专题06 相似三角形中K字型与十字架模型（3大题型）（专项训练）数学人教版九年级下册

品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题06相似三角形中K字型与十字架模型 月录 A题型建模·专项突破 题型一、三垂直模型 题型二、一线三等角模型 6 题型三、十字架模型… .12 B综合攻坚·能力跃升 A 题型建模·专项突破 题型一、三垂直模型 【模型解读与图示】K字型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角形的“一对角 相等”，再利用平角为180°，三角形的内角和为180°，就可以得到两个三角形的另外一对角也相等，从 而得到两个三角形相似. “三垂直”模型：如图1，∠B=∠D=∠ACE=90°，则△ABC∽△CDE. 特别地，连接AE,若C为BD的中点，则△ACE∽△ABC∽△CDE B C 图1 例题1.(25-26九年级上：甘肃兰州期中)已知：如图，在矩形ABCD中，AB=8,BC=4,在AB边上取 点E,连接CE,作EF⊥CE交AD边于点F. D ()求证：4E、AF BC BE (2)若EB=2,求DF的长。 例题2.(2024广西南宁.模拟预测)如图，正方形ABCD边长为4，M,N分别是BC,CD上的两个动点， 当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直. 1/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A D B M (I)求证：RtAABM∽RtaMCN; (②)设BM=x,梯形ABCN的面积为y,求y与x之间的函数关系式； (3)当M点运动到什么位置时Rt△ABM∽Rte AMN,求x的值. 例题3.(24-25九年级上广西梧州期末)(1)如图甲，AB⊥BD,CD⊥BD,AP⊥PC,垂足分别为B,D,P, 且三个垂足在同一直线上，我们把这样的图形叫“三垂图”.请判断：AB·CD=PB·PD成立吗？不用说明理 由； B P D 甲 (2)如图乙，也是一个“三垂图”，AB·CD=PB,PD还成立吗？请说明理由； B石 乙 (3)如图丙，已知抛物线与x轴交于点A(-1,0),B(3,0),与y轴交于点(0，-3)，顶点为P,如图所示，若 Q是抛物线上异于A,B,P的点，使得∠QAP=90°，请直接写出Q点坐标. 丙 题型二、一线三等角模型 【模型解读与图示】K字型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角形的“一对角 2/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 相等”，再利用平角为180°，三角形的内角和为180°，就可以得到两个三角形的另外一对角也相等，从 而得到两个三角形相似. “一线三等角”模型：如图2，∠B=∠ACE=∠D,则△ABC∽△CDE 特别地，连接AE,若C为BD的中点，则△ACE∽△ABC∽△CDE. A 图2 例题1.(2025·内蒙古模拟预测)【感知特例】 (1)如图1，点A,B在直线1上，AC⊥I,DB⊥I,垂足分别为A,B,点P在线段AB上，且PC⊥PD, 垂足为P.求证：AC·BD=AP·BP; 【建构模型】 (2)如图2，点A,B在直线I上，点P在线段AB上，且LCAP=LDBP=∠CPD.结论AC·BD=AP·BP 仍成立吗？请说明理由； 【解决问题】 (3)如图3，在ABC中，AC=BC=5,AB=8,点P和点D分别是线段AB,BC上的动点，始终满足 ∠CPD=∠A.设AP长为x0<x<8),当x=时，CD有最小值是 B B 图1 图2 图3 例题2.(23-24九年级上·广西柳州阶段练习)三个等角的顶点在同一条直线上，称一线三等角模型（角度 有锐角、直角、钝角，若为直角，则又称一线三垂直模型).解决此模型问题的一般方法是利用三等角关系 找全等或相似三角形所需角的相等条件，利用全等或相似三角形解决问题 D B D 图1 图2 图3 【证明体验】 如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，∠DPC=∠A=∠B=90°，求证：AD·BC=AP.BP. 【思考探究】 (2)如图2，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当∠DPC=∠A=∠B=B时，上述结论是否依然成立？ 说明理由. 3/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【拓展延伸】 (3)请利用(1)(2)获得的经验解决问题： 如图3，在ABC中，AB=2V2,∠B=45°，以点A为直角顶点作等腰RIAADE,点D在BC上，点E在 AC上，点F在BC上，且LEFD=45°，若CE=√5，求CD的长 例题3.(25-26九年级上北京通州·阶段练习)感知：数学课上，老师给出了一个模型：如图1，点A在直 线DE上，且∠BDA=∠BAC=∠AEC=90°，像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型我们把 它称为“一线三等角“模型. 应用： 冬图 图2 图3 图4 (I)如图2，RtAABC中，∠ACB=90°，CB=CA,直线ED经过点C,过A作AD⊥ED于点D,过B作 BE⊥ED于点E,求证：△BEC≌△CDA (2)如图3，AB⊥BC,EC⊥BC,点D在BC上，∠ADE=90°.求证：△ABD~△DCE; (3)如图4，在口ABCD中，E为边BC上的一点，F为边AB上的一点.若∠DEF=∠B,AB=10,BE=6, 小明想到在BC的延长线上取点AM,使DM=DC,连接DM,请你延续小明的想法求P的值， DE 题型三、十字架模型 矩形的十字架模型：矩形相对两边上的任意两点联结的线段是互相垂直的，此时这两条线段的的比等于矩 形的两边之比。通过平移线段构造基本图形，再借助相似三角形和平行四边的性质求得线段间的比例关系。 如图1，在矩形ABCD中，若E是AB上的点，且DELAC,则DE=BC AC AB D D B E B 4/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 如图2，在矩形ABCD中，若E、F分别是AB、CD上的点，且EFL4C,则EE-BC AC AB D F D E A E 小 如图3，在矩形ABCD中，若E、F、M、N分别是AB、CD、AD、BC上的点，且EFLMN,.则EE-BC MN AB D F D U H M A E B A GE B 例题1.(25-26九年级上江苏无锡阶段练习)【定义】 如果从一个平行四边形的一个顶点向不过该顶点的对角线作垂线，垂线交平行四边形的边于另一点，且该 点为所在边的中点，那么这个平行四边形叫做“垂中平行四边形”，垂足叫做“垂中点”. 如图1，在口ABCD中，BF⊥AC于点E,交AD于点F,若F为AD的中点，则口ABCD是垂中平行四边 形，E是垂中点. 图1 图2 【应用】 (I)如图1，在垂中平行四边形ABCD中，E是垂中点.若AF=√5，CE=2,则AE= AB= (2)如图2，在垂中平行四边形ABCD中，E是垂中点.若AB=BD,试猜想AF与CD的数量关系，并加以证 明； 例题2.(23-24九年级上河南洛阳·期末)小明在学习中发现，当垂直线段出现在四边形中间时，通常有比 较简明的结论.下面是他的发现过程，请补充并完成其中的问题， 5/10 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 E D G 图1 图2 图3 (I)如图1，在正方形ABCD中，E为AB上一点，连结DE,过点A作AG⊥DE于点F,交BC于点G,则 AG与DE的数量关系是 (2)①如图2，在矩形ABCD中，AB=nBC,M、N为AB、CD上的点，连结MN,过点D作DE⊥MN于点 F,交BC于点E.小明发现，过点M作MG⊥CD于点G,可以得到MN与DE的数量关系.这个数量关 系是什么？请说明理由， ②填空；由①可得，顶点分别在矩形的每一组对边（或延长线）上互相垂直的两条线段的比，等于 ③应用上述结论解决问题；如图3，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8,BC=6,点D是AB的中点，连结 CD,过点B作CD的垂线BE,交直线AC于点E,垂足是点F,直接写出BE的长度， 例题3.(2024广东深圳模拟预测)【问题探究】课外兴趣小组活动时，同学们正在解决如下问题：如图1， 在矩形ABCD中，点E,F分别是边DC,BC上的点，连接AE,DF,且AE⊥DF于点G,若AB=6, BC=8,求DE的值. AE A D E D 图1 图2 图3 (1)请你帮助同学们解决上述问题，并说明理由. 【初步运用】 (②)知图2，在4BC中，∠84C=90,把子点D为4C的中点，连接BD,过点A作E1BD于点 B,交BC于点R,求 的值. BD 【灵活运用】 3》如图3，在四边形BCD市，∠84D=90,行号，40=8C,4D=CD,点，r分5别在边 AB,AD上，且DE1CF,垂足为G,则C E=. 6/10 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B 综合攻坚·能力跃升 一、单选题 1.(24-25九年级下·陕西宝鸡阶段练习)如图，在正方形ABCD中，AB=6,点E在边AD上，且 AE=2DE,连接BE,过点E作EF⊥BE,交CD于点F,则DF的长为() A.3 3 D.1 二、填空题 2.(2024九年级下·广东·学业考试)如图，在四边形内ABCD中，AD=4,AB=10,点E为AB中点，连 接DE、CE,若LA=∠B=LDEC,则BE的值为 BC D A E B 三、解答题 3.(24-25九年级下·江西宜春阶段练习)如图，在矩形ABCD中，E为边DC上的一点，把ADE沿AE翻 折，使点D恰好落在边BC上的点F处，且AD=6. A D E B C (I)求证：△ABF∽△FCE. (2)若F为BC的中点，求AE的长. 4.(24-25八年级下江苏淮安阶段练习)如图，在ABC中，AB=AC,点D,E分别在边BC,AC上， ∠ADE=∠ABC. 7/10 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B D (I)求证：△ABD∽△DCE; (2)如果AB=8,BC=6,AE=7,求DC的长. 5.(24-25九年级下，河北邢台·开学考试)如图，E为AB上一点，∠A=∠CED=∠B. E (I)求证：△CAE∽△EBD; (2)若CE平分LACD,CD=9,BD=4,求ED的长. 6.(2025·吉林延边模拟预测)【尝试探究】在矩形ABCD中，E为AB边上一点，连接DE,过点E作 EF⊥DE交BC于点F. C 图① 图② 图③ (I)如图①，若点F与点C重合，AD=AE,求证：△AED≌△BFE. (2)如图②，若AB=12,AD=7,E为AB的中点，求BF的长 【拓展应用】如图③，在ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,AB=4.E为AB边上一点（点E不与点A,B重 合)，连接CE,过点E作LCEF=45°交BC于点F,当△CEF为等腰三角形时，BE的长为 7.(2025.宁夏银川三模)【初识图形】 (I)如图1，E,F分别为正方形ABCD的CD边和BC边上的点，连接AE,DF,且AE⊥DF,则 DF=、 (②)如图2，矩形ABCD中，点E,F分别在边AD,BC上，连接BD,EF,且BD⊥EF,AB=3,BD=5 ，求职的值， BD 【类比探究】 (3)如图3，Rt△ABC中，D,F分别为AC,BC边上的点，AB=6,AC=8,D为AC的中点，连接BD, 8/10 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 作AF⊥BD交BD于点E,交BC于点F.直接写出AF的长为_： D E B 图1 图2 图3 8.(2025山东济南·模拟预测)如图 图1 图2 图3 (I)如图1，在矩形ABCD中，点E,F分别在边DC,BC上，AE⊥DF,垂足为点G.求证： △ADE∽△DCF. (②)【间题解决】如图2，在正方形ABCD中，点E,F分别在边DC,BC上，AE=DF,延长BC到点H, 使CH=DE,连接DH.求证：∠ADF=∠H· (3)【类比迁移】如图3，在菱形ABCD中，点E,F分别在边DC,BC上，AE=DF=11,DE=8, LAED=60°，求CF的长 9.(24-25九年级上全国期末)(1)【问题发现】如图1，在Rt△ABC中，AB=AC=4,∠BAC=90°，点 D为AC的中点，过点A作BD的垂线，垂足为E,延长AE交BC于点F,求△ABF的面积.小明发现，过 点C作AC的垂线，交AF的延长线于点G,构造出全等三角形，经过推理和计算，能够得到BF与CF的数 量关系，从而使间愿得到解狄，请直接填空：，△8r的面积为。 (2)【类比探究】如图2，将(1)中的条件“点D为AC的中点”改为“点D为边AC上的一点，且满足 CD=2AD”,其他条件不变，试求△ABF的面积，并写出推理过程. (3)【拓展迁移】如图3，在ABC中，AB=AC=4,∠BAC=120°，点D为AC上一点，且满足 CD=2AD,E为BD上一点，∠AEB=60°，延长AE交BC于F,请直接写出△ABF的面积， A B C 图1 图2 图3 10.(2025湖北武汉·模拟预测)【模型识别】如图1，AB⊥BC于点B,CE⊥BC于点C,AC⊥DE交BC于 9/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 点D,求证： DE CE AC BC 【尝试应用】如图2，在平行四边形ABCD中，E是BC上的一点，连接AE,作DF⊥AE交BC于点F, CE=EF,若AB=NO,4D=5,am∠C=3,求DF的值： AE 深究】如图3，已知菱形ABCD的边长为O,an☑ABDA点E为边AB上的一点， 过点A作AG⊥DE交BD于点F,交BC于点G,且DE=2AF,求CG的长 A D E D B E G 图1 图2 图3 10/10 专题06 相似三角形中K字型与十字架模型 目录 A题型建模・专项突破 题型一、三垂直模型 1 题型二、一线三等角模型 6 题型三、十字架模型 12 B综合攻坚・能力跃升 题型一、三垂直模型 【模型解读与图示】K字型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角形的“一对角相等”，再利用平角为180°，三角形的内角和为180°，就可以得到两个三角形的另外一对角也相等，从而得到两个三角形相似． “三垂直”模型：如图1，∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，则△ABC∽△CDE. 特别地，连接AE，若C为BD的中点，则△ACE∽△ABC∽△CDE. 　　 例题1.（25-26九年级上·甘肃兰州·期中）已知：如图，在矩形中，，，在边上取点E，连接，作交边于点F． (1)求证：． (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)1 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，矩形的性质，熟悉相关知识是解题的关键． （1）根据题意可证，继而可证得，根据相似的性质即可得到； （2）由题知，根据求解即可． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ， ， ， ，， ， ， ， ； （2）解：在矩形中，，，且， ， 由（1）知， ， 解得：， ． 例题2.（2024·广西南宁·模拟预测）如图，正方形边长为4，M，N分别是，上的两个动点，当M点在上运动时，保持和垂直． (1)求证：； (2)设，梯形的面积为y，求y与x之间的函数关系式； (3)当M点运动到什么位置时，求x的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)2 【分析】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定以及性质，以及求函数解析式等知识． (1)由正方形的性质得出，根据得出，根据直角三角形两锐角互余得出进而得出，从而得出三角形相似； (2)根据三角形相似得出与x的关系，然后根据梯形的面积计算法则得出函数解析式； (3)根据要使三角形相似则需要满足，结合(1)中的条件得出，即M为的中点．即可求出x的值． 【详解】（1）证明：在正方形中，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴． （2）∵， ∴，即 ∴ ∴ （3）∵， ∴要使，必须有 由（1）知 ∴ ∴当点M运动到的中点时，，此时 例题3.（24-25九年级上·广西梧州·期末）（1）如图甲，，垂足分别为，且三个垂足在同一直线上，我们把这样的图形叫“三垂图”．请判断：成立吗？不用说明理由； （2）如图乙，也是一个“三垂图”，还成立吗？请说明理由； （3）如图丙，已知抛物线与轴交于点，与轴交于点，顶点为，如图所示，若是抛物线上异于的点，使得，请直接写出点坐标． 【答案】（1）成立；（2）成立 理由见解析；（3） 【分析】（1）根据同角的余角相等求出，然后求出，再根据相似三角形对应边成比例列式整理即可得证； （2）与（1）的证明思路相同； （3）利用待定系数法求出二次函数解析式，根据抛物线解析式求出点P的坐标，再过点P作轴于C，设与y轴相交于D，然后求出，再根据（2）的结论求出，从而得到点D的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，与抛物线解析式联立求解即可得到点Q的坐标． 【详解】解：（1）成立， 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）仍然成立．理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）设抛物线解析式为（）， ∵抛物线与x轴交于点，与y轴交于点， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴顶点P的坐标为， 过点P作轴于C， 设与y轴相交于D， 则， 根据（2）的结论，， ∴， 解得， ∴点D的坐标为， 设直线的解析式为（）， 则， 解得， ∴， 联立， 解得，（为点A坐标，舍去）， ∴点Q的坐标为． 题型二、一线三等角模型 【模型解读与图示】K字型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角形的“一对角相等”，再利用平角为180°，三角形的内角和为180°，就可以得到两个三角形的另外一对角也相等，从而得到两个三角形相似． “一线三等角”模型：如图2，∠B＝∠ACE＝∠D，则△ABC∽△CDE. 特别地，连接AE，若C为BD的中点，则△ACE∽△ABC∽△CDE. 　　 例题1.（2025·内蒙古·模拟预测）【感知特例】 （1）如图1，点A，B在直线l上，，，垂足分别为A，B，点P在线段上，且，垂足为P．求证：； 【建构模型】 （2）如图2，点A，B在直线l上，点P在线段上，且．结论仍成立吗？请说明理由； 【解决问题】 （3）如图3，在中，，，点P和点D分别是线段，上的动点，始终满足．设长为，当______时，有最小值是______． 【答案】（1）见解析；（2）仍成立，理由见解析；（3）， 【分析】（1）先根据余角性质证明，再根据两角分别相等的两个三角形相似证明，得出，即可得出答案； （2）先证明，再根据两角分别相等的两个三角形相似证明，得出，即可得出答案； （3）先根据等腰三角形性质得出，证明，得出，即，求出，然后根据二次函数性质求出的最大值，即可得到的最小值． 【详解】（1）证明：，，， ， ， ， ， ∴， ， 即； （2）解：成立，理由如下： ∵， 又， ∴， ∴， ， 即． （3）解：∵， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵长为，则， ∴， 解得： ， ∵， ∴当时，有最大值， ∵，为定值， ∴当有最大值时，有最小值是． 例题2.（23-24九年级上·广西柳州·阶段练习）三个等角的顶点在同一条直线上，称一线三等角模型（角度有锐角、直角、钝角，若为直角，则又称一线三垂直模型）．解决此模型问题的一般方法是利用三等角关系找全等或相似三角形所需角的相等条件，利用全等或相似三角形解决问题． 【证明体验】 如图1，在四边形中，点为上一点，，求证：． 【思考探究】 （2）如图2，在四边形中，点为上一点，当时，上述结论是否依然成立？说明理由． 【拓展延伸】 （3）请利用（1）（2）获得的经验解决问题： 如图3，在中，，，以点为直角顶点作等腰，点在上，点在上，点在上，且，若，求的长． 【答案】（1）见详解（2）成立，理由见详解（3）5 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质综合，勾股定理、三角形外角性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）通过等量代换得到，再结合，证明，则，即可作答． （2）与（1）过程类似，通过等量代换得到，结合，证明，则，即可作答． （3）因为点为直角顶点作等腰，得，与（1）过程类似，通过等量代换得到，证明，得出的值，再证明，列式代入数值，即可作答． 【详解】解：（1）∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； （2）成立，理由如下： ∵ ∴ 即 ∵ ∴ ∴ ∴； （3）∵是等腰三角形 ∴ ∵， ∴与（1）、（2）同理，得 ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 即 解得（为线段，负值舍去） ∴． 例题3.（25-26九年级上·北京通州·阶段练习）感知：数学课上，老师给出了一个模型：如图1，点A在直线上，且，像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型我们把它称为“一线三等角“模型． 应用： (1)如图2，中，，，直线经过点C，过A作于点D，过B作于点．求证：≌ (2)如图3，，，点D在上，．求证：∽； (3)如图4，在中，E为边上的一点，F为边上的一点．若，，，小明想到在的延长线上取点M，使，连接，请你延续小明的想法求的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题是几何图形的综合题，考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形、相似三角形的判定与性质是解题的关键． 根据，，可得，再由，可得，从而利用角角边证得≌即可； 根据，，可得，再由，可得，从而证得结论； 在的延长线上取点M，使，连接，可得，再根据平行四边形的性质以及，可得，，可证得∽，即可求解． 【详解】（1）证明：，， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ≌； （2）证明：，， ， ， ， ， ， ∽； （3）解：如图，在的延长线上取点M，使，连接， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ，， ， ∽， ． 题型三、十字架模型 矩形的十字架模型：矩形相对两边上的任意两点联结的线段是互相垂直的，此时这两条线段的的比等于矩形的两边之比。通过平移线段构造基本图形，再借助相似三角形和平行四边的性质求得线段间的比例关系。 如图1，在矩形ABCD中，若E是AB上的点，且DE⊥AC，则. 如图2，在矩形ABCD中，若E、F分别是AB、CD上的点，且EF⊥AC，则. 如图3，在矩形ABCD中，若E、F、M、N分别是AB、CD、AD、BC上的点，且EF⊥MN，则. 例题1.（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习）【定义】 如果从一个平行四边形的一个顶点向不过该顶点的对角线作垂线，垂线交平行四边形的边于另一点，且该点为所在边的中点，那么这个平行四边形叫做“垂中平行四边形”，垂足叫做“垂中点”． 如图1，在中，于点，交于点，若为的中点，则是垂中平行四边形，是垂中点． 【应用】 (1)如图1，在垂中平行四边形中，是垂中点．若，，则________；________； (2)如图2，在垂中平行四边形中，是垂中点．若，试猜想与的数量关系，并加以证明； 【答案】(1)1； (2)，证明见解析 【分析】本题考查了垂中平行四边形的定义，平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）证明，可得，从而推出，再根据勾股定理可求得，再求得，即可； （2）根据题意可推出，得到，设，则，再利用勾股定理得到，从而推出，即可求得答案； 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：1； （2）解：，证明如下： 根据题意，在垂中四边形中，，且F为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 例题2.（23-24九年级上·河南洛阳·期末）小明在学习中发现，当垂直线段出现在四边形中间时，通常有比较简明的结论．下面是他的发现过程，请补充并完成其中的问题． (1)如图1，在正方形中，为上一点，连结，过点作于点，交于点，则与的数量关系是_________． (2)①如图2，在矩形中，，为上的点，连结，过点作于点，交于点．小明发现，过点作于点，可以得到与的数量关系．这个数量关系是什么?请说明理由． ②填空；由①可得，顶点分别在矩形的每一组对边（或延长线）上互相垂直的两条线段的比，等于__________． ③应用上述结论解决问题；如图3，在中，，点是的中点，连结，过点作的垂线，交直线于点，垂足是点，直接写出的长度． 【答案】(1) (2)①，理由见解析；②矩形的两邻边之比；③ 【分析】（1）根据正方形，垂直的定义可得，运用角边角证明，由此即可求解； （2）①根据矩形，垂直的定义可得四边形是矩形，根据相似三角形的判定可得，由此即可求解； ②结合①的证明即可求解； ③如图所示，延长至点，使，可得四边形是平行四边形，结合，由矩形的判定方法可得平行四边形是矩形，根据上述证明可得，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：①，理由如下， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②矩形的两邻边之比． ③． 证明：如图所示，延长至点，使， ∵点是的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即, ∴． 例题3.（2024·广东深圳·模拟预测）【问题探究】课外兴趣小组活动时，同学们正在解决如下问题：如图1，在矩形中，点E，F分别是边上的点，连接，且于点G，若，，求的值． （1）请你帮助同学们解决上述问题，并说明理由． 【初步运用】 （2）如图2，在中，，，点D为的中点，连接，过点A作于点E，交于点F，求的值． 【灵活运用】 （3）如图3，在四边形中，，，，，点E，F分别在边上，且，垂足为G，则 ． 【答案】（1），理由见解析；（2）；（3） 【分析】（1）由矩形的性质得出，，，证明，由相似三角形的性质得出． （2）过点B作的垂线，过点D作的垂线，垂足为K，过点A作的平行线，分别交两条垂线于G、H，则四边形为矩形，证明，由全等三角形的性质得出，证明，由相似三角形的性质得出答案． （3）过C作于N，交的延长线于点M，证明，得出，证明，由相似三角形的性质得出，设，，则，，由勾股定理得出，则可得出答案． 【详解】解：（1）∵四边形是矩形，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）过点B作的垂线，过点D作的垂线，垂足为K，过点A作的平行线，分别交两条垂线于G、H，如图： 则四边形为矩形， ∵D为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴， 由（1）知：， ∴． （3）过C作于N，交的延长线于点M，如图3： ∵，即， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 在和中， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 设，，则， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：或（舍去）， ∴， 故答案为：． 一、单选题 1．（24-25九年级下·陕西宝鸡·阶段练习）如图，在正方形中，，点在边上，且，连接，过点作，交于点，则的长为（    ） A．3 B． C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查的是正方形的性质及相似三角形判定与性质，先证明，得出，代入计算求出答案． 【详解】解：在正方形中，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 二、填空题 2．（2024九年级下·广东·学业考试）如图，在四边形内中，，，点E为中点，连接、，若．则的值为 ． 【答案】/0.8 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，三角形外角的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．利用，，得出，再由，得出，则，求出，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，，点E为中点， ∴， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 三、解答题 3．（24-25九年级下·江西宜春·阶段练习）如图，在矩形中，为边上的一点，把沿翻折，使点恰好落在边上的点处，且． (1)求证：． (2)若为的中点，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的性质、翻折变换的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，推导出，进而证明是解题的关键． （1）由矩形的性质得，由翻折得，推导出，则； （2）由为的中点，，得，由，勾股定理求得，进而根据相似三角形的性质求得，在中，勾股定理，即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ， 把沿翻折，点落在边上的点处， ， ，， ， ． （2）解：为的中点，， ， ， ， ， ， ， ， ∴在中，， 即 4．（24-25八年级下·江苏淮安·阶段练习）如图，在中，，点分别在边上，． (1)求证：； (2)如果，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为2或4． 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键． （1）由等腰三角形的性质可得，由外角的性质可得，可得结论； （2）根据，得到，进而求出解即可． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ． （2）解：， ， ， ， ，即， 解得或， 的长为2或4． 5．（24-25九年级下·河北邢台·开学考试）如图，E为上一点，． (1)求证：； (2)若平分，，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形的外角性质，解决本题的关键是得到． （1）根据三角形的外角等于和它不相等的两个内角和可得，证明即可解答 ． （2）结合（1）和平分，证明，可得，进而可得答案． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 又∵， ∴． （2）解：∵平分， ∴， 由（1）知，， ∴， 又∵， ∴， ∴ ，即 ， ∴． 6．（2025·吉林延边·模拟预测）【尝试探究】在矩形中，为边上一点，连接，过点作交于点． （1）如图①，若点与点重合，，求证：． （2）如图②，若为的中点，求的长． 【拓展应用】如图③，在中，为边上一点（点不与点A，B重合），连接，过点作交于点．当为等腰三角形时，的长为______________． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）或2 【分析】 本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的性质，全等三角形的判定等等，掌握相似三角形的性质与判定定理是解题关键． 【尝试探究】（1）根据矩形的性质和垂线的定义可得，，则可证明，，据此根据全等三角形的判定定理可证明结论； （2）同（1）可证明，，则可证明，据此利用相似三角形的性质列出比例式求解即可； 【拓展应用】由勾股定理可得，证明，得到，由为等腰三角形且，可分两种情况讨论：和，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：【尝试探究】（1）∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴； （2）∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，E为的中点， ∴， ∴， ∴； 【拓展应用】∵，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为等腰三角形且， ∴， ∴， 当，则， ∴； 当，则， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上所述，的长为或2． 7．（2025·宁夏银川·三模）【初识图形】 (1)如图1，E，F分别为正方形的边和边上的点，连接，，且．则 ； (2)如图2，矩形中，点E，F分别在边，上，连接，，且，，，求的值； 【类比探究】 (3)如图3，中，D，F分别为，边上的点，，，D为的中点，连接，作交于点E，交于点F．直接写出的长为 ． 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】（1）根据正方形的性质，垂直的定义可得，可证，则有，由此即可求解； （2）过点作于点，可得四边形是矩形，可证，求出，由此即可求解； （3）过点作于点，运用勾股定理可得,，设，可证，得到，，再证，求出，则，由此即可求解； 【详解】（1）解：四边形为正方形， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， 故答案为：1． （2）如图，过点作于点， 四边形为正方形，，， ， ，， 四边形为矩形，， ， 于点， ， ， ， ， 即， ， ． （3）如图所示，过点作于点， 是直角三角形，， ， 点是的中点， ， 在中，， ， 设， ， ， ， 即， ， ， ， ， ， 又， ， ， 即， 解得， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查相似形综合应用，主要考查全等三角形的性质与判定，矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，矩形与折叠的性质等知识的综合，掌握矩形的性质，构造相似三角形，数形结合分析是解题的关键． 8．（2025·山东济南·模拟预测）如图 (1)如图1，在矩形中，点，分别在边，上，，垂足为点．求证：． (2)【问题解决】如图2，在正方形中，点，分别在边，上，，延长到点，使，连接．求证：． (3)【类比迁移】如图3，在菱形中，点，分别在边，上，，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)3 【分析】（1）由矩形的性质可得，则，再由，可得，则，根据等角的余角相等得，即可得证； （2）利用“”证明，可得，由，可得，利用“”证明，则，由正方形的性质可得，根据平行线的性质，即可得证； （3）延长到点，使，连接，由菱形的性质可得，，则，推出，由全等的性质可得，，进而推出是等边三角形，再根据线段的和差关系计算求解即可． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ； （2）证明：四边形是正方形， ，，， ， ， ， 又， ， 点在的延长线上， ， ， ， ， ， ； （3）解：如图，延长到点，使，连接， 四边形是菱形， ，， ， ， ，， ， ， 是等边三角形， ， ． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，正方形的性质，菱形的性质，相似三角形的判定，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握这些知识点并灵活运用是解题的关键． 9．（24-25九年级上·全国·期末）（1）【问题发现】如图，在中，，，点为的中点，过点作的垂线，垂足为，延长交于点，求的面积．小明发现，过点作的垂线，交的延长线于点，构造出全等三角形，经过推理和计算，能够得到与的数量关系，从而使问题得到解决，请直接填空： ，的面积为 ． （2）【类比探究】如图，将（1）中的条件“点为的中点”改为“点为边上的一点，且满足”，其他条件不变，试求的面积，并写出推理过程． （3）【拓展迁移】如图，在中，，，点为上一点，且满足，为上一点，，延长交于，请直接写出的面积． 【答案】（1）2，；（2）的面积；（3） 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理的应用，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键，注意类比思想的运用． （1）过点C作的垂线，交的延长线于点G，证明，得到，证明，求出与的数量关系，得到的面积． （2）过点C作的垂线，交的延长线于点H，类比（1）即可解决． （3）如图3中，作交的延长线于H，于K．证明，求出的面积即可解决问题． 【详解】解：（1）如图1，过点C作的垂线，交的延长线于点G． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的面积； （2）如图2，过点C作的垂线，交的延长线于点H． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴的面积； （3）如图3中，作交的延长线于H，于K． ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 10．（2025·湖北武汉·模拟预测）【模型识别】如图1，于点B，于点C，交于点D，求证：． 【尝试应用】如图2，在平行四边形中，E是上的一点，连接，作交于点F，， 若，，，求的值； 【拓展探究】如图3，已知菱形的边长为10， ，点E为边上的一点，连接，过点A作交于点F，交于点G，且，求的长． 【答案】模型识别：见解析；尝试应用：；拓展探究： 【分析】本题考查矩形的判定与性质，菱形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理等知识，属四边形综合题目，难度较大，为中考压轴题目． （1）证明即可得出结论； （2）过点A作的延长线于点M，过点F作于点N，先证明四边形是矩形，，求出 继而证明，则 ，设，则，，，即，得到 ，求出x的值，即可解答． （3）连接交于，交于，根据菱形性质和解直角，求得，，再证明，得，从而得，继而求得，然后证明，得到，则，即可求得，，从而求得，则可求得，，，证明得，即，则，最后由求解即可． 【详解】解：（1）， ， ， ，， ， 又， ， ， ， ； （2）过点A作的延长线于点M，过点F作于点N，如图 有， 四边形是平行四边形， ，，， ∴，， ，四边形是矩形，， ∴，， 即， ，， ，， ，或（不合题意，舍去） ， ， 设，则，，， 即， ∴， ， 即 解得：，（不符合题意，舍去）， ； （3）连接交于，交于， 四边形是菱形， ， ， ， 设，，由勾股定理，得， 解得：， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 四边形是菱形， ， ， ， ， ， ，， ， ，即， ， ，， 四边形是菱形， ， ， ，即， ， ． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $