27.1.1 圆的基本元素 题型专练 2024--2025学年华东师大版九年级数学下册

27.1.1 圆的基本元素 xix   快速定位题型 题 型 目 录 【题型1】圆的基本概念辨析 1 【题型2】求圆中弦的条数 4 【题型3】求过圆内一点的最长弦 7 【题型4】求一点到圆上距离的最值 9 【题型5】圆的周长和面积问题 18 xix   夯实必备知识 新 知 梳 理 【题型1】圆的基本概念辨析 【典型例题】如图是一个等边三角形放置于中，若将它绕旋转中心旋转一定角度后能与自身重合，则至少应旋转的度数是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】， 该图形绕中心至少旋转120度后能和原来的图案互相重合． 故选：B． 【举一反三1】等于圆周的弧叫做（   ） A.劣弧 B.半圆 C.优弧 D.圆 【答案】C 【解析】根据直径所对的两条弧是半圆，大于半圆的弧是优弧，则等于圆周的弧是优弧， 故选． 【举一反三2】2011年国际数学协会正式宣布，将每年的3月14日设为国际数学节，来源则是中国古代数学家（    ）的圆周率． A.祖冲之 B.赵爽 C.刘徽 D.朱世杰 【答案】A 【解析】由题干材料判断是祖冲之， 故选：A. 【举一反三3】下列说法正确的是（    ） A.弦是直径 B.半圆是弧 C.等弧就是长度相等的两条弧 D.圆是轴对称图形，对称轴是任意一条直径 【答案】B 【解析】直径是经过圆心的弦，不是所有的弦都是直径，故A错误； 圆上任意两点间的部分是弧，所以半圆是弧，故B正确； 只有在同圆或等圆中，能够完全重合的弧才是等弧，故C错误； 圆是轴对称图形，对称轴是任意一条直径所在的直线，故D错误． 故选：B． 【举一反三4】给定下列图形可以确定一个圆的是（    ） A.已知圆心 B.已知半径 C.已知直径 D.已知三个点 【答案】C 【解析】A.不能确定．因为半径不确定，故不符合题意； B.不能确定．因为圆心的位置不确定，故不符合题意； C.能确定，给定一直径，则圆心和半径确定，所以可以确定一个圆，故符合题意； D.不能确定，不在同一直线上三点可以确定一个圆．故不符合题意． 故选：C． 【举一反三5】如图所示，为的弦，，则的度数为      ． 【答案】 【解析】为的弦， ， ， ， ， 故答案为：． 【举一反三6】如图，A、、是上的三点，，，连结交于点，连结，则的度数为        ． 【答案】 【解析】， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【举一反三7】如图所示，为的弦，，则的度数为      ． 【答案】 【解析】为的弦， ， ， ， ， 故答案为：． 【举一反三8】到点P的距离等于的点的轨迹是                 ． 【答案】以P为圆心，长为半径的圆 【解析】到点P的距离等于的点的轨迹是以P为圆心，以为半径的圆． 故答案为：以P为圆心，以为半径的圆． 【题型2】求圆中弦的条数 【典型例题】如图，已知A，B，C，D四点都在⊙O上，则⊙O中的弦的条数为（    ） A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】B 【解析】根据弦的定义可知，AB、CD和BD都是圆的弦，所以⊙O中的弦的条数为3， 故选：B． 【举一反三1】如图，在中，点在一条直线上，点在一条直线上，那么图中有弦（　　） A.2条 B.3条 C.4条 D.5条 【答案】B 【解析】弦为，共有3条， 故选：B． 【举一反三2】如图，在⊙O中，点B,O,C和点A,O,D分别在同一条直线上，则图中有（ ）条弦. A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】B 【解析】根据弦的概念，AB、BC、EC为圆的弦，共有3条弦. 故选B. 【举一反三3】如图，已知A，B，C，D四点都在⊙O上，则⊙O中的弦的条数为（    ） A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】B 【解析】根据弦的定义可知，AB、CD和BD都是圆的弦，所以⊙O中的弦的条数为3， 故选：B． 【举一反三4】如图，在中，弦的条数是（    ） A.2 B.3 C.4 D.以上均不正确 【答案】C 【解析】在中，有弦、弦、弦、弦， 共有4条弦． 故选：C． 【举一反三5】如图，在中，点A、O、D和点B、O、C分别在一条直线上，图中共有       条弦，它们分别是             ． 【答案】3 ，， 【解析】图中的弦有，，共三条． 故答案为：三；，，． 【举一反三6】如图，在中，点A、O、D和点B、O、C分别在一条直线上，图中共有       条弦，它们分别是             ． 【答案】3 ，， 【解析】图中的弦有，，共三条． 故答案为：三；，，． 【举一反三7】过圆内的一点(非圆心)有        条弦，有        条直径． 【答案】无数 一 【解析】过圆内一点（非圆心）有无数条弦，有1条直径． 故答案为：无数，1． 【题型3】求过圆内一点的最长弦 【典型例题】一个在圆内的点，它到圆上的最近距离为3cm，到最远距离为5cm，那么圆的半径为（   ）   A.5cm B.3cm C.8cm D.4cm 【答案】D 【解析】圆内的点到圆上的最近距离和最远距离之和为此圆的直径，故半径为cm. 故选D. 【举一反三1】已知的直径长为6，点A，B在上，则的长不可能是（    ） A.4 B.5 C.6 D.7 【答案】D 【解析】∵圆的弦长小于等于直径长， ∴， 故选：D． 【举一反三2】如图，圆的弦中最长的是（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由图可知，弦AB经过圆心O，故圆的弦中最长的是． 故选：． 【举一反三3】已知是半径为6的圆的一条弦，则的长不可能是（    ） A.8 B.10 C.12 D.14 【答案】D 【解析】∵圆的半径为6， ∴直径为12， ∵AB是一条弦， ∴AB的长应该小于等于12，不可能为14， 故选：D． 【举一反三4】已知的半径为，且A、是上不同的两点，则弦的范围是        ． 【答案】 【解析】A、是上不同的两点， ， 的半径为，， 的直径为，直径是圆中最长的弦， ， 故答案为：． 【举一反三5】已知的半径为，且A、是上不同的两点，则弦的范围是        ． 【答案】 【解析】A、是上不同的两点， ， 的半径为，， 的直径为，直径是圆中最长的弦， ， 故答案为：． 【举一反三6】已知⊙O中最长的弦为16cm，则⊙O的半径为       cm 【答案】8 【解析】∵⊙O中最长的弦为16cm，即直径为16cm， ∴⊙O的半径为8cm． 【题型4】求一点到圆上距离的最值 【典型例题】在同一平面内，已知的半径为，圆心到直线的距离为，为圆上的一个动点，则点到直线的距离不可能是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】如图， 由题意得，，， 当点在的延长线与的交点时，点到直线的距离最大， 此时，点到直线的最大距离是， 当点在与的交点时，点到直线的距离最小， 此时，点到直线的最小距离是， 点到直线的距离， 故点到直线的距离不可能是， 故选：． 【举一反三1】如图，的半径为4，圆心的坐标为，点P是上的任意一点，，且、与轴分别交于A、两点，若点A、点关于原点对称，则的最大值为（　　） A.13 B.14 C.12 D.28 【答案】D 【解析】连结， ∵， ∴， ∵点、点关于原点对称， ∴， ∴， 若要使取得最大值，则需取得最大值， 连结，并延长交于点，当点位于位置时，取得最大值， 过点作轴于点， 则、， ∴， 又∵， ∴， ∴； 故选：D． 【举一反三2】如图，矩形中，，，以A为圆心，2为半径画圆，是上一动点，是上的一动点，则的最小值是（    ） A.4 B.6 C.8 D. 【答案】C 【解析】作点关于直线的对称点，连结交圆于一点即为最小距离和的点，如图所示， ∵矩形中，，， ∴，，， ∴， ∴的最小值是：， 故选：C． 【举一反三3】如图，中，于点是半径为4的上一动点，连结，若是的中点，连结，则长的最大值为（    ） A.8 B. C.9 D. 【答案】D 【解析】连结， ，， ， 点为的中点， 是的中位线， ， 当取最大值时，的长最大， 是半径为2的上一动点， 当过圆心时，最大， ，， ， 的半径为4， 的最大值为， 长的最大值为， 故选：． 【举一反三4】如图，正方形中，，E是的中点．以点C为圆心，长为半径画圆，点P是上一动点，点F是边上一动点，连结，若点Q是的中点，连结，，则的最小值为（    ） A. B. C.6 D. 【答案】B 【解析】取点B关于直线的对称点M，连结，两线交于点O，连结，，，过O作于点N， ∵点Q是的中点， ∴， ∴点Q在以O为圆心，半径为1的圆上运动， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴当、 、、四点共线时的值最小， ， ∴的最小值为： ， 故选：B． 【举一反三5】如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，的半径为2，点C为上一动点，D为的中点，连结，则的最大值为         ． 【答案】3.5 【解析】∵点A的坐标为，点B的坐标为 ∴， 如图1，作点B关于x轴的对称点，连结， ∴， ∵D是的中点， ∴是的中位线， ∴ ∴当最大时，有最大值， 如图2，当，C，A共线时，有最大值， 由勾股定理得： ∴， 此时有最大值是， 故答案为：3.5． 