第一章 第五节 一元二次不等式及其解法-【优学精研】2026年高考数学一轮总复习教用课件

该高中数学高考复习课件聚焦一元二次不等式解法、三个“二次”关系等核心考点，严格对标新课标“借助函数图象理解联系”的要求。通过梳理含参数不等式分类讨论、分式不等式转化等常考题型，结合高考评价体系分析考点权重，构建“知识梳理-考点突破-真题训练”的备考链条，针对性强。 课件亮点在于“考点分类突破+高考真题改编训练”，如以含参数不等式解法为例，通过“定系数-判根-比大小”三步法培养学生数学思维中的推理能力和运算能力。特设易错点警示（如分式不等式分母不为0）和解题模板，助力学生掌握答题技巧，教师可据此高效指导复习，提升备考实效。

第五节　一元二次不等式及其解法 高中总复习·数学 课标要求 1. 经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式 的现实意义；能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示 一元二次不等式的解集. 2. 借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程 的联系. 目 录 CONTENTS 知识·逐点夯实 01. 考点·分类突破 02. 课时·跟踪检测 03. PART 01 知识·逐点夯实 必备知识 | 课前自修 目 录 1. 一元二次不等式 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 的不等式，称为一元 二次不等式.一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c＞0或ax2＋bx＋c ＜0，其中a，b，c均为常数，a≠0. 提醒 对于不等式ax2＋bx＋c＞0，求解时不要忘记a＝0时的情形. 2　 目 录 高中总复习·数学 2. 三个“二次”的对应关系 判别式 Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 y＝ax2＋bx＋c（a ＞0）的图象 目 录 高中总复习·数学 判别式 Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 ax2＋bx＋c＝0（a ＞0）的根 有两个不相等的实 数根x1，x2（x1＜ x2） 有两个相等的 实数根x1＝x2＝ － 没有实数根 ax2＋bx＋c＞0（a ＞0）的解集 {x｜x＜x1，或x ＞x2} R ax2＋bx＋c＜0（a ＞0）的解集 {x｜x1＜x＜x2} ⌀ ⌀ 目 录 高中总复习·数学 1. 分式不等式的解法 （1） ＞0（＜0）⇔f（x）·g（x）＞0（＜0）； （2） ≥0（≤0）⇔ 2. ｜ax＋b｜≤c（c＞0）和｜ax＋b｜≥c（c＞0）型不等式的解法 （1）｜ax＋b｜≤c⇔－c≤ax＋b≤c； （2）｜ax＋b｜≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c. 目 录 高中总复习·数学 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）ax2＋bx＋c＜0为一元二次不等式. （　×　） （2）若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为（x1，x2），则必有a＞0. （　√　） （3）若方程ax2＋bx＋c＝0（a＜0）没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c ＞0（a＜0）的解集为R. （　×　） × √ × 目 录 高中总复习·数学 2. （人A必修一P55习题1题改编）不等式－x2＋3x＋10＞0的解集为 （　　） A. （－2，5） B. （－∞，－2）∪（5，＋∞） C. （－5，2） D. （－∞，－5）∪（2，＋∞） 解析： 　由－x2＋3x＋10＞0得x2－3x－10＜0，解得－2＜x＜5. √ 目 录 高中总复习·数学 3. 若不等式ax2＋bx＋2＞0的解集为{x｜－ ＜x＜ }，则a－b＝ （　　） A. －10 B. －14 C. 10 D. 14 解析： 　由题意知x1＝－ ，x2＝ 是方程ax2＋bx＋2＝0的两个根， ∴ 解得 ∴a－b＝－10. √ 目 录 高中总复习·数学 4. （苏教必修一P70习题15题改编）不等式 ≥0的解集为 ⁠ ⁠. 解析：不等式变为 ⇒x≥1或x＜－ . 5. 若关于x的不等式x2－2ax＋18＞0恒成立，则实数a的取值范围 为 ⁠. 解析：由题意得4a2－4×18＜0，解得－3 ＜a＜3 . （－∞， － ）∪[1，＋∞）　 （－3 ，3 ）　 目 录 高中总复习·数学 PART 02 考点·分类突破 精选考点 | 课堂演练 目 录 不含参数的一元二次不等式的解法（师生共研过关） 解下列不等式： （1）－3x2－2x＋8≥0； 解： 原不等式可化为3x2＋2x－8≤0， 即（3x－4）（x＋2）≤0，解得－2≤x≤ ， 所以原不等式的解集为 . 目 录 高中总复习·数学 （2） ≤1； 解： 因为 ≤1，所以 －1≤0，所以 ≤0，即 ≥0，此 不等式等价于（x－4）（x－ ）≥0且x－ ≠0，解得x＜ 或x≥4，故 原不等式的解集为{x｜x＜ ，或x≥4}. （3） －x≤1. 解： 原不等式等价于 上述不等式组的解集为{x｜x＋1≥0}∩{x｜x2－2x≤0}， 即原不等式的解集为{x｜0≤x≤2}. 目 录 高中总复习·数学 解题技法 解一元二次不等式的4个步骤 提醒 对于分式不等式的求解，要注意分母不等于0. 目 录 高中总复习·数学 不等式－1＜x2＋2x－1≤2的解集是 ⁠. 解析：原不等式等价于 即 由① 得x（x＋2）＞0，所以x＜－2或x＞0；由②得（x＋3）（x－1）≤0， 所以－3≤x≤1. 画出数轴，如图，可得原不等式的解集为{x｜－3≤x＜－2或0＜x≤1}. {x｜－3≤x＜－2或0＜x≤1}　 目 录 高中总复习·数学 含参数的一元二次不等式的解法（师生共研过关） 解关于x的不等式ax2－（a＋1）x＋1＜0（a＞0）.　 解：原不等式可化为（ax－1）（x－1）＜0， 因为a＞0，所以a（x－ ）（x－1）＜0. 所以当a＞1时，解为 ＜x＜1；当a＝1时，解集为⌀； 当0＜a＜1时，解为1＜x＜ . 综上，当0＜a＜1时，不等式的解集为{x｜1＜x＜ }； 当a＝1时，不等式的解集为⌀； 当a＞1时，不等式的解集为 . 目 录 高中总复习·数学 解题技法 解含参数的一元二次不等式的步骤 （1）若二次项系数含有参数，则应讨论参数是等于0，小于0，还是大于 0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式； （2）判断方程根的个数，讨论判别式Δ与0的关系； （3）确定方程无根时，可直接写出解集；确定方程有两个根时，要讨论 两根的大小关系，从而确定不等式的解集. 目 录 高中总复习·数学 　解关于x的不等式（ax－1）（x＋2）＞0（a∈R）. 解：当a＝0时，不等式可化为一次不等式：－（x＋2）＞0，则有x＜ －2. 当a≠0时，不等式可化为二次不等式a（x－ ）·（x＋2）＞0. ①当a＞0时，（x－ ）（x＋2）＞0，可得x＜－2或x＞ ； ②当a＜0时，（x－ ）（x＋2）＜0. － ＜a＜0时，则 ＜x＜－2；a＝－ 时，解集为⌀；a＜－ 时，则－2 ＜x＜ . 目 录 高中总复习·数学 综上所述： 当a＞0时，解集为（－∞，－2）∪（ ，＋∞）； 当a＝0时，解集为（－∞，－2）； 当－ ＜a＜0时，解集为（ ，－2）；当a＝－ 时，解集为⌀；当a＜－ 时，解集为（－2， ）. 目 录 高中总复习·数学 三个“二次”间的关系（师生共研过关） 〔多选〕已知关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为（－1，3）， 则下列说法正确的是（　　） A. a＞0 B. bx－c＞0的解集是{x|x＞ } C. cx2＋ax－b＞0的解集是{x|x＜－ 或x＞1} D. a＋b＜c √ √ √ 目 录 高中总复习·数学 解析： 　不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为（－1，3），则 即 bx－c＞0，即－2ax＋3a＞0，所以x＞ .cx2＋ax－b＞0， 即－3ax2＋ax＋2a＞0，即3x2－x－2＞0，解集是{x｜x＜－ 或x＞1}. 因为x＝－1∈{x｜x＜－ 或x＞1}，所以c－a－b＞0，即a＋b＜c.故 选B、C、D. 目 录 高中总复习·数学 解题技法 “三个二次”之间的关系及其应用 （1）一元二次方程的根就是对应二次函数的零点，也就是对应一元二次 不等式解集的端点值； （2）对于不等式ax2＋bx＋c＞0，若其解集为（－∞，m）∪（n，＋ ∞），则a＞0且方程ax2＋bx＋c＝0的两根为m，n，且m＜n；若其解 集为（m，n），则a＜0且方程ax2＋bx＋c＝0的两根为m，n，且m＜n. 目 录 高中总复习·数学 1. 已知一元二次不等式x2＋mx－2＞0的解集为（－∞，－2）∪（1，＋ ∞），则不等式－2x2＋x＋m＜0的解集为 ⁠ ⁠. 解析：由题意可知，一元二次方程x2＋mx－2＝0的两根分别为－2，1，由 根与系数的关系可得－2＋1＝－m，解得m＝1，所以不等式－2x2＋x＋ m＜0，即－2x2＋x＋1＜0，整理得2x2－x－1＞0，解得x＜－ 或x＞1， 故原不等式的解集为（－∞，－ ）∪（1，＋∞）. （－∞，－ ）∪（1，＋ ∞）　 目 录 高中总复习·数学 2. 已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象如图所示，求不等式bx2－cx＋3≤0的解集. 解：根据二次函数y＝x2＋bx＋c的图象可知， －1，2为方程x2＋bx＋c＝0的两根， 故－1＋2＝－b，－1×2＝c，即b＝－1，c＝－2， 则bx2－cx＋3≤0即－x2＋2x＋3≤0，也即x2－2x－3≥0，（x－3）（x ＋1）≥0， 解得x≥3或x≤－1. 故不等式解集为（－∞，－1]∪[3，＋∞）. 目 录 高中总复习·数学 PART 03 课时·跟踪检测 关键能力 | 课后练习 目 录 1. 不等式x2＋3x－10＞0的解集为（　　） A. （－2，5） B. （－∞，－2）∪（5，＋∞） C. （－5，2） D. （－∞，－5）∪（2，＋∞） 解析： 　由x2＋3x－10＞0得（x＋5）（x－2）＞0，解得x＜－5或x ＞2. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目 录 高中总复习·数学 2. 不等式｜x｜（1－2x）＞0的解集为（　　） A. （－∞，0）∪（0， ） B. （－∞， ） C. （ ，＋∞） D. （0， ） 解析： 　由题意得x≠0，当x＞0时，原不等式即为x（1－2x）＞0，所 以0＜x＜ ；当x＜0时，原不等式即为－x（1－2x）＞0，所以x＜0，综 上，原不等式的解集为（－∞，0）∪（0， ）. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目 录 高中总复习·数学 3. 不等式ax2－（a＋2）x＋2≥0（a＜0）的解集为（　　） A. ［ ，1］ B. [1，＋∞） C. （－∞， ］∪[1，＋∞） D. ［ ，＋∞） 解析： 　因为a＜0，ax2－（a＋2）x＋2＝a（x－ ）（x－1）≥0， 所以（x－ ）（x－1）≤0，所以解集为［ ，1］.故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目 录 高中总复习·数学 4. 若关于x的不等式x2－4x－a＞0在区间（1，5）内有解，则实数a的取 值范围是（　　） A. （－∞，5） B. （5，＋∞） C. （－4，＋∞） D. （－∞，4） 解析： 　设f（x）＝x2－4x－a，则f（x）的图象开口向上，对称轴为 直线x＝2，所以要使不等式x2－4x－a＞0在区间（1，5）内有解，只要f （5）＞0即可，即25－20－a＞0，得a＜5，所以实数a的取值范围为（－ ∞，5）. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目 录 高中总复习·数学 5. 〔多选〕解关于x的不等式ax2＋（2－4a）x－8＞0，则下列说法中正 确的是（　　） A. 当a＝0时，不等式的解集为{x｜x＞4} B. 当a＜0时，不等式的解集为{x｜x＞4或x＜－ } C. 当a＜0时，不等式的解集为{x｜－ ＜x＜4} D. 当a＝－ 时，不等式的解集为⌀ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目 录 高中总复习·数学 解析： 　当a＝0时，不等式为2x－8＞0，解得x＞4，故选项A正确. 由ax2＋（2－4a）x－8＞0可得（ax＋2）·（x－4）＞0，当 即a＜－ 时，不等式的解集为{x｜－ ＜x＜4}；当 即－ ＜a ＜0时，不等式的解集为{x｜4＜x＜－ }；当a＝－ 时，－ ＝4，此时 不等式的解集为⌀，故选项B、C不正确，选项D正确.故选A、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目 录 高中总复习·数学 6. 〔多选〕已知关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为（－∞，－2）∪ （3，＋∞），则（　　） A. a＞0 B. a＋b＋c＞0 C. 不等式bx＋c＞0的解集是{x｜x＜－6} D. 不等式cx2－bx＋a＜0的解集为（－∞，－ ）∪（ ，＋∞） √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目 录 高中总复习·数学 解析： 　∵关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为（－∞，－2）∪ （3，＋∞），∴a＞0，A选项正确；－2和3是关于x的方程ax2＋bx＋c ＝0的两根，由根与系数的关系得 则 ∴a＋b ＋c＝－6a＜0，B选项错误；不等式bx＋c＞0可化为－ax－6a＞0，得x ＜－6，C选项正确；不等式cx2－bx＋a＜0可化为－6ax2＋ax＋a＜0，即 6x2－x－1＞0，解得x＜－ 或x＞ ，D选项正确.故选A、C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目 录 高中总复习·数学 7. 若不等式x2＋x＋m2＜0的解集不是空集，则实数m的取值范围 为 ⁠. 解析：因为不等式x2＋x＋m2＜0的解集不是空集，所以Δ＞0，即1－4m2 ＞0，所以－ ＜m＜ . 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目 录 高中总复习·数学 8. 若关于x的不等式x2－2ax－8a2＜0（a＞0）的解集为{x｜x1＜x＜ x2}，且x2－x1＝15，则a的值为 ⁠. 解析：由题知x1，x2是一元二次方程x2－2ax－8a2＝0（a＞0）的实数 根，所以Δ＝4a2＋32a2＝36a2＞0，且x1＋x2＝2a，x1x2＝－8a2.又因为x2 －x1＝15，所以152＝（x1＋x2）2－4x1x2＝4a2＋32a2＝36a2，又a＞0，解 得a＝ . 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目 录 高中总复习·数学 9. 解下列不等式： （1）3≤｜5－2x｜＜9； 解：不等式等价于 即 解 得 不等式的解集为（－2，1]∪[4，7）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目 录 高中总复习·数学 （2） ≤1. 解：由题意知x2＋x＋2＝（x＋ ）2＋ ＞0， 则 ≤1可变形为3x2＋2x＋1≤x2＋x＋2，化简得2x2＋x－1≤0， 可变形为（2x－1）（x＋1）≤0，解得－1≤x≤ .故原不等式的解集为 ［－1， ］. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目 录 高中总复习·数学 10. 当0≤p≤4时，不等式x2＋px＞4x＋p－3恒成立，则x的取值范围是 （　　） A. [－1，3] B. （－∞，－1] C. [3，＋∞） D. （－∞，－1）∪（3，＋∞） 解析： 　不等式x2＋px＞4x＋p－3可化为（x－1）p＋x2－4x＋3＞0， 令f（p）＝（x－1）p＋x2－4x＋3（0≤p≤4），则 ∴x＜－1或x＞3. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目 录 高中总复习·数学 11. 若关于x的不等式x2－（m＋2）x＋2m＜0的解集中恰有4个整数，则 实数m的取值范围为（　　） A. （6，7] B. [－3，－2） C. [－3，－2）∪（6，7] D. [－3，7] 解析： 　不等式x2－（m＋2）x＋2m＜0即（x－2）（x－m）＜0.当 m＞2时，不等式解集为（2，m），此时要使解集中恰有4个整数，这4个 整数只能是3，4，5，6，故6＜m≤7，当m＝2时，不等式解集为⌀，此时 不符合题意；当m＜2时，不等式解集为（m，2），此时要使解集中恰有 4个整数，这4个整数只能是－2，－1，0，1，故－3≤m＜－2.故实数m 的取值范围为[－3，－2）∪（6，7]，故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目 录 高中总复习·数学 12. 已知关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0（a，b，c∈R）的解集为（－ 4，1），则 的取值范围为（　　） A. [－6，＋∞） B. （－∞，6） C. （－6，＋∞） D. （－∞，－6] √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目 录 高中总复习·数学 解析： 　由不等式ax2＋bx＋c＞0（a，b，c∈R）的解集为（－4， 1），可知1和－4是方程ax2＋bx＋c＝0的两个实数根，且a＜0，由根与 系数的关系可得 即可得b＝3a，c＝－4a，所以 ＝ ＝ ＝4a＋ ＝－（－4a＋ ）≤－2 ＝－6.当且仅当－4a＝ 时，即a＝－ 时等号成立，即可得 ∈ （－∞，－6].故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目 录 高中总复习·数学 13. 解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax（a＜0）. 解：原不等式可化为ax2＋（a－2）x－2≥0，即（ax－2）（x＋1）≥0. 由a＜0，原不等式可化为（x－ ）（x＋1）≤0. 当 ＞－1，即a＜－2时，解得－1≤x≤ ； 当 ＝－1，即a＝－2时，解得x＝－1； 当 ＜－1，即－2＜a＜0时，解得 ≤x≤－1. 综上所述， 当－2＜a＜0时，不等式的解集为{x｜ ≤x≤－1}； 当a＝－2时，不等式的解集为{－1}； 当a＜－2时，不等式的解集为{x｜－1≤x≤ }. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目 录 高中总复习·数学 14. 已知关于x的不等式－x2＋ax＋b＞0. （1）若该不等式的解集为（－4，2），求a，b的值； 解： 根据题意得 解得 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目 录 高中总复习·数学 （2）若b＝a＋1，求此不等式的解集. 解： 当b＝a＋1时，－x2＋ax＋b＞0⇔x2－ax－（a＋1）＜0，即 [x－（a＋1）]（x＋1）＜0. 当a＋1＝－1，即a＝－2时，原不等式的解集为⌀； 当a＋1＜－1，即a＜－2时，原不等式的解集为（a＋1，－1）； 当a＋1＞－1，即a＞－2时，原不等式的解集为（－1，a＋1）. 综上，当a＜－2时，原不等式的解集为（a＋1，－1）；当a＝－2时，原 不等式的解集为⌀；当a＞－2时，原不等式的解集为（－1，a＋1）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目 录 高中总复习·数学 15. （情境创新）已知函数y＝[x]称为高斯函数，表示不超过x的最大整 数，如[3.4]＝3，[－1.6]＝－2，则不等式 ＜0的解集为 ⁠ ；当x＞0时， 的最大值为 　 　. [1， 6）　 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目 录 高中总复习·数学 解析：由 ＜0，即[x]·（[x]－6）＜0，解得0＜[x]＜6，又[x]表示不 超过x的最大整数，故1≤x＜6；当x∈（0，1）时，[x]＝0，则 ＝ 0，当x≥1时， ＝ ≤ ＝ ，当且仅当[x]＝ ，即[x] ＝3时，等号成立，即当x＞0时， 的最大值为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 目 录 高中总复习·数学 THANKS 演示完毕 感谢观看 $