第三章 整式及其加减 期末复习训练 2025-2026学年北师大版数学七年级上册

期末复习 第三章 整式及其加减 目录： 考情通览 知识点速览 题型全览 分层训练 核心知识点 复习目标 考点分类 代数式与整式的概念 理解用字母表示数的意义，掌握代数式的概念、书写规范；能区分单项式、多项式，明确整式的定义 基础必考点，选择 / 填空占 2-3 分，代数式书写规范、单项式系数与次数、多项式项与次数易错 同类项与合并同类项 理解同类项的概念（两相同），熟练掌握合并同类项的法则 高频计算考点，选择 / 填空 / 解答题均涉及，识别同类项、合并时符号错误是主要失分点 去括号与添括号 掌握去括号法则（看符号，变不变号），能准确进行去括号、添括号运算 核心运算考点，与合并同类项结合，占 4-6 分，去括号时符号处理错误率高 整式的加减运算及化简求值 能进行整式的加减混合运算，并能化简求值 核心计算考点，解答题占 6-8 分，运算顺序、去括号、合并同类项的综合应用是考查重点 探索与表达规律 能从数字、图形、算式中发现规律，并用代数式进行表示与验证，解决实际问题 高频能力考点，选择填空及解答题均有涉及，规律探究与代数式抽象是难点 整式加减的实际应用 能利用整式表示实际问题中的数量关系，并能通过整式运算解决图形、数字、销售等问题 高频应用考点，选择填空及解答题均有涉及，从实际问题中抽象出代数式是关键和难点 知识点 01 代数式与整式的概念 1. 核心概念：​ 代数式： 用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数和字母连接而成的式子。注意： 单独的一个数或一个字母也是代数式。 整式： 单项式和多项式统称为整式。 单项式： 由数与字母的积组成的代数式。单独的一个数或一个字母也是单项式。 单项式的系数： 单项式中的数字因数。 单项式的次数： 一个单项式中，所有字母的指数的和。 多项式： 几个单项式的和。 多项式的项： 多项式中的每个单项式。 常数项： 不含字母的项。 多项式的次数： 多项式中次数最高的项的次数。 2. 经典练习 典习1（2024・山东济南期末）下列关于整式的说法正确的是（　　） A. 单项式-5x2的系数是 5，次数是 2 B. 多项式x3 - 2x + 1是三次三项式 C. 单项式πr2的系数是，次数是 D. 整式是单项式 详解：逐一分析选项：选项 A：-5x2的系数是 -5，次数是 2，次数是 2，A 错误； 选项 B：多项式x3 - 2x + 1最高次项是x3（3 次），含 3 项，是三次三项式，B 正确； 选项 C：πr2的系数是π（π是常数），次数是 2，C 错误； 选项 D：，是多项式，D 错误； 答案选 B。 典习 2（2024・广东珠海期中）已知多项式-3x2ym+1+ x3y - x4 + 6是六次四项式，单项式3x2ny5-m的次数与多项式的次数相同，求m、n的值。 详解：根据多项式次数定义，多项式是六次四项式，最高次项为-3x2ym+1，次数为2 + m+1= 6，解得m= 3。根据单项式次数定义，单项式3x2ny5-m的次数为2n + (5 - m)，且与多项式次数（6 次）相同，代入m = 3，得2n + (5 - 3) = 6，解得n = 2。 综上，m = 3，n = 2。 易错点：易错点：混淆单项式的系数与次数（忽略系数符号）；多项式次数判断时误加所有项的次数；将π视为字母（π是常数，不是字母）。 知识点 02 同类项与合并同类项 1. 核心概念： 同类项： 所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项。几个常数项也是同类项。 合并同类项： 把多项式中的同类项合并成一项。 法则： 合并同类项时，把同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变。 2. 经典练习 典习3（2024・广东深圳期末）下列各组式子中，是同类项的是（　　） A. 3x2y 与 −3xy2   B．2abc 与 2ab   C．−12xy与 2yx  D．a3与 b3 详解： 根据同类项定义（字母相同，相同字母指数相同）判断： 选项 A：字母相同，但 x 指数不同（2 与 1），y 指数不同（1 与 2），不是同类项； 选项 B：字母不完全相同（前者有 c，后者无），不是同类项； 选项 C：字母都是 x 和 y，且 x 指数都是 1，y 指数都是 1，是同类项； 选项 D：字母不同（a 与 b），不是同类项； 答案选 C。 典习4（2023・成都期中）合并同类项：4a2−3b2+2ab−4a2+2b2 详解： 原式 = (4a2−4a2)+(−3b2+2b2)+2ab= 0+(−b2)+2ab0+(−b2)+2ab = −b2+2ab 答案：−b2+2ab。 易错点：同类项判断时只看字母不看指数（如x2y与xy2误判为同类项；合并时改变字母或指数；系数运算时符号错误（如-2xy - 3xy误算为-xy）。 知识点 03 去括号与添括号 1. 核心法则： 去括号法则：括号前是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉后，原括号里各项的符号都不改变； 括号前是“-”号，把括号和它前面的“-”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变。 添括号法则：所添括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不改变符号；所添括号前面是“-”号，括到括号里的各项都改变符号。 2. 经典练习 典习 5（2024・浙江杭州期末）去括号：-(2x - 3y + 4z) + 3(x - 2y) 详解：原式=-2x+3y - 4z+ 3x - 6y) =-(-2x+3x)+(3y-6y)-4z =x-3y-4z 典习6（2023・湖南长沙期中）添括号：将多项式3x2 - 2xy + y2 - 4x + 3y - 1按要求变形： （1） 把二次项放在前面带 “+” 号的括号里； （2） 把一次项放在前面带 “-” 号的括号里。 详解：（1）原式=+(3x2 - 2xy + y2）- 4x + 3y - 1； （2）原式=x2 - 2xy + y2 - (4x - 3y) - 1。 易错点：去括号时括号前是负号，漏变括号内部分项的符号（如-(x - y)误算为-x - y）；添括号时符号处理错误；括号前有系数时漏乘括号内某项，如2(x + 3)误算为2x +3。 知识点 04 整式的加减运算 1. 核心法则： 整式加减的本质：去括号和合并同类项的综合运用（结果仍是整式）。 运算步骤：①去括号：根据去括号法则去掉所有括号（先小括号，再中括号）； ②合并同类项：根据合并同类项法则合并所有同类项，化简结果。 2. 经典练习 典习7 （2024・福建厦门期末）计算：(5a2 - 2a + 3) - (2a2 + 4a - 1) + 2(-a2 + 3a - 2) 详解：原式=5a2 - 2a + 3 - 2a2 - 4a + 1 - 2a2 + 6a - 4 =(5a2 - 2a2 - 2a2) + (-2a - 4a + 6a) + (3 + 1 - 4) =a2 + 0a + 0 = a2。 典习8（2023・山东青岛期中）已知A = 3x2 - 2x + 5，B = 2x2 + 3x - 2，求2A - 3B的值。 详解：原式=2(3x2 - 2x + 5) - 3(2x2 + 3x - 2) =6x2-4x+10-6x2-9x+6 =(6x2−6x2)+(−4x−9x)+(10+6) =−13x+16 易错点：去括号时符号错误；合并同类项时系数计算失误；整式相减时漏加括号。 知识点 05 整式的化简求值 1.核心方法 直接化简求值：先化简整式（去括号 + 合并同类项），再将字母的具体值代入化简后的式子计算。 整体代入求值：当无法直接求字母值，但能求某个代数式的值时，将该代数式作为整体代入。 2. 经典练习 典习9（2023・陕西西安期中）先化简，再求值：3x2y−[2xy2−2(xy−x2y)+xy]+3xy2，其中 x=2，y=−​。 详解： 原式 = 3x2y−[2xy2−2xy+3x2y+xy]+3xy2 = 3x2y−[2xy2−xy+3x2y]+3xy2 = 3x2y−2xy2+xy−3x2y+3xy2 = (3x2y−3x2y)+(−2xy2+3xy2)+xy = xy2+xy 当 x=2，y=− 时， 原式 = 2×+2× =2 + (-1) =− . 答案：化简得 xy2+xy，值为 − 。 典习10（2023・广东深圳期中）已知2a2+3a−6=0，求代数式3(2a2+3a)−7的值。 详解：由2a2 + 3a - 6 = 0得，2a2 + 3a = 6， 将2a2 + 3a = 6代入，得 3(2a2+3a)−7=3×6-7=11 易错点：化简不彻底就代入（增加运算量易出错）；代入负数 / 分数时未加括号；整体代入时漏看系数关系。 知识点 06 整式的实际应用 1.核心步骤 分析问题： 明确问题中的已知量和未知量。 表示关系： 用字母表示未知数，列出相关的代数式表示数量关系。 建立运算： 根据问题中的等量关系或运算要求，列出整式加减的算式。 求解解释： 进行整式运算，得出结果，并结合实际意义进行解释。。 2.常见场景及解法 图形面积/周长： 用代数式表示图形的面积或周长，并进行计算或比较。 数字问题： 用字母表示数，表示出原数、新数等。 销售问题： 用代数式表示售价、利润、总销售额等。 3.经典练习 典习 11（2024・江苏南京期末）某商场销售一种服装，每件进价为a元，售价为b元。春节期间按售价的 8 折销售，若卖出n件，求商场的总利润（利润 = 售价 - 进价）。 详解：优惠后每件服装的售价：0.8b元， 每件服装的利润：(0.8b - a)元， 则n件服装的总利润：n(0.8b - a) = 0.8bn - an（元）。 典习 12. 阳光中学有一块长为ym，宽为10m的长方形空地，现在打算利用这块空地打造一个学生自主菜园．如图，空地有两边靠墙，在不靠墙的两边均需留出宽为xm的小路，余下的长方形部分作为学生自主菜园，种植各种瓜果蔬菜． （1）学生自主菜园的长为　（y﹣x）　 m，宽为　（10﹣x）　 m；（用含x，y的代数式表示） （2）现要给学生自主菜园周围围上护栏（靠墙的边不用围），请用含x，y的代数式表示护栏的总长度．若每米护栏的价格为80元，求当x＝2.5，y＝20时，购买护栏所需的总费用． 详解：（1）由题知， 学生自主菜园的长为（y﹣x）m，宽为（10﹣x）m． 故答案为：（y﹣x），（10﹣x）； （2）由题知， 护栏的总长度为y﹣x+10﹣x＝y﹣2x+10（m）， 当x＝2.5，y＝20时， y﹣2x+10＝20﹣2×2.5+10＝25（m）， 则25×80＝2000（元）， 所以购买护栏所需的总费用为2000元． 知识点 07 探索与表达规律（整式相关） 1.常见规律类型 数字规律： 数列规律（等差、等比、平方数等）、数表规律（行列规律）、数式规律（算式中的规律）。 图形规律： 点阵、图案、小正方形个数、周长、面积等变化规律。 循环规律： 周期现象，确定周期长度。。 2.解题策略 观察： 从简单情形入手，比较相邻项或图形。 猜想： 发现变化的趋势或共同特征。 验证： 用后续项或图形验证猜想的规律。 表达： 用含 n 的代数式表示第 n 个数或图形的结果。 2. 经典练习 典习 13. 如图，下列图形是由同样大小的圆点按一定规律排列所组成的，按此规律排列下去，在第19个图形中，圆点的个数是（　　） A．381 B．356 C．379 D．421 详解：通过观察，得到： 第①个图形中的圆点的个数为：1×2+（﹣1）n， 第②个图形中的圆点的个数为：2×3+（﹣1）n， 第③个图形中的圆点的个数为：3×4+（﹣1）n， 第④个图形中的圆点的个数为：4×5+（﹣1）n， ……， 所以第n个图形中的圆点的个数为：n（n+1）+（﹣1）n， 当n＝19时，19×（19+1）+（﹣1）19＝379， 故选：C． 典习 14. 如图所示，在这个运算程序当中，若开始输入的x是48，第一次输出结果为24，则第2025次输出的结果是（　　） A．3 B．6 C．12 D．2 详解：由题知， 当输入的x是48时， 第1次输出结果为24， 第2次输出结果为12， 第3次输出结果为6， 第4次输出结果为3， 第5次输出结果为12， …， 由此可见，从第2次输出的结果开始按12，6，3循环． 因为（2025﹣1）÷3＝674余2， 所以第2025次输出结果为6． 故选：B． 题型一 整式的相关概念辨析 解题技巧 1. 单项式判断：分母不含字母，单独的数 / 字母也是单项式； 2. 系数与次数：系数含符号，次数是所有字母指数和（常数项次数 0）； 3. 多项式判断：项数是单项式个数（含符号），次数是最高次项的次数； 4. 整式判断：排除分母含字母的代数式。 易错点拨 1.代数式判断错误： 忽略单独的数或字母也是代数式；含有等号或不等号的式子不是代数式； 2. 单项式系数与次数错误； 3. 多项式项与次数错误： 常数项也是项，多项式的次数是最高次项的次数。 【典例 1】（下列说法中正确的个数是（　　） （1）a和0都是单项式． （2）多项式x3﹣y4﹣7的次数是4． （3）单项式的次数为4． （4）x2+2xy﹣y2﹣5的常数项是﹣5． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 详解：根据单项式与多项式的相关定义逐项分析判断如下： （1）单项式是数字或字母的积，a是字母，0是数字，所以都是单项式，正确，符合题意； （2）多项式次数是各项次数最高值，x3次数为3，﹣y4次数为4，﹣7次数为0，所以最高次数为4，正确，符合题意； （3）单项式次数是字母指数和，a指数2，b指数1，π是常数不计，所以次数为3，不是4，错误，不符合题意； （4）常数项是不含字母的项，﹣5不含字母，所以常数项为﹣5，正确，符合题意； 故选：C． 【典例 2】若多项式3xmy2+（n+3）x2y+2x+1是关于x、y的四次三项式，则nm的值为 　9　 ． 详解：∵3xmy2+（n+3）x2y+2x+1是关于x、y的四次三项式， ∴m+2＝4，n+3＝0， 解得：m＝2，n＝﹣3， ∴nm＝（﹣3）2＝9， 故答案为：9． 【变式 1】写出一个同时满足下列条件的二次三项式：a2+ab+b2（答案不唯一）　 ． ①只含有字母a和b； ②每一项的次数都是2； ③按字母a的降幂排列． 【解答】解：根据题意可知，这个多项式可以为：a2+ab+b2． 故答案为：a2+ab+b2（答案不唯一）． 【变式 2】多项式是关于x的三次三项式，则m的值是　﹣2　 ． 详解：∵多项式是关于x的三次三项式， ∴|m﹣1|＝3，﹣（m﹣4）≠0， ∴m＝﹣2． 故答案为：﹣2． 。 题型二 同类项及合并与去括号综合 解题技巧 1. 先去括号：有括号先去（括号前负号变号，系数乘每一项）； 2. 再合并同类项：找同类项（标记相同字母及指数），系数相加，字母和指数不变； 3. 检查：确保无漏去括号、无漏合并同类项。 易错点拨 1. 去括号时漏变括号内多项符号； 2. 合并同类项时系数运算错误； 3. 非同类项强行合并。 【典例 3】如果单项式﹣xyb+1与xa﹣2y3的和是单项式，那么（b﹣a）2025＝　﹣1　 ． 详解：∵单项式﹣xyb+1与xa﹣2y3的和是单项式， ∴单项式﹣xyb+1与xa﹣2y3是同类项， ∴， 由a﹣2＝0得：a＝3， 由b＝1＝3得：b＝2， 即， ∴（b﹣a）2025＝（2﹣3）2025＝（﹣1）2025＝﹣1． 故答案为：﹣1． 【典例 4】已知：A＝2x2+3x﹣1，B＝x2﹣2x+4． （1）求A﹣B； （2）求2A+B． 详解：（1）由题意可得： A﹣B ＝（2x2+3x﹣1）﹣（x2﹣2x+4） ＝x2+5x﹣5． （2）2A+B ＝2（2x2+3x﹣1）+（x2﹣2x+4） ＝4x2+6x﹣2+x2﹣2x+4 ＝5x2+4x+2． 【变式 3】（2024・辽宁沈阳期末）合并同类项：4(a−b)2−3(a−b)2+2(a−b)−5(a−b)+(a−b)2 详解： 将 (a−b)看作一个整体。 原式 = [4(a−b)2−3(a−b)2+(a−b)2]+[2(a−b)−5(a−b)] = (4−3+1)(a−b)2+(2−5)(a−b) = 2(a−b)2−3(a−b) 答案：2(a−b)2−3(a−b)。 【变式 4】已知A＝4ab﹣5+b2，B＝2b2﹣ab，C＝﹣2b2+mab+3． （1）求2A﹣B； （2）若A﹣C的结果与字母a的取值无关，求m的值． 详解：（1）∵A＝4ab﹣5+b2，B＝2b2﹣ab， 2A﹣B＝2（4ab﹣5+b2）﹣（2b2﹣ab） ＝8ab﹣10+2b2﹣2b2+ab ＝9ab﹣10； （2）A﹣C＝（4ab﹣5+b2）﹣（﹣2b2+mab+3） ＝4ab﹣5+b2+2b2﹣mab﹣3 ＝（4﹣m）ab+3b2﹣8， 由于A﹣C的结果与字母a的取值无关， ∴4﹣m＝0，即m＝4． 题型三 整式的化简求值 解题技巧 1. 直接求值：先化简（去括号 + 合并同类项），再代入（负数 / 分数加括号）； 2. 整体求值：从已知条件提炼整体代数式（如x - y = 2），将整式变形为含整体的形式；3. 非负性结合：若|a| + (b - 2)2 = 0\)，则a = 0，b = 2（利用非负性求字母值） 易错点拨 1. 代入数值时漏加括号（如\(x = -2\)代入\(x^2\)误算为\(-2^2 = -4\)）； 2. 化简不彻底就代入（如未合并同类项导致运算繁琐出错）； 3. 整体代入时找不到整式与已知条件的联系。如a + b = 3，未将2a + 2b变形为2(a + b) 【典例 5】先化简，再求值：3x2y﹣2（xy2+3x2y）+3（x2y﹣2xy2），其中． 详解：3x2y﹣2（xy2+3x2y）+3（x2y﹣2xy2） ＝3x2y﹣2xy2﹣6x2y+3x2y﹣6xy2 ＝﹣8xy2， 当时， 原式． 【典例 6】（2023・山东烟台期中）已知x2 - 2x - 5 = 0，求代数式2(x2 - 2x) - 3(x2 - 2x + 1) + 4的值。 详解：原式=2x2 - 4x- 3x2 +6x -3+ 4 =-x2 +2x + 1 因为x2 - 2x - 5 = 0， 所以x2 - 2x = 5 所以原式= -（x2 -2x） + 1 = -5+ 1= -4. 【变式 5】先化简，再求值：3x2y﹣2（xy2+3x2y）+3（x2y﹣2xy2），其中满足 详解：3x2y﹣2（xy2+3x2y）+3（x2y﹣2xy2） ＝3x2y﹣2xy2﹣6x2y+3x2y﹣6xy2 ＝﹣8xy2， 因为 ， 所以4x+1=0，y-2=0， 所以x=，y=2. 当时， 原式． 【变式 6 】（（2023・湖南湘潭期中）已知a + b = 4，ab = 3，求代数式(a + 2)(b + 2)的值。 详解：(a + 2)(b + 2) ＝ab+2a+2b+4 ＝ab+2(a+b)+4 当时， 原式=3+2×4+4=15． 题型四 整式的实际应用 解题技巧 1. 符号建模：明确 “多、少、倍、几分之几” 的意义，将实际量转化为整式（如 “比x的 2 倍少 3” 表示为2x - 3）； 2. 图形问题：根据图形公式（周长、面积）列整式，注意边长增减（如边框宽 1m，长需加 2m）；3. 费用 / 利润问题：总利润 = 总收入 - 总成本，总收入 = 单价 × 数量； 4. 结果验证：结合实际意义检验（如长度、数量不能为负） 易错点拨 1. 关键词理解错误（如 “甲数比乙数的 2 倍少 3” 误列为2x + 3； 2. 图形问题中忽略 “双向增减”（如宽为x的长方形加 1m 边框，宽变为\(x + 2\)）； 3. 单位不统一（如米和厘米混用）；4. 整式运算时符号错误导致结果不符合实际 【典例 7】某市第四中学组织学生外出研学，旅行社报价每人收费300元，当研学人数超50人时，旅行社给出两种收费方案： 方案一：研学团队先交1500元，每人收费240元． 方案二：5人免费，其余每人收费打九折． （1）用代数式表示，当参加研学的总人数是x（x＞50）时，用方案一共收费　（1500+240x）　 元，用方案二共收费　（270x﹣1350）　 元． （2）当参加研学的总人数是60时，选用哪种方案省钱？说明理由． 详解：（1）根据题中给出的信信息分析可得： 方案一的收费为：（1500+240x）元， 方案二收费为：300×0.9（x﹣5）＝（270x﹣1350）元； 故答案为：（1500+240x）；（270x﹣1350）； （2）把x＝60代入1500+240x＝1500+240×60＝15900（元）， 把x＝60代入270x﹣1350＝270×60﹣1350＝14850（元）， ∵15900＜14850， ∴方案二省钱． 【典例 8】如图是某一长方形闲置空地，长为b米，宽为3a米．为了美化环境，准备在这个长方形空地的四个顶点处分别修建一个半径为a米的扇形花圃（阴影部分），然后在花圃内种花，中间修条长b米，宽a米的小路，剩余部分种草． （1）小路的面积为 ab 平方米；种花的面积为 　πa2 平方米（结果保留π）． （2）当a＝2，b＝8时，请计算该长方形场地上种草的面积（π取3）． 详解：（1）依题意得小路的面积为ab平方米，种花的面积为πa2平方米； 故答案为：ab，πa2； （2）依题意该长方形场地上种草的面积平方米， 当a＝2，b＝8时，2ab﹣πa2＝2×2×8﹣3×2×2＝20平方米． 答：该长方形场地上种草的面积为20平方米． 【变式 7】为了严格控制水果质量，某果园建立了严格的果品标准，按照“糖酸度、鲜度、细嫩度、香味、安全性”将果园内种植的红富士苹果分成了18个等级，1级红富士的品质最好，2级次之，依此类推，第18级品质最差．果园在销售红富士时，制定销售价格如下：第9级的红富士售价为15元/千克，从第9级起，品质每提升1级，每千克的售价将提升2元；品质每下降1级，每千克的售价将降低1元． （1）若红富士的等级为n，用含n的代数式表示该级的售价（单位：元/千克）： ①当n＜9时，售价为　（n+6）　 元/千克； ②当n＞9时，售价为　（2n﹣3）　 元/千克． （2）水果店老板小蓓计划在该果园购进5级红富士200千克，果园负责送货上门，但要收100元的运费．因小蓓是果园的老客户，果园负责人给出了以下三种优惠方案： 方案一：降价6%，并减免全部运费； 方案二：降价10%，但运费不减． 方案三：不降价且运费不减，但买50千克苹果送10千克． 请你帮小蓓计算哪种优惠方案更加合算，选择这种优惠方案比没优惠前划算了多少元？ 详解：（1）①由题知， 当n＜9时， 15﹣（9﹣n）＝n+6（元/千克）， 即售价为（n+6）元/千克． 故答案为：（n+6）； ②当n＞9时， 15+2（n﹣9）＝2n﹣3（元/千克）， 即售价为（2n﹣3）元/千克． 故答案为：（2n﹣3）； （2）当n＝5时， n+6＝5+6＝11， 则11×200＝2200（元）， 所以总售价为2200元， 则总费用为2300元． 方案一的总费用为：2200×（1﹣6%）＝2068（元）； 方案二的总费用为：2200×（1﹣10%）+100＝2080（元）； 200÷（50+10）＝3余20， 200﹣3×10＝170（千克）， 则11×170+100＝1970（元）， 方案三的总费用为1970元， 因为1970＜2068＜2080， 且2300﹣1970＝330（元）， 所以方案三更加合算，比没优惠前划算了330元． 【变式 8】如图，正方形ABCD的边长为a． （1）根据图中数据，用含a，b的代数式表示阴影部分的面积S； （2）当a＝6.5，b＝1.5时，求阴影部分的面积． 解：（1）用含a，b的代数式表示阴影部分的面积S为： ， ∴； （2）当a＝6.5，b＝1.5时，， ∴阴影部分的面积为18.125． 题型五 探索与表达规律（整式相关） 解题技巧 1. 数字规律：拆分 “符号、系数、指数” 分别找规律，用差商法确定类型（等差 / 等比）；2. 图形规律：统计元素个数，转化为数字规律，用整式表示第n项； 3. 验证规律：将n = 1、2、3代入整式，检验是否与已知项一致 易错点拨 1. 规律归纳不准确； 2. 代数式表示错误，未化简； 3. 忽略起始项（n=1）的验证。） 【典例 9】观察下列一组数：，，，，…，则第n个数是（　　） A． B． C． D． 详解：观察发现：第 n 个数值部分为， ∵符号部分：n为奇数时为正，n为偶数时为负， ∴符号可用（﹣1）n+1表示， ∴第n个数为（﹣1）n+1， 故选：C． 【典例 10】如图，下列是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成，其中部分小正方形涂有阴影，按照这样的规律，第5个图案中有　21　 个涂有阴影的小正方形，第n个图案中有　4n+1　 个涂有阴影的小正方形（用含有n的式子表示）． 【解答】解：第1个图案有5个阴影正方形， 第2个图案有5+4＝9个阴影正方形， 第3个图案有5+2×4＝13个阴影正方形， 第5个图案有5+4×4＝21个阴影正方形， 第n个图案有5+（n﹣1）×4＝4n+1个阴影正方形， 故答案为：21；4n+1． 【变式 9】观察下列各式： 根据规律，解答下列各题： （1）　　 ﹣　　 ． （2）计算：　　 ． （3）探究计算：． 详解：（1）， 故答案为：；； （2）原式 ， 故答案为：； （3）原式 ． 【变式 10】探索规律： 观察下列图形，第1个图形有1个三角形，第2个有5个，第3个有17个，…（图示：第n个图形由n层小三角形组成，呈等边三角形排列） （1）第4个图形有　53　 个三角形； （2）第n个图形有　2×3n﹣1﹣1　 个三角形（用含n的式子表示）； （3）是否存在某个图形恰好有100个三角形？若存在，求出是第几个；若不存在，说明理由． 详解：（1）第1个图形有1个三角形， 第2个图形中有5个三角形， 第3个图形中有17个三角形， 第4个图形中有1+4+3×4+32×4＝53个三角形， 故答案为：53； （2）以此类推：第n个图形中有个三角形， ， 两式相减可得： 2Tn＝﹣1+（3×1﹣4）+（3×4﹣3×4）+…+3n﹣1×4 ＝3n﹣1×4﹣2， 则， 故答案为：2×3n﹣1﹣1； （3）不存在，理由如下： 由（2）得第5个图形中有2×35﹣1﹣1＝161个三角形， ∵53＜100＜161， ∴不存在恰好有100个三角形的图形． 期末基础训练 1. （在整式中，单项式的个数是（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 详解：式子5x2y，﹣8，符合单项式的定义，是单项式； 式子，，a2+2是多项式． 故单项式有2个． 故选：C． 2. 单项式2m3n的次数是　4　 ． 详解：根据单项式定义得：2m3n的次数为：3+1＝4． 故答案为：4． 3．下列各对单项式中，不是同类项的是（　　） A．1与2 B．ab与﹣ba C．与 D．x2y与0.25yx2 详解：A、符合同类项的定义，是同类项； B、符合同类项的定义，是同类项； C、所含字母不相同，不是同类项； D、符合同类项的定义，是同类项； 故选：C． 4 .（2025・安徽蚌埠期中）合并同类项：5x2 - 3x + 2 - 4x2 + 6x - 3 详解：原式=(5x2 - 4x2) + (-3x + 6x) + (2 - 3) = x^2 + 3x - 1。 5 .（2024・四川眉山期末）去括号：-(x - 2y) + 3(2x - y) 详解：原式=-x + 2y + 6x - 3y = 5x - y。 7 .（2025・湖南岳阳期中）已知A = x2 + 2xy + y2，B = x2 - xy + y2，求2A - 3B的值。 详解：将A、B代入并化简，得 2A - 3B = 2(x2 + 2xy + y2) - 3(x2 - xy + y2) = 2x2 + 4xy + 2y2 - 3x2 +3 xy -3 y2 = 2x2 - 3x2 + 4xy+3 xy + 2y2 -3 y2 = -x2 + 7xy - y2 8 .（已知，求代数式的值． 详解：原式 ＝x+x2+y2+1， 当，y＝1时， 原式＝x+x2+y2+1 ． 9．（如图所示的图形由一个正方形和一个长方形组成． （1）求该图形的面积（用含x的式子表示）； （2）若x＝1，求该图形的面积． 详解：（1）x2+3×3x＝x2+9x， ∴该图形的面积是x2+9x． （2）当x＝1时， x2+9x ＝12+9×1 ＝10， ∴该图形的面积是10． 10．某超市在春节期间对顾客实行优惠，规定如下： 一次性购物 优惠办法 少于200元 不予优惠 不高于500元但不低于200元 优惠商品都九折优惠 超过500元 其中500元部分给予九折优惠，超过500元部分给予八折优惠 （1）王老师一次性购物800元，他实际付款是多少元？ （2）若顾客在该超市一次性购物x元，当x不高于500元但不低于200元时，他实际付款　0.9x 元，当x超过500元时，他实际付款是多少元．（用含x的代数式表示） （3）如果王老师两次购物货款合计980元，第一次购物的货款为a元（200＜a＜300），用含a的代数式表示：两次购物王老师实际付款多少元？ 详解：（1）根据500元部分按9折付款，剩下的按8折付款可得： 500×0.9+（800﹣500）×0.8＝690（元）， 答：实际付款是690元； （2）由题意知，当200≤x＜500时，他实际付款：0.9x元， 当x≥500元，他实际付款500×0.9+（x﹣500）×0.8＝（0.8x+50）元， 故答案为：0.9x，0.8x+50； （3）第一次购物的货款为a元，（200＜a＜300）， 第二次购物的货款为（980﹣a）元，（680＜a＜780） ∴第一次购物的实际货款为0.9a元，第二次购物的实际货款为（834﹣0.8a）元， ∴两次实际付款数和为：0.9a+834﹣0.8a＝0.1a+834， ∴两次购物王老师实际付款（0.1a+834）元． 期末重难点训练 1. 已知M＝4x2﹣x+1，N＝5x2﹣x+2，则M与N的大小关系为（　　） A．M＞N B．M＜N C．M＝N D．无法确定 详解：M﹣N＝4x2﹣x+1﹣（5x2﹣x+2） ＝4x2﹣x+1﹣5x2+x﹣2 ＝﹣x2﹣1， ∵x2≥0， ∴﹣x2﹣1＜0， ∴M＜N． 故选：B． 2．在长方形ABCD中放入3个正方形如图所示，若AI＝CJ，MN＝PQ，则知道下列哪条线段的长就可以求出图中阴影部分的周长和（　　） A．BF B．FH C．AB D．BC 详解：图中阴影部分的周长＝2AD+AI﹣BI+DJ﹣CJ+2CJ+2FN+2GH+2EF+2MN ＝2AD+2CJ+2FN+2GH+2EF+2MN ＝2AD+2AB+2GH+2FN+2EF ∵AI＝CJ，MN＝PQ， ∴AB＝2（JC+PQ）＝2FN， ∴图中阴影部分的周长＝2AD+2AB+2GH+AB+2EF＝2AD+3AB+2GH+2EF， ∵EH＝FNAB， ∴GH+EFAB﹣FG， ∴图中阴影部分的周长＝2AD+3AB+2GH+2EF＝2AD+3AB+AB﹣2FG＝2AD+4AB﹣2FG， ∵BF＝BI，GC＝JC＝AI， ∴BF+JC＝AB， ∵AD＝BC＝BF+GC+FG， ∴AD＝AB+FG， ∴图中阴影部分的周长＝2AD+4AB﹣2FG＝2（AB+FG）+4AB﹣2FG＝6AB， 故选：C． 3．如图1，数轴上方有1个方块，记图1为+1；图2的数轴上方有1个方块，数轴下方的2个方块，记图2为﹣1，图3的数轴上方有4个方块，下方有2个方块，记图3为+2；同理，记图4为﹣2；…．故按照此规律第2025个图记为（　　） A．+1013 B．+1012 C．﹣1012 D．﹣1013 详解：由题知， 因为第1个图记为+1，第2个图记为﹣1，第3个图记为+2，第4个图记为﹣2，…， 所以当n为奇数时，第n个图可记为． 当n＝2025时， 第2025个图记为+1013． 故选：A． 4．在如图所示的日历中任意圈出一竖列上相邻的三个数，设最大的一个数为x，则圈出的三个数之和为　3x﹣21　 ．（用含x的式子表示） 详解：设最大的一个数为x，则另外两个数为：x﹣7，x﹣14， ∴这三个数之和为x+x﹣7+x﹣14＝3x﹣21． 故答案为：3x﹣21． 5．当x＝1时，整式ax3+bx+1的值为2023，则当x＝﹣1时，整式ax3+bx﹣2的值是 　﹣2024　 ． 详解：由题意可得：a+b+1＝2023，即a+b＝2022， ∴当x＝﹣1时，整式ax3+bx﹣2＝﹣a﹣b﹣2＝﹣（a+b）﹣2＝﹣2022﹣2＝﹣2024． 故答案为：﹣2024． 6．有一数值转换器，原理如图，若开始输入x的值是5．可发现第一次输出的结果是8，第二次输出的结果是4，…，请你探索第2025次输出的结果是　2　 ． 详解：根据转换器规则计算前几次输出结果可得： 输入x＝5时， 第1次输出：5+3＝8； 第2次输出：； 第3次输出：； 第4次输出：； 第5次输出：1+3＝4； 第6次输出：； ……， 从第2次开始，输出结果以4，2，1循环，周期为3． 第2025次输出时，除去第1次，剩余2024次，2024÷3＝674……2，对应循环中第2个结果2． 故答案为：2． 7．先化简，再求值：﹣x2y﹣[7xy﹣2（4xy﹣2）﹣x2y]+1，其中x，y满足|x﹣2024|+（y+1）2＝0． 详解：原式＝﹣x2y﹣（7xy﹣8xy+4﹣x2y）+1 ＝﹣x2y+xy﹣4+x2y+1 ＝xy﹣3． ∵|x﹣2024|+（y+1）2＝0， ∴x﹣2024＝0，y+1＝0， 解得x＝2024，y＝﹣1， ∴原式＝﹣2024﹣3＝﹣2027． 8．对于有理数x、y规定一种新运算：x※y＝ax+y．其中a为常数，等式右边是乘法和加法运算，已知2※3＝11． （1）求常数a的值． （2）求（）※2的值． 详解：（1）根据新运算， 2※3＝11得， 2a+3＝11， 解得a＝4． （2）∵a＝4， ∴x※y＝4x+y， 于是（）※2＝4×（）+2＝﹣3+2＝﹣1． 9．国庆假期期间，某电影热映，公司组织员工去观影．该电影在奥斯卡影院的原票价为每人40元，当观影人数超过30人时，影院给出两种优惠方案： 方案一：付费200元购买团购优惠卡后，每人票价25元； 方案二：5人免票，其余每人按原价的九折优惠． （1）当观影的总人数是x（x＞30）时，用代数式表示方案一和方案二分别收费多少元？ （2）当观影的总人数是60人时，采用哪种方案省钱？请说明你的理由． 详解：（1）观影的总人数是x（x＞30）时，方案一的收费是25x+200（x＞30）， 观影的总人数是x（x＞30）时，方案二的收费是40×90%×（x﹣5）＝36（x﹣5）＝36x﹣180（x＞30）． （2）方案一省钱， 理由：方案一：当x＝60时，25x+200＝25×60+200＝1700元． 方案二：当x＝60时，36x﹣180＝36×60﹣180＝1980元． 因为1700＜1980，所以方案一省钱． 10．学校餐厅中，一张桌子可坐6人，现有以下两种摆放方式： （1）当有5张桌子时，第一种方式能坐 　22　 人，第二种方式能坐 　14　 人． （2）当有n张桌子时，第一种方式能坐 　（4n+2）　 人，第二种方式能坐 　（2n+4）　 人． （3）新学期有200人在学校就餐，但餐厅只有60张这样的餐桌，现在请你当一回小老师，你打算选择以下哪种方式来摆放餐桌？为什么？ 详解：（1）有5张桌子，用第一种摆设方式，可以坐5×4+2＝22（人）； 用第二种摆设方式，可以坐5×2+4＝14（人）； 故答案为：22；14； （2）有n张桌子，用第一种摆设方式可以坐（4n+2）人； 用第二种摆设方式，可以坐（2n+4）人； 故答案为：（4n+2），（2n+4）； （3）选择第一种方式．理由如下； 第一种方式：60张桌子一共可以坐60×4+2＝242（人）． 第二种方式：60张桌子一共可以坐60×2+4＝124（人）． 又242＞200＞124， 所以选择第一种方式． 期末拓展训练 1.化简求值：，其中|x+2|+|y﹣3|＝0． 详解：∵|x+2|+|y﹣3|＝0， ∴x+2＝0，y﹣3＝0， 解得：x＝﹣2，y＝3， 原式＝2x2y﹣3xy﹣2x2y+2xy﹣xy2+xy ＝2x2y﹣2x2y+2xy+xy﹣3xy﹣xy2 ＝﹣xy2 ＝﹣（﹣2）×32 ＝﹣（﹣2）×9 ＝2×9 ＝18． 2．已知多项式（m﹣3）x|m|﹣2y3+x2y﹣2xy2是关于x，y的四次三项式． （1）求m的值； （2）当时，求此多项式的值． 详解：（1）因为多项式（m﹣3）x|m|﹣2y3+x2y﹣2xy2是关于x，y的四次三项式， 所以|m|﹣2+3＝4， 得|m|＝3， 得：m＝±3， 当m＝3时，m﹣3＝0，此时系数为0， 所以m＝﹣3． （2）m＝﹣3， 多项式为： ﹣6xy3+x2y﹣2xy2 ＝xy（﹣6y2+x﹣2y）， 当时， 原式 ． 3．已知A＝a2+2ab+b2，B＝3a2﹣6ab+b2． （1）求； （2）若2A﹣3B+C＝0，求C的表达式． 详解：（1）因为A＝a2+2ab+b2，B＝3a2﹣6ab+b2， ； （2）因为2A﹣3B+C＝0， 所以C＝3B﹣2A， 因为A＝a2+2ab+b2，B＝3a2﹣6ab+b2， 所以C＝3B﹣2A ＝3（3a2﹣6ab+b2）﹣2（a2+2ab+b2） ＝9a2﹣18ab+3b2﹣2a2﹣4ab﹣2b2 ＝7a2﹣22ab+b2． 4．已知A＝﹣3a2+ab﹣3a﹣1，B＝﹣a2﹣2ab+1， （1）求A﹣3B； （2）若A﹣3B的值与a的取值无关，求b的值． 详解：（1）∵A＝﹣3a2+ab﹣3a﹣1，B＝﹣a2﹣2ab+1， ∴A﹣3B ＝﹣3a2+ab﹣3a﹣1+3a2+6ab﹣3， ＝7ab﹣3a﹣4； （2）∵A﹣3B ＝7ab﹣3a﹣4 ＝（7b﹣3）a﹣4， ∵A﹣3B的值与a的值无关， ∴7b﹣3＝0， ∴b． 5．十一黄金周期间，淮安动物园在7天假期中每天旅游的人数变化如表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）． 日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日 人数变化（单位：万人） +1.6 +0.8 +0.4 ﹣0.4 ﹣0.8 +0.2 ﹣1.2 （1）若9月30日的游客人数记为a万人，请用含a的代数式表示10月2日的游客人数； （2）请判断七天内游客人数最多的是哪天？游客人数是多少？ （3）若9月30日的游客人数为2万人，门票每人10元，问黄金周期间淮安动物园门票收入是多少元？ 详解：（1）a+2.4（万人）； （2）七天内游客人数分别是a+1.6，a+2.4，a+2.8，a+2.4，a+1.6，a+1.8，a+0.6， 所以3日人最多． （3）（a+1.6）+（a+2.4）+（a+2.8）+（a+2.4）+（a+1.6）+（a+1.8）+（a+0.6）＝7a+13.2＝7×2+13.2＝27.2（万人）， ∴黄金周期间该公园门票收入是27.2×10000×10＝2.72×106（元）． 6．阅读材料：有一种定义：若a+b＝2，则称a与b是关于1的平衡数．举个例子说明，因为3+（﹣1）＝2，我们就说3和﹣1是关于1的平衡数．再比如3+1≠2，那么3和1就不是关于1的平衡数．请根据以上材料，回答下列问题： （1）6与　﹣4　 是关于1的平衡数，5﹣x与x﹣3　 是关于1的平衡数．（用含x的代数式表示） （2）若a＝2x2﹣3（x2+x）+4，b＝2x﹣[3x﹣（4x+x2）﹣2]，判断a与b是否是关于1的平衡数，并说明理由． 详解：（1）已知a＝6，则b＝2﹣6＝﹣4． 因此6与﹣4是关于1的平衡数． 设另一个数为k，则5﹣x+k＝2， 解得 k＝2﹣（5﹣x）＝x﹣3． 因此，5﹣x与x﹣3 是关于1的平衡数． 故答案为：﹣4；x﹣3； （2）a＝2x2﹣3x2﹣3x+4＝﹣x2﹣3x+4， b＝2x﹣[3x﹣（4x+x2）﹣2] ＝2x﹣[（﹣x﹣x2）﹣2] ＝x2+3x+2， a+b＝（﹣x2﹣3x+4）+（x2+3x+2）＝（﹣x2+x2）+（﹣3x+3x）+（4+2）＝6， 由于 a+b＝6≠2，因此a与b不是关于1的平衡数． 7．小语家新买了一套商品房，其建筑平面图如图所示，其中b＜a（单位：米）． （1）这套住房的建筑总面积是 　（11a+5b+15）　 平方米；（用含a、b的式子表示） （2）当a＝5，b＝4时，求出小语家这套住房的具体面积． （3）地面装修要铺设地砖或地板，小语家对各个房间的装修都提出了具体要求，明确了选用材料的品牌以及规格、品质要求．现有两家公司按照要求拿出了装修方案，两个方案中选用的材料品牌、规格、品质完全一致，但报价不同；甲公司：客厅地面每平方米240元，书房和卧室地面每平方米220元，厨房地面每平方180元，卫生间地面每平方米150元；乙公司：全屋地面每平方米210元；请你帮助小语家测算一下选择哪家公司比较合算，请说明理由． 详解：（1）由题意可得：这套住房的建筑总面积是：（2+4+5）×a+（5﹣1+1）×b+（3+2）×（4﹣1）＝（11a+5b+15）平方米， 即这套住房的建筑总面积是（11a+5b+15）平方米． 故答案为：（11a+5b+15）； （2）当a＝5，b＝4时， 11a+5b+15＝11×5+5×4+15＝55+20+15＝90（平方米）． 答：小语家这套住房的具体面积为90平方米； （3）选择乙公司比较合算．理由如下： 甲公司的总费用： 4a×240+（5a+5b）×220+2a×180+9×220+6×150 ＝960a+1100a+1100b+360a+1980+900 ＝（2420a+1100b+2880）（元）， 乙公司的总费用： （11a+5b+15）×210＝（2310a+1050b+3150）（元）， ∴2420a+1100b+2880﹣（2310a+1050b+3150）＝（110a+50b﹣270）（元）， ∵a＞b＞2， ∴110a＞220，50b＞100， ∴110a+50b﹣270＞220+100﹣270＝50， 所以选择乙公司比较合算． 8．如图，长为50cm，宽为（4a+3）cm的大长方形被分割为8小块，除阴影部分A，B外，其余6块是形状及大小完全相同的小长方形，小长方形较短的一边长为acm． （1）每个小长方形较长的一边长是 　（50﹣3a）　 cm，阴影部分B的较短的一边长是 　（7a﹣47）　 cm（用含a的式子表示）； （2）当a＝10时，求阴影部分A，B的周长之和的值． 详解：（1）由题意得大长方形的宽为（4a+3）cm，由图可知，大长方形的宽等于3个小长方形的短边长加上阴影部分B的较短边长． 因此，阴影部分B的较短边长为（4a+3）﹣（50﹣3a）＝7a﹣47． 故答案为：（50﹣3a），（7a﹣47）． （2）阴影A的长为（50﹣3a）cm，宽为（4a+3）﹣3a＝（a+3）cm． 阴影B的长为3acm，宽为（7a﹣47）cm． 阴影A的周长为2[（50﹣3a）+（a+3）]， 阴影B的周长为2[3a+（7a﹣47）]． ∴2[（50﹣3a）+（a+3）]+2[3a+（7a﹣47）] ＝106﹣4a+20a﹣94 ＝16a+12， 代入a＝10： ∴16×10+12＝160+12＝172． ∴阴影部分A、B的周长之和为172． 9．如图，已知数轴上有A、B、C三个点，它们表示的数分别是﹣18，﹣8，+8，A到C的距离可以用AC表示，计算方法：AC＝|（+8）﹣（﹣18）|＝26，或AC＝|（﹣18）﹣（+8）|＝26．根据阅读完成下列问题： （1）填空：AB＝　10　 ，BC＝　16　 ． （2）现有动点P从B点出发，以每秒1个单位长度的速度向右移动，同时点Q从A点出发，并以每秒3个单位长度的速度向右移动．设点P移动的时间为t秒（0＜t≤20），求P、Q两点间的距离PQ（用含t的代数式表示）． （3）若点A以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时点C以每秒2个单位长度的速度向右运动，动点D从原点开始以每秒m个单位长度运动，运动时间为t秒，运动过程中，点D始终在A、C两点之间的线段上，且CD﹣3AD的值始终是一个定值，求D点运动的方向及m的值． 详解：（1）由数轴得： AB＝|﹣8﹣（﹣18）|＝10，BC＝|（+8）﹣（﹣8）|＝16， 故答案为：10；16． （2）当P、Q两点相遇时，由题意得： 3t﹣t＝10， 解得：t＝5（秒）， 分两种情况： 当P、Q两点相遇前： PQ＝10﹣（3t﹣t）＝10﹣2t（0＜t≤5）， 当P、Q两点相遇后： PQ＝3t﹣t﹣10＝2t﹣10（5＜t≤20）， 综上所述，． （3）当点D从原点向左运动时： CD﹣3AD ＝2t+8+mt﹣3（3t+18﹣mt） ＝（4m﹣7）t﹣46， ∵CD﹣3AD的值始终是一个定值， ∴4m﹣7＝0， 解得：； 当点D从原点向右运动时： CD﹣3AD ＝2t+8﹣mt﹣3（3t+18+mt） ＝（﹣4m﹣7）t﹣46， ∵CD﹣3AD的值始终是一个定值， ∴﹣4m﹣7＝0， 解得：； ∵m＞0， ∴此情况不存在， 综上所述，D点运动的方向为从原点向左运动，m的值为． 10．认真阅读下面的材料，完成有关问题． 材料：在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，如|5﹣3|表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离；|5+3|＝|5﹣（﹣3）|，所以|5+3|表示5、﹣3在数轴上对应的两点之间的距离；|5|＝|5﹣0|，所以|5|表示5在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B之间的距离可表示为|a﹣b|． 问题1：点A、B、C在数轴上分别表示有理数：﹣5、﹣1、3，那么A到B的距离是　4　 ，A到C的距离是　8　 ．（直接填最后结果） 问题2：点A、B、C在数轴上分别表示有理数x、﹣2、1，那么A到B的距离与A到C的距离之和可表示为　|x+2|+|x﹣1|　 （用含绝对值的式子表示）． 问题3：利用数轴探究： ①设|x﹣3|+|x+1|＝p，当x的值取在不小于﹣1且不大于3的范围时，p的值是不变的，而且是p的最小值，这个最小值是　4　 ；当x的值取在　0≤x≤2　 的范围时，|x|+|x﹣2|最小； ②找出满足|x﹣3|+|x+1|＝6的x的所有值是　4，﹣2　 ． 详解：问题1：点A、B、C在数轴上分别表示有理数：﹣5、﹣1、3， A到B的距离是|﹣1﹣（﹣5）|＝4，A到C的距离是|3﹣（﹣5）|＝8， 故答案为：4，8； 问题2：点A、B、C在数轴上分别表示有理数x、﹣2、1，那么A到B的距离与A到C的距离之和可表示， A到B的距离与A到C的距离之和可表示为|x﹣（﹣2）|+|x﹣1|＝|x+2|+|x﹣1|， 故答案为：|x+2|+|x﹣1|； 问题3：①对于|x﹣3|+|x+1|＝p， 当x的值取在不小于﹣1且不大于3的范围时， p＝|x﹣3|+|x+1|＝3﹣x+x+1＝4； 对于|x|+|x﹣2|， 当x的值取在不小于0且不大于2的范围时，|x|+|x﹣2|的值保持不变，且为其最小值， 这个最小值为|x|+|x﹣2|＝x+（2﹣x）＝2； 故答案为：4；0≤x≤2； ②设点A、B、C在数轴上分别表示数x、3、﹣1， 则|x﹣3|+|x+1|＝6表示A到B的距离与A到C的距离之和为6， 结合数轴可知，当A在B、C之间（包含B、C）时，|x﹣3|+|x+1|＝4不符合题意， 当A在B右侧时，|x﹣3|+|x+1|＝x﹣3+x+1＝2x﹣2＝6，解得x＝4； 当A在C左侧时，|x﹣3|+|x+1|＝3﹣x﹣x﹣1＝﹣2x+2＝6，解得x＝﹣2； 故答案为：4，﹣2． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末复习 第三章 整式及其加减 目录： 考情通览 知识点速览 题型全览 分层训练 核心知识点 复习目标 考点分类 代数式与整式的概念 理解用字母表示数的意义，掌握代数式的概念、书写规范；能区分单项式、多项式，明确整式的定义 基础必考点，选择 / 填空占 2-3 分，代数式书写规范、单项式系数与次数、多项式项与次数易错 同类项与合并同类项 理解同类项的概念（两相同），熟练掌握合并同类项的法则 高频计算考点，选择 / 填空 / 解答题均涉及，识别同类项、合并时符号错误是主要失分点 去括号与添括号 掌握去括号法则（看符号，变不变号），能准确进行去括号、添括号运算 核心运算考点，与合并同类项结合，占 4-6 分，去括号时符号处理错误率高 整式的加减运算及化简求值 能进行整式的加减混合运算，并能化简求值 核心计算考点，解答题占 6-8 分，运算顺序、去括号、合并同类项的综合应用是考查重点 探索与表达规律 能从数字、图形、算式中发现规律，并用代数式进行表示与验证，解决实际问题 高频能力考点，选择填空及解答题均有涉及，规律探究与代数式抽象是难点 整式加减的实际应用 能利用整式表示实际问题中的数量关系，并能通过整式运算解决图形、数字、销售等问题 高频应用考点，选择填空及解答题均有涉及，从实际问题中抽象出代数式是关键和难点 知识点 01 代数式与整式的概念 1. 核心概念：​ 代数式： 用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数和字母连接而成的式子。注意： 单独的一个数或一个字母也是代数式。 整式： 单项式和多项式统称为整式。 单项式： 由数与字母的积组成的代数式。单独的一个数或一个字母也是单项式。 单项式的系数： 单项式中的数字因数。 单项式的次数： 一个单项式中，所有字母的指数的和。 多项式： 几个单项式的和。 多项式的项： 多项式中的每个单项式。 常数项： 不含字母的项。 多项式的次数： 多项式中次数最高的项的次数。 2. 经典练习 典习1.典习 1.（2024・山东济南期末）下列关于整式的说法正确的是（　　） A. 单项式-5x2的系数是 5，次数是 2 B. 多项式x3 - 2x + 1是三次三项式 C. 单项式πr2的系数是，次数是 D. 整式是单项式 典习 2（2024・广东珠海期中）已知多项式-3x2ym+1+ x3y - x4 + 6是六次四项式，单项式3x2ny5-m的次数与多项式的次数相同，求m、n的值。 易错点：易错点：混淆单项式的系数与次数（忽略系数符号）；多项式次数判断时误加所有项的次数；将π视为字母（π是常数，不是字母）。 知识点 02 同类项与合并同类项 1. 核心概念： 同类项： 所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项。几个常数项也是同类项。 合并同类项： 把多项式中的同类项合并成一项。 法则： 合并同类项时，把同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变。 2. 经典练习 典习3（2024・广东深圳期末）下列各组式子中，是同类项的是（　　） A. 3x2y 与 −3xy2   B．2abc 与 2ab   C．−12xy与 2yx  D．a3与 b3 典习4（2023・成都期中）合并同类项：4a2−3b2+2ab−4a2+2b2 易错点：同类项判断时只看字母不看指数（如x2y与xy2误判为同类项；合并时改变字母或指数；系数运算时符号错误（如-2xy - 3xy误算为-xy）。 知识点 03 去括号与添括号 1. 核心法则： 去括号法则：括号前是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉后，原括号里各项的符号都不改变； 括号前是“-”号，把括号和它前面的“-”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变。 添括号法则：所添括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不改变符号；所添括号前面是“-”号，括到括号里的各项都改变符号。 2. 经典练习 典习 5（2024・浙江杭州期末）去括号：-(2x - 3y + 4z) + 3(x - 2y) 典习6（2023・湖南长沙期中）添括号：将多项式3x2 - 2xy + y2 - 4x + 3y - 1按要求变形： （1） 把二次项放在前面带 “+” 号的括号里； （2） 把一次项放在前面带 “-” 号的括号里。 易错点：去括号时括号前是负号，漏变括号内部分项的符号（如-(x - y)误算为-x - y）；添括号时符号处理错误；括号前有系数时漏乘括号内某项，如2(x + 3)误算为2x +3。 知识点 04 整式的加减运算 1. 核心法则： 整式加减的本质：去括号和合并同类项的综合运用（结果仍是整式）。 运算步骤：①去括号：根据去括号法则去掉所有括号（先小括号，再中括号）； ②合并同类项：根据合并同类项法则合并所有同类项，化简结果。 2. 经典练习 典习7 （2024・福建厦门期末）计算：(5a2 - 2a + 3) - (2a2 + 4a - 1) + 2(-a2 + 3a - 2) 典习8（2023・山东青岛期中）已知A = 3x2 - 2x + 5，B = 2x2 + 3x - 2，求2A - 3B的值。 易错点：去括号时符号错误；合并同类项时系数计算失误；整式相减时漏加括号。 知识点 05 整式的化简求值 1.核心方法 直接化简求值：先化简整式（去括号 + 合并同类项），再将字母的具体值代入化简后的式子计算。 整体代入求值：当无法直接求字母值，但能求某个代数式的值时，将该代数式作为整体代入。 2. 经典练习 典习9（2023・陕西西安期中）先化简，再求值：3x2y−[2xy2−2(xy−x2y)+xy]+3xy2，其中 x=2，y=−​。 典习10（2023・广东深圳期中）已知2a2+3a−6=0，求代数式3(2a2+3a)−7的值。 知识点 06 整式的实际应用 1.核心步骤 分析问题： 明确问题中的已知量和未知量。 表示关系： 用字母表示未知数，列出相关的代数式表示数量关系。 建立运算： 根据问题中的等量关系或运算要求，列出整式加减的算式。 求解解释： 进行整式运算，得出结果，并结合实际意义进行解释。。 2.常见场景及解法 图形面积/周长： 用代数式表示图形的面积或周长，并进行计算或比较。 数字问题： 用字母表示数，表示出原数、新数等。 销售问题： 用代数式表示售价、利润、总销售额等。 3.经典练习 典习 11（2024・江苏南京期末）某商场销售一种服装，每件进价为a元，售价为b元。春节期间按售价的 8 折销售，若卖出n件，求商场的总利润（利润 = 售价 - 进价）。 典习 12. 阳光中学有一块长为ym，宽为10m的长方形空地，现在打算利用这块空地打造一个学生自主菜园．如图，空地有两边靠墙，在不靠墙的两边均需留出宽为xm的小路，余下的长方形部分作为学生自主菜园，种植各种瓜果蔬菜． （1）学生自主菜园的长为　　 m，宽为　　 m；（用含x，y的代数式表示） （2）现要给学生自主菜园周围围上护栏（靠墙的边不用围），请用含x，y的代数式表示护栏的总长度．若每米护栏的价格为80元，求当x＝2.5，y＝20时，购买护栏所需的总费用． 知识点 07 探索与表达规律（整式相关） 1.常见规律类型 数字规律： 数列规律（等差、等比、平方数等）、数表规律（行列规律）、数式规律（算式中的规律）。 图形规律： 点阵、图案、小正方形个数、周长、面积等变化规律。 循环规律： 周期现象，确定周期长度。。 2.解题策略 观察： 从简单情形入手，比较相邻项或图形。 猜想： 发现变化的趋势或共同特征。 验证： 用后续项或图形验证猜想的规律。 表达： 用含 n 的代数式表示第 n 个数或图形的结果。 2. 经典练习 典习 13. 如图，下列图形是由同样大小的圆点按一定规律排列所组成的，按此规律排列下去，在第19个图形中，圆点的个数是（　　） A．381 B．356 C．379 D．421 典习 14. 如图所示，在这个运算程序当中，若开始输入的x是48，第一次输出结果为24，则第2025次输出的结果是（　　） A．3 B．6 C．12 D．2 题型一 整式的相关概念辨析 解题技巧 1. 单项式判断：分母不含字母，单独的数 / 字母也是单项式； 2. 系数与次数：系数含符号，次数是所有字母指数和（常数项次数 0）； 3. 多项式判断：项数是单项式个数（含符号），次数是最高次项的次数； 4. 整式判断：排除分母含字母的代数式。 易错点拨 1.代数式判断错误： 忽略单独的数或字母也是代数式；含有等号或不等号的式子不是代数式； 2. 单项式系数与次数错误； 3. 多项式项与次数错误： 常数项也是项，多项式的次数是最高次项的次数。 【典例 1】（下列说法中正确的个数是（　　） （1）a和0都是单项式． （2）多项式x3﹣y4﹣7的次数是4． （3）单项式的次数为4． （4）x2+2xy﹣y2﹣5的常数项是﹣5． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【典例 2】若多项式3xmy2+（n+3）x2y+2x+1是关于x、y的四次三项式，则nm的值为 　 ． 【变式 1】写出一个同时满足下列条件的二次三项式：　 ． ①只含有字母a和b； ②每一项的次数都是2； ③按字母a的降幂排列． 【变式 2】多项式是关于x的三次三项式，则m的值是　　 ． 题型二 同类项及合并与去括号综合 解题技巧 1. 先去括号：有括号先去（括号前负号变号，系数乘每一项）； 2. 再合并同类项：找同类项（标记相同字母及指数），系数相加，字母和指数不变； 3. 检查：确保无漏去括号、无漏合并同类项。 易错点拨 1. 去括号时漏变括号内多项符号； 2. 合并同类项时系数运算错误； 3. 非同类项强行合并。 【典例 3】如果单项式﹣xyb+1与xa﹣2y3的和是单项式，那么（b﹣a）2025＝　　 ． 【典例 4】已知：A＝2x2+3x﹣1，B＝x2﹣2x+4． （1）求A﹣B； （2）求2A+B． 【变式 3】（2024・辽宁沈阳期末）合并同类项：4(a−b)2−3(a−b)2+2(a−b)−5(a−b)+(a−b)2 【变式 4】已知A＝4ab﹣5+b2，B＝2b2﹣ab，C＝﹣2b2+mab+3． （1）求2A﹣B； （2）若A﹣C的结果与字母a的取值无关，求m的值． 题型三 整式的化简求值 解题技巧 1. 直接求值：先化简（去括号 + 合并同类项），再代入（负数 / 分数加括号）； 2. 整体求值：从已知条件提炼整体代数式（如x - y = 2），将整式变形为含整体的形式；3. 非负性结合：若|a| + (b - 2)2 = 0\)，则a = 0，b = 2（利用非负性求字母值） 易错点拨 1. 代入数值时漏加括号（如\(x = -2\)代入\(x^2\)误算为\(-2^2 = -4\)）； 2. 化简不彻底就代入（如未合并同类项导致运算繁琐出错）； 3. 整体代入时找不到整式与已知条件的联系。如a + b = 3，未将2a + 2b变形为2(a + b) 【典例 5】先化简，再求值：3x2y﹣2（xy2+3x2y）+3（x2y﹣2xy2），其中． 【典例 6】（2023・山东烟台期中）已知x2 - 2x - 5 = 0，求代数式2(x2 - 2x) - 3(x2 - 2x + 1) + 4的值。 【变式 5】先化简，再求值：3x2y﹣2（xy2+3x2y）+3（x2y﹣2xy2），其中满足 【变式 6 】（（2023・湖南湘潭期中）已知a + b = 4，ab = 3，求代数式(a + 2)(b + 2)的值。 题型四 整式的实际应用 解题技巧 1. 符号建模：明确 “多、少、倍、几分之几” 的意义，将实际量转化为整式（如 “比x的 2 倍少 3” 表示为2x - 3）； 2. 图形问题：根据图形公式（周长、面积）列整式，注意边长增减（如边框宽 1m，长需加 2m）；3. 费用 / 利润问题：总利润 = 总收入 - 总成本，总收入 = 单价 × 数量； 4. 结果验证：结合实际意义检验（如长度、数量不能为负） 易错点拨 1. 关键词理解错误（如 “甲数比乙数的 2 倍少 3” 误列为2x + 3； 2. 图形问题中忽略 “双向增减”（如宽为x的长方形加 1m 边框，宽变为\(x + 2\)）； 3. 单位不统一（如米和厘米混用）；4. 整式运算时符号错误导致结果不符合实际 【典例 7】某市第四中学组织学生外出研学，旅行社报价每人收费300元，当研学人数超50人时，旅行社给出两种收费方案： 方案一：研学团队先交1500元，每人收费240元． 方案二：5人免费，其余每人收费打九折． （1）用代数式表示，当参加研学的总人数是x（x＞50）时，用方案一共收费 元，用方案二共收费 元． （2）当参加研学的总人数是60时，选用哪种方案省钱？说明理由． 【典例 8】如图是某一长方形闲置空地，长为b米，宽为3a米．为了美化环境，准备在这个长方形空地的四个顶点处分别修建一个半径为a米的扇形花圃（阴影部分），然后在花圃内种花，中间修条长b米，宽a米的小路，剩余部分种草． （1）小路的面积为 ab 平方米；种花的面积为 　πa2 平方米（结果保留π）． （2）当a＝2，b＝8时，请计算该长方形场地上种草的面积（π取3）． 【变式 7】为了严格控制水果质量，某果园建立了严格的果品标准，按照“糖酸度、鲜度、细嫩度、香味、安全性”将果园内种植的红富士苹果分成了18个等级，1级红富士的品质最好，2级次之，依此类推，第18级品质最差．果园在销售红富士时，制定销售价格如下：第9级的红富士售价为15元/千克，从第9级起，品质每提升1级，每千克的售价将提升2元；品质每下降1级，每千克的售价将降低1元． （1）若红富士的等级为n，用含n的代数式表示该级的售价（单位：元/千克）： ①当n＜9时，售价为　　 元/千克； ②当n＞9时，售价为　　 元/千克． （2）水果店老板小蓓计划在该果园购进5级红富士200千克，果园负责送货上门，但要收100元的运费．因小蓓是果园的老客户，果园负责人给出了以下三种优惠方案： 方案一：降价6%，并减免全部运费； 方案二：降价10%，但运费不减． 方案三：不降价且运费不减，但买50千克苹果送10千克． 请你帮小蓓计算哪种优惠方案更加合算，选择这种优惠方案比没优惠前划算了多少元？ 【变式 8】如图，正方形ABCD的边长为a． （1）根据图中数据，用含a，b的代数式表示阴影部分的面积S； （2）当a＝6.5，b＝1.5时，求阴影部分的面积． 题型五 探索与表达规律（整式相关） 解题技巧 1. 数字规律：拆分 “符号、系数、指数” 分别找规律，用差商法确定类型（等差 / 等比）；2. 图形规律：统计元素个数，转化为数字规律，用整式表示第n项； 3. 验证规律：将n = 1、2、3代入整式，检验是否与已知项一致 易错点拨 1. 规律归纳不准确； 2. 代数式表示错误，未化简； 3. 忽略起始项（n=1）的验证。） 【典例 9】观察下列一组数：，，，，…，则第n个数是（　　） A． B． C． D． 【典例 10】如图，下列是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成，其中部分小正方形涂有阴影，按照这样的规律，第5个图案中有　　 个涂有阴影的小正方形，第n个图案中有　 个涂有阴影的小正方形（用含有n的式子表示）． 【变式 9】观察下列各式： 根据规律，解答下列各题： （1）　　 ﹣　　 ． （2）计算：　　 ． （3）探究计算：． 【变式 10】探索规律： 观察下列图形，第1个图形有1个三角形，第2个有5个，第3个有17个，…（图示：第n个图形由n层小三角形组成，呈等边三角形排列） （1）第4个图形有　　 个三角形； （2）第n个图形有　　 个三角形（用含n的式子表示）； （3）是否存在某个图形恰好有100个三角形？