第一章 第四节 基本不等式-【优学精研】2026年高考数学一轮总复习教用课件

该高中数学高考复习课件聚焦“基本不等式”专题，依据新课标要求梳理了公式推导、最值应用等核心考点，对接高考评价体系分析近5年真题，明确“配凑法求最值”占35%、“常数代换法应用”占30%的高频考点分布，归纳出3类常考题型及解题通法，构建完整备考体系。 课件亮点在于“真题情境+思维建模+素养落地”，如以2024广东大联考“2x+1/(2x-1)最小值”为例，用配凑法拆解“一正二定三相等”条件，培养数学思维和运算能力。设置易错点警示（如忽略等号成立条件）和答题模板，助力学生掌握得分技巧，教师可据此精准突破考点，提升复习效率。

第四节　基本不等式 高中总复习·数学 课标要求 1. 了解基本不等式的推导过程. 2. 掌握基本不等式 ≤ （a，b≥0）. 3. 结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题. 目 录 CONTENTS 知识·逐点夯实 01. 考点·分类突破 02. 课时·跟踪检测 03. PART 01 知识·逐点夯实 必备知识 | 课前自修 目 录 1. 基本不等式 ≤ （1）基本不等式成立的条件是 ⁠； （2）等号成立的条件是：当且仅当 时，等号成立； （3）其中 叫做正数a，b的 平均数， 叫做正数a，b 的 平均数. 提醒 应用基本不等式求最值要注意：“一正，二定，三相等”，忽略某个 条件，就会出错. a＞0，b＞0　 a＝b　 算术　 几何　 目 录 高中总复习·数学 2. 基本不等式与最值 已知x＞0，y＞0，则 （1）如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2 （简 记：积定和最小）； （2）如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值 S2 （简 记：和定积最大）. 目 录 高中总复习·数学 几个重要的不等式 （1）a2＋b2≥2ab（a，b∈R）； （2） ＋ ≥2（a，b同号）； （3）ab≤（ ）2（a，b∈R）； （4） ≥（ ）2（a，b∈R）. 以上不等式等号成立的条件均为a＝b. 目 录 高中总复习·数学 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）两个不等式a2＋b2≥2ab与 ≥ 成立的条件是相同的. （　×　） （2）函数y＝x＋ （x＞0）的最小值是2. （　√　） （3）函数f（x）＝ sin x＋ 的最小值为4. （　×　） × √ × 目 录 高中总复习·数学 2. （人A必修一P45例1改编）函数f（x）＝ （x＞0）的最小值是 （　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 解析： 　f（x）＝ ＝x＋ ＋1≥2＋1＝3，当且仅当x＝ ，即x ＝1时，等号成立，故f（x）的最小值为3.故选B. √ 目 录 高中总复习·数学 3. （苏教必修一P61练习1题改编）已知m＞0，n＞0，mn＝81，则m＋n 的最小值是（　　） A. 9 B. 18 C. 9 D. 27 解析： 　因为m＞0，n＞0，由基本不等式m＋n≥2 得，m＋ n≥18，当且仅当m＝n＝9时，等号成立，所以m＋n的最小值是18. √ 目 录 高中总复习·数学 4. 函数y＝x＋ （x≥0）的最小值为 ⁠. 解析：因为x≥0，所以x＋1＞0， ＞0，利用基本不等式得y＝x＋ ＝x＋1＋ －1≥2 －1＝1，当且仅当x＋1＝ ，即x ＝0时，等号成立.所以函数y＝x＋ （x≥0）的最小值为1. 1　 目 录 高中总复习·数学 5. （人A必修一P46例3（2）改编）若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形 场地，则矩形场地的最大面积是 .　 