【举一反三6】如图，在平面直角坐标系中，点是以为圆心，1为半径的⊙C上的一个动点，已知，，连结，，则的最小值是      ． 【答案】 【解析】如图，连结， 设， ∵，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 当点P位于与圆的交点上时，取得最小值， ∴的最小值为， ∴的最小值为．    故答案为： 【举一反三7】如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，若点为抛物线上一点且横坐标为，点为轴上一点，点在以点为圆心，为半径的圆上，则的最小值       ． 【答案】 【解析】对于，当时，， 解得：，， 点的坐标为， 对于，当时，， 点的坐标为， 作点关于轴对称的点，则点， 连结交与y轴于，交于，过点作轴于，连结， 当点与点重合，点与点重合时，为最小，最小值为线段的长． 理由如下： 当点与点不重合，点与点不重合时， 根据轴对称的性质可知：， ， 根据“两点之间线段最短”可知：， 即：， ， ， 即：， 当点与点重合，点与点重合时，为最小． 点，， ，，， ， 在中，，， 由勾股定理得：， ． 即为最小值为． 故答案为：． 【举一反三8】如图，⊙A的半径为2，圆心A的坐标为（﹣3，4），点P是⊙A上的运动点，则点P到点O的最大距离        ． 【答案】7 【解析】连结OA，并延长交⊙A于点P'，则OP'即使点P到点O的最大距离， ∵A的坐标为（﹣3，4）， ∴OA=， ∴OP'=5+2=7． 故答案为：7 【题型5】圆的周长和面积问题 【典型例题】已知圆的周长为m，则这个圆的面积是（    ）m2． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】根据题意：圆的半径是 ∴圆的面积是 故选B． 【举一反三1】一个圆的面积为，则它的半径为（　　） A. B. C.0 D.1 【答案】D 【解析】设圆的半径为， 由题意得：， ∴， 故选：D． 【举一反三2】适时的休闲可以缓解学习压力，如图是火影忍者中的仙法·白激之术，其形状外围大致为正圆，整体可看成为两个同心圆，像素，，那么周围圆环面积约为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】如图所示，设同心圆的圆心为，连结，则大圆的半径为，小圆的半径为， ∴设小圆的半径为，大圆的半径， ∵像素，， ∴， 在中，，即， ∴， ∵， ∴， 故选：． 【举一反三3】把一个圆心为O，半径为r的小圆面积增加一倍，两倍，三倍，分别得到如图所示的四个圆（包括原来的小圆），则这四个圆的周长之比（按从小到大顺序排列）是           ． 【答案】1：：：2 【解析】设最小的圆的面积是，则其它三个圆的面积分别是，，， 所有的圆都是相似形，面积的比等于半径的比的平方， 因而半径的比是，周长的比等于相似比，即半径的比，是． 故答案为：． 【举一反三4】如图，用等分圆的方法，在半径为OA的圆中，画出了如图所示的四叶幸运草，若OA＝2，则四叶幸运草的周长是        ． 【答案】π． 【解析】由题意得： 四叶幸运草的周长为4个半圆的弧长＝2个圆的周长， ∴四叶幸运草的周长＝2π×2＝π； 故答案为π． 【举一反三5】如图，大蚂蚁沿着大圆爬一圈，小蚂蚁沿着两个小圆各爬了一圈．谁爬的路程长？请通过计算说明． 【答案】解　大蚂蚁和小蚂蚁爬的路程一样长． 大圆的周长，两个小圆的周长和， ∴大圆的周长＝两个小圆的周长和， ∴大蚂蚁和小蚂蚁爬的路程一样长． 学科网（北京）股份有限公司 $ 27.1.1 圆的基本元素 xix   快速定位题型 题 型 目 录 【题型1】圆的基本概念辨析 1 【题型2】求圆中弦的条数 2 【题型3】求过圆内一点的最长弦 4 【题型4】求一点到圆上距离的最值 5 【题型5】圆的周长和面积问题 7 xix   夯实必备知识 新 知 梳 理 【题型1】圆的基本概念辨析 【典型例题】如图是一个等边三角形放置于中，若将它绕旋转中心旋转一定角度后能与自身重合，则至少应旋转的度数是（    ） A. B. C. D. 【举一反三1】等于圆周的弧叫做（   ） A.劣弧 B.半圆 C.优弧 D.圆 【举一反三2】2011年国际数学协会正式宣布，将每年的3月14日设为国际数学节，来源则是中国古代数学家（    ）的圆周率． A.祖冲之 B.赵爽 C.刘徽 D.朱世杰 【举一反三3】下列说法正确的是（    ） A.弦是直径 B.半圆是弧 C.等弧就是长度相等的两条弧 D.圆是轴对称图形，对称轴是任意一条直径 【举一反三4】给定下列图形可以确定一个圆的是（    ） A.已知圆心 B.已知半径 C.已知直径 D.已知三个点 【举一反三5】如图所示，为的弦，，则的度数为      ． 【举一反三6】如图，A、、是上的三点，，，连结交于点，连结，则的度数为        ． 【举一反三7】如图所示，为的弦，，则的度数为      ． 【举一反三8】到点P的距离等于的点的轨迹是                 ． 【题型2】求圆中弦的条数 【典型例题】如图，已知A，B，C，D四点都在⊙O上，则⊙O中的弦的条数为（    ） A.2 B.3 C.4 D.5 【举一反三1】如图，在中，点在一条直线上，点在一条直线上，那么图中有弦（　　） A.2条 B.3条 C.4条 D.5条 【举一反三2】如图，在⊙O中，点B,O,C和点A,O,D分别在同一条直线上，则图中有（ ）条弦. A.2 B.3 C.4 D.5 【举一反三3】如图，已知A，B，C，D四点都在⊙O上，则⊙O中的弦的条数为（    ） A.2 B.3 C.4 D.5 【举一反三4】如图，在中，弦的条数是（    ） A.2 B.3 C.4 D.以上均不正确 【举一反三5】如图，在中，点A、O、D和点B、O、C分别在一条直线上，图中共有       条弦，它们分别是             ． 【举一反三6】如图，在中，点A、O、D和点B、O、C分别在一条直线上，图中共有       条弦，它们分别是             ． 【举一反三7】过圆内的一点(非圆心)有        条弦，有        条直径． 【题型3】求过圆内一点的最长弦 【典型例题】一个在圆内的点，它到圆上的最近距离为3cm，到最远距离为5cm，那么圆的半径为（   ）   A.5cm B.3cm C.8cm D.4cm 【举一反三1】已知的直径长为6，点A，B在上，则的长不可能是（    ） A.4 B.5 C.6 D.7 【举一反三2】如图，圆的弦中最长的是（   ） A. B. C. D. 【举一反三3】已知是半径为6的圆的一条弦，则的长不可能是（    ） A.8 B.10 C.12 D.14 【举一反三4】已知的半径为，且A、是上不同的两点，则弦的范围是        ． 【举一反三5】已知的半径为，且A、是上不同的两点，则弦的范围是        ． 【举一反三6】已知⊙O中最长的弦为16cm，则⊙O的半径为       cm 【题型4】求一点到圆上距离的最值 【典型例题】在同一平面内，已知的半径为，圆心到直线的距离为，为圆上的一个动点，则点到直线的距离不可能是（    ） A. B. C. D. 【举一反三1】如图，的半径为4，圆心的坐标为，点P是上的任意一点，，且、与轴分别交于A、两点，若点A、点关于原点对称，则的最大值为（　　） A.13 B.14 C.12 D.28 【举一反三2】如图，矩形中，，，以A为圆心，2为半径画圆，是上一动点，是上的一动点，则的最小值是（    ） A.4 B.6 C.8 D. 【举一反三3】如图，中，于点是半径为4的上一动点，连结，若是的中点，连结，则长的最大值为（    ） A.8 B. C.9 D. 【举一反三4】如图，正方形中，，E是的中点．以点C为圆心，长为半径画圆，点P是上一动点，点F是边上一动点，连结，若点Q是的中点，连结，，则的最小值为（    ） A. B. C.6 D. 【举一反三5】如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，的半径为2，点C为上一动点，D为的中点，连结，则的最大值为         ． 【举一反三6】如图，在平面直角坐标系中，点是以为圆心，1为半径的⊙C上的一个动点，已知，，连结，，则的最小值是      ． 【举一反三7】如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，若点为抛物线上一点且横坐标为，点为轴上一点，点在以点为圆心，为半径的圆上，则的最小值       ． 【举一反三8】如图，⊙A的半径为2，圆心A的坐标为（﹣3，4），点P是⊙A上的运动点，则点P到点O的最大距离        ． 【题型5】圆的周长和面积问题 【典型例题】已知圆的周长为m，则这个圆的面积是（    ）m2． A. B. C. D. 【举一反三1】一个圆的面积为，则它的半径为（　　） A. B. C.0 D.1 【举一反三2】适时的休闲可以缓解学习压力，如图是火影忍者中的仙法·白激之术，其形状外围大致为正圆，整体可看成为两个同心圆，像素，，那么周围圆环面积约为（    ） A. B. C. D. 【举一反三3】把一个圆心为O，半径为r的小圆面积增加一倍，两倍，三倍，分别得到如图所示的四个圆（包括原来的小圆），则这四个圆的周长之比（按从小到大顺序排列）是           ． 【举一反三4】如图，用等分圆的方法，在半径为OA的圆中，画出了如图所示的四叶幸运草，若OA＝2，则四叶幸运草的周长是        ． 【举一反三5】如图，大蚂蚁沿着大圆爬一圈，小蚂蚁沿着两个小圆各爬了一圈．谁爬的路程长？请通过计算说明． 学科网（北京）股份有限公司 $