：如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数.故0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我们 可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大. 目 录 高中总复习·数学 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）函数y＝log2（x＋1）是对数函数. （　×　） （2）对数函数y＝logax（a＞0，且a≠1）在（0，＋∞）上是增函数. （　×　） （3）函数y＝logax2与函数y＝2logax是同一个函数. （　×　） （4）函数y＝log2x与y＝lo 的图象重合. （　√　） × × × √ 目 录 高中总复习·数学 2. （人A必修一 P133例3改编）已知实数a＝log32，b＝log2π，c＝ log2 ，则有（　　） A. a＜b＜c B. a＜c＜b C. c＜a＜b D. c＜b＜a 解析：A　a＝log32＜log33＝1＜b＝log2π＜c＝log2 ，故选A. 目 录 高中总复习·数学 3. （苏教必修一P159习题11题改编）若loga2＜logb2＜0，则（　　） A. 0＜a＜b＜1 B. 0＜b＜a＜1 C. a＞b＞1 D. b＞a＞1 解析： 　由底数与对数函数的图象关系可知y＝logax，y＝logbx图象的大致走向如图所示，可得0＜b＜a＜1. √ 目 录 高中总复习·数学 4. 函数y＝loga（x－1）＋2（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点 ⁠ ⁠. 解析：当x＝2时，函数y＝loga（x－1）＋2（a＞0，且a≠1）的值为 2，所以图象恒过定点（2，2）. 5. （人A必修一 P140习题1题改编）函数f（x）＝ 的定 义域为 ⁠. 解析：由题意，要使函数f（x）＝ 有意义，则满足log2 （2x－1）≥0，所以2x－1≥1，解得x≥1，即函数f（x）的定义域为 [1，＋∞）. （2， 2）　 [1，＋∞）　 目 录 高中总复习·数学 PART 02 考点·分类突破 精选考点 | 课堂演练 目 录 对数函数的图象及应用（师生共研过关） （1）已知lg a＋lg b＝0（a＞0，且a≠1，b＞0，且b≠1），则函 数f（x）＝ax与g（x）＝lo x的图象可能是（　B　） B 目 录 高中总复习·数学 解析： ∵lg a＋lg b＝0（a＞0且a≠1，b＞0且b≠1），∴ab＝1， ∴a＝ ，∴g（x）＝lo x＝logax，函数f（x）＝ax与函数g（x）＝ lo x互为反函数，∴函数f（x）＝ax与g（x）＝lo x的图象关于直线 y＝x对称，且具有相同的单调性. 目 录 高中总复习·数学 （2）已知函数f（x）＝｜log2x｜，实数a，b满足0＜a＜b，且f（a） ＝f（b），若f（x）在[a2，b]上的最大值为2，则 ＋b＝ ⁠. 解析： f（x）＝｜log2x｜的图象如图所示，又f（a） ＝f（b）且0＜a＜b，∴0＜a＜1，b＞1且ab＝1，∴a2＜ a，当a2≤x≤b时，由图知，f（x）max＝f（a2）＝｜ log2a2｜＝－2log2a＝2，∴a＝ ，∴b＝2.∴ ＋b＝4. 4　 目 录 高中总复习·数学 用结论 互为反函数的常用结论 （1）同底的指数函数、对数函数互为反函数； （2）若f（x）与g（x）互为反函数，则f（x）的定义域、值域分别为g （x）的值域、定义域； （3）互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称. 目 录 高中总复习·数学 （1）设函数f（x）与g（x）互为反函数，若f（x）＝3x（x＜ 0），则函数g（x）的定义域为 ⁠； 解析： 因为f（x）＝3x（x＜0）单调递增，所以0＜3x＜30，所以0 ＜3x＜1，故f（x）的值域为（0，1），因为f（x）与g（x）互为反函 数，所以g（x）的定义域为（0，1）. （0，1）　 目 录 高中总复习·数学 （2）若关于x的方程x＋log5x＝4与x＋5x＝4的根分别为m，n，则m＋n 的值为 ⁠. 