解析：设矩形场地的长为x m，宽为y m，则x＋y＝10，所以矩形场地的面 积为S＝xy≤（ ）2＝25，当且仅当x＝y＝5时取等号. 25 m2　 目 录 高中总复习·数学 PART 02 考点·分类突破 精选考点 | 课堂演练 目 录 基本不等式的常见变形（师生共研过关） 若0＜a＜b，则下列不等式一定成立的是（　　） A. b＞ ＞a＞ B. b＞ ＞ ＞a C. b＞ ＞ ＞a D. b＞a＞ ＞ √ 解析： 　∵0＜a＜b，∴2b＞a＋b，∴b＞ ＞ .∵b＞a＞0， ∴ab＞a2，∴ ＞a.故b＞ ＞ ＞a. 目 录 高中总复习·数学 解题技法 基本不等式的常见变形 （1）ab≤（ ）2≤ ； （2） ≤ ≤ ≤ （a＞0，b＞0）. 目 录 高中总复习·数学 　〔多选〕已知a，b∈R，且ab≠0，则下列四个不等式中，恒成立的为 （　　） A. ≥ab B. ＋ ≥2 C. ab≤（ ）2 D. （ ）2≤ √ √ √ 目 录 高中总复习·数学 解析： 　由a，b∈R，则a2＋b2≥2ab，得 ≥ab，A正确；由 a，b∈R，取a＝－1，b＝2，则 ＋ ＝－2－ ＜0，故B错误；由于a， b∈R，则ab－（ ）2＝－ ≤0，则ab≤（ ）2，故C正 确；由于（ ）2－ ＝－ ≤0，故D正确，故选A、C、D. 目 录 高中总复习·数学 利用基本不等式求最值（定向精析突破） 考向1　配凑法 （1）（2024·广东大联考）若x∈（ ，1］，则2x＋ 的最小值 为（　D　） A. 1 B. 2 C. 2 D. 3 D 解析： 因为x∈（ ，1］，所以2x－1∈（0，1]，所以2x＋ ＝ ［（2x－1）＋ ］＋1≥2 ＋1＝3，当且仅当2x－1 ＝ ，即x＝1时取等号.故选D. 目 录 高中总复习·数学 （2）已知0＜x＜2，则y＝x 的最大值为（　A　） A. 2 B. 4 C. 5 D. 6 A 解析：因为0＜x＜2，所以可得4－x2＞0，则y＝x ＝ ≤ ＝2，当且仅当x2＝4－x2，即x＝ 时， 上式取得等号，故y＝x 的最大值为2.故选A. 目 录 高中总复习·数学 解题技法 配凑法求最值的实质及关键点 　　配凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑 成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法.配 凑法的实质是代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键. 目 录 高中总复习·数学 考向2　常数代换法 （1）已知正实数x，y满足 ＋ ＝1，则2x＋y的最小值为（　D） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 解析： 因为x，y为正实数，且 ＋ ＝1，所以2x＋y＝（ ＋ ） （2x＋y）＝2＋ ＋ ＋2≥4＋2 ＝8，当且仅当2x＝y＝4时取等 号.故选D. D 目 录 高中总复习·数学 （2）已知正数a，b满足4a＋b＝ab，则a＋b的最小值为 ⁠. 解析： 因为正数a，b满足4a＋b＝ab，所以 ＋ ＝1，所以a＋b ＝（a＋b）（ ＋ ）＝5＋ ＋ .因为a＞0，b＞0，所以 ＋ ≥2 ＝4（当且仅当 ＝ ，即b＝2a时取等号，此时a＝3，b＝ 6），所以a＋b≥9. 9　 目 录 高中总复习·数学 解题技法 常数代换法求最值的基本步骤 （1）根据已知条件或其变形确定定值（常数）； （2）把确定的定值（常数）变形为1； （3）把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积 为定值的形式； （4）利用基本不等式求最值. 目 录 高中总复习·数学 考向3　消元法 （人A必修一P58复习参考题5题改编）已知a＞0，b＞0，ab＝a＋ b＋3，则a＋b的最小值为 ⁠. 6　 解析：法一 ∵a＞0，b＞0，ab＝a＋b＋3，∴a＝ 且b－1＞0，∴a ＋b＝ ＋b＝1＋ ＋b＝ ＋b－1＋2≥2 ＋2＝6， 当且仅当 ＝b－1，即a＝b＝3时取得最小值. 法二 由ab＝a＋b＋3，可得（a－1）（b－1）＝4，又a＞0，b＞0， ∴a＞1，b＞1，∴a＋b＝（a－1）＋（b－1）＋ 2≥2 ＋2＝6，当且仅当a＝b＝3时取得最小值. 目 录 高中总复习·数学 法三　∵ab＝a＋b＋3≤ （a＋b）2，故可得（a＋b）2－4（a＋b） －12≥0，即（a＋b－6）（a＋b＋2）≥0，解得a＋b≥6或a＋b≤－ 2，又∵a＞0，b＞0，故a＋b≥6（当且仅当a＝b＝3时取得最小值）. 目 录 高中总复习·数学 解题技法 消元法求最值的思路 　　当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常是考虑利用已知条件消 去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”，最后利用基本不等式 求最值. 目 录 高中总复习·数学 1. 当x＞0时， 的最大值为 　 　. 解析：当x＞0时， ＝ ≤ ＝ ，当且仅当x＝ ，即x＝2时等 号成立，即 的最大值为 . 　 目 录 高中总复习·数学 2. 已知0＜x＜1，则 ＋ 的最小值是 ⁠. 解析：由0＜x＜1，得1－x＞0. ＋ ＝（ ＋ ）[x＋（1－x）]＝5 ＋ ＋ ≥5＋2 ＝9，当且仅当 ＝ 即x＝ 时取等号， 所以 ＋ 的最小值是9. 　 目 录 高中总复习·数学 3. （2024·安庆三模）若正数x，y满足x2－2xy＋2＝0，则x＋y的最小值 是 ⁠. 解析：正数x，y满足x2－2xy＋2＝0，故y＝ ＝ ＋ ，故x＋y＝x＋ ＋ ＝ ＋ ≥2 ＝ ，当且仅当 ＝ ，即x＝ 时，等号成 立. 　 目 录 高中总复习·数学 利用基本不等式解决实际问题（师生共研过关） 某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（记为矩形ABCD，如图）上设 计三个等高的宣传栏（栏面分别为一个等腰三角形和两个全等的直角梯 形），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为1 440 cm2.为了美观，要求 海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为2 cm.当直角梯形的高为 多少cm时，用纸量最少（即矩形ABCD的面积最小）？ 目 录 高中总复习·数学 解：设直角梯形的高为x cm， ∵宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为1 440 cm2，且海报上所有水平方 向和竖直方向的留空宽度均为2 cm， ∴海报宽AD＝x＋4，海报长DC＝ ＋8， 故S矩形ABCD＝AD·DC＝（x＋4）（ ＋8） ＝8x＋ ＋1 472≥2 ＋1 472＝192 ＋1 472， 当且仅当8x＝ ，即x＝12 时，等号成立. ∴当直角梯形的高为12 cm时，用纸量最少. 目 录 高中总复习·数学 解题技法 利用基本不等式解决实际问题的策略 （1）根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的 最值； （2）解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围； （3）在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单 调性求解. 目 录 高中总复习·数学 　近年来冬季气候干燥，冷空气频繁袭来，为提高公民的取暖水平，某社 区决定建立一个取暖供热站.已知供热站每月自然消费与供热站到社区的 距离成反比，每月供热费与供热站到社区的距离成正比，如果在距离社区 20千米处建立供热站，这两项费用分别为5千元和8万元，那么要使这两项 费用之和最小，供热站到社区的距离应为（　　） A. 5千米 B. 6千米 C. 7千米 D. 8千米 √ 目 录 高中总复习·数学 解析： 　设供热站到社区的距离为x（x＞0）千米，则月自然消费y1＝ ，月供热费y2＝k2x，由题意得当x＝20时，y1＝0.5，y2＝8，所以k1＝ xy1＝10，k2＝ ＝ ，所以y1＝ ，y2＝ x.所以两项费用之和为y1＋y2 ＝ ＋ ≥2 ＝4，当且仅当 ＝ ，即x＝5时等号成立，所以 要使这两项费用之和最小，供热站到社区的距离应为5千米.故选A. 