若存在，求出是第几个；若不存在，说明理由． 期末基础训练 1. （在整式中，单项式的个数是（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2. 单项式2m3n的次数是　　 ． 3．下列各对单项式中，不是同类项的是（　　） A．1与2 B．ab与﹣ba C．与 D．x2y与0.25yx2 4 .（2025・安徽蚌埠期中）合并同类项：5x2 - 3x + 2 - 4x2 + 6x - 3 5 .（2024・四川眉山期末）去括号：-(x - 2y) + 3(2x - y) 7 .（2025・湖南岳阳期中）已知A = x2 + 2xy + y2，B = x2 - xy + y2，求2A - 3B的值。 8 .（已知，求代数式的值． 9．（如图所示的图形由一个正方形和一个长方形组成． （1）求该图形的面积（用含x的式子表示）； （2）若x＝1，求该图形的面积． 10．某超市在春节期间对顾客实行优惠，规定如下： 一次性购物 优惠办法 少于200元 不予优惠 不高于500元但不低于200元 优惠商品都九折优惠 超过500元 其中500元部分给予九折优惠，超过500元部分给予八折优惠 （1）王老师一次性购物800元，他实际付款是多少元？ （2）若顾客在该超市一次性购物x元，当x不高于500元但不低于200元时，他实际付款　0.9x 元，当x超过500元时，他实际付款是多少元．（用含x的代数式表示） （3）如果王老师两次购物货款合计980元，第一次购物的货款为a元（200＜a＜300），用含a的代数式表示：两次购物王老师实际付款多少元？ 期末重难点训练 1. 已知M＝4x2﹣x+1，N＝5x2﹣x+2，则M与N的大小关系为（　　） A．M＞N B．M＜N C．M＝N D．无法确定 2．在长方形ABCD中放入3个正方形如图所示，若AI＝CJ，MN＝PQ，则知道下列哪条线段的长就可以求出图中阴影部分的周长和（　　） A．BF B．FH C．AB D．BC 3．如图1，数轴上方有1个方块，记图1为+1；图2的数轴上方有1个方块，数轴下方的2个方块，记图2为﹣1，图3的数轴上方有4个方块，下方有2个方块，记图3为+2；同理，记图4为﹣2；…．故按照此规律第2025个图记为（　　） A．+1013 B．+1012 C．﹣1012 D．﹣1013 4．在如图所示的日历中任意圈出一竖列上相邻的三个数，设最大的一个数为x，则圈出的三个数之和 为 　 ．（用含x的式子表示） 5．当x＝1时，整式ax3+bx+1的值为2023，则当x＝﹣1时，整式ax3+bx﹣2的值是 　 　 ． 6．有一数值转换器，原理如图，若开始输入x的值是5．可发现第一次输出的结果是8，第二次输出的结果是4，…，请你探索第2025次输出的结果是　 　 ． 7．先化简，再求值：﹣x2y﹣[7xy﹣2（4xy﹣2）﹣x2y]+1，其中x，y满足|x﹣2024|+（y+1）2＝0． 8．对于有理数x、y规定一种新运算：x※y＝ax+y．其中a为常数，等式右边是乘法和加法运算，已知2※3＝11． （1）求常数a的值． （2）求（）※2的值． 9．国庆假期期间，某电影热映，公司组织员工去观影．该电影在奥斯卡影院的原票价为每人40元，当观影人数超过30人时，影院给出两种优惠方案： 方案一：付费200元购买团购优惠卡后，每人票价25元； 方案二：5人免票，其余每人按原价的九折优惠． （1）当观影的总人数是x（x＞30）时，用代数式表示方案一和方案二分别收费多少元？ （2）当观影的总人数是60人时，采用哪种方案省钱？请说明你的理由． 10．学校餐厅中，一张桌子可坐6人，现有以下两种摆放方式： （1）当有5张桌子时，第一种方式能坐 　　 人，第二种方式能坐 　　 人． （2）当有n张桌子时，第一种方式能坐 　 　 人，第二种方式能坐 　 　 人． （3）新学期有200人在学校就餐，但餐厅只有60张这样的餐桌，现在请你当一回小老师，你打算选择以下哪种方式来摆放餐桌？为什么？ 期末拓展训练 1.化简求值：，其中|x+2|+|y﹣3|＝0． 2．已知多项式（m﹣3）x|m|﹣2y3+x2y﹣2xy2是关于x，y的四次三项式． （1）求m的值； （2）当时，求此多项式的值． 3．已知A＝a2+2ab+b2，B＝3a2﹣6ab+b2． （1）求； （2）若2A﹣3B+C＝0，求C的表达式． 4．已知A＝﹣3a2+ab﹣3a﹣1，B＝﹣a2﹣2ab+1， （1）求A﹣3B； （2）若A﹣3B的值与a的取值无关，求b的值． 5．十一黄金周期间，淮安动物园在7天假期中每天旅游的人数变化如表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）． 日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日 人数变化（单位：万人） +1.6 +0.8 +0.4 ﹣0.4 ﹣0.8 +0.2 ﹣1.2 （1）若9月30日的游客人数记为a万人，请用含a的代数式表示10月2日的游客人数； （2）请判断七天内游客人数最多的是哪天？游客人数是多少？ （3）若9月30日的游客人数为2万人，门票每人10元，问黄金周期间淮安动物园门票收入是多少元？ 6．阅读材料：有一种定义：若a+b＝2，则称a与b是关于1的平衡数．举个例子说明，因为3+（﹣1）＝2，我们就说3和﹣1是关于1的平衡数．再比如3+1≠2，那么3和1就不是关于1的平衡数．请根据以上材料，回答下列问题： （1）6与　 　 是关于1的平衡数，5﹣x与　 是关于1的平衡数．（用含x的代数式表示） （2）若a＝2x2﹣3（x2+x）+4，b＝2x﹣[3x﹣（4x+x2）﹣2]，判断a与b是否是关于1的平衡数，并说明理由． 7．小语家新买了一套商品房，其建筑平面图如图所示，其中b＜a（单位：米）． （1）这套住房的建筑总面积是 　 　 平方米；（用含a、b的式子表示） （2）当a＝5，b＝4时，求出小语家这套住房的具体面积． （3）地面装修要铺设地砖或地板，小语家对各个房间的装修都提出了具体要求，明确了选用材料的品牌以及规格、品质要求．现有两家公司按照要求拿出了装修方案，两个方案中选用的材料品牌、规格、品质完全一致，但报价不同；甲公司：客厅地面每平方米240元，书房和卧室地面每平方米220元，厨房地面每平方180元，卫生间地面每平方米150元；乙公司：全屋地面每平方米210元；请你帮助小语家测算一下选择哪家公司比较合算，请说明理由． 8．如图，长为50cm，宽为（4a+3）cm的大长方形被分割为8小块，除阴影部分A，B外，其余6块是形状及大小完全相同的小长方形，小长方形较短的一边长为acm． （1）每个小长方形较长的一边长是 　　 cm，阴影部分B的较短的一边长是 　 cm（用含a的式子表示）； （2）当a＝10时，求阴影部分A，B的周长之和的值． 9．如图，已知数轴上有A、B、C三个点，它们表示的数分别是﹣18，﹣8，+8，A到C的距离可以用AC表示，计算方法：AC＝|（+8）﹣（﹣18）|＝26，或AC＝|（﹣18）﹣（+8）|＝26．根据阅读完成下列问题： （1）填空：AB＝　　 ，BC＝　 ． （2）现有动点P从B点出发，以每秒1个单位长度的速度向右移动，同时点Q从A点出发，并以每秒3个单位长度的速度向右移动．设点P移动的时间为t秒（0＜t≤20），求P、Q两点间的距离PQ（用含t的代数式表示）． （3）若点A以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时点C以每秒2个单位长度的速度向右运动，动点D从原点开始以每秒m个单位长度运动，运动时间为t秒，运动过程中，点D始终在A、C两点之间的线段上，且CD﹣3AD的值始终是一个定值，求D点运动的方向及m的值． 10．认真阅读下面的材料，完成有关问题． 材料：在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，如|5﹣3|表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离；|5+3|＝|5﹣（﹣3）|，所以|5+3|表示5、﹣3在数轴上对应的两点之间的距离；|5|＝|5﹣0|，所以|5|表示5在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B之间的距离可表示为|a﹣b|． 问题1：点A、B、C在数轴上分别表示有理数：﹣5、﹣1、3，那么A到B的距离是　　 ，A到C的距离是　　 ．（直接填最后结果） 问题2：点A、B、C在数轴上分别表示有理数x、﹣2、1，那么A到B的距离与A到C的距离之和可表示为　　 （用含绝对值的式子表示）． 问题3：利用数轴探究： ①设|x﹣3|+|x+1|＝p，当x的值取在不小于﹣1且不大于3的范围时，p的值是不变的，而且是p的最小值，这个最小值是　　 ；当x的值取在　　 的范围时，|x|+|x﹣2|最小； ②找出满足|x﹣3|+|x+1|＝6的x的所有值是　 　 ． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $