江西省景德镇一中2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷（19班）

高二（19）班上学期期中考试数学试卷 一、单选题 1. 已知向量，若向量与的夹角为锐角，则实数的取值范围为（ ） A. B. 且 C. D. 且 2. 已知两直线，若 ，则与间的距离为（ ） A. B. C. D. 3. 的展开式中的系数为（ ） A. 60 B. 20 C. -20 D. -60 4. 已知变量线性相关，其一组样本数据，满足，用最小二乘法得到的经验回归方程为．若减少一个杂点数据后，得到修正后的回归直线的纵截距为，则数据的残差为（   ） A. B. C. D. 5. 已知随机变量X服从正态分布，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 某市选派9名医生到3个乡镇义诊，其中有5名主治医师，4名实习医生，要求每个乡镇分配3名医生，且每个乡镇至少有一名主治医师，则不同的分配方法种数为（ ） A. 720 B. 1480 C. 1080 D. 1440 7. 已知为坐标原点，为抛物线的焦点，为抛物线上任意一点（不与重合），为的中点，则直线的斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 某个圆锥容器的轴截面是边长为4的等边三角形，一个表面积为的小球在该容器内自由运动，则小球能接触到的圆锥容器内壁总面积为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知盒子中有12个样品，6个不同的正品和6个不同的次品，现从中逐个抽取5个样品.方案一：有放回地抽样，记取得次品个数为X；方案二：不放回地抽样，记取得次品个数为Y，则（ ） A. B. 当或3时，最大 C. D. 两种方案中第三次抽到次品的概率均为 10. 如图，在棱长为的正方体中，，，，分别是，，，的中点，则下列说法正确的有（ ） A. ，，，四点共面 B. 与所成角的大小为 C. 在线段上存在点，使得平面 D. 在线段上任取一点，三棱锥的体积为定值 11. 已知，分别是椭圆：的左、右焦点，为坐标原点，为上异于左、右顶点的一点，是线段的中点，则（ ） A. B. C. 内切圆半径的最大值为 D. 外接圆半径的最小值为1 三、填空题 12. 设双曲线的右焦点为，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，线段交于点，若，则的离心率为__________. 13. 如图所示的实验装置中，两个互相垂直的正方形框架的边长均为1，活动弹子分别在对角线上移动，且，则的取值范围是___________. 14. 切比雪夫不等式是19世纪俄国数学家切比雪夫（）在研究统计规律时发现的，其内容是：对于任一随机变量，若其数学期望和方差均存在，则对任意正实数，有.在数字通信中，信号是由数字“0”和“1”组成的序列，现连续发射信号次，每次发射信号“0”和“1”是等可能的.记发射信号“1”的次数为随机变量，为了至少有的把握使发射信号“1”的频率在区间内，估计信号发射次数的值至少为__________. 四、解答题 15. 已知圆过点，，且圆心在直线：上 （1）求圆的方程； （2）若从点发出的光线经过直线反射，反射光线恰好平分圆的圆周，求反射光线所在直线的一般式方程； （3）若为圆上的动点，求的最小值. 16. 人工智能在做出某种推理和决策前，常常是先确定先验概率，然后通过计算得到后验概率，使先验概率得到修正和校对，再根据后验概率做出推理和决策．我们利用这种方法设计如下试验：有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子内有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白球，乙袋中有2个红球和8个白球．我们首先从这两个袋子中随机选择一个袋子，假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为（先验概率），再从该袋子中随机摸出一个球，称为一次试验．经过多次试验，直到摸出红球，则试验结束；若试验未结束，则将摸到的球放回原袋，每次试验相互独立． （1）求首次试验结束的概率； （2）在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率（先验概率）进行调整． （i）求选到的袋子为甲袋的概率； （ii）求选到的袋子为乙袋，且第二次试验就结束的概率． 17. 如图1，在四边形中，，，，如图2，把沿折起，使点到达点处，且平面平面，为的中点. （1）求证：； （2）求二面角的余弦值； （3）判断线段上是否存在点，使得三棱锥的体积为．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 18. 已知抛物线经过点，过点的直线与抛物线有两个不同的交点，且直线交轴于，直线交轴于． （1）求抛物线的方程； （2）①求直线的斜率的取值范围； ②若为原点，将上述两点坐标改为，且满足，其他条件不变，试探究是否为定值，并说明理由． 19. 已知椭圆的左右顶点为，，上下顶点为，，记四边形的内切圆为． （1）求圆的标准方程； （2）已知椭圆的右焦点为F，若上两点A，B满足，且．求证：以AB为直径的圆恒过异于点F的一个定点； （3）已知P为椭圆上任意一点，过点P作圆的切线分别交椭圆于两点，试求三角形面积的最小值． 高二（19）班上学期期中考试数学试卷 一、单选题 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】B 二、多选题 【9题答案】 【答案】BCD 【10题答案】 【答案】ABD 【11题答案】 【答案】ACD 三、填空题 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】1250 四、解答题 【15题答案】 【答案】（1） （2） （3） 【16题答案】 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【17题答案】 【答案】（1）证明：在图1中，由，，得，则， 所以，由，得，即， 在图2中，，取的中点，连接，由为的中点， 得，则，由，得，而， 平面，则平面，又平面，所以. （2） （3）线段上是否存在点，使得三棱锥的体积为，且 【18题答案】 【答案】（1） （2）①；②为定值，理由见解析 【19题答案】 【答案】（1） （2）定点为 （3） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $