第三章 函数的概念与性质单元检测-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第三章 函数的概念与性质 单元检测 姓名：___________班级：___________学号:___________ 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．下列函数与函数是同一函数的是（　　） A． B． C． D． 2．已知是在上单调递增的奇函数，则函数在上的图象可能为（　　） A． B． C． D． 3．设f（x）是定义在R上且周期为2的偶函数，当时，，则（　　） A． B． C． D． 4．已知，则的解析式为（　　） A． B． C． D． 5．函数 的部分图象大致是（　　） A． B． C． D． 6．已知函数是定义域为R的偶函数，且对任意，，，当时总有，则满足的的范围是（　　） A． B． C． D． 7．已知，且，则（　　） A． B． C． D．10 8．若定义在上的函数满足是奇函数，，设函数，则（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．下列函数中，值域为的是（　　） A．， B． C．， D． 10．已知函数是奇函数，则下列说法正确的是（　　） A． B．无解 C．是减函数 D． 11．已知函数，则（　　） A．的最小正周期为 B．是奇函数 C．曲线关于直线对称 D．在上单调递减 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知函数在上单调递增，函数是定义在上的奇函数，且，则可以是　 　.（写出一个满足条件的函数即可） 13．若函数是奇函数，则　 　． 14．已知函数及其导函数的定义域均为，记，若均为偶函数，且当时，，则　 　. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知二次函数满足， (1)求函数的解析式； (2)求函数在的最小值和最大值. 16．已知二次函数，满足，． （1）求函数的解析式； （2）若函数在区间上最小值为5，求实数的值． 17．已知幂函数是定义在上的偶函数. （1）求的解析式； （2）在区间上，恒成立，求实数的取值范围. 18．某工厂生产某种零件的固定成本为20000元，每生产一个零件要增加投入100元，已知总收入（单位：元）关于产量（单位：个）满足函数：. （1）将利润（单位：元）表示为产量的函数；（总收入=总成本+利润） （2）当产量为何值时，零件的单位利润最大?最大单位利润是多少元?（单位利润利润产量） 19．已知定义在上的奇函数，且. （1）求函数的解析式； （2）判断在上的单调性，并证明你的结论； （3）设，若，对，有成立，求实数的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 函数的概念与性质 单元检测 姓名：___________班级：___________学号:___________ 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．下列函数与函数是同一函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】【解答】 对于A，，对应关系不同，与函数不是同一函数； 对于B，，与函数的定义域和对应关系都相同，所以它们是同一函数； 对于C，，对应关系不同，与函数不是同一函数； 对于D，，与函数的定义域不同，所以与函数不是同一函数. 故答案为：B. 【分析】要判断两个函数是否为同一函数，需依据同一函数的定义：定义域和对应关系都完全相同.所以要对每个选项中的函数，分别分析其定义域和对应关系，再与（定义域为，对应关系是与相等）进行对比. 2．已知是在上单调递增的奇函数，则函数在上的图象可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】【解答】解：由，得是奇函数，故C不符合题意，令，得或，零点位置不对，故D不符合题意，当时，，故A不符合题意 故答案为：B. 【分析】本题采用排除法利用函数的奇偶性，以及函数的零点可得正确答案。 3．设f（x）是定义在R上且周期为2的偶函数，当时，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】【解答】解：因为f（x）是定义在R上且周期为2的偶函数， 则， 又当时，， 则， 则. 故答案为：A. 【分析】本题考查函数的奇偶性与周期性，根据偶函数的性质和周期T=2，得到，代入求解即可. 4．已知，则的解析式为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】【解答】解：令，则，且，则，，则. 故答案为：B. 【分析】得的解析式，已知的表达式，通过换元法，将用新变量表示，关于的函数转化为关于新变量的函数，换回，同时要注意新变量的取值范围，确定的定义域. 5．函数 的部分图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】【解答】解：函数的定义域为，定义域关于原点对称，且满足， 则函数为奇函数，且. 故答案为：A. 【分析】先求函数的定义域，再判断其奇偶性，结合特殊点判断即可. 6．已知函数是定义域为R的偶函数，且对任意，，，当时总有，则满足的的范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】【解答】解：任意，，，当时总有， 在，上是增函数，又是定义域为的偶函数，故在，上是减函数． 由可得． 所以，解得，即不等式的解集为，， 故答案为：A． 【分析】根据给定条件判断函数在上的单调性，结合偶函数的性质得出函数在上的单调性.用函数的奇偶性将不等式进行转化，根据函数的单调性求解不等式，得的范围. 7．已知，且，则（　　） A． B． C． D．10 【答案】C 【解析】【解答】解：函数的定义域为， 满足，即函数为奇函数， 因为，所以. 故答案为：C. 【分析】先求函数的定义域，再判断其奇偶性，利用函数的奇偶性求值即可. 8．若定义在上的函数满足是奇函数，，设函数，则（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【解析】【解答】解：因为所以，所以函数为周期函数，4是函数的一个周期. 因为是上的奇函数，所以，所以的图象关于点对称，所以，， 在，取，得， 所以 ， . 故选：A. 【分析】根据可知函数的周期为4，根据是上的奇函数可得的图象关于点对称，进而可得，，，利用 ，列式计算即可. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．下列函数中，值域为的是（　　） A．， B． C．， D． 【答案】A,C 【解析】【解答】解：A、易知函数单调递增，，，即，故A正确； B、函数，因为，所以，即，故B错误； C、易知函数在区间上单调递增，，，即，故C正确； D、因为，所以 ，当且仅当，即时等号成立，即，故D错误. 故答案为：AC. 【分析】根据函数的单调性求值域，即可判断ABC；利用基本不等式求最值，即可判断D. 10．已知函数是奇函数，则下列说法正确的是（　　） A． B．无解 C．是减函数 D． 【答案】A,B,D 【解析】【解答】解：A、的定义域为，且为奇函数，所以，解得；经检验满足题意，故A正确； B、由可得，即，无解，故B正确； C、，因为递增，所以为增函数，故C错误； D、由为奇函数可得，结合C选项可得， 所以，故D正确. 故答案为：ABD. 【分析】由的定义域为且为奇函数得可求出m可判断A；解方程可判断B；利用复合函数单调性可判断C；结合单调性和奇偶性可判断D. 11．已知函数，则（　　） A．的最小正周期为 B．是奇函数 C．曲线关于直线对称 D．在上单调递减 【答案】A,C,D 【解析】【解答】解：A、设（是不为0的常数）是的周期， 则对于，有，可得，即， 解得或. 由，可得， 若，因，即不是的周期， 又由，得， 若，因，故不是的周期， 同理不是的周期， 又因， 因此函数的最小正周期为，故A正确； B、，，函数不是奇函数，故B错误； C、，即曲线关于直线对称，故C正确； D、，函数在上单调递增，且， 函数在上单调递减，因此在上单调递减，故D正确. 故答案为：ACD 【分析】利用周期函数的定义即可判断A；利用奇函数定义即可判断B；利用对称性定义即可判断C；利用复合函数的单调性即可判断D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知函数在上单调递增，函数是定义在上的奇函数，且，则可以是　 　.（写出一个满足条件的函数即可） 【答案】(答案不唯一) 【解析】【解答】解：根据题意，只要函数是上单调递增的奇函数即可符合题意， 所以， 则可以是. 故答案为：(答案不唯一). 【分析】根据题意，利用奇函数的定义和增函数的定义，从而得出满足要求的函数. 13．若函数是奇函数，则　 　． 【答案】3 【解析】【解答】解：已知函数为奇函数，则， 设，则，所以， 所以，则， 所以. 故答案为：3 【分析】先利用函数为奇函数可得，再利用分段函数分段求值即可求解. 14．已知函数及其导函数的定义域均为，记，若均为偶函数，且当时，，则　 　. 【答案】 【解析】【解答】解：因为均为偶函数， 所以，， 所以函数关于对称，函数关于对称， 由可得， 即，为常数， 所以，即关于点对称， 且函数关于对称， 所以，，故，即是函数的一个周期， 由可得， 所以，即， 所以关于点对称，且函数关于对称， 则，， 故，所以是函数的一个周期， 又当时，，所以， 所以， 由，令，则， 而， 所以，则，所以， 则. 故答案为：. 【分析】根据题意，由函数的奇偶性以及对称性可分别推出函数与的周期性，再由条件可得的值，结合函数的周期性求解即可. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知二次函数满足， (1)求函数的解析式； (2)求函数在的最小值和最大值. 【答案】解： （1）二次函数 ， 由，可得，解得，则函数； (2)函数，，对称轴， 则当时，，当时，． 【解析】【分析】（1）把代入可求得，即可得函数的解析式； （2）配方求出对称轴方程，确定函数的最大值和最小值即可． 16．已知二次函数，满足，． （1）求函数的解析式； （2）若函数在区间上最小值为5，求实数的值． 【答案】（1）解：由，得， 由，得， 故，解得，所以. （2）解：由（1）得：，则的图象的对称轴方程为， 最小值，故或（即或） 当时，最小值，解得， 当时，最小值，解得. 综上或. 【解析】【分析】(1)利用待定系数法，列方程组，解出即可. （2）先通过配方得对称轴、最小值，由 函数在区间上最小值为5， 得或， 分类讨论这两种情况，结合单调性，即可求解. 17．已知幂函数是定义在上的偶函数. （1）求的解析式； （2）在区间上，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）解：因为函数是幂函数，所以，解得或， 又因为函数为偶函数，所以，则； （2）解：由（1）知：， 不等式恒成立，则对恒成立， 分离参数得，即， 当时，， 当且仅当，即时取得最小值，即， 故实数的取值范围为. 【解析】【分析】（1）由函数为幂函数，可得，解得的值，再根据函数为偶函数，确定m的值，即可得解析式； （2）由（1）的结论，不等式转化问题为对恒成立，即，利用基本不等式求解即可. （1）因为是幂函数，所以， 解得或，又函数为偶函数，故，. （2）由（1）知，， 则原题可等价转化为对恒成立， 分离参数得，因为对恒成立，则， 当时，， 当且仅当，即时取得最小值，即， 所以实数的取值范围为. 18．某工厂生产某种零件的固定成本为20000元，每生产一个零件要增加投入100元，已知总收入（单位：元）关于产量（单位：个）满足函数：. （1）将利润（单位：元）表示为产量的函数；（总收入=总成本+利润） （2）当产量为何值时，零件的单位利润最大?最大单位利润是多少元?（单位利润利润产量） 【答案】（1）解：当时，， 当时，， 则； （2）解：设零件的单位利润为，则， 当时，， 当且仅当，即时等号成立， 当时，， 故当产量为200个，零件的单位利润最大，最大单位利润是100元. 【解析】【分析】（1）由题意，结合利润公式用产量表示利润即可； （2）设零件的单位利润为，由（1）的结论得函数的解析式，结合基本不等式求解最值即可. （1）当时，， 当时，， 故. （2）设零件的单位利润为， 则， 当时，， 当且仅当，即时，等号成立， 当时，， 故当产量为200个，零件的单位利润最大，最大单位利润是100元. 19．已知定义在上的奇函数，且. （1）求函数的解析式； （2）判断在上的单调性，并证明你的结论； （3）设，若，对，有成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）解：定义在R上的奇函数，有，， 解得，得，函数定义域为R，，是奇函数， 所以. （2）解：在上的单调递增，理由如下， 任取， 则， 由，有，，，，得， 即，所以在上的单调递增. （3）解：， 若，对，有，则需要， 在上的单调递增，，， 函数图象抛物线开口向上，对称轴为， 当，即时，在上单调递减，，解得，则有； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增，，得恒成立，则有； 当，即时，在上单调递增，，解得，则有； 综上可知，实数的取值范围为 【解析】【分析】（1）利用奇函数性质，再结合已知，联立方程求出、，进而确定函数的解析式； （2）用定义法，任取内的两个自变量、（），作差，分析差的正负，判断函数单调性； （3）先将化简，根据的单调性求出的最小值，再分情况讨论的单调性，求出的最小值，结合确定实数的取值范围. （1）定义在R上的奇函数，有， ，解得，得， 函数定义域为R，，是奇函数， 所以. （2）在上的单调递增，理由如下， 任取，则， 由，有，，，， 得，即， 所以在上的单调递增. （3）， 若，对，有， 则需要， 在上的单调递增，， ，函数图象抛物线开口向上，对称轴为， 当，即时，在上单调递减， ，解得，则有； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， ， 得恒成立，则有； 当，即时，在上单调递增， ，解得，则有； 综上可知，实数的取值范围为 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