目 录 高中总复习·数学 PART 03 课时·跟踪检测 关键能力 | 课后练习 目 录 1. 不等式（x－2y）＋ ≥2成立的前提条件为（　　） A. x≥2y B. x＞2y C. x≤2y D. x＜2y 解析： 　因为不等式成立的前提条件是x－2y和 均为正数，所以x－ 2y＞0，即x＞2y，故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目 录 高中总复习·数学 2. 已知a＞0，b＞0，若2a＋b＝4，则ab的最大值为（　　） A. B. 4 C. D. 2 解析： 　由题意得4＝2a＋b≥2 ，即2≥ ，两边平方得 4≥2ab，∴ab≤2，当且仅当a＝1，b＝2时，等号成立，∴ab的最大值 为2. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目 录 高中总复习·数学 3. 已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，则 ＋ 的最小值为（　　） A. 4 B. 6 C. 8 D. 9 √ 解析： 　法一 ∵a＞0，b＞0，a＋b＝1，∴ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ － 1＝（a＋b）（ ＋ ）－1＝ ＋ ＋4≥2 ＋4＝8（当且仅当 ＝ ，即a＝ ，b＝ 时取“＝”）.故选C. 法二 ∵a＞0，b＞0，a＋b＝1，∴ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ＋4≥ 2 ＋4＝8，当且仅当 ＝ ，即a＝ ，b＝ 时取“＝”.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目 录 高中总复习·数学 4. 要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器.已知该容器的底面 造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价 是（　　） A. 80元 B. 120元 C. 160元 D. 240元 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目 录 高中总复习·数学 解析： 　由题意知，体积V＝4 m3，高h＝1 m，所以底面积S＝4 m2，设 底面矩形的一条边长是x m，则另一条边长是 m，又设总造价是y元，则y ＝20×4＋10×（2x＋ ）≥80＋20 ＝160，当且仅当2x＝ ，即x ＝2时取得等号. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目 录 高中总复习·数学 5. 若xy＞0，则（x＋ ）2＋（y＋ ）2的最小值是（　　） A. 3 B. C. 4 D. 解析： 　（x＋ ）2＋（y＋ ）2＝x2＋ ＋ ＋y2＋ ＋ ＝（x2 ＋ ）＋（y2＋ ）＋（ ＋ ）≥1＋1＋2＝4，当且仅当x2＝ ，y2 ＝ ， ＝ 同时成立，即x＝y＝± 时，等号成立.故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目 录 高中总复习·数学 6. 〔多选〕已知a＞0，b＞0，则下列命题正确的是（　　） A. 若ab≤1，则 ＋ ≥2 B. 若a＋b＝4，则 ＋ 的最小值为4 C. 若a2＋b2＝4，则ab的最大值为2 D. 函数y＝a＋ 的最小值为1 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目 录 高中总复习·数学 解析： 　因为0＜ab≤1，所以 ≥1，所以 ＋ ≥2 ≥2，故A正 确；若a＋b＝4，则 ＋ ＝ （a＋b）（ ＋ ）＝ （ ＋ ＋10）≥ （2 ＋10）＝4，当且仅当a＝1，b＝3时等号成立，故B正确；若 a2＋b2＝4，则ab≤ ＝2，当且仅当a＝b＝ 时等号成立，故C正 确；由于a＞0，b＞0，所以y＝a＋ ＝a＋1＋ －1≥1，当且仅当a ＋1＝ ，即a＝－2或a＝0时等号成立，这与已知矛盾，故D错误.故选 A、B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目 录 高中总复习·数学 7. 〔多选〕（2024·甘肃高考诊断考试）已知a＞0，b＞0，若a＋2b＝ 1，则（　　） A. ab的最大值为 B. a2＋b2的最小值为1 C. ＋ 的最小值为8 D. 2a＋4b的最小值为2 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目 录 高中总复习·数学 解析： 　对于A，由基本不等式可得a＋2b＝1≥2 ，解得 ab≤ ，当且仅当 即a＝ ，b＝ 时等号成立，所以A正 确；对于B，a2＋b2＝（1－2b）2＋b2＝5b2－4b＋1＝5（b－ ）2＋ ， 当且仅当b＝ ，a＝ 时，a2＋b2取到最小值 ，故B错误；对于C，由 ＋ ＝（a＋2b）（ ＋ ）＝4＋ ＋ ≥4＋2 ＝8，当且仅当 即a＝ ，b＝ 时等号成立，所以C正确； 对于D，2a＋4b≥2 ＝2 ＝2 ，当且仅当 即 a＝ ，b＝ 时等号成立，所以D正确.综上，选A、C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目 录 高中总复习·数学 8. 设实数a＞0，x＋ （x＞－2）的最小值为6，则a＝ ⁠. 解析：由于a＞0，x＋2＞0，根据基本不等式x＋ ＝x＋2＋ － 2≥2 －2＝2 －2，当且仅当x＝ －2时，x＋ （x＞－2）取到最小值2 －2，即2 －2＝6，解得a＝16. 16　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目 录 高中总复习·数学 9. 已知x＞0，y＞0，且2x＋8y－xy＝0，求： （1）xy的最小值； 解： 由2x＋8y－xy＝0，得 ＋ ＝1. 又x＞0，y＞0， 则1＝ ＋ ≥2 ＝ ，得xy≥64， 当且仅当 ＝ ，即x＝16且y＝4时，等号成立. 所以xy的最小值为64. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目 录 高中总复习·数学 （2）x＋y的最小值. 解： 由2x＋8y－xy＝0，得 ＋ ＝1， 则x＋y＝ （x＋y） ＝10＋ ＋ ≥10＋2 ＝18. 当且仅当 ＝ ，即x＝12且y＝6时等号成立， 所以x＋y的最小值为18. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目 录 高中总复习·数学 10. 已知a＞0，b＞0，设M＝max{a，b， ＋ }，则M的最小值等于 （　　） A. 1 B. C. D. 2 解析： 　由题设得M≥a，M≥b，所以2M≥a＋b.又M≥ ＋ ，于 是2M2≥（a＋b）（ ＋ ）≥4，因此M≥ .故当a＝b＝ 时，Mmin ＝ . √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目 录 高中总复习·数学 11. 若正实数x，y满足 ＋ ＝1，且x＋2y＞m2＋2m恒成立，则实数m 的取值范围是（　　） A. m＜－2或m≥4 B. m＜－4或m≥2 C. －2＜m＜4 D. －4＜m＜2 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目 录 高中总复习·数学 解析： 　因为正实数x，y满足 ＋ ＝1，则x＋2y＝（x＋2y）（ ＋ ）＝4＋ ＋ ≥8，当且仅当 即 时，x＋2y取得 最小值8，从而只要m2＋2m＜8，即－4＜m＜2时不等式恒成立，故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目 录 高中总复习·数学 12. 〔多选〕若a，b，c∈R，且ab＋bc＋ca＝1，则下列不等式成立的 是（　　） A. a＋b＋c≤ B. （a＋b＋c）2≥3 C. ＋ ＋ ≥2 D. a2＋b2＋c2≥1 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目 录 高中总复习·数学 解析： 由基本不等式可得a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋ a2≥2ca，∴2（a2＋b2＋c2）≥2（ab＋bc＋ca）＝2，∴a2＋b2＋ c2≥1，当且仅当a＝b＝c＝± 时，等号成立.∴（a＋b＋c）2＝a2＋ b2＋c2＋2（ab＋bc＋ca）≥3，∴a＋b＋c≤－ 或a＋b＋c≥ . 若a＝b＝c＝－ ，则 ＋ ＋ ＝－3 ＜2 .因此A、C错误，B、D 正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目 录 高中总复习·数学 13. 已知a，b为两个正实数，且a＋4b＝1，则 ＋2 的最大值 为 ⁠. 解析：法一 因为a，b为两个正实数，所以（ ＋2 ）2＝a＋4 ＋ 4b＝1＋4 ≤1＋a＋4b＝2，当且仅当a＝4b，即a＝ ，b＝ 时，等 号成立，故 ＋2 的最大值为 . 法二 ≤ ＝ ＝ ＝ ，当且仅当a＝ 4b，即a＝ ，b＝ 时，等号成立，则 ＋2 ≤ ，故 ＋2 的 最大值为 . 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目 录 高中总复习·数学 14. 甲、乙两地相距1 000 km，货车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超 过80 km/h，已知货车每小时的运输成本（单位：元）由可变成本和固定成 本组成，可变成本是速度平方的 ，固定成本为a元. （1）将全程运输成本y（单位：元）表示为速度v（单位：km/h）的函 数，并指出这个函数的定义域； 解： 由题意，得可变成本为 v2元，固定成本为a元，所用时间为 h， 所以y＝ （ v2＋a）＝1 000（ v＋ ），定义域为（0，80]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目 录 高中总复习·数学 （2）为了使全程运输成本最低，货车应以多大的速度行驶？ 解： y＝1 000（ v＋ ）≥1 000×2 ＝1 000 （元），当 v ＝ 时，得v＝2 ，因为0＜v≤80， 所以当0＜a≤1 600时，货车以v＝2 km/h的速度行驶，全程运输成 本最低； 当a≥1 600时，函数y＝1 000（ v＋ ）在（0，80]上单调递减，故货 车以80 km/h的速度行驶，全程运输成本最低. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目 录 高中总复习·数学 15. （创新知识交汇）半径为4的球面上有A，B，C，D四点，且满足 AB⊥AC，AC⊥AD，AD⊥AB，则S△ABC＋S△ACD＋S△ADB的最大值 为 ⁠. 解析：设AB＝a，AC＝b，AD＝c，以AB，AC，AD为棱补成球的内 接长方体，由于此时长方体的体对角线即为球的直径，故有a2＋b2＋c2＝ 4R2＝64，故S△ABC＋S△ACD＋S△ADB＝ （ab＋bc＋ac）≤ （ ＋ ＋ ）＝ ＝32，当且仅当a＝b＝c时取等号. 32　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目 录 高中总复习·数学 16. （创新考法）已知a，b，c＞0时，有 ＋ ＋ ＝（ ＋ ） ＋（ ＋ ）＋（ ＋ ）≥6，利用分拆、重组、配对，使用基本不等式求 出最值.依此启示，求证当a，b，c＞0时， ＋ ＋ ≥ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目 录 高中总复习·数学 证明：由于 ＋ ＋ ＋3＝（ ＋1）＋（ ＋1）＋（ ＋1）＝ ＋ ＋ ＝ [（b＋c）＋（c＋a）＋（a＋ b）]·（ ＋ ＋ ） ＝ ［3＋ ＋ ＋ ］ ＝ ［3＋（ ＋ ）＋（ ＋ ）＋（ ＋ ）］≥ ， 从而 ＋ ＋ ≥ ，当且仅当a＝b＝c时，原不等式等号成立. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目 录 高中总复习·数学 THANKS 演示完毕 感谢观看 $