解析： 由题意，可知log5x＝－x＋4，5x＝－x ＋4，且函数y＝log5x与y＝5x互为反函数，对应的图 象关于直线y＝x对称，如图，直线y＝x与y＝－x＋ 4垂直，所以两函数的图象与直线y＝－x＋4的交点 A，B关于直线y＝x对称，设直线y＝x与y＝－x＋ 4的交点为C，则C（2，2），A，B两点的横坐标分别为m，n，因此m＋n＝4. 4　 目 录 高中总复习·数学 解题技法 对数函数图象的识别及应用 （1）在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特 殊点（与坐标轴的交点、最高点、最低点等）排除不符合要求的选项； （2）一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用 数形结合法求解. 目 录 高中总复习·数学 1. 已知函数f（x）＝loga（x－b）（a＞0且a≠1，a，b为常数）的图 象如图所示，则下列结论正确的是（　　） A. a＞0，b＜－1 B. a＞0，－1＜b＜0 C. 0＜a＜1，b＜－1 D. 0＜a＜1，－1＜b＜0 解析： 因为函数f（x）＝loga（x－b）为减函数，所以0＜a＜1，又 因为函数图象与x轴的交点在正半轴，所以1＋b＞0，即b＞－1，又因为 函数图象与y轴有交点，所以b＜0，所以－1＜b＜0.故选D. √ 目 录 高中总复习·数学 2. 方程（ ）x－ ＝0的解的个数为 ⁠. 解析：方程（ ）x－ ＝0的解的个数，等 价于函数y＝（ ）x和函数y＝ 的图象的 交点个数，作出两函数的图象，如图所示.数形 结合可得，函数y＝（ ）x和函数y＝ 的图象的交点个数为2. 2　 目 录 高中总复习·数学 对数函数的性质及应用（定向精析突破） 考向1　比较对数值的大小 （1）（2025·赤峰阶段练习）设a＝21.2，b＝lg 3，c＝ln ，则a， b，c的大小顺序为（　A　） A. a＞b＞c B. a＞c＞b C. b＞a＞c D. c＞a＞b A 目 录 高中总复习·数学 解析： 由函数y＝ln x，y＝lg x在（0，＋∞）上是增函数，可得ln ＜ln 1＝0，0＝lg 1＜lg 3＜lg 10＝1.因函数y＝2x在R上是增函数，则21.2 ＞21＝2.故ln ＜ln 1＝0＝lg 1＜lg 3＜1＜21.2，即a＞b＞c.故选A. 目 录 高中总复习·数学 （2）〔多选〕（2025·驻马店模拟）若实数a，b，c满足loga2＜logb2＜ logc2，则下列关系中可能成立的是（　BCD　） A. a＜b＜c B. b＜a＜c C. c＜b＜a D. a＜c＜b BCD 目 录 高中总复习·数学 解析： 由loga2＜logb2＜logc2，可知a，b，c有如下四种可能：①1 ＜c＜b＜a；②0＜a＜1＜c＜b；③0＜b＜a＜1＜c；④0＜c＜b＜a ＜1.作出函数的图象（如图所示）. 由图象可知B、C、D可能成立. 目 录 高中总复习·数学 解题技法 比较对数值大小的方法 目 录 高中总复习·数学 考向2　解对数方程或不等式 （1）方程log2（x－1）＝2－log2（x＋1）的解为 ⁠； 解析： 原方程变形为log2（x－1）＋log2（x＋1）＝log2（x2－1）＝ 2，即x2－1＝4，解得x＝± .又x＞1，所以x＝ . x＝ 　 目 录 高中总复习·数学 （2）已知函数f（x）＝ 则不等式f（（log2x）2－3）＜ 4f（log2x）的解集为 ⁠. 解析： 当x≥0时，f（x）＝2x2≥0，4f（x）＝8x2＝f（2x），且f （x）在[0，＋∞）上单调递增.当x＜0时，f（x）＝－2x2＜0，4f（x） ＝－8x2＝f（2x），且f（x）在（－∞，0）上单调递增.所以f（x）在R 上是增函数，且4f（x）＝f（2x），于是原不等式可化为（log2x）2－3 ＜2log2x，即（log2x）2－2log2x－3＜0，即（log2x＋1）（log2x－3）＜ 0，得－1＜log2x＜3，解得 ＜x＜8. （ ，8）　 目 录 高中总复习·数学 解题技法 求解对数不等式的两种类型及方法 （1）logax＞logab：借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定， 需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论； （2）logax＞b：需先将b化为以a为底的对数式的形式，再借助y＝logax 的单调性求解. 目 录 高中总复习·数学 1. 已知a＝log30.5，b＝log3π，c＝log43，则a，b，c的大小关系是 （　　） A. a＜b＜c B. b＜a＜c C. a＜c＜b D. c＜a＜b 解析： 　a＝log30.5＜log31＝0，即a＜0；b＝log3π＞log33＝1，即b＞ 1；0＝log41＜log43＜log44＝1，即0＜c＜1，∴a＜c＜b. √ 目 录 高中总复习·数学 2. 不等式logx（x＋2）＞1的解集是（　　） A. （2，＋∞） B. （1，＋∞） C. （0，1） D. （0，1）∪（1，＋∞） 解析： 　logx（x＋2）＞1⇔ ①或 ②，①无解， ②的解为x＞1，∴x＞1，故选B. √ 目 录 高中总复习·数学 对数型函数性质的综合问题（师生共研过关） （1）（2024·新高考Ⅱ卷8题）设函数f（x）＝（x＋a）·ln（x＋ b）.若f（x）≥0，则a2＋b2的最小值为（　C　） A. B. C. D. 1 C 目 录 高中总复习·数学 解析： 法一 由题意可知：f（x）的定义域为（－b，＋∞），令x ＋a＝0解得x＝－a；令ln（x＋b）＝0解得x＝1－b，则当x∈（－b，1 －b）时，ln（x＋b）＜0，故x＋a≤0，所以1－b＋a≤0；当x∈（1－ b，＋∞）时，ln（x＋b）＞0，故x＋a≥0，所以1－b＋a≥0，故1－b ＋a＝0，则a2＋b2＝a2＋（a＋1）2＝2（a＋ ）2＋ ≥ ，当a＝－ ， b＝ 时，等号成立，所以a2＋b2的最小值为 .故选C. 目 录 高中总复习·数学 法二 令f（x）＝0，解得x＝－a或x＝1－b.易知y1＝x＋a，y2＝ln（x ＋b）均为增函数.若f（x）≥0恒成立，则－a＝1－b，即b＝1＋a.所 以a2＋b2＝a2＋（1＋a）2＝2（a＋ ）2＋ ≥ ，当a＝－ ，b＝ 时， 等号成立，所以（a2＋b2）min＝ . 目 录 高中总复习·数学 （2）（2025·江西一模）若函数f（x）＝log0.1（12－ax）在区间（3， 6）上单调递增.则a的取值范围是（　D　） A. （－∞，0） B. （－2，0） C. （0，2） D. （0，2] 解析： f（x）＝log0.1（12－ax）在区间（3，6）上单调递增，令t ＝12－ax，y＝log0.1t单调递减，则t＝12－ax在区间（3，6）上单调递减 且恒为正，所以a＞0且g（6）＝12－6a≥0，所以0＜a≤2.故选D. D 目 录 高中总复习·数学 解题技法 　　解决与对数函数有关的复合函数的单调性问题，必须弄清三个方面： 一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关 系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的，判断 内层函数和外层函数的单调性，运用复合函数“同增异减”原则确定函数 的单调性. 目 录 高中总复习·数学 1. 设函数f（x）＝ln｜x＋3｜＋ln｜x－3｜，则f（x）（　　） A. 是偶函数，且在（－∞，－3）上单调递减 B. 是奇函数，且在（－3，3）上单调递减 C. 是奇函数，且在（3，＋∞）上单调递增 D. 是偶函数，且在（－3，3）上单调递增 √ 目 录 高中总复习·数学 解析： 　函数f（x）的定义域为{x｜x≠±3}，f（x）＝ln｜x＋3｜＋ ln｜x－3｜＝ln｜x2－9｜，令g（x）＝｜x2－9｜，则f（x）＝ln g （x），由函数g（x）的图象（图略）可知，g（x）在（－∞，－3）， （0，3）上单调递减，在（－3，0），（3，＋∞）上单调递增，由复合 函数的单调性得f（x）在（－∞，－3），（0，3）上单调递减，在（－ 3，0），（3，＋∞）上单调递增；由f（－x）＝ln｜（－x）2－9｜＝ ln｜x2－9｜＝f（x）得f（x）为偶函数.故选A. 目 录 高中总复习·数学 2. 〔多选〕某数学课外兴趣小组对函数f（x）＝lg 的性质进行了探 究，得到下列四个命题，其中正确的命题有（　　） A. 函数f（x）的图象关于y轴对称 B. 当x＞0时，f（x）单调递增，当x＜0时，f（x）单调递减 C. 函数f（x）的最小值是lg 2 D. 当－1＜x＜0或x＞1时，f（x）单调递增 √ √ √ 目 录 高中总复习·数学 解析： 　f（x）的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），关于原点对 称，且f（－x）＝f（x），所以f（x）是偶函数，所以f（x）的图象关 于y轴对称，故A正确；当x＞0时，f（x）＝lg ＝lg（x＋ ），由 对勾函数的性质可知，y＝x＋ 在（0，1]上单调递减，在[1，＋∞）上 单调递增，所以由复合函数的单调性可知，f（x）在（0，1]上单调递 减，在[1，＋∞）上单调递增，又f（x）是偶函数，其图象关于y轴对 称，故B不正确，D正确；当x＞0时，x＋ ≥2（当且仅当x＝1时取等 号），又f（x）是偶函数，所以f（x）的最小值是lg 2，故C正确.故选 A、C、D. 目 录 高中总复习·数学 PART 03 课时·跟踪检测 关键能力 | 课后练习 目 录 1. 若函数y＝f（x）是函数y＝ax（a＞0，且a≠1）的反函数，且f （2）＝1，则f（x）＝（　　） A. log2x B. C. lo x D. 2x－2 解析：A　由题意得，f（x）＝logax（a＞0，且a≠1），因为f（2）＝ 1，所以loga2＝1.所以a＝2，所以f（x）＝log2x. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目 录 高中总复习·数学 2. 函数f（x）＝ ＋lg（5－3x）的定义域是（　　） A. B. C. D. 解析： 　函数f（x）＝ ＋lg（5－3x）的定义域满足 即 . √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目 录 高中总复习·数学 3. （2024·深圳一模）已知a＞0，且a≠1，则函数y＝loga（x＋ ）的图 象一定经过（　　） A. 第一、二象限 B. 第一、三象限 C. 第二、四象限 D. 第三、四象限 解析： 　当x＝0时，y＝loga ＝－1.当0＜a＜1时，函数图象经过第 二、三、四象限；当a＞1时，函数图象经过第一、三、四象限.所以函数 y＝loga（x＋ ）的图象一定经过第三、四象限.故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目 录 高中总复习·数学 4. （2025·昆明一模）已知f（x）＝｜lg x｜，若a＝f（ ），b＝f （ ），c＝f（3），则（　　） A. a＞b＞c B. a＞c＞b C. c＞a＞b D. b＞a＞c 解析： 　由f（x）＝｜lg x｜得a＝f（ ）＝ ＝｜－lg 4｜＝lg 4， b＝f（ ）＝ ＝｜－lg 2｜＝lg 2，c＝f（3）＝lg 3，因为y＝lg x在 （0，＋∞）上为增函数，所以lg 4＞lg 3＞lg 2，即a＞c＞b.故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目 录 高中总复习·数学 5. 设f（x）＝ln（ ＋a）（－1＜x＜1）是奇函数，则使f（x）＜0成 立的x的取值范围是（　　） A. （－1，0） B. （0，1） C. （－1，0] D. [0，1） 解析： 　因为f（x）为定义在（－1，1）上的奇函数，所以f（0）＝ln （2＋a）＝0，解得a＝－1，此时f（x）＝ln（ －1）＝ln ，又因f （x）＝ln ＜0，0＜ ＜1，解得－1＜x＜0.所以使f（x）＜0成立的 x的取值范围是（－1，0）.故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目 录 高中总复习·数学 6. 〔多选〕对于函数f（x）＝lg x的定义域中任意的x1，x2（x1≠x2）， 下列结论中正确的是（　　） A. f（x1＋x2）＝f（x1）·f（x2） B. f（x1·x2）＝f（x1）＋f（x2） C. ＞0 D. f（ ）＜ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目 录 高中总复习·数学 解析： 　对于选项A，f（x1＋x2）＝lg（x1＋x2）≠lg x1·lg x2，即f（x1 ＋x2）≠f（x1）·f（x2），故A错误.对于选项B，f（x1·x2）＝lg（x1x2） ＝lg x1＋lg x2＝f（x1）＋f（x2），故B正确.对于选项C，f（x）＝lg x在 定义域中是增函数， ＞0，故C正确.对于选项D，x1，x2＞0 （x1≠x2），利用基本不等式知f（ ）＝lg（ ）＞lg ， 又 ＝ ＝ ＝lg ，则f（ ） ＞ ，故D错误.故选B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目 录 高中总复习·数学 7. 已知函数f（x）＝log2（2x－1）.若x∈ ，则函数f（x）的值域 是 ⁠. 解析：令t＝2x－1，易知t＝2x－1在（ ，＋∞）上单调递增，而y＝ log2t在（0，＋∞）上单调递增，故函数f（x）的单调递增区间是（ ， ＋∞）.所以函数f（x）＝log2（2x－1）在 上单调递增，所以f （1）≤f（x）≤f（ ），所以0≤f（x）≤3，故函数f（x）的值域为 [0，3]. [0，3]　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目 录 高中总复习·数学 8. 已知实数a＞0，且满足53a＋2＞54a＋1，则不等式loga（3x＋2）＜loga （8－5x）的解集为 ⁠. 解析：由实数a＞0，且满足53a＋2＞54a＋1，根据指数函数的单调性，可得 3a＋2＞4a＋1，解得0＜a＜1，所以函数y＝logax为减函数，由不等式 loga（3x＋2）＜loga（8－5x），可得 解得 ＜x＜ ，即不等式的解集为（ ， ）. （ ， ）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目 录 高中总复习·数学 9. 设f（x）＝loga（1＋x）＋loga（3－x）（a＞0，且a≠1），且f （1）＝2. （1）求实数a的值及f（x）的定义域； 解： ∵f（1）＝2，∴loga4＝2.又a＞0，且a≠1， ∴a＝2. 由 得－1＜x＜3， ∴函数f（x）的定义域为（－1，3）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目 录 高中总复习·数学 （2）求f（x）在区间［0， ］上的最大值. 解： f（x）＝log2（1＋x）＋log2（3－x）＝log2[（1＋x）·（3－ x）]＝log2[－（x－1）2＋4]， ∴当x∈[0，1]时，f（x）单调递增；当x∈（1， ］时，f（x）单调递减，故函数f（x）在［0， ］上的最大值是f（1）＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目 录 高中总复习·数学 10. 已知函数f（x）＝log2（x＋2），若a＞b＞c＞0，则（　　） A. ＜ ＜ B. ＜ ＜ C. ＜ ＜ D. ＜ ＜ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目 录 高中总复习·数学 解析： 　 ， ， 可分别看作函数f （x）图象上的点（a，f（a）），（b，f（b））， （c，f（c））与坐标原点O（0，0）连线的斜率.作 出函数f（x）的图象如图所示，由图象可知，当a＞b＞c＞0时， ＜ ＜ .故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目 录 高中总复习·数学 11. （2025·沈阳开学考试）已知函数f（x）＝ax（a＞0且a≠1）满足f （1）＞1，且函数y＝loga（x2－ax－1）在[2，3]上单调递增，则实数a 的取值范围为（　　） A. （1，＋∞） B. （1，4] C. （1， ） D. 解析： 　因为函数f（x）＝ax（a＞0且a≠1）满足f（1）＞1，即f （1）＝a1＞1，所以a＞1，又函数y＝loga（x2－ax－1）在[2，3]上单调 递增，所以函数g（x）＝x2－ax－1在[2，3]上单调递增，所以 解得a＜ ，所以1＜a＜ .故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目 录 高中总复习·数学 12. 〔多选〕已知函数f（x）＝ln x＋ln（2－x），则（　　） A. f（x）在（0，2）上单调递增 B. f（x）在（0，2）上的最大值为0 C. f（x）的图象关于直线x＝1对称 D. f（x）的图象关于点（1，0）对称 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目 录 高中总复习·数学 解析： 　f（x）＝ln x＋ln（2－x），定义域为（0，2），f（x）＝ ln[x（2－x）]＝ln（－x2＋2x），令t＝－x2＋2x，y＝ln t，∵t＝－x2 ＋2x，x∈（0，2）在（0，1）上单调递增，在（1，2）上单调递减， ∴f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，2）上单调递减，故A不正确； f（x）max＝f（1）＝0，故B正确；∵f（1＋x）＝ln（1＋x）＋ln（1－ x），f（1－x）＝ln（1－x）＋ln（1＋x），∴f（1＋x）＝f（1－ x），∴f（x）的图象关于直线x＝1对称，故C正确，D不正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目 录 高中总复习·数学 13. 设平行于y轴的直线分别与函数y1＝log2x及y2＝log2x＋2的图象交于 B，C两点，点A（m，n）位于函数y2的图象上，如图所示.若△ABC为 正三角形，则m·2n＝ ⁠. 12　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目 录 高中总复习·数学 解析：由题意可得BC＝2，则正三角形ABC边长为2，A点到BC距离为 ，BC中点与A点纵坐标相等且等于B点纵坐标加1，所以点C的坐标为 （m＋ ，n＋1）.将A，C两点的坐标代入函数y2＝log2x＋2，可得 log2m＋2＝n，log2（m＋ ）＋2＝n＋1，两式相减得log2（m＋ ） －log2m＝1，所以log2 ＝1，所以 ＝2，解得m＝ ，所以n ＝log2m＋2＝log2 ＋2＝log24 ，所以m·2n＝ × ＝ ×4 ＝12. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目 录 高中总复习·数学 14. 已知函数f（x）＝loga（ax2－x）（a＞0，且a≠1）. （1）若a＝ ，求f（x）的单调区间； （2）若f（x）在区间[2，4]上单调递增，求实数a的取值范围. 解： 当a＝ 时，f（x）＝lo （ x2－x）.由 x2－x＞0，得x2－ 2x＞0，解得x＜0或x＞2，所以函数f（x）的定义域为（－∞，0）∪ （2，＋∞），利用复合函数的单调性可得函数f（x）的单调递增区间为 （－∞，0），单调递减区间为（2，＋∞）. 解：令g（x）＝ax2－x，因为a＞0且a≠1，所以函数g（x）的图象开 口向上，对称轴为直线x＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目 录 高中总复习·数学 ①当0＜a＜1时，要使函数f（x）在区间[2，4]上单调递增，则g（x） ＝ax2－x在[2，4]上单调递减，且g（x）min＝g（4）＞0，即 此不等式组无解. ②当a＞1时，要使函数f（x）在区间[2，4]上单调递增，则g（x）＝ax2 －x在[2，4]上单调递增，且g（x）min＝g（2）＞0，即 解得a＞ ，又a＞1，所以a＞1. 综上，实数a的取值范围为（1，＋∞）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目 录 高中总复习·数学 15. （新定义）已知函数f（x）与g（x）都在区间（a，b）上有意义， 若函数y＝f（x）－g（x）在（a，b）上至少有两个不同的零点，则称 f（x）和g（x）在（a，b）上是“关联函数”，区间（a，b）称为 “关联区间”.若f（x）＝kx与g（x）＝｜log2x｜在（0，8）上是“关 联函数”，则实数k可取的值是（　　） A. －1 B. 0 C. D. 1 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目 录 高中总复习·数学 解析： 　根据新定义，将f（x）＝kx与g（x）＝｜log2x｜在（0，8）上是“关联函数”，转化为f（x）＝kx与g（x）＝｜log2x｜的图象在（0，8）上至少有两个不同的交点.当x∈（0，8）时，g（x）＝｜log2x｜＝ 当k＝－1时，f（x）＝－x，作出函数f（x），g（x）在（0，8）上的图象，如图1，由图可知，两个函数的图象在（0，8）上没有交点，故A错误；当k＝0时，f（x）＝0，作出函数f（x），g（x）在（0，8）上的图象，如图2，由图可知，两个函数的图象在（0，8）上有1个交点，故B错误；当k＝ 时，f（x）＝ x，作出函数f（x），g（x）在（0，8）上的图象，如图3，由图可知，两个函数的图象在（0，8）上有2个交点，故C正确；当k＝1时，f（x）＝x，作出函数f（x），g（x）在（0，8）上的图象，如图4，由图可知，两个函数的图象在（0，8）上有1个交点，故D错误.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目 录 高中总复习·数学 THANKS 演示完毕 感谢观看 $