第一章 微突破 一元二次不等式恒（能）成立问题-【优学精研】2026年高考数学一轮总复习教用课件

该高中数学高考复习课件聚焦“一元二次不等式恒（能）成立问题”核心考点，依据高考评价体系梳理判别式法、数形结合法等五大解题方法，通过分析近三年高考真题明确其在函数与导数解答题中占25%的权重，归纳出恒成立、能成立两大类常考题型，构建系统备考框架。 课件亮点在于“真题母题+方法迁移”训练模式，如以例3分离参数法解决区间恒成立问题为例，深入解析“参数分离-函数最值”思维链，培养学生数学思维与模型观念。特设易错点警示如二次项系数讨论，帮助学生掌握得分技巧，教师可依托此课件实现考点精准突破，提升复习效率。

微突破　一元二次不等式恒（能）成立问题 高中总复习·数学 　　解决不等式恒（能）成立问题，常用的方法有：判别式法、数形结合 法、分离参数法、主参换位法、转化法等，方法灵活多变，需根据具体的 条件选择合适的方法求解. 判别式法解决恒成立问题 若不等式－x2＋2x＋3≤a2－3a对任意实数x恒成立，求实数a的取 值范围. 解：原不等式可化为x2－2x＋a2－3a－3≥0， ∵该不等式对任意实数x恒成立，∴Δ≤0， 即4－4（a2－3a－3）≤0，即a2－3a－4≥0， 解得a≤－1或a≥4， ∴实数a的取值范围是{a｜a≤－1或a≥4}. 高中总复习·数学 点评 （1）ax2＋bx＋c＞0（a≠0）恒成立的充要条件是 （2）ax2＋bx＋c＜0（a≠0）恒成立的充要条件是 提醒 当不等式ax2＋bx＋c＞0未说明为一元二次不等式时，要对a分a＝0 或a≠0进行讨论. 高中总复习·数学 数形结合法解决恒成立问题 已知函数f（x）＝x2－mx＋2m－4（m∈R）.当x＞2时，不等式f （x）≥－1恒成立，求m的取值范围. 解：f（x）≥－1，即x2－mx＋2m－3≥0在x＞2时恒成立， 令g（x）＝x2－mx＋2m－3， 高中总复习·数学 ①若 ≤2，即m≤4，如图1， 只需g（2）≥0， 即4－2m＋2m－3≥0，1≥0恒成立， ∴m≤4满足题意； ②若 ＞2，即m＞4，如图2， 只需Δ＝m2－4（2m－3）≤0， 则（m－2）（m－6）≤0，∴4＜m≤6. 综上所述，m的取值范围为{m｜m≤6}. 高中总复习·数学 点评 （1）在R上恒成立：对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是 相应的二次函数的图象全部在x轴上方；恒小于0就是相应的二次函数的图 象全部在x轴下方； （2）在给定区间恒成立：可结合二次函数的图象进行求解，设f（x）＝ ax2＋bx＋c（a≠0）： ①a＞0时，f（x）＜0在α≤x≤β时恒成立⇔ ②a＜0时，f（x）＞0在α≤x≤β时恒成立⇔ ③f（x）＞0在α≤x≤β时恒成立⇔{x｜α≤x≤β}⊆A，其中A是f （x）＞0的解集. 高中总复习·数学 分离参数法解决恒成立问题 已知函数f（x）＝ax2＋x－1，若x∈[1，5]时不等式f（x）＞（a －1）x2＋（a＋1）x－5恒成立，则实数a的取值范围是 ⁠ ⁠. （－∞， 4）　 高中总复习·数学 解析：∵f（x）＝ax2＋x－1，由f（x）＞（a－1）x2＋（a＋1）x－5 可得，ax2＋x－1＞（a－1）x2＋（a＋1）x－5，整理得，ax＜x2＋4， ∵不等式f（x）＞（a－1）x2＋（a＋1）x－5在x∈[1，5]上恒成立， ∴ax＜x2＋4在[1，5]上恒成立，即a＜x＋ 在[1，5]上恒成立，设g （x）＝x＋ ，x∈[1，5]，根据对勾函数性质易得函数g（x）在[1，2] 上单调递减，在[2，5]上单调递增，故g（x）min＝g（2）＝4，∴a＜g （x）min＝4，即a的取值范围是（－∞，4）. 高中总复习·数学 点评 如果欲求范围的参数能够分离到不等式的一边，那么这时可以通过求 出不等式另一边式子的最值（范围）来得到不等式恒成立时参数的取值范 围.一般地，a≥f（x）恒成立时，应有a≥f（x）max，a≤f（x）恒成 立时，应有a≤f（x）min. 高中总复习·数学 主参换位法解决恒成立问题 已知a∈[－1，1]时，不等式x2＋（a－4）x＋4－2a＞0恒成立， 则x的取值范围为 ⁠. 解析：把不等式的左端看成关于a的函数，记f（a）＝（x－2）a＋x2－ 4x＋4，则由f（a）＞0对于任意的a∈[－1，1]恒成立，得f（－1）＝x2 －5x＋6＞0，且f（1）＝x2－3x＋2＞0，解不等式组 得x＜1或x＞3. 点评 如果不等式中含有多个变量，这时选准“主元”往往是解题的关键. 一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数. （－∞，1）∪（3，＋∞）　 高中总复习·数学 转化为函数（式子）的最值解决能成立问题 已知f（x）＝2x2－12x＋10，若对于任意的x∈[1，3]，不等式f （x）≤2＋t能成立，则实数t的取值范围是 ⁠. 解析：不等式f（x）≤2＋t在x∈[1，3]上能成立，等价于2x2－12x＋ 8≤t在x∈[1，3]时有解，只要t≥（2x2－12x＋8）min即可，不妨设g （x）＝2x2－12x＋8，x∈[1，3]，则g（x）在[1，3]上单调递减，所 以g（x）≥g（3）＝－10，所以t≥－10. 点评 （1）a＞f（x）能成立⇒a＞f（x）min； （2）a＜f（x）能成立⇒a＜f（x）max. [－10，＋∞）　 高中总复习·数学 1. 当1≤x≤2时，不等式x2－ax＋1≤0恒成立，则实数a的取值范围是 （　　） A. ［ ，＋∞） B. （－∞， ） C. （ ，＋∞） D. （－∞， ］ 解析： 　当1≤x≤2时，不等式x2－ax＋1≤0恒成立，所以当1≤x≤2 时，a≥ ＝x＋ 恒成立，则a≥（x＋ ）max，令g（x）＝x＋ ， 则g（x）在[1，2]上单调递增，所以g（x）max＝g（2）＝2＋ ＝ ，所 以a≥ . √ 高中总复习·数学 2. 若函数f（x）＝ax2＋20x＋14（a＞0）对任意实数t，在闭区间[t－ 1，t＋1]上总存在两实数x1，x2，使得｜f（x1）－f（x2）｜≥8成立，则 实数a的最小值为 ⁠. 解析：因为a＞0，所以二次函数f（x）＝ax2＋20x ＋14的图象开口向上.在闭区间[t－1，t＋1]上总存 在两实数x1，x2，使得｜f（x1）－f（x2）｜≥8成 立，只需t＝－ 时，f（t＋1）－f（t）≥8，即 a（t＋1）2＋20（t＋1）＋14－（at2＋20t＋14）≥8，整理得2at＋a＋20≥8，将t＝－ 代入解得a≥8.所以a的最小值为8. 8　 高中总复习·数学 3. 已知函数f（x）＝x2＋2ax－a＋2. （1）若∃x∈[－1，1]，使得f（x）≥0成立，求实数a的取值范围； 解： 若∃x∈[－1，1]，使得f（x）≥0成立，则f（x）max≥0， x∈[－1，1].函数f（x）图象的对称轴方程为x＝－a. 当－a≤0，即a≥0时，f（x）max＝f（1）＝a＋3≥0，得a≥－3，所以 a≥0. 当－a＞0，即a＜0时，f（x）max＝f（－1）＝3－3a≥0，得a≤1，所 以a＜0. 综上可得，实数a的取值范围是R. 高中总复习·数学 （2）若对于∀a∈[－1，1]，f（x）＞0恒成立，求实数x的取值范围. 解： 因为对于∀a∈[－1，1]，f（x）＞0， 令g（a）＝（2x－1）a＋x2＋2，则g（a）＞0在[－1，1]上恒成立，所 以 解得x≠－1，故实数x的取值范围是{x｜ x≠－1}. 高中总复习·数学 THANKS 演示完毕 感谢观看 $