第一章 第二节 常用逻辑用语-【优学精研】2026年高考数学一轮总复习教用word

该高中数学讲义围绕常用逻辑用语高考核心考点，涵盖充分必要条件判定、全称与存在量词命题及否定，通过表格梳理知识关联、提醒易错点构建系统框架。设计考点梳理、方法指导、真题训练环节，帮助学生突破条件关系判断、量词命题否定等难点，体现复习的系统性和针对性。 资料特色在于融合教材改编题与高考真题，设置基础自学、师生共研、定向突破分层练习。通过集合关系判断条件关系、总结命题否定步骤等活动，培养学生数学思维与数学语言表达能力。精准对接高考命题规律，助力学生高效掌握解题技法，为教师把控复习节奏提供清晰路径，提升复习效果。

第二节　常用逻辑用语 课标要求 1.理解充分条件、必要条件、充要条件的含义. 2.理解判定定理与充分条件的关系，性质定理与必要条件的关系，数学定义与充要条件的关系. 3.理解全称量词命题与存在量词命题的含义，能正确地对含有一个量词的命题进行否定. 1.充分条件与必要条件 命题 真假 “若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题 “若p，则q”和“若q，则p”都是真命题 推出 关系 p　⇒　q p　 　q p　⇔　q 条件 关系 p是q的　充分　条件，q是p的　必要　条件 p不是q的　充分　条件，q不是p的　必要　条件 p是q的　充分必要　条件，简称　充要　条件 提醒 （1）A是B的充分不必要条件⇔A⇒B且BA；（2）A的充分不必要条件是B⇔B⇒A且AB. 2.全称量词和存在量词 类别 全称量词 存在量词 量词 所有的、任意一个 存在一个、至少有一个 符号 ∀ ∃ 命题 含有　全称量词　的命题，叫做全称量词命题 含有　存在量词　的命题，叫做存在量词命题 命题 形式 “对M中任意一个x，p（x）成立”可用符号简记为“　∀x∈M，p（x）　” “存在M中的元素x，p（x）成立”可用符号简记为“　∃x∈M，p（x）　” 3.全称量词命题和存在量词命题的否定 名称 全称量词命题 存在量词命题 结构 对M中任意一个x，p（x）成立 存在M中的元素x，p（x）成立 简记 ∀x∈M，p（x） ∃x∈M，p（x） 否定 ∃x∈M，􀱑p（x） ∀x∈M，􀱑p（x） 提醒 对省略了量词的命题进行否定时，要结合命题的含义加上量词，再改变量词. 1.若p是q的充分不必要条件，则q是p的必要不充分条件. 2.p是q的充分不必要条件，等价于􀱑q是􀱑p的充分不必要条件. 3.用集合间的包含关系判断充分、必要条件：设A＝{x｜p（x）}，B＝{x｜q（x）}. （1）若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件； （2）若A⫋B，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件； （3）若A＝B，则p是q的充要条件. 4.命题p和􀱑p的真假性相反，若判断一个命题的真假有困难时，可判断此命题的否定的真假. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）全称量词命题一定含有全称量词.（　×　） （2）“有些三角形中三个内角相等”是存在量词命题.（　√　） （3）当p是q的充分条件时，q是p的必要条件.（　√　） （4）若已知p：x＞1和q：x≥1，则p是q的充分不必要条件.（　√　） 2.（人A必修一P27例1、P28例2改编）下列命题中的假命题是（　　） A.∀x∈R，2x－1＞0　 　 B.∀x∈N*，（x－1）2＞0 C.∃x0∈R，lg x0＜1 D.∃x0∈R，tan x0＝2 解析：B　x∈N*时，x－1∈N，得（x－1）2≥0，当且仅当x＝1时取等号，故B不正确；易知A、C、D正确. 3.（人A必修一P21例3（3）改编）“xy＞0”是“x＜0，y＜0”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：B　因为xy＞0⇒/ x＜0，y＜0，且x＜0，y＜0⇒xy＞0，所以“xy＞0”是“x＜0，y＜0”的必要不充分条件. 4.（苏教必修一P47本章测试10题改编）若命题“∀x∈R，x2－x＋a≠0”的否定是真命题，则实数a的取值范围是（　　） A.a≥ B.a≤ C.a＞ D.a＜ 解析：B　∀x∈R，x2－x＋a≠0的否定是∃x∈R，x2－x＋a＝0，因为原命题的否定是真命题，即方程x2－x＋a＝0有实根，所以Δ＝（－1）2－4×1×a≥0，所以a≤.故选B. 5.若“x＞m”是“x＞3”的充分不必要条件，则m的取值范围是　（3，＋∞）　. 解析：因为“x＞m”是“x＞3”的充分不必要条件，所以（m，＋∞）是（3，＋∞）的真子集，由图可知m＞3. 充分条件、必要条件的判定（基础自学过关） 1.（2024·天津高考2题）设a，b∈R，则“a3＝b3”是“3a＝3b”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：C　由函数y＝x3是增函数可知，若a3＝b3，则a＝b；由函数y＝3x是增函数可知，若3a＝3b，则a＝b.故“a3＝b3”是“3a＝3b”的充要条件，故选C. 2.设x∈R，则“x2－5x＜0”是“｜x－1｜＜1”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：B　不等式x2－5x＜0的解集为A＝{x｜0＜x＜5}，由｜x－1｜＜1得－1＜x－1＜1，其解集为B＝{x｜0＜x＜2}，则集合B是A的真子集，所以“x2－5x＜0”是“｜x－1｜＜1”的必要不充分条件，故选B. 3.（2025·青岛一模）已知直线a，b和平面α，a⊄α，b⊂α，则“a∥α”是“a∥b”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：B　当a∥α时，a与b平行或异面，当a∥b时，a⊄α，b⊂α，则a∥α，所以“a∥α”是“a∥b”的必要不充分条件.故选B. 练后悟通 充分条件、必要条件的两种判定方法 （1）定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题； （2）集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题. 充分、必要条件的探究与应用（师生共研过关） （2024·南昌三模）已知p：“x＞2”，q：“x2－x－a＞0”，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（　　） A.［－，2］ B.（－∞，2] C.（－，＋∞） D.[2，＋∞） 解析：B　若p是q的充分不必要条件，故x2－x－a＞0在x＞2时恒成立，故得a＜x2－x，令f（x）＝x2－x，由二次函数性质得f（x）在（2，＋∞）时单调递增，则f（x）＞f（2）＝2，可得a∈（－∞，2]，故选B. 解题技法 应用充分、必要条件求解参数范围的方法 （1）把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式（组）求解； （2）注意区间端点值的检验.尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号取决于端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象. 1.一元二次方程ax2＋5x＋4＝0（a≠0）有一个正根和一个负根的一个必要不充分条件是a∈（　　） A.（－∞，0） B.（0，＋∞） C.（－∞，2） D.（－∞，－1） 解析：C　由题意，记方程ax2＋5x＋4＝0（a≠0）的两根分别为x1，x2，因为一元二次方程ax2＋5x＋4＝0（a≠0）有一个正根和一个负根，所以解得a＜0，根据选项可得a＜2是a＜0的必要不充分条件. 2.若关于x的不等式｜x－1｜＜a成立的充分条件是0＜x＜4，则实数a的取值范围是　[3，＋∞）　. 解析：｜x－1｜＜a⇒1－a＜x＜1＋a，因为不等式｜x－1｜＜a成立的充分条件是0＜x＜4，所以（0，4）⊆（1－a，1＋a），所以解得a≥3. 全称量词与存在量词（定向精析突破） 考向1　含量词命题的否定及真假判定 1.已知命题p：∃x∈R，x＝－1或x＝2，则（　　） A.􀱑p：∀x∉R，x≠－1或x≠2 B.􀱑p：∀x∈R，x≠－1且x≠2 C.􀱑p：∀x∈R，x＝－1且x＝2 D.􀱑p：∃x∉R，x＝－1或x＝2 解析：B　注意“x＝－1或x＝2”的否定是“x≠－1且x≠2”，所以命题p的否定是“∀x∈R，x≠－1且x≠2”. 2.（2024·新高考Ⅱ卷2题）已知命题p：∀x∈R，｜x＋1｜＞1；命题q：∃x＞0，x3＝x.则（　　） A.p和q都是真命题 B.􀱑p和q都是真命题 C.p和􀱑q都是真命题 D.􀱑p和􀱑q都是真命题 解析：B　法一 因为∀x∈R，｜x＋1｜≥0，所以命题p为假命题，所以􀱑p为真命题.因为x3＝x，所以x3－x＝0，所以x（x2－1）＝0，即x（x＋1）（x－1）＝0，解得x＝－1或x＝0或x＝1，所以∃x＞0，使得x3＝x，所以命题q为真命题，所以􀱑q为假命题，所以􀱑p和q都是真命题，故选B. 法二（特殊值法） 在命题p中，当x＝－1时，｜x＋1｜＝0，所以命题p为假命题，􀱑p为真命题.在命题q中，因为立方根等于本身的实数有－1，0，1，所以∃x＞0，使得x3＝x，所以命题q为真命题，􀱑q为假命题，所以􀱑p和q都是真命题，故选B. 3.〔多选〕下列说法正确的是（　　） A.“菱形是正方形”是全称量词命题 B.“∀x，y∈R，x2＋y2≥0”的否定是“∃x，y∈R，x2＋y2＜0” C.命题“有一个奇数不能被3整除”的否定是“有一个奇数能被3整除” D.“A＝B”是“sin A＝sin B”的必要不充分条件 解析：AB　对于A，“菱形是正方形”即是“所有的菱形是正方形”是全称量词命题，A正确；对于B，∀x，y∈R，x2＋y2≥0的否定是∃x，y∈R，x2＋y2＜0，B正确；对于C，命题“有一个奇数不能被3整除”的否定是“所有的奇数能被3整除”，C错误；对于D，由A＝B可得sin A＝sin B，又sin＝sin，A＝，B＝，A≠B，故A＝B是sin A＝sin B的充分不必要条件，D错误.故选A、B. 练后悟通 1.含量词命题真假的判断方法 判定全称量词命题“∀x∈M，p（x）”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x，证明p（x）成立；要判定存在量词命题“∃x∈M，p（x）”是真命题，只要在集合M内找到一个x，使p（x）成立即可. 2.全称量词命题与存在量词命题的否定 （1）改写量词，即确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写； （2）否定结论，即对原命题的结论进行否定. 考向2　含量词命题的应用 已知命题“∃x∈R，使ax2－x＋2≤0”是假命题，则实数a的取值范围是（　　） A.（－，0） B.（0，） C.（，＋∞） D.（1，＋∞） 解析：C　因为命题“∃x∈R，使ax2－x＋2≤0”是假命题，所以命题“∀x∈R，ax2－x＋2＞0”是真命题，当a＝0时，得x＜2，不符合题意；当a≠0时，得解得a＞. 解题技法 由命题的真假求参数的方法 （1）全称量词命题可转化为恒成立问题； （2）存在量词命题可转化为存在性问题； （3）全称量词、存在量词命题假可转化为它的否定命题真. 　已知命题p：∀x∈[1，2]，x2－a≥0，命题q：∀x∈R，x2＋2ax＋2－a≠0，若命题p和􀱑q都是真命题，则实数a的取值范围是（　　） A.（－∞，－2]∪{1} B.（－∞，－］ C.（－∞，1] D.［－，1］ 解析：A　当p：∀x∈[1，2]，x2－a≥0为真命题时，a≤x2在[1，2]上恒成立，因为x∈[1，2]，所以x2∈[1，4]，所以a≤1；命题q：∀x∈R，x2＋2ax＋2－a≠0的否定􀱑q：∃x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0为真命题时，Δ＝4a2－4（2－a）≥0，即a≤－2或a≥1.因为命题p和􀱑q都是真命题，所以a＝1或a≤－2. 1.下列命题中既是全称量词命题，又是真命题的是（　　） A.菱形的四条边都相等 B.∃x∈N，使2x为偶数 C.∀x∈R，x2＋2x＋1＞0 D.π是无理数 解析：A　对于A，所有菱形的四条边都相等，是全称量词命题，且是真命题；对于B，∃x∈N，使2x为偶数，是存在量词命题；对于C，∀x∈R，x2＋2x＋1＞0，是全称量词命题，当x＝－1时，x2＋2x＋1＝0，故是假命题；对于D，π是无理数，是真命题，但不是全称量词命题. 2.命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≤x2”的否定形式是（　　） A.∀x∈R，∃n∈N*，使得n＞x2 B.∀x∈R，∀n∈N*，都有n＞x2 C.∃x∈R，∃n∈N*，使得n＞x2 D.∃x∈R，∀n∈N*，都有n＞x2 解析：D　∀改写为∃，∃改写为∀，n≤x2的否定是n＞x2，则该命题的否定形式为“∃x∈R，∀n∈N*，都有n＞x2”. 3.（2024·北京高考5题）设a，b是向量，则“（a＋b）·（a－b）＝0”是“a＝－b或a＝b”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：B　由（a＋b）·（a－b）＝0，得a2－b2＝0，即｜a｜2－｜b｜2＝0，所以｜a｜＝｜b｜，当a＝（1，1），b＝（－1，1）时，｜a｜＝｜b｜，但a≠b且a≠－b，故充分性不成立；当a＝－b或a＝b时，（a＋b）·（a－b）＝0，故必要性成立.所以“（a＋b）·（a－b）＝0”是“a＝－b或a＝b”的必要不充分条件. 4.已知数列{an}为等比数列，则“公比q＞1”是“{an}为递增数列”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：D　等比数列{an}为递增数列的充要条件是或故“公比q＞1”是“{an}为递增数列”的既不充分也不必要条件. 5.设计如图所示的四个电路图，则能表示“开关A闭合”是“灯泡B亮”的必要不充分条件的一个电路图是（　　） 解析：C　选项A：“开关A闭合”是“灯泡B亮”的充分不必要条件；选项B：“开关A闭合”是“灯泡B亮”的充要条件；选项C：“开关A闭合”是“灯泡B亮”的必要不充分条件；选项D：“开关A闭合”是“灯泡B亮”的既不充分也不必要条件.故选C. 6.已知命题p：∀x∈R，x2－ax＋1≥0；命题q：∃x∈R，2x＜a.若p和􀱑q均为真命题，则实数a的取值范围为（　　） A.（－2，0] B.（－2，0） C.[－2，0] D.[－2，0） 解析：C　由p为真命题，可知对于方程x2－ax＋1＝0，Δ＝（－a）2－4×1×1≤0，解得－2≤a≤2.由􀱑q为真命题，可得∀x∈R，2x≥a恒成立，因为2x＞0恒成立，所以a≤0.综上所述，a的取值范围为[－2，0]，故选C. 7.（2024·南昌一模）已知p：ln（a－1）＞0，q：∃x＞0，≤a，则p是q的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：A　由ln（a－1）＞0，得⇒a＞2，设p：A＝{a｜ln（a－1）＞0}＝{a｜a＞2}，由∃x＞0，≤a等价于a≥＝x＋≥2（当x＝1时等号成立），则a≥2，设q：B＝{a｜a≥2}，因为{a｜a≥2}⊇{a｜a＞2}，所以p⇒q且q⇒/ p，所以p是q的充分不必要条件.故选A. 8.〔多选〕关于二次函数y＝（x－2）2－1，下列说法中正确的是（　　） A.∀x∈R，y＝（x－2）2－1≥1 B.∀a＞－1，∃x0∈R，y＝（x0－2）2－1＜a C.∀a＜－1，∃x0∈R，y＝（x0－2）2－1＝a D.∃x1≠x2，（x1－2）2－1＝（x2－2）2－1 解析：BD　对于二次函数y＝（x－2）2－1，其图象开口向上，对称轴为直线x＝2，最小值为－1.对于选项A，当x＝2时，y＝－1＜1，所以A不正确；对于选项B，∀a＞－1，当x0＝2时，y＝－1＜a，所以B正确；对于选项C，当a＝－2时，∀x∈R，y＝（x－2）2－1＞a，所以C不正确；对于选项D，取x1＝1，x2＝3，则（x1－2）2－1＝（x2－2）2－1，所以D正确.故选B、D. 9.〔多选〕若a，b，c∈R，则下列叙述中正确的是（　　） A.“ab2＞cb2”是“a＞c”的充要条件 B.“a＞1”是“＜1”的充分不必要条件 C.“ax2＋bx＋c≥0对x∈R恒成立”的充要条件是“b2－4ac≤0” D.“a＜1”是“方程x2＋x＋a＝0有一个正根和一个负根”的必要不充分条件 解析：BD　对于选项A，当ab2＞cb2成立时，因为b2＞0，所以a＞c，充分性成立；当a＞c成立时，因为b2≥0，不能得出ab2＞cb2，必要性不成立，所以是充分不必要条件，故A错误；对于选项B，当a＞1时，＜1成立，即充分性成立；当＜1时，－1＜0，解得a＜0或a＞1，必要性不成立，所以是充分不必要条件，故B正确；对于选项C，ax2＋bx＋c≥0对x∈R恒成立时，则或当b2－4ac≤0时，不等式ax2＋bx＋c≥0对x∈R不恒成立，所以是既不充分也不必要条件，故C错误；对于选项D，当a＜1时，方程x2＋x＋a＝0不一定有实数根，如a＝，Δ＝1－4×＝－1＜0，方程无实根，所以充分性不成立.当方程x2＋x＋a＝0有一个正根和一个负根时，a＜0，所以a＜1，必要性成立，所以是必要不充分条件，故D正确.故选B、D. 10.命题p：若直线l与平面α内的所有直线都不平行，则直线l与平面α不平行.则命题􀱑p是　假　命题（填“真”或“假”）. 解析：若直线l与平面α内的所有直线都不平行，则直线l与平面α相交，所以直线l与平面α不平行，所以命题p为真命题，所以􀱑p为假命题. 11.（2025·大连一模）“函数f（x）＝ax2－sin x是奇函数”的充要条件是实数a＝　0　. 解析：若f（x）为奇函数，则f（－x）＋f（x）＝0，所以a（－x）2－sin（－x）＋ax2－sin x＝0，2ax2＝0，所以a＝0. 12.已知条件p：x＞a，条件q：x≥2. （1）若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是　[2，＋∞）　； 解析：设A＝{x｜x＞a}，B＝{x｜x≥2}. （1）因为p是q的充分不必要条件，所以A⫋B，所以a≥2. （2）若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是　（－∞，2）　. 解析：（2）因为p是q的必要不充分条件，所以B⫋A，所以a＜2. 13.（实操与推理）〔多选〕（2025·八省联考）下面四个绳结中，不能无损伤地变为图中的绳结的有（　　） 解析：ABD　对于A选项：原图中的绳结不可解开，则无法无损伤地变为一个圆；对于D选项：为三个圆，不是一根绳编制的绳结，故D也不能无损伤的变为原图中的绳结；对于B、C选项：根据左手三叶结和右手三叶结不能无损转换，而B、C情形为三叶结变体，则B、C至少有一个无法无损伤得到，再通过考场身边道具（如鞋带，头发）进行实验可知，可以得到C选项，无法得到B选项.故选A、B、D. 14.（推理判断题）地铁某换乘站设有编号为A，B，C，D，E的五个安全出口.若同时开放其中的两个安全出口，疏散1 000名乘客所需的时间如表： 安全出口编号 A，B B，C C，D D，E A，E 疏散乘客时间（s） 120 220 160 140 200 则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是　D　. 解析：同时开放A，B，需120 s，同时开放B，C，需220 s，故A疏散比C快；同时开放B，C，需220 s，同时开放C，D，需160 s，故D疏散比B快；同时开放C，D，需160 s，同时开放D，E，需140 s，故E疏散比C快；同时开放D，E，需140 s，同时开放A，E，需220 s，故D疏散比A快；同时开放A，E，需200 s，同时开放A，B，需120 s，故B疏散比E快；综上所述，D疏散最快. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $