第八单元 垂直与平行线（知识清单）数学苏教版四年级上册

第八单元 垂直与平行线 单元知识清单讲义 知识点一：认识直线、射线与角 1、认识射线和直线及两点间的距离。 射线和直线都是无限长的，射线可以向一端无限延长，直线可以向两端无限延长；经过一点可以画无数条直线，经过两点只能画一条直线。 2、认识角。 从一点引出两条射线所组成的图形叫作角。这一点是角的顶点，这两条射线是角的边。角有一个顶点和两条边，角的两边可以无限延长。角通常用符号“∠”来表示。 知识点二：角的度量 1、认识量角器。 （1）三角尺上的角有大有小，用大小不同的角量指定的角，不可能得到一致的结果。 （2）为了准确测量出角的大小，要有统一的计量单位和度量工具。 （3）量角器是半圆形的。把这个半圆平均分成180等份，每一份所对的角是1°。内圈刻度和外圈刻度分别按逆时针和顺时针方向排列。 2、用量角器量角。 用量角器测量角的大小的基本方法和操作要领可以概括为“三个重合，一个注意”。三个重合：一是点点重合，即中心点与顶点重合；二是线边重合，即0°刻度线与一条边重合；三是线边重合，即刻度线与另一条边重合，读出度数。一个注意：内圈刻度与外圈刻度不能混合使用。 知识点三：角的分类和画角 1、角的分类。 2、几种角的大小关系：锐角<直角<钝角<平角<周角。 直角、平角与周角的关系：1个周角=2个平角=4个直角。 3、画角。 用量角器画指定度数的角，要注意做到“两重合”：量角器的中心与顶点重合；0°刻度线与所 画的一条边重合。还要看准度数，所画的边对应的0°刻度线在内圈，看的就是内圈刻度，所画的边对应的0°刻度线在外圈，看的就是外圈刻度。 知识点四：认识垂直与平行 1、认识垂直。 两条直线相交成直角时，这两条直线就互相垂直，其中一条直线是另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫垂足。 2、点到直线的距离。 （1）从直线外一点到这条直线所画的垂直线段的长度，叫作这点到这条直线的距离。 （2）从直线外一点向已知直线所作的几条线段中，垂直线段最短。 3、画垂线。 画两条互相垂直的直线的方法很多，可在方格纸上画，也可以用量角器画，还可以用直尺和 三角尺画。 4、认识平行线。 同一平面内，不相交的两条直线互相平行，其中一条直线是另一条直线的平行线。同一平面内的两条直线的位置关系只有两种：相交或平行。因此同一平面内的两条直线不相交就一定平行。 5、画平行线。 用直尺和三角尺画平行线时，牢记“固定三角尺，画直线”“紧靠三角尺，固定直尺，平移三角尺”。 题型1：射线与直线的认识 【例1】小明测量一条（    ）长20厘米。 A．直线 B．线段 C．射线 【练1】把一条6厘米的线段两端各延长100米，得到的是一条（    ）。 A．直线 B．射线 C．线段 D．曲线 【练2】下列说法正确的是（    ）。 A．把一条线段向任意一端延长100米，就得到一条射线 B．把一条线段向任意一端延长100米，就得到一条直线 C．把一条线段向任意一端延长100米，就得到一条线段 D．把一条线段向任意一端延长100米，就得到一个直角 题型2：数图形（线段、直线、射线） 【例2】图中能数出（ ）条线段，（ ）条直线。 【练3】经过纸上2个点可以画1条直线，经过6个点中的每两个点最多可以画（ ）条直线。 【练4】我们已经学习了同一平面内2条直线之间最多有1个交点，接下来我们将深入探索同一平面内，多条直线之间最多会有几个交点。 同一平面内，2条直线最多有1个交点，3条直线最多有3个交点，4条直线最多有6个交点，5条直线呢？先想一想，再在表格中填一填。 直线条数 2 3 4 5 … 交点个数 1 3 6 … 45 题型3：角的概念及表示方法 【例3】一个角是50°用放大2倍的放大镜来观察是（    ）。 A．50° B．100° C．不能确定 【练5】一张圆片剪去一刀后有（    ）个角。 A．0 B．1 C．2 【练6】一块玻璃碎成三块，现在要去买一块完全相同的玻璃，只能带一块玻璃，应带第（    ）块去。 A．① B．② C．③ 题型4：数图形（数角） 【例4】如图，数一数，共有（ ）个角。 【练7】如图中一共有（ ）个角。 【练8】如图，以点A为端点再画一条射线，图中会增加（ ）个角。 题型5：角的度量 【例5】度量一个角时，角的一条边与量角器内圈“0”刻度线重合，另一条边对着外圈“80”刻度线，这个角的度数是（ ）°。 【练9】观察量角器上的刻度，填出每个角的度数。 （ ）°                          （ ）° 【练10】如图，如果射线a是一个60°角的一条边，那么这个角的另一条边会与这个量角器的（ ）°刻度线重合；也可能与这个量角器的（ ）°刻度线重合。 题型6：平角、周角的认识及特征 【例6】1个平角和1个钝角的差一定是（ ）角；1个直角和1个锐角的和一定是（ ）角。 【练11】把一个平角分成两个角，如果其中一个角是钝角，那么另一个角是（ ）角；若6个同样的角刚好组成一个周角，则每个角都是（ ）°。 【练12】在22°、117°、87°、90°、180°、75°、360°、291°、170°中，其中（ ）是平角，（ ）是直角，（ ）是周角，（ ）是锐角，（ ）是钝角。 题型7：角度的计算 【例7】如下图，∠1＝140°，那么∠2＝（ ）°，∠3＝（ ）°，∠4＝（ ）°。 【练13】如图中，已知∠1＝35°，∠3是一个直角。那么，∠2＝（ ）°，∠4＝（ ）°，∠5＝（ ）°。 【练14】如图，已知∠1＝∠2＝∠3，且图中所有锐角的和是200°，那么∠2＝（ ）°。 题型8：钟表上的角度问题 【例8】如图，现在是4时整，钟面上时针和分针所成的角是（ ）°，再过30分钟，钟面上时针和分针所成的角是（ ）°。 【练15】2021年3月，教育部发布了《关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知》，要求小学生每天睡眠至少应达到9小时。张桦晚上8：45睡觉，第二天早上6：45起床，这时钟面上的时针和分针成（ ）角，时针转动了（ ）度。 【练16】钟面上，从6：00到9：00时针旋转了（ ）度；从9：00到9：30，分针旋转了（ ）度，从9：00到9：15，分针旋转了（ ）度。 题型9：平行与垂直的认识 【例9】下面各组直线中，互相垂直的是（ ），互相平行的是（ ）。（填序号） 【练17】如图的字母中，有线段互相平行的有（ ）个，有线段互相垂直的有（ ）个。 【练18】下面有四条直线a、b、c、d，其中（ ）和（ ）互相垂直，（ ）和（ ）互相平行。 题型10：画线（直线、射线、线段） 【例10】过下面两点画一条直线，再在上面截取一条3厘米的线段。 ·        · 【练19】过点A和点B画一条直线，再以点B为端点画一条射线。 【练20】按要求画图： （1）画出射线AB、线段AC、直线BC。 （2）过点A画出直线BC的平行线。 （3）过点A画出直线BC的垂线。 题型11：用量角器画角 【例11】以点A为顶点，引一条射线与已知直线a相交组成65°的角。 【练21】以点A为顶点，用量角器画一个90°的角。 【练22】画出下面的角。 30°        65°        135° 题型12：用三角尺画角 【例12】用三角板画一个75度和105度的角。 【练23】请用三角尺画出120°和15°的角。（保留作图痕迹） 【练24】过0点，用一副三角尺画一个135°的角。保留画图的痕迹。 题型13：画平行线与垂线 【例13】过点P分别画直线a的垂线和直线b的平行线。 【练25】如下图，过点C作一条与AB平行的直线、再画出点B到AC的垂直线段。 【练26】 （1）“紫金路”穿过江北小区，与彩虹路平行，请画图并标上名称。 （2）急民小区要铺设煤气管道，与育英路上的主管道连通，要使管道最短，应该怎样铺设？请画出铺设管道的线路图。 （3）该城市计划从中心广场出发，向东南方向修建一条“阳光大道”，该道路与彩虹路之间形成一个105°角，请在图上画出这条大道。 一、选择题 1．为了能尽快穿越斑马线，小希觉得应当沿垂直马路的方向走过斑马线。这一想法体现的数学依据是（    ）。 A．两点确定一直线 B．两点之间线段最短 C．过直线外一点到这条直线的垂直线段最短 D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 2．下列哪个角不可以用一副三角板拼成？（    ） A．15° B．110° C．75° D．120° 3．用一副三角尺画出的角中，最小的角与最大的角的度数分别是（    ）。 A．30°、150° B．75°、150° C．15°、180° D．30°、180° 4．如图是学校附近街道的平面图，图中互相平行的两条路是（    ）。 A．文化路和红星路 B．星汇路和三河路 C．文昌路和三河路 D．文化路和文昌路 5．手工课上，同学们玩折纸游戏。明明用一张长方形纸折出了不同的角（如图所示）。如果图中∠1＝24°，那么∠2等于（    ）。 A．30° B．24° C．42° D．50° 6．下面不能测量出未知角度数的方法是（    ）。 A． B． C． D． 7．如图，一只老虎追赶一只狐狸，狐狸慌不择路掉进了河里。狐狸想尽快上岸，又不能被老虎抓住。聪明的狐狸怎么逃生呢？它会选择下面（    ）线路。 A． B． C． D． 8．下面说法不正确的是（    ）。 A．按如图这样测量跳远成绩，是因为点到直线的距离最短 B．过直线外一点画已知直线的垂线，只能画一条 C．最大的三位数除以两位数，商一定是两位数 D．一枚硬币，齐齐抛了5次都是正面朝上，他抛第6次一定是反面朝上 二、填空题 9．钟面上的分针从12起转到2，形成的角是（ ）度，它是（ ）角。 10．把线段的两端都无限延长，就得到一条（ ）。（ ）和（ ）都是无限长的。把一个长方形纸对折再对折，两条折痕互相（ ）。 11．如下图，其中有（ ）条线段，（ ）条射线，（ ）条直线。       12．数一数，下面图形中各有几个直角？                 （ ）个     （ ）个     （ ）个     （ ）个 13．10时整，钟面上时针和分针组成的角是（ ）角，6时整，钟面上时针和分针组成的角是（ ）角。 14．下图中，∠1＝60°，∠2＝（ ）°，∠3＝（ ）°，∠4＝（ ）°。 15．补充完整下表。 图形 平行线段的组数 2 垂直线段的组数 16．观察下面的字母。 E  F  H  L  T  Z  K  N （1）有互相垂直的字母是： ； （2）有互相平行的字母是： ； （3）既有互相平行又有互相垂直的字母是： 。 三、计算题 17．如下图，直线m与直线n互相垂直，∠1＝35°，求∠2的度数。 四、操作题 18．小青蛙要从点A游到小河的对岸去，怎样游路线最短？请在图中画出来。 19．（1）过点A画出已知直线的平行线和垂线。 （2）以点B为顶点，画一个直角。 20．以下面的射线为角的一条边，用量角器分别画出50°和125°的角。 五、解答题 21．下图是用一副三角尺拼成的图形，是多少度？ 22．小兔和小狗分别从A点和B点同时向房子跑去。 （1）如果它们的速度相同，你觉得（    ）先到达。 （2）请写出你的理由。 23．在下图中，有几条射线？组成了几个角？ 24．下面是一张长方形纸折起来以后形成的图形。已知∠1＝50°，∠2是多少度？ 25．从点A起，向不同的方向画射线，并填一填。 A （1）画两条射线，有（    ）个角。 （2）再画一条射线，增加了（    ）个角。 （3）再画一条射线，又增加了（    ）个角。 （4）现在一共有（    ）个角。 26．下面钟面上的分针，从指向12起各走了多少分钟？形成的角各是什么角，分别是多少度？ 27． （1）上面图①中，∠1是∠2的2倍，∠3＝______。 （2）在上图②中，过C点分别画出OB边的垂线，OA边的平行线。 （3）在上图③中，小明在A点，要到河里取水，画出最节省的行走线路。 28．下面是某街区的平面示意图，根据示意图解决问题。 （1）人民路经过红旗广场，与城北路平行，请在图中画出人民路。 （2）红十字医院要安装液化气管道，主管道在城北路上，要使管道长度最短，应该怎样安装？在图中画出来。 （3）用量角器可以量出，∠1的度数是（    ）°。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第八单元 垂直与平行线 单元知识清单讲义 知识点一：认识直线、射线与角 1、认识射线和直线及两点间的距离。 射线和直线都是无限长的，射线可以向一端无限延长，直线可以向两端无限延长；经过一点可以画无数条直线，经过两点只能画一条直线。 2、认识角。 从一点引出两条射线所组成的图形叫作角。这一点是角的顶点，这两条射线是角的边。角有一个顶点和两条边，角的两边可以无限延长。角通常用符号“∠”来表示。 知识点二：角的度量 1、认识量角器。 （1）三角尺上的角有大有小，用大小不同的角量指定的角，不可能得到一致的结果。 （2）为了准确测量出角的大小，要有统一的计量单位和度量工具。 （3）量角器是半圆形的。把这个半圆平均分成180等份，每一份所对的角是1°。内圈刻度和外圈刻度分别按逆时针和顺时针方向排列。 2、用量角器量角。 用量角器测量角的大小的基本方法和操作要领可以概括为“三个重合，一个注意”。三个重合：一是点点重合，即中心点与顶点重合；二是线边重合，即0°刻度线与一条边重合；三是线边重合，即刻度线与另一条边重合，读出度数。一个注意：内圈刻度与外圈刻度不能混合使用。 知识点三：角的分类和画角 1、角的分类。 2、几种角的大小关系：锐角<直角<钝角<平角<周角。 直角、平角与周角的关系：1个周角=2个平角=4个直角。 3、画角。 用量角器画指定度数的角，要注意做到“两重合”：量角器的中心与顶点重合；0°刻度线与所 画的一条边重合。还要看准度数，所画的边对应的0°刻度线在内圈，看的就是内圈刻度，所画的边对应的0°刻度线在外圈，看的就是外圈刻度。 知识点四：认识垂直与平行 1、认识垂直。 两条直线相交成直角时，这两条直线就互相垂直，其中一条直线是另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫垂足。 2、点到直线的距离。 （1）从直线外一点到这条直线所画的垂直线段的长度，叫作这点到这条直线的距离。 （2）从直线外一点向已知直线所作的几条线段中，垂直线段最短。 3、画垂线。 画两条互相垂直的直线的方法很多，可在方格纸上画，也可以用量角器画，还可以用直尺和 三角尺画。 4、认识平行线。 同一平面内，不相交的两条直线互相平行，其中一条直线是另一条直线的平行线。同一平面内的两条直线的位置关系只有两种：相交或平行。因此同一平面内的两条直线不相交就一定平行。 5、画平行线。 用直尺和三角尺画平行线时，牢记“固定三角尺，画直线”“紧靠三角尺，固定直尺，平移三角尺”。 题型1：射线与直线的认识 【例1】小明测量一条（    ）长20厘米。 A．直线 B．线段 C．射线 【答案】B 【分析】本题主要利用直线、射线、线段的有关知识进行解答问题，直线没有端点所以没有长度，射线只有一个端点所以也没有长度，线段有两个端点所以有长度。以此选择即可。 【解答】根据分析可知： A．直线是无限延伸的，没有端点，无法测量具体长度，不符合题意。 B．线段有两个端点，长度固定，可以测量，符合题意。 C．射线有一个端点，另一端无限延伸，同样无法测量具体长度，不符合题意。 小明测量一条线段长20厘米。 故答案为：B 【练1】把一条6厘米的线段两端各延长100米，得到的是一条（    ）。 A．直线 B．射线 C．线段 D．曲线 【答案】C 【分析】直线没有端点，两边可无限延长，不能测量长度；射线只有一端有端点，另一端可无限延长，不能测量长度；线段有两个端点，而两个端点间的距离就是这条线段的长度，能测量长度，据此解答即可。 【解答】A．直线两端无限延长，不能测量长度，不符合题意。 B．射线一端可无限延长，不能测量长度，不符合题意。 C．线段有两个端点，能测量长度，把一条6厘米的线段两端各延长100米，得到的线段的长度为6厘米与2个100米的和，符合题意。 D．曲线无法用尺子测量，不符合题意。 故答案为：C 【练2】下列说法正确的是（    ）。 A．把一条线段向任意一端延长100米，就得到一条射线 B．把一条线段向任意一端延长100米，就得到一条直线 C．把一条线段向任意一端延长100米，就得到一条线段 D．把一条线段向任意一端延长100米，就得到一个直角 【答案】C 【分析】线段有两个端点且有一定的长度；射线有一个端点，它可以向一个方向无限延伸；直线没有端点，它可以向两端无限延伸。射线和直线的长度无法测量。从一点引出的两条射线可以组成角。直角的度数是90°。据此解答。 【解答】A．射线的长度无法测量，该选项说法错误。 B．直线的长度无法测量，该选项说法错误。 C．线段的长度可以测量，该选项说法正确。 D．把一条线段向任意一端延长100米，无法得到一个角，更无法得到一个直角。该选项说法错误。 故答案为：C 题型2：数图形（线段、直线、射线） 【例2】图中能数出（ ）条线段，（ ）条直线。 【答案】6 1 【分析】直线没有端点，是可以无限延伸的，线段有两个端点，任意两点间的一段都可以看作一条线段，据此解答。 【解答】根据图示可知，图中单独的线段有3条，分别是AB、BC、CD，由两条单独的线段组成的线段有2条，分别是AC、BD，由三条单独的线段组成的线段有1条，是AD，所以一共有6条线段；直线没有端点，所以图中有1条直线。 【练3】经过纸上2个点可以画1条直线，经过6个点中的每两个点最多可以画（ ）条直线。 【答案】15 【分析】直线没有端点无限长，经过纸上2个点可以画1条直线，经过6个点中的每两个点，第一个点可以和另外五个点画5条直线，第二个点可以和除去第一个点的另外四个点画4条直线，第三个点可以和除去前面两个点的另外三个点画3条直线，第四个点可以和除去前面三个点的另外两个点画2条直线，第五个点可以和第六个点画1条直线，则一共可以画（5＋4＋3＋2＋1）条直线。 【解答】5＋4＋3＋2＋1＝15（条） 经过纸上2个点可以画1条直线，经过6个点中的每两个点最多可以画15条直线。 【练4】我们已经学习了同一平面内2条直线之间最多有1个交点，接下来我们将深入探索同一平面内，多条直线之间最多会有几个交点。 同一平面内，2条直线最多有1个交点，3条直线最多有3个交点，4条直线最多有6个交点，5条直线呢？先想一想，再在表格中填一填。 直线条数 2 3 4 5 … 交点个数 1 3 6 … 45 【答案】10；10 【分析】2条直线相交，最多有1个交点； 3条直线相交，最多有1＋2＝3（个）交点； 4条直线相交，最多有1＋2＋3＝6（个）交点； 5条直线相交，最多有1＋2＋3＋4＝10（个）交点； 6条直线相交，最多有1＋2＋3＋4＋5＝15（个）交点； 7条直线相交，最多有1＋2＋3＋4＋5＋6＝21（个）交点； 8条直线相交，最多有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28（个）交点； 9条直线相交，最多有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36（个）交点； 10条直线相交，最多有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＝45（个）交点；据此解答。 【解答】根据分析如表： 直线条数 2 3 4 5 … 10 交点个数 1 3 6 10 … 45 题型3：角的概念及表示方法 【例3】一个角是50°用放大2倍的放大镜来观察是（    ）。 A．50° B．100° C．不能确定 【答案】A 【分析】角的大小由角两边张口大小决定，将这个角用放大2倍的放大镜来观察，角两边的张口大小不变，所以角的大小不变。 【解答】一个角是50°用放大2倍的放大镜来观察是50°。 故答案为：A 【练5】一张圆片剪去一刀后有（    ）个角。 A．0 B．1 C．2 【答案】A 【分析】圆周是曲线，所以一张圆片剪去一刀后，只有一条直线，一个角要有两条边，所以构不成角，有0个角，据此解答。 【解答】一张圆片剪去一刀后有0个角。 故选：A 【点评】本题考查角的概念，掌握概念是解题的关键。 【练6】一块玻璃碎成三块，现在要去买一块完全相同的玻璃，只能带一块玻璃，应带第（    ）块去。 A．① B．② C．③ 【答案】C 【分析】从一点引出两条射线所形成的图形叫做角，可以分析每个选项选出能确定这个角的即可。 【解答】A．已知角的度数，但是不知道两条边的长度，这块玻璃的大小无法确定，不符合题意； B．能够确定角的度数，但是不知道两条边的长度，这块玻璃的大小无法确定，不符合题意； C．将两条破损的边延长后，能够确定角的度数，也能够确定两条边的长度，符合题意。 应带第③块去。 故答案为：C 题型4：数图形（数角） 【例4】如图，数一数，共有（ ）个角。 【答案】6 【分析】单个的角有3个，两个单独角组成的角有2个，三个单独角组成的角有1个，共有3＋2＋1＝6个角。 【解答】3＋2＋1＝6（个） 图中共有6个角。 【练7】如图中一共有（ ）个角。 【答案】10 【分析】根据题图可知，图中单独的角有4个，由两个单独的角组成的角有3个，由三个单独的角组成的角有2个，由四个单独的角组成的角有1个，则一共4＋3＋2＋1＝10（个）角。以此答题即可。 【解答】根据分析可知： 4＋3＋2＋1＝10（个） 如图中一共有10个角。 【练8】如图，以点A为端点再画一条射线，图中会增加（ ）个角。 【答案】3 【分析】 根据题意，图中原有3个角，以点A为端点再画一条射线，图中就会有6个角，增加了3个角；例如：，左图中射线AC与原来的三条射线分别形成∠1、∠2、∠3，这3个角为新增的角。据此解答即可。 【解答】根据分析可知， 或 以点A为端点再画一条射线，共6个角，如图上图所示，图中会增加3个角。 题型5：角的度量 【例5】度量一个角时，角的一条边与量角器内圈“0”刻度线重合，另一条边对着外圈“80”刻度线，这个角的度数是（ ）°。 【答案】100 【分析】用量角器量角的度数步骤如下：先把角的顶点和量角器的中心重合，0刻度线与角的一条边重合，另一条边所对应的刻度就是角的度数。读角的度数时，如果看的是内圈的0刻度线，那么角的度数也需要看内圈。如果看的是外圈的0刻度线，那么角的度数也需要看外圈。在量角器上，内圈的刻度和外圈的刻度加起来刚好等于180°。据此解答。 【解答】由题意得，角的一条边与量角器内圈“0”刻度线重合，另一条边对着外圈“80”刻度线。180°－80°＝100°，即角的另一条边对折内圈100°刻度线，故这个角的度数为100°。 【练9】观察量角器上的刻度，填出每个角的度数。 （ ）°                          （ ）° 【答案】50 50 【分析】由图可知，第一幅图角的一条边指向量角器的0°刻度线，另一条边指向量角器的50°刻度线，所以第一个角的度数为50°。 第二幅图的一条边指向量角器的70°刻度线，另一条边指向量角器的120°刻度线，所以第二个角的度数为120°－70°＝50°。 【解答】如图： 【练10】如图，如果射线a是一个60°角的一条边，那么这个角的另一条边会与这个量角器的（ ）°刻度线重合；也可能与这个量角器的（ ）°刻度线重合。 【答案】160 40 【分析】当用量角器量一个角不从0°刻度线开始测量时，这个角的度数就用角两边所对的刻度相减即可。如图，已知一边所对的刻度为100°，而另一条边可能在左侧，也可能在右侧，据此计算。 【解答】60°＋100°＝160° 100°－60°＝40° 所以这个角的另一条边会与这个量角器的160°刻度线重合；也可能与这个量角器的40°刻度线重合。 题型6：平角、周角的认识及特征 【例6】1个平角和1个钝角的差一定是（ ）角；1个直角和1个锐角的和一定是（ ）角。 【答案】锐 钝 【分析】平角是180°，钝角是大于90°小于180°的角，所以1个平角和1个钝角的差一定是小于90°的，也就是锐角；直角是90°，锐角是大于0°小于90°的角，所以1个直角和1个锐角的和一定大于90°，也就是钝角。 【解答】1个平角和1个钝角的差一定是锐角；1个直角和1个锐角的和一定是钝角。 【练11】把一个平角分成两个角，如果其中一个角是钝角，那么另一个角是（ ）角；若6个同样的角刚好组成一个周角，则每个角都是（ ）°。 【答案】锐 60 【分析】钝角是大于90°小于180°的角，如果分成两个角其中一个角是钝角，另一个角一定小于90°，小于90°的角是锐角； 周角＝360°，用360°÷6，即为每个角的度数，据此填空即可。 【解答】360°÷6＝60° 所以把一个平角分成两个角，如果其中一个角是钝角，那么另一个角是锐角；若6个同样的角刚好组成一个周角，则每个角都是60°。 【练12】在22°、117°、87°、90°、180°、75°、360°、291°、170°中，其中（ ）是平角，（ ）是直角，（ ）是周角，（ ）是锐角，（ ）是钝角。 【答案】180° 90° 360° 22°、87°、75° 117°、170° 【分析】根据锐角、钝角、直角、平角、周角的含义可知：锐角是小于90°的角；钝角是大于90°、小于180°的角；直角是等于90°的角；平角是等于180°的角；周角是等于360°的角；据此解答即可。 【解答】在22°、117°、87°、90°、180°、75°、360°、291°、170°中，其中（180°）是平角，（90°）是直角，（360°）是周角，（22°、87°、75°）是锐角，（117°、170°）是钝角。 题型7：角度的计算 【例7】如下图，∠1＝140°，那么∠2＝（ ）°，∠3＝（ ）°，∠4＝（ ）°。 【答案】40 140 40 【分析】平角等于180°，因此根据题目图形可知：∠1＋∠2＝180°，∠1＋∠4＝180°，即∠2＝180°－∠1，∠4＝180°－∠1；再根据∠2＋∠3＝180°，即∠3＝180°－∠2；依此计算。 【解答】∠2：180°－140°＝40° ∠4：180°－140°＝40° ∠3：180°－40°＝140° 因此∠2＝40°，∠3＝140°，∠4＝40°。 【练13】如图中，已知∠1＝35°，∠3是一个直角。那么，∠2＝（ ）°，∠4＝（ ）°，∠5＝（ ）°。 【答案】55 35 145 【分析】根据观察图形和对题意的了解：∠3是一个直角，根据平角＝180° ，∠1＋90°＋∠2＝180°， 已知∠1＝35°，所以∠2＝180°－∠1－90°，代入即可求出∠2的度数，据此作答； 同理可得：∠2＋90°＋∠4＝180°， 已知∠2的度数，所以∠4＝180°－∠2－90°，代入即可求出∠4的度数；根据平角＝180° ，∠4＋∠2＝180°， 已知∠4的度数，所以∠5＝180°－∠4，代入即可求出∠5的度数，据此作答。 【解答】根据分析得：已知∠1＝35°，所以∠2＝180°－∠1－90°＝180°－35°－90°＝145°－90°＝55° ∠4＝180°－∠2－90°＝180°－55°－90°＝125°－90°＝35° ∠5＝180°－∠4＝180°－35°＝145° 所以如图中，已知∠1＝35°，∠3是一个直角。那么，∠2＝55°，∠4＝35°，∠5＝145°。 【练14】如图，已知∠1＝∠2＝∠3，且图中所有锐角的和是200°，那么∠2＝（ ）°。 【答案】20 【分析】锐角是大于0°小于90°的角，观察发现∠1、∠2、∠3都是锐角，而（∠1＋∠2）、（∠2＋∠3）也是锐角，（∠1＋∠2＋∠3）还是锐角； 因为∠1＝∠2＝∠3，把∠2看成1份，图中所有的锐角有3＋2＋1＝6（个），则份数有（1＋1＋1＋2＋2＋3）份，用200除以总份数，计算出1份的度数，也就是∠2的度数；据此解答。 【解答】根据分析： 锐角个数：3＋2＋1＝6（个） 把∠2看成1份 1＋1＋1＋2＋2＋3＝10（份） 200°÷10＝20° 所以∠2＝20°。 题型8：钟表上的角度问题 【例8】如图，现在是4时整，钟面上时针和分针所成的角是（ ）°，再过30分钟，钟面上时针和分针所成的角是（ ）°。 【答案】120 45 【分析】钟面一周为360°，钟表上有12个数字，分12大格，每相邻两个数字之间的夹角为30°，每个大格30°，4时整，时针走了4大格，即4×30°＝120°；再过30分钟，即4时＋30分钟＝4时30分，4时30分，时针过了4，在4和5的中间位置，分针指在6上，时针和分针相距1个半格，半个为30°÷2＝15°，时针和分针所成的角是15°＋30°＝45°，据此解答即可。 【解答】4×30°＝120° 30°÷2＝15° 15°＋30°＝45° 现在是4时整，钟面上时针和分针所成的角是120°，再过30分钟，钟面上时针和分针所成的角是45°。 【练15】2021年3月，教育部发布了《关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知》，要求小学生每天睡眠至少应达到9小时。张桦晚上8：45睡觉，第二天早上6：45起床，这时钟面上的时针和分针成（ ）角，时针转动了（ ）度。 【答案】锐 300 【分析】6：45时分针指向9，时针指向6和7之间，这时时针和分针所成的角小于90°，所以这时钟面上的时针和分针成锐角；从晚上8：45到次日6：45共10小时。每小时转30°，10小时转动 10×30°＝300°。 【解答】6：45时分针指向9，时针指向6和7之间，这时钟面上的时针和分针成锐角； 晚上12：45－晚上8：45＝4（小时） 次日6：45－凌晨0：45＝6（小时） 4＋6＝10（小时） 10×30°＝300° 时针转动了300度。 【练16】钟面上，从6：00到9：00时针旋转了（ ）度；从9：00到9：30，分针旋转了（ ）度，从9：00到9：15，分针旋转了（ ）度。 【答案】90 180 90 【分析】旋转钟面一圈是360度，一圈有12个大格，1个大格是30度。钟面上，从6：00到9：00，时针从6旋转到9走了9－6＝3（个）大格。从9：00到9：30，分针从12到6走了6－0＝6（个）大。从9：00到9：15，分针从12到3走了3－0＝3（个）大格。分别乘每大格30度，列式计算即可。 【解答】根据分析可知： 9－6＝3（个） 30×3＝90（度） 6－0＝6（个） 30×6＝180（度） 3－0＝3（个） 30×3＝90（度） 钟面上，从6：00到9：00时针旋转了90度；从9：00到9：30，分针旋转了180度，从9：00到9：15，分针旋转了90度。 题型9：平行与垂直的认识 【例9】下面各组直线中，互相垂直的是（ ），互相平行的是（ ）。（填序号） 【答案】③ ② 【分析】同一平面内，不相交的两条直线互相平行。两条直线相交成90度，这两条直线互相垂直，其中一条直线是另一条直线的垂线。据此解答。 【解答】根据分析，互相垂直的是③，互相平行的是②。 【练17】如图的字母中，有线段互相平行的有（ ）个，有线段互相垂直的有（ ）个。 【答案】5 4 【分析】根据平行和垂直的性质：在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线；两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直；据此判断即可。 【解答】如图的字母中，有线段互相平行的有E、F、H、N、Z，共5个，有线段互相垂直的有E、F、H、L，共4个。 【练18】下面有四条直线a、b、c、d，其中（ ）和（ ）互相垂直，（ ）和（ ）互相平行。 【答案】a c b d 【分析】 两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直，a和c互相垂直；像这样不相交的两条直线互相平行，其中一条直线是另一条直线的平行线，b和d互相平行。 【解答】下面有四条直线a、b、c、d，其中a和c互相垂直，b和d互相平行。 题型10：画线（直线、射线、线段） 【例10】过下面两点画一条直线，再在上面截取一条3厘米的线段。 ·        · 【答案】见详解 【分析】画一条直线：将直尺靠近这两个点，使这两个点紧挨直尺的边缘，沿直尺画出一条直线。 截取3厘米线段：先在直线上确定一个端点，再把尺子的刻度0与端点对齐，最后从刻度0开始沿尺子画到刻度3的地方，标出右侧端点即可。 【解答】如图： 【练19】过点A和点B画一条直线，再以点B为端点画一条射线。 【答案】见详解 【分析】直线没有端点，是无限长的，因此过点A和点B用直尺画一条直的线即可；射线只有一个端点，因此以点B为端点画一条直的线即可；依此画图。 【解答】如图： 【练20】按要求画图： （1）画出射线AB、线段AC、直线BC。 （2）过点A画出直线BC的平行线。 （3）过点A画出直线BC的垂线。 【答案】见详解 【分析】（1）根据直线、射线和线段的含义：线段有2个端点，有限长，可以度量；射线有一个端点，无限长，不可度量；直线无端点，无限长，不可度量，画图即可。 （2）过直线外一点，画已知直线的平行线可以借助直尺和三角尺来完成。 1、把三角尺的一条直角边与已知直线重合。 2、用直尺紧靠着三角尺的另一条直角边，固定直尺，然后沿着直尺平移三角尺。 3、平移后，使直线外的点在三角尺的一条直角边（刚才与已知直线重合的那一条直角边）上，沿直角边画出另一条直线。 这条直线就是已知直线的平行线。 （3）过直线上或直线外一点作垂线的步骤： 1、把三角尺的一条直角边与已知直线重合。 2、沿着直线移动三角尺，使直线上或直线外的点在三角尺的另一条直角边上。 3、沿三角尺的另一条直角边画一条直线，并画上垂直符号。 这条直线就是已知直线的垂线。 【解答】 题型11：用量角器画角 【例11】以点A为顶点，引一条射线与已知直线a相交组成65°的角。 【答案】见详解 【分析】使量角器的中心和A点重合，0°刻度线和已知直线a重合，在量角器65°刻度线的地方点一个点，以A点为端点，通过刚画的点，再画一条射线，据此画出65°的角。 【解答】如图所示： 【练21】以点A为顶点，用量角器画一个90°的角。 【答案】见详解 【分析】先从点A出发画一条射线，使量角器的中心和点A重合，0刻度线和射线重合，在量角器90°的地方点一个点，以点A为端点，通过刚画的点，再画一条射线，最后标出度数即可。 【解答】如下图： 【练22】画出下面的角。 30°        65°        135° 【答案】见详解 【分析】用量角器画角的步骤： 1、两重合：先画一条射线，使量角器的中心和射线的端点重合，0°刻度线和射线重合。 2、点度数：在量角器所画角的度数对应的刻度线的地方点上一个点。 3、画射线：以画的射线的端点为端点，通过刚画的点，再画一条射线。 【解答】 题型12：用三角尺画角 【例12】用三角板画一个75度和105度的角。 【答案】见详解 【分析】先画一条射线，把射线的端点与三角尺中30°角的顶点重合，射线与30°角的一边重合，再沿着三角尺画出30°角的另一边，再把30°角的一边与三角尺中45°角的一边重合，角的顶点与45°角的顶点重合，在30°角的外部沿着45°角的另一边画出这个角的另一边，即可得到一个75°的角。因为60°与45°的和是105°，借助三角尺，再按照上面同样的方法画出这个105°的角。 【解答】30°＋45°＝75° 60°＋45°＝105° 【练23】请用三角尺画出120°和15°的角。（保留作图痕迹） 【答案】见详解 【分析】120°＝90°＋30°，则用三角尺的90°角和30°角组合在一起，就能拼出120°角。15°＝45°－30°，则用三角尺的45°角和30°角组合在一起，就能拼出15°角。 【解答】 【点评】本题考查了学生用一副三角尺拼成角度情况的掌握。用一副三角尺可以画出15°、75°、120°、150°的角，需要把一副三角尺中的两个角拼在一起来画。 【练24】过0点，用一副三角尺画一个135°的角。保留画图的痕迹。 【答案】见详解 【分析】135°＝90°＋45°，则用三角尺的90°角和45°角组合在一起，就能拼出135°角。 【解答】如下图： 【点评】本题主要考查学生用三角尺画角方法的掌握和灵活运用。 题型13：画平行线与垂线 【例13】过点P分别画直线a的垂线和直线b的平行线。 【答案】见详解 【分析】用三角板的一条直角边与已知直线a重合，沿重合的直线平移三角板，使三角板的另一条直角边和P点重合，过P沿直角边向已知直线画垂线即可。 把三角板的一条直角边与已知直线b重合，用直尺靠紧三角板的另一条直角边，沿直尺移动三角板，使三角板与P点重合，过P点沿三角板的直角边画直线即可。 【解答】过点P分别画直线a的垂线和直线b的平行线，如图所示： 【练25】如下图，过点C作一条与AB平行的直线、再画出点B到AC的垂直线段。 【答案】见详解 【分析】作平行线：把三角尺的一条直角边和已知直线AB重合，用直尺靠紧三角尺的另一条直角边，沿直尺移动三角尺，使三角尺原来和已知直线重合的直角边和C点重合，过C点沿三角尺的直角边画直线，即可画出经过C点与AB平行的直线。 作垂线：用直角三角尺的一条直角边和AC重合，移动三角尺，使三角尺的另一条直角边和点B重合，过B点沿直角边向已知直线画直线，即可画出经点B到AC的垂直线段。 【解答】如图所示： 【练26】 （1）“紫金路”穿过江北小区，与彩虹路平行，请画图并标上名称。 （2）急民小区要铺设煤气管道，与育英路上的主管道连通，要使管道最短，应该怎样铺设？请画出铺设管道的线路图。 （3）该城市计划从中心广场出发，向东南方向修建一条“阳光大道”，该道路与彩虹路之间形成一个105°角，请在图上画出这条大道。 【答案】（1）（2）（3）图见详解 【分析】（1）用三角板的一条直角边和彩虹路重合，移动三角板使另一条直角边和江北小区重合，用直尺靠紧和江北小区重合的直角边，按住直尺不动，沿直尺移动三角板，过江北小区画直线即可。 （2）直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。过急民小区作育英路的垂线，因此垂线段的位置，就是接管道的位置，据此解答即可。 （3）由题意可知，阳光大道应该在中心广场的右下角，使量角器的中心和中心广场重合，0°刻度线和彩虹路重合，然后在量角器105°刻度线的地方点一个点，最后将这个点与中心广场相连接，所形成的角为105°，据此解答即可。 【解答】（1）（2）（3）如图： 一、选择题 1．为了能尽快穿越斑马线，小希觉得应当沿垂直马路的方向走过斑马线。这一想法体现的数学依据是（    ）。 A．两点确定一直线 B．两点之间线段最短 C．过直线外一点到这条直线的垂直线段最短 D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】C 【分析】小希为尽快穿越斑马线，选择沿垂直马路的方向走，这里把马路边缘看作直线，行人位置是直线外一点，垂直马路走的路径就是“垂直线段”，对应数学中 “点到直线的垂直路径”，进而具体分析。 【解答】A．“两点确定一条直线”，强调的是通过两点可以确定一条唯一的直线，而在穿越斑马线的情境中，重点不是确定直线，而是怎样走距离最短，所以该选项不符合； B．“两点之间线段最短”，是指在平面上，连接两点的所有线中，线段的长度是最短的，但此情境中，是从直线（马路边缘可看作直线 ）外一点（行人所在位置 ）到直线（马路对面对应点 ）的最短路径问题，并非单纯的两点之间，所以该选项不符合； C．把马路的一边看作一条直线，行人所在位置是直线外一点，沿垂直马路的方向走过斑马线，对应的线段就是过直线外一点到这条直线的垂直线段。根据 “过直线外一点到这条直线的垂直线段最短”，这样走的距离最短，能尽快穿越斑马线，该选项符合； D．“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”，强调的是垂直直线的唯一性，比如过平面内一点作已知直线的垂线，只能作一条，而在穿越斑马线情境中，需要的是最短距离的依据，不是垂直直线的唯一性，所以该选项不符合。 故答案为：C 2．下列哪个角不可以用一副三角板拼成？（    ） A．15° B．110° C．75° D．120° 【答案】B 【分析】根据题意，一副三角板上角的度数有30°、45°、60°、90°， 把它们进行组合可得到的角有：30°＋45°＝75°，60°－45°＝15°，60°＋45°＝105°，60°＋90°＝150°，90°＋45°＝135°，90°＋30°＝120°，90°＋90°＝180°，据此即可解答。 【解答】根据分析可知： A．60°－45°＝15°，所以一副三角板可以拼成一个15°的角。 B．一副三角板不可以拼成一个110°的角。 C．30°＋45°＝75°，所以一副三角板可以拼成一个75°的角。 C．90°＋30°＝120°，所以一副三角板可以拼成一个120°的角。 110°不可以用一副三角板拼成。 故答案为：B 3．用一副三角尺画出的角中，最小的角与最大的角的度数分别是（    ）。 A．30°、150° B．75°、150° C．15°、180° D．30°、180° 【答案】C 【分析】一副三角尺的度数分别为30°、60°、90°；45°、45°、90°，其中45°减30°的差是15°，所以能画的最小的角是15°，90°与90°的和最大，和是180°，所以能画的最大的角是180°，据此解答。 【解答】45°－30°＝15° 90°＋90°＝180° 最小的角与最大的角的度数分别是15°、180°。 故答案为：C 4．如图是学校附近街道的平面图，图中互相平行的两条路是（    ）。 A．文化路和红星路 B．星汇路和三河路 C．文昌路和三河路 D．文化路和文昌路 【答案】D 【分析】在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行；据此将选项中的路延长看是否相交，如果相交就不平行，如果不相交就互相平行（如图）。据此解答。 【解答】A．文化路和红星路相交，所以不平行； B．星汇路和三河路相交，所以不平行； C．文昌路和三河路相交，所以不平行； D．文化路和文昌路不相交，所以互相平行。 所以，图中互相平行的两条路是文化路和文昌路。 故答案为：D 5．手工课上，同学们玩折纸游戏。明明用一张长方形纸折出了不同的角（如图所示）。如果图中∠1＝24°，那么∠2等于（    ）。 A．30° B．24° C．42° D．50° 【答案】C 【分析】明明用一张长方形纸折后，∠3和∠1重合，所以求∠2就用90°减去2个∠1即可。 【解答】90°－24°×2＝90°－48°＝42° 那么∠2等于42°。 故答案为：C 6．下面不能测量出未知角度数的方法是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据量角的步骤和方法，把量角器放在角的上面，使量角器的中心与角的顶点对齐重合。把量角器的0刻度线与角的一边重合。角的另一条边所对应的量角器刻度线的刻度就是这个角的度数。以此答题即可。 【解答】根据分析可知： A．与量角要求相符，正确。 B．与量角要求相符，正确。 C．与量角要求相符，正确。 D．量角器的中心没有与角的顶点重合。与量角要求不符，错误。 故答案为：D 7．如图，一只老虎追赶一只狐狸，狐狸慌不择路掉进了河里。狐狸想尽快上岸，又不能被老虎抓住。聪明的狐狸怎么逃生呢？它会选择下面（    ）线路。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】狐狸要想不被老虎抓住，不能逃向老虎所在的岸边，应向对岸逃去。只有OC和OD可以选择。从直线外一点到这条直线所画的垂直线段的长度，叫做点到直线的距离。垂直线段最短。据此可以解答。 【解答】由分析知，OC这条垂线就是狐狸的逃生路线。 故答案为：C 8．下面说法不正确的是（    ）。 A．按如图这样测量跳远成绩，是因为点到直线的距离最短 B．过直线外一点画已知直线的垂线，只能画一条 C．最大的三位数除以两位数，商一定是两位数 D．一枚硬币，齐齐抛了5次都是正面朝上，他抛第6次一定是反面朝上 【答案】D 【分析】A．因为点到直线的距离中，垂线段最短。 B．如图，过直线外一点画已知直线的垂线，只能画一条。 C．最大的三位数是999，这个数除以两位数，如果除以最大的两位数99，商的十位上就是1，商就是两位数，最大的三位数除以最大的两位数，商都是两位数，最大的三位数除以其它的两位数，商一定也是两位数。 D．抛硬币正面和反面朝上的可能性相同，所以第6次可能是反面朝上，也可能是正面朝上。 【解答】A．按如图这样测量跳远成绩，是因为点到直线的距离最短。说法正确。 B．过直线外一点画已知直线的垂线，只能画一条。说法正确。 C．最大的三位数除以两位数，商一定是两位数。说法正确。 D．一枚硬币，齐齐抛了5次都是正面朝上，他抛第6次反面有可能朝上。原题说法不正确。 故答案为：D 二、填空题 9．钟面上的分针从12起转到2，形成的角是（ ）度，它是（ ）角。 【答案】60 锐 【分析】钟面一周为360°，钟表上有12个数字，分12大格，每相邻两个数字之间的夹角为30°，每个大格30°，从12时到2时，时针走了2个大格，时针走了2×30°＝60°，60°的角是锐角，据此解答即可。 【解答】2×30°＝60° 钟面上的分针从12起转到2，形成的角是60度，它是锐角。 10．把线段的两端都无限延长，就得到一条（ ）。（ ）和（ ）都是无限长的。把一个长方形纸对折再对折，两条折痕互相（ ）。 【答案】直线 直线 射线 平行或垂直 【分析】线段有两个端点，长度有限可以测量长度；射线只有一个端点，可以向一端无限延长，长度无限无法测量长度；直线没有端点，可以向两端无限延长，长度无限无法测量长度； 在同一平面内不相交的两条直线互相平行，在同一平面内相交成直角的两条直线互相垂直；把长方形对折再对折，如果两次对折的方向相同，则两条折痕不会相交，即互相平行，如果两次对折的方向不同，即一次沿长对折，一次沿宽对折，则两条折痕会相交成直角，即互相垂直。据此解答。 【解答】根据分析可知： 把线段的两端都无限延长，就得到一条直线。直线和射线都是无限长的。把一个长方形纸对折再对折，两条折痕互相平行或垂直。 11．如下图，其中有（ ）条线段，（ ）条射线，（ ）条直线。       【答案】3 12 3 【分析】直线是直的，没有端点，无限长，可以向两端无限延长。射线是直的，有1个端点，无限长，可以向一端无限延长。线段是直的，有2个端点，有限长。 （1）线段有两个端点，所以AB、AC、BC是线段，一共有3条； （2）  射线只有一个端点，以A为端点的射线有4条，以B为端点的射线有4条，以C为端点的射线有4条，4＋4＋4＝12（条），一共有12条； （3）直线没有端点，一共有3条。 【解答】根据分析可知： 图中有3条线段，12条射线，3条直线。 12．数一数，下面图形中各有几个直角？                 （ ）个     （ ）个     （ ）个     （ ）个 【答案】6 4 8 16 【分析】在三角板上，最大的角就是直角，比直角大的角是钝角，比直角小的角是锐角；用三角板上的直角比一比，和直角完全重合的角就是直角，数一数各图形中直角的个数填入空中即可 ；据此解答。 【解答】由分析可得：                 6个               4个              8个             16个 13．10时整，钟面上时针和分针组成的角是（ ）角，6时整，钟面上时针和分针组成的角是（ ）角。 【答案】锐 平 【分析】钟面上12个数字，以表芯为旋转点，表针转一圈是360°，被12个数字平均分成12份，每一份也就是两数之间夹角是30°；10时整，时针指向10，分针指向12，相差2个大格，夹角为30°×2＝60°，大于0°小于90°的角是锐角；6时整，时针指向6，分针指向12，时针和分针相差6个大格，夹角为30°×6＝180°，180°的角是平角。 【解答】360°÷12＝30° 30°×2＝60° 30°×6＝180° 10时整，钟面上时针和分针组成的角是锐角，6时整，钟面上时针和分针组成的角是平角。 14．下图中，∠1＝60°，∠2＝（ ）°，∠3＝（ ）°，∠4＝（ ）°。 【答案】120 60 120 【分析】从图中可知，∠1加∠2是一个平角为180°，用180°减去∠1的度数即可得到∠2的度数；∠2加∠3是一个平角为180°，用180°减去∠2的度数即可得到∠3的度数；∠1加∠4是一个平角为180°，用180°减去∠1的度数即可得到∠4的度数。 【解答】∠1＝60° ∠2＝180°－60°＝120° ∠3＝180°－120°＝60° ∠4＝180°－60°＝120° 则∠1＝60°，∠2＝120°，∠3＝60°，∠4＝120°。 15．补充完整下表。 图形 平行线段的组数 2 垂直线段的组数 【答案】见详解 【分析】两条直线相交成直角时，这两条直线相互垂直。在同一平面内不相交的两条直线互相平行。 （1）由图可知，平行四边形的上下两条边、左右两条边互相平行，即有2组平行线段。没有边互相垂直，所以有0组垂直线段。 （2）由图可知，梯形的上下两条边互相平行，即只有1组平行线段。没有边互相垂直，所以有0组垂直线段。 （3）由图可知，正方形的上下两条边、左右两条边互相平行，即有2组平行线段。相邻的两条边互相垂直，所以有4组垂直线段。 【解答】 图形 平行线段的组数 2 1 2 垂直线段的组数 0 0 4 16．观察下面的字母。 E  F  H  L  T  Z  K  N （1）有互相垂直的字母是： ； （2）有互相平行的字母是： ； （3）既有互相平行又有互相垂直的字母是： 。 【答案】（1）E、F、H、L、T、K （2）E、F、H、Z、N （3）E、F、H 【分析】根据垂直和平行的性质：在同一平面内相交成直角的两条直线叫做互相垂直，不相交的两条直线叫做平行线，由此去判断每个字母是有互相垂直还是有互相平行。 【解答】（1）有互相垂直的字母是：E、F、H、L、T、K； （2）有互相平行的字母是：E、F、H、Z、N； （3）既有互相平行又有互相垂直的字母是：E、F、H。 三、计算题 17．如下图，直线m与直线n互相垂直，∠1＝35°，求∠2的度数。 【答案】55° 【分析】根据直线m与直线n互相垂直可得：∠1＋∠2＝90°，则用90°减去∠1的度数即可。 【解答】∠1＋∠2＝90° ∠2＝90°－∠1 ∠2＝90°－35° ∠2＝55° 四、操作题 18．小青蛙要从点A游到小河的对岸去，怎样游路线最短？请在图中画出来。 【答案】见详解 【分析】点到直线的距离垂线段最短，所以过A点作河对岸的垂线段为最短线路。 【解答】如图： 线段AB即为最短路线。 19．（1）过点A画出已知直线的平行线和垂线。 （2）以点B为顶点，画一个直角。 【答案】（1）（2）见详解 【分析】（1）过直线上或直线外一点作垂线的步骤：把三角尺的一条直角边与已知直线重合；沿着直线移动三角尺，使直线上或直线外的点在三角尺的另一条直角边上；沿三角尺的另一条直角边画一条直线，并画上垂直符号。这条直线就是已知直线的垂线。 画已知直线的平行线可以借助直尺和三角尺来完成：固定三角尺，沿一条直角边先画一条直线或先让三角形的直角边与已知直线重合；用直尺紧靠着三角尺的另一条直角边，固定直尺，然后沿着直尺平移三角尺直至三角尺的直角边经过已知的点；最后，沿直角边画出另一条直线。 （2）用量角器画角的步骤：两重合：先画一条射线，使量角器的中心和射线的端点重合，0°刻度线和射线重合；点度数：在量角器所画角的度数对应的刻度线的地方点上一个点；画射线：以画的射线的端点为端点，通过刚画的点，再画一条射线。 【解答】 20．以下面的射线为角的一条边，用量角器分别画出50°和125°的角。 【答案】画图见详解 【分析】根据用量角器画角的方法，把量角器的中心点与射线的端点重合，把0°刻度线与射线重合，再从这条0°刻度线数到要画的刻度，打上一点，连接射线的端点和这一点画另一条射线，再标上角的符号和度数，即画出指定的角。据此作图。 【解答】根据分析作图如下： 五、解答题 21．下图是用一副三角尺拼成的图形，是多少度？ 【答案】75° 【分析】一副常见的三角尺分别是45°、45°、90°与30°、60°、90°的两个直角三角形。将它们如图所示放置在同一水平线上时：左边的45°三角尺的斜边与底边所成的角是45°；右边的30°、60°三角尺的斜边与底边所成的角是60°。45°、60°和∠1在同一直线上组成了平角（180°），∠1 就是 180°－（45°＋ 60°）。 【解答】180°－（45°＋ 60°） ＝180°－105° ＝75° 答：是75° 22．小兔和小狗分别从A点和B点同时向房子跑去。 （1）如果它们的速度相同，你觉得（    ）先到达。 （2）请写出你的理由。 【答案】（1）小狗 （2）因为从直线外一点到这条直线所画的线段中，垂线段最短，即B点到小房子的距离比A点到房子的距离短，所以小狗先到达。 【分析】（1）观察发现A点和B点在同一条直线上，从直线外一点到这条直线的线段中，垂直线段最短，这条垂直线段的长度叫做点到直线的距离； （2）根据点到直线的垂直线段最短这个概念说明理由，合理即可；据此解答。 【解答】根据分析： （1）如果它们的速度相同，你觉得小狗先到达。 （2）答：因为从直线外一点到这条直线所画的线段中，垂线段最短，即B点到小房子的距离比A点到房子的距离短，所以小狗先到达。 23．在下图中，有几条射线？组成了几个角？ 【答案】3条；3个 【分析】图中有一个点，这个点既是射线的端点，也是角的顶点；这几条射线可以两两组合，再加上顶点，可以组成不同的几个角，据此解答。 【解答】从端点出发，向三个方向射出三条线，所以有3条射线； 如下图所示，射线a和射线b可以组成∠1，射线b和射线c可以组成∠2，射线a和射线c可以组成∠3，所以组成了3个角。 答：有3条射线，组成了3个角。 24．下面是一张长方形纸折起来以后形成的图形。已知∠1＝50°，∠2是多少度？ 【答案】65° 【分析】 由题意得，将长方形纸折起来后，∠3和∠2同样大，这两个角和∠1合起来组成了一个平角。∠1＝50°，直接用180°减去∠1的度数即可算出∠3和∠2的度数之和，再除以2即可算出∠2的度数。 【解答】180°－50°＝130° ∠2＝130°÷2＝65° 答：∠2是65°。 25．从点A起，向不同的方向画射线，并填一填。 A （1）画两条射线，有（    ）个角。 （2）再画一条射线，增加了（    ）个角。 （3）再画一条射线，又增加了（    ）个角。 （4）现在一共有（    ）个角。 【答案】（1）图见详解；1 （2）图见详解；2 （3）图见详解；3 （4）6 【分析】（1）射线有一端有端点，另一端可无限延长，以A点为端点向一方画出两条直直的线，即是射线；再根据角的定义即可求解。 （2）根据射线的定义画出第三条射线，再根据角的定义数出增加了几个角。 （3）先根据射线的定义再画一条射线，再根据角的定义数出又增加了几个角。 （4）把前面角的个数相加即可求解。 【解答】 （1） 画两条射线，有1个角。 （2） 再画一条射线，增加了2个角。 （3） 再画一条射线，又增加了3个角。 （4）1＋2＋3＝6（个） 现在一共有6个角。 26．下面钟面上的分针，从指向12起各走了多少分钟？形成的角各是什么角，分别是多少度？ 【答案】（1）5分钟；锐角；30°；（2）15分钟；直角；90°；（3）30分钟；平角；180°；（4）60分钟；周角；360° 【分析】分针走1小格为1分钟，1个大格为5分钟，分针从12起走了几个大格就是几个5分钟；钟面一周为360°，钟面被12个数字平分成12个大格，每相邻两个数字之间的夹角为360°÷12＝30°，分针经过几个大格就有几个30°，大于0°小于90°的角是锐角，等于90°的角是直角，大于90°小于180°的角是钝角，等于180°的角是平角，等于360°的角是周角，据此解答即可。 【解答】（1）分针走了1个大格为5分钟，经过的角为1×30°＝30°，形成的角是锐角； （2）分针走了3个大格为3×5＝15（分钟），经过的角为3×30°＝90°，形成的角是直角； （3）分针走了6个大格为6×5＝30（分钟），经过的角为6×30°＝180°，形成的角是平角； （4）分针走了12个大格为12×5＝60（分钟），经过的角为12×30°＝360°，形成的角是周角。 27． （1）上面图①中，∠1是∠2的2倍，∠3＝______。 （2）在上图②中，过C点分别画出OB边的垂线，OA边的平行线。 （3）在上图③中，小明在A点，要到河里取水，画出最节省的行走线路。 【答案】（1）60° （2）见详解 （3）见详解 【分析】（1）∠1＝90°－∠2，∠3＝90°－∠2，所以∠1＝∠3。因为∠1是∠2的2倍，和÷倍数和＝1倍数，用90°除以（2＋1）倍即可算出∠2的度数，∠2的度数乘2，可以算出∠1的度数，也就是∠3的度数。 （2）用直角三角尺的一条直角边和OB重合，移动三角尺，使三角尺的另一条直角边和点C重合，过C点沿直角边向OB画直线即可。把三角尺的一条直角边和OA重合，用直尺靠紧三角尺的另一条直角边，沿直尺移动三角尺，使三角尺原来和OA重合的直角边和C点重合，过C点沿三角尺的直角边画直线即可。 （3）连接点到直线的线段中，垂线段最短。据此画出点A到河岸的垂线段即可。 【解答】（1）90°÷（2＋1） ＝90°÷3 ＝30° 30°×2＝60° 上面图①中，∠1是∠2的2倍，∠3＝60°。 （2） （3） 28．下面是某街区的平面示意图，根据示意图解决问题。 （1）人民路经过红旗广场，与城北路平行，请在图中画出人民路。 （2）红十字医院要安装液化气管道，主管道在城北路上，要使管道长度最短，应该怎样安装？在图中画出来。 （3）用量角器可以量出，∠1的度数是（    ）°。 【答案】（1）见详解 （2）见详解 （3）60 【分析】（1）作经过红旗广场与城北路平行的平行线，过直线外一点画平行线：固定三角尺，将一条直角边与城北路重合；用直尺紧靠着三角尺的另一条直角边，固定直尺，然后沿着直尺平移三角尺；平移后与红旗广场重合，沿直角边画出另一条直线； （2）作红十字医院到城北路的垂线，过直线外一点作垂线的步骤：把三角尺的一条直角边与城北路重合；沿着直线移动三角尺，使直线外的红十字医院在三角尺的另一条直角边上；沿三角尺的另一条直角边画一条直线，并画上垂直符号；这条直线就是已知直线的垂线； （3）角的度量方法：用量角器量角时，先把量角器的中心与角的顶点重合，0°刻度线与角的一条边重合，角的另一条边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数；据此解答。 【解答】根据分析： （1）（2）如图： （3）用量角器可以量出，∠1的度数是60°。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $