第一章 第五节 一元二次不等式及其解法-【优学精研】2026年高考数学一轮总复习教用word

第五节　一元二次不等式及其解法 课标要求 1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义；能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集. 2.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系. 1.一元二次不等式 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是　2　的不等式，称为一元二次不等式.一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c＞0或ax2＋bx＋c＜0，其中a，b，c均为常数，a≠0. 提醒 对于不等式ax2＋bx＋c＞0，求解时不要忘记a＝0时的情形. 2.三个“二次”的对应关系 判别式 Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 y＝ax2＋bx＋c（a＞0）的图象 判别式 Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 ax2＋bx＋c＝0（a＞0）的根 有两个不相等的实数根x1，x2（x1＜x2） 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c＞0（a＞0）的解集 {x｜x＜x1，或x＞x2} R ax2＋bx＋c＜0（a＞0）的解集 {x｜x1＜x＜x2} ⌀ ⌀ 1.分式不等式的解法 （1）＞0（＜0）⇔f（x）·g（x）＞0（＜0）； （2）≥0（≤0）⇔ 2.｜ax＋b｜≤c（c＞0）和｜ax＋b｜≥c（c＞0）型不等式的解法 （1）｜ax＋b｜≤c⇔－c≤ax＋b≤c； （2）｜ax＋b｜≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）ax2＋bx＋c＜0为一元二次不等式.（　×　） （2）若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为（x1，x2），则必有a＞0.（　√　） （3）若方程ax2＋bx＋c＝0（a＜0）没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c＞0（a＜0）的解集为R.（　×　） 2.（人A必修一P55习题1题改编）不等式－x2＋3x＋10＞0的解集为（　　） A.（－2，5） B.（－∞，－2）∪（5，＋∞） C.（－5，2） D.（－∞，－5）∪（2，＋∞） 解析：A　由－x2＋3x＋10＞0得x2－3x－10＜0，解得－2＜x＜5. 3.若不等式ax2＋bx＋2＞0的解集为{x｜－＜x＜}，则a－b＝（　　） A.－10 B.－14 C.10 D.14 解析：A　由题意知x1＝－，x2＝是方程ax2＋bx＋2＝0的两个根，∴解得∴a－b＝－10. 4.（苏教必修一P70习题15题改编）不等式≥0的解集为　（－∞，－）∪[1，＋∞）　. 解析：不等式变为⇒x≥1或x＜－. 5.若关于x的不等式x2－2ax＋18＞0恒成立，则实数a的取值范围为　（－3，3）　. 解析：由题意得4a2－4×18＜0，解得－3＜a＜3. 不含参数的一元二次不等式的解法（师生共研过关） 解下列不等式： （1）－3x2－2x＋8≥0； （2）≤1； （3）－x≤1. 解：（1）原不等式可化为3x2＋2x－8≤0， 即（3x－4）（x＋2）≤0，解得－2≤x≤， 所以原不等式的解集为. （2）因为≤1，所以－1≤0，所以≤0，即≥0，此不等式等价于（x－4）（x－）≥0且x－≠0，解得x＜或x≥4，故原不等式的解集为{x｜x＜，或x≥4}. （3）原不等式等价于 上述不等式组的解集为{x｜x＋1≥0}∩{x｜x2－2x≤0}， 即原不等式的解集为{x｜0≤x≤2}. 解题技法 解一元二次不等式的4个步骤 提醒 对于分式不等式的求解，要注意分母不等于0. 不等式－1＜x2＋2x－1≤2的解集是　{x｜－3≤x＜－2或0＜x≤1}　. 解析：原不等式等价于即由①得x（x＋2）＞0，所以x＜－2或x＞0；由②得（x＋3）（x－1）≤0，所以－3≤x≤1. 画出数轴，如图，可得原不等式的解集为{x｜－3≤x＜－2或0＜x≤1}. 含参数的一元二次不等式的解法（师生共研过关） 解关于x的不等式ax2－（a＋1）x＋1＜0（a＞0）.　 解：原不等式可化为（ax－1）（x－1）＜0， 因为a＞0，所以a（x－）（x－1）＜0. 所以当a＞1时，解为＜x＜1； 当a＝1时，解集为⌀； 当0＜a＜1时，解为1＜x＜. 综上，当0＜a＜1时，不等式的解集为{x｜1＜x＜}； 当a＝1时，不等式的解集为⌀； 当a＞1时，不等式的解集为. 解题技法 解含参数的一元二次不等式的步骤 （1）若二次项系数含有参数，则应讨论参数是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式； （2）判断方程根的个数，讨论判别式Δ与0的关系； （3）确定方程无根时，可直接写出解集；确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定不等式的解集. 　解关于x的不等式（ax－1）（x＋2）＞0（a∈R）. 解：当a＝0时，不等式可化为一次不等式：－（x＋2）＞0，则有x＜－2. 当a≠0时，不等式可化为二次不等式a（x－）·（x＋2）＞0. ①当a＞0时，（x－）（x＋2）＞0，可得x＜－2或x＞； ②当a＜0时，（x－）（x＋2）＜0. －＜a＜0时，则＜x＜－2；a＝－时，解集为⌀；a＜－时，则－2＜x＜. 综上所述： 当a＞0时，解集为（－∞，－2）∪（，＋∞）； 当a＝0时，解集为（－∞，－2）； 当－＜a＜0时，解集为（，－2）；当a＝－时，解集为⌀；当a＜－时，解集为（－2，）. 三个“二次”间的关系（师生共研过关） 〔多选〕已知关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为（－1，3），则下列说法正确的是（　　） A.a＞0 B.bx－c＞0的解集是{x|x＞} C.cx2＋ax－b＞0的解集是{x|x＜－或x＞1} D.a＋b＜c 解析：BCD　不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为（－1，3），则即bx－c＞0，即－2ax＋3a＞0，所以x＞.cx2＋ax－b＞0， 即－3ax2＋ax＋2a＞0，即3x2－x－2＞0，解集是{x｜x＜－或x＞1}.因为x＝－1∈{x｜x＜－或x＞1}，所以c－a－b＞0，即a＋b＜c.故选B、C、D. 解题技法 “三个二次”之间的关系及其应用 （1）一元二次方程的根就是对应二次函数的零点，也就是对应一元二次不等式解集的端点值； （2）对于不等式ax2＋bx＋c＞0，若其解集为（－∞，m）∪（n，＋∞），则a＞0且方程ax2＋bx＋c＝0的两根为m，n，且m＜n；若其解集为（m，n），则a＜0且方程ax2＋bx＋c＝0的两根为m，n，且m＜n. 1.已知一元二次不等式x2＋mx－2＞0的解集为（－∞，－2）∪（1，＋∞），则不等式－2x2＋x＋m＜0的解集为　（－∞，－）∪（1，＋∞）　. 解析：由题意可知，一元二次方程x2＋mx－2＝0的两根分别为－2，1，由根与系数的关系可得－2＋1＝－m，解得m＝1，所以不等式－2x2＋x＋m＜0，即－2x2＋x＋1＜0，整理得2x2－x－1＞0，解得x＜－或x＞1，故原不等式的解集为（－∞，－）∪（1，＋∞）. 2.已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象如图所示，求不等式bx2－cx＋3≤0的解集. 解：根据二次函数y＝x2＋bx＋c的图象可知，－1，2为方程x2＋bx＋c＝0的两根， 故－1＋2＝－b，－1×2＝c，即b＝－1，c＝－2， 则bx2－cx＋3≤0即－x2＋2x＋3≤0，也即x2－2x－3≥0，（x－3）（x＋1）≥0， 解得x≥3或x≤－1. 故不等式解集为（－∞，－1]∪[3，＋∞）. 1.不等式x2＋3x－10＞0的解集为（　　） A.（－2，5） B.（－∞，－2）∪（5，＋∞） C.（－5，2） D.（－∞，－5）∪（2，＋∞） 解析：D　由x2＋3x－10＞0得（x＋5）（x－2）＞0，解得x＜－5或x＞2. 2.不等式｜x｜（1－2x）＞0的解集为（　　） A.（－∞，0）∪（0，） B.（－∞，） C.（，＋∞） D.（0，） 解析：A　由题意得x≠0，当x＞0时，原不等式即为x（1－2x）＞0，所以0＜x＜；当x＜0时，原不等式即为－x（1－2x）＞0，所以x＜0，综上，原不等式的解集为（－∞，0）∪（0，）. 3.不等式ax2－（a＋2）x＋2≥0（a＜0）的解集为（　　） A.［，1］ B.[1，＋∞） C.（－∞，］∪[1，＋∞） D.［，＋∞） 解析：A　因为a＜0，ax2－（a＋2）x＋2＝a（x－）（x－1）≥0，所以（x－）（x－1）≤0，所以解集为［，1］.故选A. 4.若关于x的不等式x2－4x－a＞0在区间（1，5）内有解，则实数a的取值范围是（　　） A.（－∞，5） B.（5，＋∞） C.（－4，＋∞） D.（－∞，4） 解析：A　设f（x）＝x2－4x－a，则f（x）的图象开口向上，对称轴为直线x＝2，所以要使不等式x2－4x－a＞0在区间（1，5）内有解，只要f（5）＞0即可，即25－20－a＞0，得a＜5，所以实数a的取值范围为（－∞，5）. 5.〔多选〕解关于x的不等式ax2＋（2－4a）x－8＞0，则下列说法中正确的是（　　） A.当a＝0时，不等式的解集为{x｜x＞4} B.当a＜0时，不等式的解集为{x｜x＞4或x＜－} C.当a＜0时，不等式的解集为{x｜－＜x＜4} D.当a＝－时，不等式的解集为⌀ 解析：AD　当a＝0时，不等式为2x－8＞0，解得x＞4，故选项A正确.由ax2＋（2－4a）x－8＞0可得（ax＋2）·（x－4）＞0，当即a＜－时，不等式的解集为{x｜－＜x＜4}；当即－＜a＜0时，不等式的解集为{x｜4＜x＜－}；当a＝－时，－＝4，此时不等式的解集为⌀，故选项B、C不正确，选项D正确.故选A、D. 6.〔多选〕已知关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为（－∞，－2）∪（3，＋∞），则（　　） A.a＞0 B.a＋b＋c＞0 C.不等式bx＋c＞0的解集是{x｜x＜－6} D.不等式cx2－bx＋a＜0的解集为（－∞，－）∪（，＋∞） 解析：ACD　∵关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为（－∞，－2）∪（3，＋∞），∴a＞0，A选项正确；－2和3是关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的两根，由根与系数的关系得则∴a＋b＋c＝－6a＜0，B选项错误；不等式bx＋c＞0可化为－ax－6a＞0，得x＜－6，C选项正确；不等式cx2－bx＋a＜0可化为－6ax2＋ax＋a＜0，即6x2－x－1＞0，解得x＜－或x＞，D选项正确.故选A、C、D. 7.若不等式x2＋x＋m2＜0的解集不是空集，则实数m的取值范围为　　. 解析：因为不等式x2＋x＋m2＜0的解集不是空集，所以Δ＞0，即1－4m2＞0，所以－＜m＜. 8.若关于x的不等式x2－2ax－8a2＜0（a＞0）的解集为{x｜x1＜x＜x2}，且x2－x1＝15，则a的值为　　. 解析：由题知x1，x2是一元二次方程x2－2ax－8a2＝0（a＞0）的实数根，所以Δ＝4a2＋32a2＝36a2＞0，且x1＋x2＝2a，x1x2＝－8a2.又因为x2－x1＝15，所以152＝（x1＋x2）2－4x1x2＝4a2＋32a2＝36a2，又a＞0，解得a＝. 9.解下列不等式： （1）3≤｜5－2x｜＜9； 解：不等式等价于即解得不等式的解集为（－2，1]∪[4，7）. （2）≤1. 解：由题意知x2＋x＋2＝（x＋）2＋＞0， 则≤1可变形为3x2＋2x＋1≤x2＋x＋2，化简得2x2＋x－1≤0，可变形为（2x－1）（x＋1）≤0，解得－1≤x≤.故原不等式的解集为［－1，］. 10.当0≤p≤4时，不等式x2＋px＞4x＋p－3恒成立，则x的取值范围是（　　） A.[－1，3] B.（－∞，－1] C.[3，＋∞） D.（－∞，－1）∪（3，＋∞） 解析：D　不等式x2＋px＞4x＋p－3可化为（x－1）p＋x2－4x＋3＞0，令f（p）＝（x－1）p＋x2－4x＋3（0≤p≤4），则 ∴x＜－1或x＞3. 11.若关于x的不等式x2－（m＋2）x＋2m＜0的解集中恰有4个整数，则实数m的取值范围为（　　） A.（6，7] B.[－3，－2） C.[－3，－2）∪（6，7] D.[－3，7] 解析：C　不等式x2－（m＋2）x＋2m＜0即（x－2）（x－m）＜0.当m＞2时，不等式解集为（2，m），此时要使解集中恰有4个整数，这4个整数只能是3，4，5，6，故6＜m≤7，当m＝2时，不等式解集为⌀，此时不符合题意；当m＜2时，不等式解集为（m，2），此时要使解集中恰有4个整数，这4个整数只能是－2，－1，0，1，故－3≤m＜－2.故实数m的取值范围为[－3，－2）∪（6，7]，故选C. 12.已知关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0（a，b，c∈R）的解集为（－4，1），则的取值范围为（　　） A.[－6，＋∞） B.（－∞，6） C.（－6，＋∞） D.（－∞，－6] 解析：D　由不等式ax2＋bx＋c＞0（a，b，c∈R）的解集为（－4，1），可知1和－4是方程ax2＋bx＋c＝0的两个实数根，且a＜0，由根与系数的关系可得即可得b＝3a，c＝－4a，所以＝＝＝4a＋＝－（－4a＋）≤－2＝－6.当且仅当－4a＝时，即a＝－时等号成立，即可得∈（－∞，－6].故选D. 13.解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax（a＜0）. 解：原不等式可化为ax2＋（a－2）x－2≥0，即（ax－2）（x＋1）≥0. 由a＜0，原不等式可化为（x－）（x＋1）≤0. 当＞－1，即a＜－2时，解得－1≤x≤； 当＝－1，即a＝－2时，解得x＝－1； 当＜－1，即－2＜a＜0时，解得≤x≤－1. 综上所述， 当－2＜a＜0时，不等式的解集为{x｜≤x≤－1}； 当a＝－2时，不等式的解集为{－1}； 当a＜－2时，不等式的解集为{x｜－1≤x≤}. 14.已知关于x的不等式－x2＋ax＋b＞0. （1）若该不等式的解集为（－4，2），求a，b的值； 解：（1）根据题意得 解得 （2）若b＝a＋1，求此不等式的解集. 解：（2）当b＝a＋1时，－x2＋ax＋b＞0⇔x2－ax－（a＋1）＜0，即[x－（a＋1）]（x＋1）＜0. 当a＋1＝－1，即a＝－2时，原不等式的解集为⌀； 当a＋1＜－1，即a＜－2时，原不等式的解集为（a＋1，－1）； 当a＋1＞－1，即a＞－2时，原不等式的解集为（－1，a＋1）. 综上，当a＜－2时，原不等式的解集为（a＋1，－1）；当a＝－2时，原不等式的解集为⌀；当a＞－2时，原不等式的解集为（－1，a＋1）. 15.（情境创新）已知函数y＝[x]称为高斯函数，表示不超过x的最大整数，如[3.4]＝3，[－1.6]＝－2，则不等式＜0的解集为　[1，6）　；当x＞0时，的最大值为　　. 解析：由＜0，即[x]·（[x]－6）＜0，解得0＜[x]＜6，又[x]表示不超过x的最大整数，故1≤x＜6；当x∈（0，1）时，[x]＝0，则＝0，当x≥1时，＝≤＝，当且仅当[x]＝，即[x]＝3时，等号成立，即当x＞0时，的最大值为. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $