专题05 指数的概念及性质6大考点（期末真题汇编，青海、宁夏专用）高一数学上学期人教A版

专题05 指数函数的概念及性质 6大高频考点概览 考点01 与指数有关的计算、求值 考点02 指数函数的图象 考点03 指数函数的性质 考点04 指数函数比较大小 考点05 指数型复合函数 考点06 指数函数的应用 地 城 考点01 与指数有关的计算、求值 一、单选题 1．(23-24高一上·宁夏银川唐徕中学·期末)已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 2．(23-24高一上·宁夏固原·期末)下列函数中，最小值为4的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 3．(23-24高一上·青海西宁大通县·期末)计算： ． 4．(22-23高一上·宁夏银川一中·期末) . 5．(22-23高一上·宁夏银川第二中学·期末)若，则 . 6．(24-25高一上·宁夏石嘴山·期末)已知，，则 ．（用数字作答） 7．(24-25高一上·宁夏银川一中·期末)已知，，则的值为 ． 8．(22-23高一上·青海西宁·期末)已知，，，则实数a的取值范围是 ． 四、解答题 9．(22-23高一上·青海西宁·期末)计算下列各式的值： (1)； (2)． 地 城 考点02 指数函数的图象 一、单选题 1．(24-25高一上·宁夏银川景博中学·期末)函数的图象大致为（   ） A．   B．   C．   D．   2．(24-25高一上·宁夏银川第二中学·期末)函数的部分图象可能是（    ） A．B．C．D． 二、填空题 3．(23-24高一上·青海西宁·期末)A､B､C三个物体同时从同一点出发向同向而行，位移关于时间的函数关系式分别为，则下列结论中，所有正确结论的序号是 . ①当时，A总走在最前面； ②当时，C总走在最前面； ③当时，一定走在前面. 三、解答题 4．(24-25高一上·宁夏银川一中·期末)已知函数，函数，，用表示，中的较大者，记为．    (1)用解析法表示函数，并画出函数的图像； (2)根据图像写出函数的单调区间，值域； (3)解不等式. 地 城 考点03 指数函数性质 一、单选题 1．(24-25高一上·宁夏吴忠吴忠中学·期末)已知是定义在R上的偶函数，且周期.若当时，，则（    ） A．4 B．16 C． D． 2．(24-25高一上·宁夏银川唐徕中学·期末)若函数，且在上的最大值与最小值的差为，则a的值为（    ） A． B． C．或2 D．或 3．(23-24高一上·青海海北州·期末)已知函数的最小值大于4，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．(22-23高一上·宁夏银川第二中学·期末)下列说法错误的是（    ） A．函数（且）的图像恒过定点 B．方程的根所在的区间为 C．函数的最小值为 D．函数的单调递增区间为 5．(23-24高一上·宁夏固原·期末)设函数，集合，则下列命题正确的是（    ） A．当时， B．当时 C．若，则k的取值范围为 D．若（其中），则 三、填空题 6．(23-24高一上·青海西宁大通县·期末)记表示不超过x的最大整数，例如，，已知函数则 ；若函数恰有3个零点，则实数a的取值范围是 ． 四、解答题 7．(24-25高一上·宁夏银川景博中学·期末)已知函数且 (1)求函数解析式； (2)求函数在上的值域. 8．(22-23高一上·青海西宁大通回族土族自治县·期末)已知函数的图象过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交. (1)求该函数的解析式； (2)判断该函数的奇偶性和单调性. 地 城 考点04 指数函数比较大小 一、单选题 1．(24-25高一上·宁夏银川第二中学·期末)已知，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高一上·宁夏吴忠同心县四校·期末)设，则（    ） A． B． C． D． 3．(24-25高一上·宁夏银川一中·期末)设，，，则（    ） A． B． C． D． 4．(23-24高一上·青海西宁大通县·期末)若，，，则（    ） A． B． C． D． 5．(23-24高一上·宁夏青铜峡宁朔中学·期末)若，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 6．(23-24高一上·宁夏银川第二中学·期末)设，，，则（    ） A． B． C． D． 7．(23-24高一上·青海西宁·期末)设，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 8．(22-23高一上·宁夏银川一中·期末)已知实数满足（），则下列关系式恒成立的是（   ） A． B．ln＞ln C． D． 9．(23-24高一上·宁夏银川一中·期末)已知实数满足，则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 二、多选题 10．(23-24高一上·宁夏银川唐徕中学·期末)（多选）以下关于数的大小的结论正确的是（　　） A． B． C． D． 11．(24-25高一上·宁夏吴忠吴忠中学·期末)若，则下列关系正确的是（   ）． A． B． C． D． 地 城 考点05 指数型复合函数 一、单选题 1．(23-24高一上·青海西宁·期末)函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 2．(23-24高一上·宁夏银川第二中学·期末)已知函数（且）的图象恒过定点A，若点A在一次函数的图象上，其中实数m，n满足，则的最小值为 . 3．(23-24高一上·宁夏固原·期末)已知定义在R上的函数满足，且当时，，若对任都有，则m的取值范围是 ． 4．(23-24高一上·宁夏银川金凤区唐徕中学·期末)函数，设函数的最大值为，最小值为，则的值为 . 三、解答题 5．(24-25高一上·宁夏吴忠青铜峡第一中学·期末)已知定义域为的函数是奇函数. (1)求的值； (2)证明在上的单调性. (3)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 6．(24-25高一上·宁夏吴忠吴忠中学·期末)已知函数为奇函数． (1)求实数的值并判断的单调性（无需证明）； (2)若，求的取值范围； (3)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 7．(23-24高一上·宁夏石嘴山·期末)已知函数是奇函数. （1）求a，b的值； （2）证明：是区间上的减函数； （3）若，求实数m的取值范围. 8．(24-25高一上·宁夏银川一中·期末)已知函数，且． (1)求的值； (2)若函数存在零点，求a的取值范围； (3)若，证明：． 9．(23-24高一上·宁夏银川育才中学·期末)已知定义在上的函数是奇函数． (1)求实数，的值； (2)判断函数的单调性； (3)若，不等式有解，求实数的取值范围． 10．(22-23高一上·宁夏银川一中·期末)已知函数f(x)＝a－(x∈R)． (1)用定义证明：不论a为何实数，f(x)在R上为增函数； (2)若f(x)为奇函数，求a的值； (3)在（2）的条件下，求f(x)在区间[1，5]上的最小值． 11．(23-24高一上·青海西宁·期末)已知函数，且． (1)判断函数在上的单调性，并用定义法证明； (2)若，求的取值范围． 地 城 考点06 指数函数的应用 一、单选题 1．(24-25高一上·宁夏吴忠同心县四校·期末)已知某种蔬菜的保鲜时间（单位：小时）与储藏温度（单位：）近似满足函数关系（为常数，为自然对数底数），若该品种蔬菜在时的保鲜时间为小时，在时的保鲜时间为小时，则在时，该品种蔬菜的保鲜时间大约为（    ） A．小时 B．小时 C．小时 D．小时 2．(23-24高一上·宁夏银川育才中学·期末)国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京2022年冬奥会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到了真正的智慧场馆、绿色场馆，并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水、雨水过滤系统，已知过滤过程中废水的污染物数量（mg/L）与时间的关系为（为最初污染物数量）.如果前2个小时消除了20%的污染物，那么前6个小时消除了污染物的（    ） A．51.2% B．48.8% C．52% D．48% 3．(23-24高一上·宁夏银川金凤区唐徕中学·期末)我们比较熟悉的网络新词，有“yyds”、“内卷”、“躺平”等，定义方程的实数根x叫做函数的“躺平点”．若函数，，的“躺平点”分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 4．(24-25高一上·宁夏吴忠吴忠中学·期末)国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京2022年冬奥会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到了真正的智慧场馆、绿色场馆，并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水、雨水过滤系统，已知过滤过程中废水的污染物数量与时间的关系（为最初污染物数量）．如果前2个小时消除了的污染物，那么污染物消除至最初的还要 小时． 5．(23-24高一上·宁夏石嘴山·期末)我们知道，函数的图象关于轴成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数.已知函数，则该函数图象的对称轴为 ；若该函数有唯一的零点，则 . 三、解答题 6．(24-25高一上·宁夏石嘴山·期末)若函数在定义域内存在实数，使得成立，则称函数有“飘移点”. (1)函数是否有“飘移点”？请说明理由； (2)证明：函数在上有“飘移点”； (3)若函数在上有“飘移点”，求实数的取值范围. 试卷第1页，共3页 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 指数函数的概念及性质 6大高频考点概览 考点01 与指数有关的计算、求值 考点02 指数函数的图象 考点03 指数函数的性质 考点04 指数函数比较大小 考点05 指数型复合函数 考点06 指数函数的应用 地 城 考点01 与指数有关的计算、求值 一、单选题 1．(23-24高一上·宁夏银川唐徕中学·期末)已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由指数函数性质得，再求集合运算即可. 【详解】解：由得， 所以，或， 因为， 所以或，即 故选：D 二、多选题 2．(23-24高一上·宁夏固原·期末)下列函数中，最小值为4的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据均值不等式成立的条件可判断ABC，根据可取负值判断B即可. 【详解】对于A,由均值不等式可得，当且仅当时等号成立，故A正确； 对于B, 由时，显然，故B不正确； 对于C, 由均值不等式可得，当且仅当时等号成立，故4不是最小值，故C错误； 对于D，由均值不等式，当且仅当，即时，等号成立, 故D正确. 故选：AD 三、填空题 3．(23-24高一上·青海西宁大通县·期末)计算： ． 【答案】0 【分析】直接利用指数对数的运算法则求解. 【详解】因为，，， 所以. 故答案为：0 4．(22-23高一上·宁夏银川一中·期末) . 【答案】2 【分析】根据指对运算计算得出答案. 【详解】， ， ， ， 故答案为：2. 5．(22-23高一上·宁夏银川第二中学·期末)若，则 . 【答案】3 【分析】由分段函数的定义区间和解析式，直接求值. 【详解】由，. 故答案为：3 6．(24-25高一上·宁夏石嘴山·期末)已知，，则 ．（用数字作答） 【答案】6 【分析】将对数式化为指数式，利用指数幂的运算法则计算出结果. 【详解】因为，所以，故. 故答案为：6 7．(24-25高一上·宁夏银川一中·期末)已知，，则的值为 ． 【答案】 【分析】利用指对互化和对数换底公式求得即可得出结果. 【详解】∵，， ∴. ∴. 故答案为： 8．(22-23高一上·青海西宁·期末)已知，，，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先根据求出，分，，三种情况，结合求出实数a的取值范围，利用来验证，最终求出答案. 【详解】，而单调递减， 故， 若，由可得，故， 此时，满足要求， 若，此时，不合要求， 若，由可得，故，此时，不合要求. 故答案为： 四、解答题 9．(22-23高一上·青海西宁·期末)计算下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用分数指数幂和根式运算法则计算即可； （2）利用对数运算法则计算即可. 【详解】（1）； （2）． 地 城 考点02 指数函数的图象 一、单选题 1．(24-25高一上·宁夏银川景博中学·期末)函数的图象大致为（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】根据条件，可判断出为偶函数，可排除选项C和D，再利用当时，，可排除选项B，即可求解. 【详解】易知的定义域为，关于原点对称， 又，所以为偶函数，所以选项C和D错误， 又当时，，所以当时，，所以选项B错误， 故选：A. 2．(24-25高一上·宁夏银川第二中学·期末)函数的部分图象可能是（    ） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】先求的定义域，再判断奇偶性，最后取特殊值判断即可. 【详解】由题意可知：的定义域为，定义域关于原点对称， 因为， 所以是奇函数，排除C选项； 取，则； 取，则，排除B、D选项； 故选：A. 二、填空题 3．(23-24高一上·青海西宁·期末)A､B､C三个物体同时从同一点出发向同向而行，位移关于时间的函数关系式分别为，则下列结论中，所有正确结论的序号是 . ①当时，A总走在最前面； ②当时，C总走在最前面； ③当时，一定走在前面. 【答案】①② 【分析】画出三函数的图象，结合三种类型函数的增长速度，数形结合得到结论. 【详解】在同一坐标系内画出的函数图象， 当时，指数函数的增长速度>幂函数的增长速度>对数函数的增长速度， 当时，，故当时，A总走在最前面，①正确； 当时，由图象可知：C总走在最前面，②正确； 当时，， 当时，， 由于幂函数的增长速度>对数函数的增长速度， 故时，B走在C前面， 当时，走在后面，③错误. 故答案为：①② 三、解答题 4．(24-25高一上·宁夏银川一中·期末)已知函数，函数，，用表示，中的较大者，记为．    (1)用解析法表示函数，并画出函数的图像； (2)根据图像写出函数的单调区间，值域； (3)解不等式. 【答案】(1)，作图见解析 (2)函数在区间单调递减；在单调递增，值域为 (3) 【分析】（1）先根据指数函数单调性和一次函数的单调性及，从而求得函数值大小关系，然后根据新定义可求的解析式，然后根据指数函数图象和一次函数图象作出分段函数图象； （2）根据（1）中的图象直接写出单调递减区间并求出值域； （3）令，则，解得，再分类讨论求解，即可得解. 【详解】（1）函数在R上单调递增，函数在R上单调递减， 又，所以时，，时，， 所以， 作图如下：    （2）由图象可知函数在区间单调递减；在单调递增，值域为； （3）令，则，所以，解得，所以， 当时，，解得； 当时，，解得， 综上：不等式的解集为. 地 城 考点03 指数函数性质 一、单选题 1．(24-25高一上·宁夏吴忠吴忠中学·期末)已知是定义在R上的偶函数，且周期.若当时，，则（    ） A．4 B．16 C． D． 【答案】B 【分析】由函数的奇偶性和周期性求解即可. 【详解】因为. 故选：B. 2．(24-25高一上·宁夏银川唐徕中学·期末)若函数，且在上的最大值与最小值的差为，则a的值为（    ） A． B． C．或2 D．或 【答案】D 【分析】根据指数函数的单调性分类讨论即可求出a的值. 【详解】解：当时，在单调递减， 即， 解得：或(舍)； 当时，在单调递增， 即， 解得：或(舍)； 综上所述：或. 故选：D. 3．(23-24高一上·青海海北州·期末)已知函数的最小值大于4，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用基本不等式求函数最小值，由最小值大于4，解不等式得的取值范围. 【详解】因为，所以， 当且仅当，即，即时，等号成立， 所以的最小值为. 由，得，则的取值范围是. 故选：D 二、多选题 4．(22-23高一上·宁夏银川第二中学·期末)下列说法错误的是（    ） A．函数（且）的图像恒过定点 B．方程的根所在的区间为 C．函数的最小值为 D．函数的单调递增区间为 【答案】AC 【分析】A选项：由指数函数的性质判断函数的图像恒过定点问题； B选项：由零点存在定理判断方程的根所在的区间； C选项：利用配方法及三角函数的值域求解函数的最小值； D选项：利用复合函数单调性求解函数的单调递增区间. 【详解】对于A：，函数（且）的图像恒过定点，A选项错误； 对于B：令，函数在R上单调递增，，，所以方程的根所在的区间为，B选项正确； 对于C：函数，由，故当时，有最小值0，C选项错误； 对于D：函数在上单调递增，在上单调递减，函数在定义域内单调递减，由复合函数的单调性可知，函数的单调递增区间为，D选项正确. 故选：AC 5．(23-24高一上·宁夏固原·期末)设函数，集合，则下列命题正确的是（    ） A．当时， B．当时 C．若，则k的取值范围为 D．若（其中），则 【答案】ABD 【分析】A解一元二次方程直接求解集即可；B由题设易知集合中方程无解即可判断；C、D画出的图象，令根据二次函数的性质及所得的图象判断正误即可. 【详解】A：时，或，结合解析式：时有或，时有，所以，正确； B：时，方程无解，则，正确； 由解析式可得其函数图象如下图示： 令，开口向上且对称轴为， 若，则，即，有以下情况： 1、，： 此时，令，则在上有一个零点， ∴，可得， 2、，，由A知：. 综上：，故C错误； 若，由函数的性质及图象知：必有，. 此时，，， 所以，，所以，故D正确. 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：C、D选项中，画出大致图象，结合二次函数的性质判断给定集合对应的的可能取值，再结合图象判断正误. 三、填空题 6．(23-24高一上·青海西宁大通县·期末)记表示不超过x的最大整数，例如，，已知函数则 ；若函数恰有3个零点，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 0 【分析】直接代入可求得；有3个零点方程有3个不同的实数根，即的图象与函数的图象有3个交点，数形结合可求. 【详解】； 有3个零点方程有3个不同的实数根，即的图象与函数的图象有3个交点， 由题可知当，显然不成立，所以，做出与的图象如图． 两函数图象在y轴的左侧只有1个交点，故y轴右边有2个交点， 则，解得． 故答案为：0； 四、解答题 7．(24-25高一上·宁夏银川景博中学·期末)已知函数且 (1)求函数解析式； (2)求函数在上的值域. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由列式求出即得函数解析式. （2）令，求出二次函数在闭区间上的最值即可得值域. 【详解】（1）函数中，由，得，即， 而且，解得，所以. （2）令，当时，，则， 当时，；当时，，所以在上的值域为. 8．(22-23高一上·青海西宁大通回族土族自治县·期末)已知函数的图象过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交. (1)求该函数的解析式； (2)判断该函数的奇偶性和单调性. 【答案】(1)； (2)偶函数，在上为增函数，在上为减函数. 【分析】（1）由题得，，即得解； （2）利用函数的奇偶性定义证明函数是偶函数，再判断函数的单调性得解. 【详解】（1）解：由题得， ∵∴. ∴. （2）解：函数的定义域为R，且. ∴是偶函数. 当时，，由复合函数的单调性原理得此时函数是增函数. ∴在上为增函数，在上为减函数. 地 城 考点04 指数函数比较大小 一、单选题 1．(24-25高一上·宁夏银川第二中学·期末)已知，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数、对数函数以及正弦函数的单调性，可得答案. 【详解】由函数为增函数，则；由函数为增函数，则； 由函数在上单调递增，则. 综上可得，，所以. 故选：D. 2．(24-25高一上·宁夏吴忠同心县四校·期末)设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用指数函数与对数函数的单调性与“0，1”比较即可. 【详解】 ． 故选：A． 3．(24-25高一上·宁夏银川一中·期末)设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数、对数函数及正弦函数的性质判断即可. 【详解】，，， 所以. 故选：B. 4．(23-24高一上·青海西宁大通县·期末)若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】利用指数函数、对数函数的单调性，借助中间值即可比较大小. 【详解】，，， . 故选：D. 【点睛】本题考查了指数函数、对数函数的单调性，在指数式与对数式比较大小时，常常借助中间值进行比较，属于基础题. 5．(23-24高一上·宁夏青铜峡宁朔中学·期末)若，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由对数函数和指数函数的性质可得. 【详解】，且， ， ， 故， 故选：A. 6．(23-24高一上·宁夏银川第二中学·期末)设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数的单调性、对数函数的单调性、幂函数的单调性比较即可求解. 【详解】是增函数， ， 是减函数，在上是增函数， 故选：B 7．(23-24高一上·青海西宁·期末)设，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数的运算以及指数的性质即可求解. 【详解】，，， 所以， 故选：C 8．(22-23高一上·宁夏银川一中·期末)已知实数满足（），则下列关系式恒成立的是（   ） A． B．ln＞ln C． D． 【答案】D 【分析】由（）得，根据基本初等函数单调性逐个判断即可，或举出反例排除. 【详解】由（）得， 对A，，不恒成立，A错； 对B，ln＞ln，不恒成立，B错； 对C，三角函数有周期性，不恒成立，C错； 对D，，D对. 故选：D. 9．(23-24高一上·宁夏银川一中·期末)已知实数满足，则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依题意，将原不等式变形为，构造函数，根据单调性可判断在单调递增，进而得到，然后分别判断四个选项即可. 【详解】依题意，变形为， 设，定义域为，其中，在单调递增， 所以在单调递增， 又因为，所以， 当时，，，，成立， 当时，，无法判断与0的关系， 故选：D. 二、多选题 10．(23-24高一上·宁夏银川唐徕中学·期末)（多选）以下关于数的大小的结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由指数函数的性质判断即可. 【详解】对于选项A：因为指数函数在上单调递增，且，，所以选项A正确， 对于选项B：∵指数函数在上单调递减，且，所以选项B正确， 对于选项C：，所以选项C不正确， 对于选项D：，且，∴，所以D正确． 故选：ABD． 11．(24-25高一上·宁夏吴忠吴忠中学·期末)若，则下列关系正确的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据条件，利用的单调性，可得，即可判断选项A的正误，再利用，对其余各个选项分析判断，即可求解. 【详解】由，得到， 易知在定义域上单调递增，得到，所以选项A正确， 对于选项B，取，显然有，但，所以选项B错误， 对于选项C，因为在定义域上单调递减，所以，即，所以选项C正确， 对于选项D，若，则，所以选项D错误， 故选：AC. 地 城 考点05 指数型复合函数 一、单选题 1．(23-24高一上·青海西宁·期末)函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合函数有意义的条件计算即可得. 【详解】由题意可知，，解得且； 故该函数定义域为. 故选：B. 二、填空题 2．(23-24高一上·宁夏银川第二中学·期末)已知函数（且）的图象恒过定点A，若点A在一次函数的图象上，其中实数m，n满足，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据指数函数的性质可得定点的坐标，从而可得，再利用基本不等式即可得的最小值. 【详解】函数（且）的图象恒过定点A，则， 又点A在一次函数的图象上，所以，故， 又， 所以， 当且仅当，即时等号成立，即的最小值为. 故答案为：. 3．(23-24高一上·宁夏固原·期末)已知定义在R上的函数满足，且当时，，若对任都有，则m的取值范围是 ． 【答案】，． 【分析】作出当，时，的图象，将其图象分别向左、向右平移个单位（横坐标不变，纵坐标变为原来的或2倍），得到函数的图象，令，求得的最大值，可得所求范围． 【详解】解：因为满足，即； 又由，可得， 画出当，时，的图象， 将在，的图象向右平移个单位（横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍）， 再向左平移个单位（横坐标不变，纵坐标变为原来的倍）， 由此得到函数的图象如图： 当，时，，，， 又，所以， 令，由图像可得，则，解得， 所以当时，满足对任意的，，都有， 故的范围为，． 故答案为：，． 4．(23-24高一上·宁夏银川金凤区唐徕中学·期末)函数，设函数的最大值为，最小值为，则的值为 . 【答案】4 【分析】结合已知条件，利用奇函数性质即可求解. 【详解】由题意，， 不妨令， 因为， 故，即， 因为，所以为奇函数，关于原点对称， 故，， 由奇函数性质可知，，即. 故答案为：4. 三、解答题 5．(24-25高一上·宁夏吴忠青铜峡第一中学·期末)已知定义域为的函数是奇函数. (1)求的值； (2)证明在上的单调性. (3)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）由可得答案； （2）由函数单调性的定义证明即可； （3）由题意结合函数的单调性、函数的奇偶性脱去符号，转化为对恒成立，利用可得答案. 【详解】（1）由于定义域为的函数是奇函数， 所以，即，解得， 所以，由于，定义域关于原点对称， 且， 所以是奇函数，故； （2）在上是减函数， 证明如下：设任意， 则， ， 所以， 所以在上是减函数； （3）不等式恒成立， 由奇函数得到，所以， 由在上是减函数，可得对恒成立， 即对恒成立， 则，解得. 即实数的取值范围是. 【点睛】方法点睛：对于抽象函数求值或范围的问题，一般利用函数的奇偶性、单调性脱去函数的符号“”，转化为解不等式(组)的问题求解. 6．(24-25高一上·宁夏吴忠吴忠中学·期末)已知函数为奇函数． (1)求实数的值并判断的单调性（无需证明）； (2)若，求的取值范围； (3)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)，在和上单调递减； (2) (3) 【分析】（1）根据奇函数的定义求实数的值，根据复合函数的单调性及奇偶性判断函数的单调性； （2）根据函数的单调性，利用分类讨论的方法求解； （3）将双变量双函数相等关系的问题转化为两函数值域的包含关系. 【详解】（1）函数中，， 因为为奇函数，所以，即， 整理得，所以，即， 其定义域为， 由复合函数的单调性可知，在和上单调递减； 因为，在和上单调递增， 所以在在和上单调递减， 所以在和上单调递减； （2）因为在和上单调递减，并且， 当时，则，可得； 当时，则，可得； 画出函数图像 由图像可知： 当时，，解得； 当，，无解； 当，，此时解得； 综上所述，的取值范围为； （3）， 当时，，故， 所以在上值域为， 又 ，， 令，，则， 所以当时，，当时，， 所以函数在上值域为， 因为对任意的，总存在，使得成立， 所以，所以，解得， 所以实数的取值范围为. 7．(23-24高一上·宁夏石嘴山·期末)已知函数是奇函数. （1）求a，b的值； （2）证明：是区间上的减函数； （3）若，求实数m的取值范围. 【答案】（1），（2）证明见解析（3） 【解析】（1）由于函数是奇函数，且有意义，则，定义域关于原点对称，列出方程，即可得到，； （2）运用单调性的定义，注意作差、变形，同时运用指数函数的单调性，即可判断符号，得到结论成立； （3）运用奇函数的定义和函数是区间上的减函数，得到不等式组，注意定义域的运用，解出它们即可得到范围． 【详解】（1）∵函数，是奇函数， ∴，且， 即，. （2）证明：由（1）得，， 设任意且， ∴ ， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴，∴. ∴是区间上的减函数． （3）∵， ∴， ∵奇函数， ∴， ∵是区间上的减函数， ∴，即有， ∴， 则实数的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：利用奇函数的性质及函数的单调性解决满足的实数m的取值范围问题，要特别注意定义域，考防止遗漏，造成求解的错误，属于中档题． 8．(24-25高一上·宁夏银川一中·期末)已知函数，且． (1)求的值； (2)若函数存在零点，求a的取值范围； (3)若，证明：． 【答案】(1)1 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）利用赋值法可求的值； （2）函数存在零点等价于存在实数解，结合基本不等式可求a的取值范围； （3）可证明当时，成立，从而可证题设中的不等式. 【详解】（1）因为，所以 ， 则，即． 当时，， 此时， 结合的定义域为，故为奇函数，故. （2）由（1）可知，则． 由，得，则，其中． 若，则，不可能成立． 若． 由，得，则，当且仅当时，等号成立， 则， 故a的取值范围为． （3）证明：因为，所以． 任取，令． 因为，所以，从而，即，故在上单调递增． 当时，，则， 则当时，，则， 由在上单调递增，得， 则． 9．(23-24高一上·宁夏银川育才中学·期末)已知定义在上的函数是奇函数． (1)求实数，的值； (2)判断函数的单调性； (3)若，不等式有解，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2)在上为减函数 (3) 【分析】（1）由，求得，再由，求得，结合函数的奇偶性的定义，即可求解； （2）化简，根据函数的单调性的定义及判定方法，即可求解； （3）根据题意化简不等式为在有解，结合正弦函数和二次函数的性质，即可求解. 【详解】（1）解：由题意，定义在上的函数是奇函数， 可得，解得，即， 又由，可得，解得，所以， 又由，所以，. （2）解：由， 设，则， 因为函数在上是增函数且， 所以，即， 所以在上为减函数. （3）解：由函数在上为减函数，且函数为奇函数， 因为， 即， 可得， 又由对任意的，不等式有解， 即在有解， 因为，则，所以， 所以，即实数的取值范围是. 10．(22-23高一上·宁夏银川一中·期末)已知函数f(x)＝a－(x∈R)． (1)用定义证明：不论a为何实数，f(x)在R上为增函数； (2)若f(x)为奇函数，求a的值； (3)在（2）的条件下，求f(x)在区间[1，5]上的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2)a＝ (3) 【分析】（1）利用定义证明即可； （2）由求出，再用定义验证即可； （3）根据指数函数的单调性证明f(x)为增函数，再求值域. 【详解】（1）证明：∵f(x)的定义域为R，任取x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝a－－a＋＝. ∵x1<x2，∴2x1－2x2<0，(1＋2x1)(1＋2x2)>0，∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)， ∴不论a为何实数，f(x)在R上为增函数． （2）∵f(x)在x∈R上为奇函数，∴f(0)＝0，即a－＝0，解得a＝. ，即函数f(x)在x∈R上为奇函数 （3）由（2）知，f(x)＝－，由（1）知，f(x)为增函数，∴f(x)在区间[1,5]上的最小值为f(1)． ∵f(1)＝－＝，∴f(x)在区间[1，5]上的最小值为. 11．(23-24高一上·青海西宁·期末)已知函数，且． (1)判断函数在上的单调性，并用定义法证明； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)增函数，证明见解析； (2)或. 【分析】（1）首先求得函数表达式，分离常数即可判断，按定义法证明即可. （2）由单调性解不等式结合一元二次不等式的解法即可得解. 【详解】（1）函数在上是增函数． 证明如下： 由已知，则，即，解得， 所以， 任取，且， 则 ， 因为，所以，即， 又，，所以， 即，则， 所以函数在上为增函数． （2）由（1）知函数在上为增函数， 由，可得 ， 即，，解得或， 所以的取值范围为或. 地 城 考点06 指数函数的应用 一、单选题 1．(24-25高一上·宁夏吴忠同心县四校·期末)已知某种蔬菜的保鲜时间（单位：小时）与储藏温度（单位：）近似满足函数关系（为常数，为自然对数底数），若该品种蔬菜在时的保鲜时间为小时，在时的保鲜时间为小时，则在时，该品种蔬菜的保鲜时间大约为（    ） A．小时 B．小时 C．小时 D．小时 【答案】C 【分析】根据已知类型函数式，代入条件，结合指数幂的运算，即可直接求解所求结果. 【详解】由题意得：， 两式相除得， 则． 即该品种蔬菜的保鲜时间大约为小时. 故选：C 2．(23-24高一上·宁夏银川育才中学·期末)国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京2022年冬奥会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到了真正的智慧场馆、绿色场馆，并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水、雨水过滤系统，已知过滤过程中废水的污染物数量（mg/L）与时间的关系为（为最初污染物数量）.如果前2个小时消除了20%的污染物，那么前6个小时消除了污染物的（    ） A．51.2% B．48.8% C．52% D．48% 【答案】B 【分析】先通过“前2小时消除了20%的污染物”求出 ，再令可求出，进而得到答案. 【详解】依题意有， 可得， 当时， 因此，前6个小时消除了污染物的48.8%. 故选∶B． 3．(23-24高一上·宁夏银川金凤区唐徕中学·期末)我们比较熟悉的网络新词，有“yyds”、“内卷”、“躺平”等，定义方程的实数根x叫做函数的“躺平点”．若函数，，的“躺平点”分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据“躺平点”新定义，可解得,，利用零点存在定理可得,即可得出结论. 【详解】根据“躺平点”定义可得，又； 所以，解得； 同理，即； 令，则，即为上的单调递增函数， 又，所以在有唯一零点，即； 易知，即，解得； 因此可得. 故选：B 二、填空题 4．(24-25高一上·宁夏吴忠吴忠中学·期末)国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京2022年冬奥会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到了真正的智慧场馆、绿色场馆，并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水、雨水过滤系统，已知过滤过程中废水的污染物数量与时间的关系（为最初污染物数量）．如果前2个小时消除了的污染物，那么污染物消除至最初的还要 小时． 【答案】2 【分析】由前2个小时消除了的污染物，求出参数，然后再列关于的方程求出． 【详解】由题意，解得， 设还需小时满足题意，则， ，． 故答案为：2. 5．(23-24高一上·宁夏石嘴山·期末)我们知道，函数的图象关于轴成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数.已知函数，则该函数图象的对称轴为 ；若该函数有唯一的零点，则 . 【答案】 / 【分析】根据偶函数的性质，结合函数对称性的性质进行求解即可. 【详解】的图象关于轴对称，有唯一的零点，， 故. 故答案为： 三、解答题 6．(24-25高一上·宁夏石嘴山·期末)若函数在定义域内存在实数，使得成立，则称函数有“飘移点”. (1)函数是否有“飘移点”？请说明理由； (2)证明：函数在上有“飘移点”； (3)若函数在上有“飘移点”，求实数的取值范围. 【答案】(1)函数没有“飘移点”，理由见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据飘移点的定义，结合一元二次方程根的判别式进行判断即可； （2）根据飘移点的定义，结合函数零点存在原理进行求解判断即可； （3）根据飘移点的定义，结合对数的运算性质进行参变量分离，利用基本不等式进行求解即可. 【详解】（1）函数没有“飘移点”.理由如下： 对于，则，整理得， ，则该方程无解， 函数没有“飘移点”. （2）函数在上有“飘移点”，理由如下： 在上有“飘移点”， 因此有， 即成立，化简，即成立， 记，则在上连续不断，且 在内存在零点，则方程在内存在实根， 故函数在上有“飘移点”. （3）对于，则， 即， ，则， 令，则， ， 又，当且仅当，即时等号成立， 则， ，即， 故实数的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是对进行换元，令， ，然后再应用基本不等式. 试卷第1页，共3页 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $