第一章 考教衔接 基本不等式链的探究与应用-【优学精研】2026年高考数学一轮总复习教用课件

考教衔接　基本不等式链的探究与应用 高中总复习·数学 一、基本不等式链的几何解释与证明 几何解释 由人A必修一P45探究可知. 如图，以O为圆心，AD＝a，DB＝b，过点O作AB的垂线交半圆O于 C，再过点D作AB的垂线，交半圆O于E，连接OE，CD，再过点D作 OE的垂线，垂足为F. 高中总复习·数学 则OC＝OE＝ （算术平均数），CD＝ ＝ ＝ （平方平均数）. 由△FED∽△DEO可得，DE＝ （几何平均数），EF＝ （调和平 均数）. 由图形易知EF＜DE＜OE＝OC＜CD， 故 ≤ ≤ ≤ （a＞0，b＞0），当且仅当a＝b时等号 成立（基本不等式链） 高中总复习·数学 代数证明 证明：若实数a＞0，b＞0. （1）由 ＝ ，所以即证 ≤ ，即证 ≤1，即证2 ≤a＋b，即证 ≤ ，显然上式成立.所以 ≤ （当且仅当a ＝b时取等号）. 高中总复习·数学 （2）由基本不等式得， ≤ 成立（当且仅当a＝b时取等号）. （3）要证 ≤ ，即证（ ）2≤ ，即证 ≤ ，即证a2＋2ab＋b2≤2a2＋2b2，即证a2＋b2－2ab≥0，即证 （a－b）2≥0，显然上式成立.所以 ≤ （当且仅当a＝b时取 等号）.综上可得，若实数a＞0，b＞0，则有 ≤ ≤ ≤ 成立，当且仅当a＝b时取等号 高中总复习·数学 二、基本不等式链的应用 利用基本不等式链求最值 （1）〔多选〕设正实数a，b满足a＋b＝1，则（　ACD　） A. 有最大值 B. ＋ 有最小值3 C. a2＋b2有最小值 D. ＋ 有最大值 ACD 高中总复习·数学 解析： 对于A，由基本不等式可得 ≤ ＝ ，当且仅当a＝ b＝ 时，等号成立，A正确；对于B，由 ≤ ＝ ＝ ，得 ＋ ≥ ， 当且 仅当a＋2b＝2a＋b，即a＝b＝ 时等号成立，B错误； 对于C，由 ≥ ＝ ，得a2＋b2≥ ，当且仅当a＝b＝ 时等 号成立，C正确；对于D，由 ≤ ＝ ，得 ＋ ≤ ， 当且仅当a＝b＝ 时等号成立，D正确. 高中总复习·数学 （2）函数y＝ ＋ 的最大值为 　2 　. 解析： 函数的定义域为x∈［ ， ］，由 ≤ ，得a＋ b≤2 ，则y＝ ＋ ≤2 ＝2 ，当且仅 当 ＝ ，即x＝ 时等号成立. 2 　 高中总复习·数学 利用基本不等式链判断（证明） 〔多选〕（2022·新高考Ⅱ卷12题）若x，y满足x2＋y2－xy＝1，则 （　　） A. x＋y≤1 B. x＋y≥－2 C. x2＋y2≤2 D. x2＋y2≥1 √ √ 高中总复习·数学 解析： 因为x2＋y2－xy＝（x＋y）2－3xy＝1，且xy≤ ， 所以（x＋y）2－3xy≥（x＋y）2－ （x＋y）2＝ （x＋y）2，故（x ＋y）2≤4，当且仅当x＝y时等号成立，即－2≤x＋y≤2，故A错误，B 正确；由xy≤ 得1＝x2＋y2－xy≥x2＋y2－ ，即x2＋y2≤2， 当且仅当x＝y时等号成立.故C正确，D错误，故选B、C. 高中总复习·数学 基本不等式链应用中的创新问题 〔多选〕设a，b为两个正数，定义a，b的算术平均数为A（a， b）＝ ，几何平均数为G（a，b）＝ .上个世纪五十年代，美国 数学家D. H. Lehmer提出了“Lehmer均值”，即Lp（a，b）＝ ，其中p为有理数.下列结论正确的是（　　） A. L0.5（a，b）≤L1（a，b） B. L0（a，b）≤G（a，b） C. L2（a，b）≤A（a，b） D. Ln＋1（a，b）≤Ln（a，b） √ √ 高中总复习·数学 解析： 对于A，L0.5（a，b）＝ ＝ ≤L1（a，b）＝ ，当且仅当a＝b时，等号成立，故A正确；对于B，L0（a，b）＝ ＝ ≤ ＝ ＝G（a，b），当且仅当a＝b时，等号成立， 故B正确；对于C，L2（a，b）＝ ＝ ≥ ＝ ＝ ＝A（a，b），当且仅当a＝b时，等号成立，故C不正确；对于D，当n＝1时，由选项C可知，L2（a，b）≥ ＝L1（a，b），故D不正确.综上，选A、B. 高中总复习·数学 1. 已知x＞0，y＞0，且x＋2y＝4，则（1＋x）（1＋2y）的最大值为 （　　） A. 36 B. 4 C. 16 D. 9 解析： 由题意得（1＋x）＋（1＋2y）＝6，1＋x＞1，1＋2y＞1，所 以（1＋x）（1＋2y）≤［ ］2＝9，当且仅当1＋x＝1 ＋2y，即x＝2，y＝1时，取等号，故选D. ☞高考还可以这样考 √ 高中总复习·数学 2. 若a＞b＞0，则下列不等式中恒成立的是（　　） A. ＜ ＜ B. ≥ ≥ C. ＞ ＞ D. ＜ ＜ 解析： 　a＞b＞0， ＞ ， ＜ ＝ .从而 ＞ ＞ ，故选C. √ 高中总复习·数学 3. 已知x＞0，y＞0且3x＋2y＝10，则 ＋ 的最大值为 　2 　. 解析：因为x＞0，y＞0，3x＋2y＝10，所以 ≤ ＝ ， 当且仅当3x＝2y，即x＝ ，y＝ 时，等号成立，所以 ＋ 的最大 值为2 . 2 　 高中总复习·数学 THANKS 演示完毕 感谢观看 $