专题06 数列（讲义）-2026版山东省（春季高考）二轮复习《数学考纲专题练》

编写说明：2026版山东省（春季高考）二轮复习《数学考纲专题练》依据《中等职业学校数学课程标准》及山东省历年真题编写。本资料紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套对应讲义和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2026版山东省（春季高考）二轮复习《数学考纲专题练》的第6个专题，内容为数列。 2026版山东省（春季高考） 《数学考纲专题练》 专题06 数列 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 一、课标解读 1.了解数列及数列通项公式的概念 2.理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式、前n项和公式，并能够运用这些知识解决一些实际问题 3.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式、前n项和公式，并能够运用这些知识解决一些实际问题． 二、考情聚焦 年份 题型 题号 考查内容 分值 考情总结 2023 选择题 6 等比数列的性质 3 （1）题型：选择题、填空题、解答题。 （2）分值：每年都有涉及，分值占3-10分。 （3）内容：等差数列和等比数列的通项公式、求和公式、性质、应用。 解答题 28 等差数列的应用 7 2024 填空题 21 等差数列的性质 4 解答题 27 等比数列（通项公式、求和公式） 7 2025 选择题 16 等比数列的应用 3 解答题 27 等差数列（通项公式、求和公式） 7 三、考点预测 根据2023-2025年的真题考情，预估2026年山东省春季高考有2道题，分别是填空题和解答题，考查等差和等比数列的通项公式、求和公式、性质、应用，分值占11分。 具体考点可能涉及如下内容： · 等差数列的通项公式、求和公式 · 等比数列的通项公式、求和公式 · 等差和等比数列的性质、应用 四、知识梳理 （一）an与Sn的关系 若数列{an}的前n项和为Sn， 则an＝ （二）常见数列的通项公式 (1)自然数列：1,2,3,4，…，an＝n. (2)奇数列：1,3,5,7，…，an＝2n－1. (3)偶数列：2,4,6,8，…，an＝2n. (4)平方数列：1,4,9,16，…，an＝n2. (5)2的乘方数列：2,4,8,16，…，an＝2n. (6)乘积数列：2,6,12,20，…，an＝n(n＋1)． (7)正整数的倒数列：1，，，，…，an＝. (8)重复数串列：9,99,999,9999，…，an＝10n－1. (9)符号数列：－1,1，－1,1，…或1，－1,1，－1，…，an＝(－1)n （三）等差数列 1.等差数列的有关概念 (1)等差数列的定义 定义的表达式为_an＋1－an＝d(n∈N*)__. (2)等差中项 如果a，A，b成等差数列，那么_A__叫做a与b的等差中项且_A＝. (3)通项公式 an＝a1＋(n－1)d＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)． (4)前n项和公式：Sn＝na1＋d＝ 2.等差数列的性质 已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和． (1)若m1＋m2＋…＋mk＝n1＋n2＋…＋nk，则am1＋am2＋…＋amk＝an1＋an2＋…＋ank.特别地，若m＋n＝p＋q，则am＋an＝_ap＋aq__. (2)am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等差数列，公差为_kd__. (3)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列． (4)数列{an}，{bn}是公差分别为d1，d2的等差数列，则数列{pan}，{an＋p}，{pan＋qbn}都是等差数列(p，q都是常数)，且公差分别为pd1，d1，pd1＋qd2. （三）等比数列 1.等比数列的概念 (1)等比数列的定义 符号语言：＝q(n∈N*，q为非零常数)． (2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒G2＝ab. 注意：任意两数的等差中项都唯一存在；但只有两个数满足ab>0时，a、b才有等比中项，且有互为相反数的两个． 2.等比数列的有关公式 (1)通项公式：an＝a1qn－1＝amqn－m. (2)前n项和公式：Sn＝ 3.等比数列的主要性质 设数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和． (1)若m＋n＝p＋q，则aman＝apaq，其中m，n，p，q∈N*，特别地，若2s＝p＋r，则apar＝a，其中p，s，r∈N*. (2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm(k，m∈N*)． (3)若数列{an}，{bn}是两个项数相同的等比数列，则数列{ban}，{pan·qbn}和(其中b，p，q是非零常数)也是等比数列． (4)三个数成等比数列可设三数为，b，bq，四个数成等比数列且公比大于0时，可设四个数为，，bq，bq3. 五、10分钟小测验 1．数列的第6项为（    ） A． B． C． D．19 2．等差数列的首项，且，则（    ）． A． B． C． D． 3．数列的前n项和，则（    ） A．140 B．120 C．40 D．52 4．在等差数列中，（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 5．在等差数列中，已知，，则（    ） A．12 B．14 C．16 D．18 6．数列满足，，则（    ） A． B． C． D．3 7．等比数列的前项和为，且，，则（    ） A． B． C． D． 8．如果三个数，4成等差数列，则a的值为（    ） A． B．1 C．2 D．5 9．已知在等比数列中，，公比，则数列的通项公式是（   ） A． B． C． D． 10．等差数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案解析】 1．B 【分析】利用给定的数列通项求出第6项. 【详解】在数列中，当时，， 所以数列的第6项为. 故选：B 2．D 【分析】根据等差数列通项公式列方程可求得公差，进而可得解. 【详解】因为是等差数列，设其公差为， 所以， 又，所以，解得， 所以， 故选：D． 3．D 【分析】利用与的关系即可求解. 【详解】由，得. 故选：D 4．A 【分析】利用等差数列的性质求解. 【详解】根据等差数列的性质可知，，所以， 故选：A. 5．D 【分析】由等差数列的性质即可求解. 【详解】在等差数列中，已知，，则， 所以. 故选：D. 6．B 【分析】根据给定的递推关系，依次计算确定周期即可得解. 【详解】数列中，，由，得，， ，因此数列是周期数列，周期为3， 所以. 故选：B 7．C 【分析】设等比数列的公比为，根据已知条件可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，结合等比数列的求和公式可求得的值. 【详解】设等比数列的公比为，则，解得， 因此，. 故选：C. 8．C 【分析】根据等差中项计算求参. 【详解】因为三个数，4成等差数列，则，所以. 故选：C. 9．B 【分析】由等比数列的通项公式求得. 【详解】由等比数列的通项公式易得. 故选：B 10．B 【分析】设等差数列的公差为，根据题意，求得，结合，即可求解. 【详解】设等差数列的公差为， 因为，，可得，可得， 又由. 故选：B. 六、经典例题解析 【考试题型1】等差数列的通项公式及前n项和 例1.（24山东真题）在等差数列中，______ 【答案】 【分析】根据数列是等差数列先求公差易得答案. 【详解】因为等差数列,, 所以, 所以. 故答案为:. 例2.（22山东真题）在等差数列中，已知，，则该数列的公差是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【分析】利用等差数列通项公式求解. 【详解】在等差数列中，,即, 又因为,代入解得. 故选：. 例3.（17山东真题）在等差数列中，，是4和49的等比中项，且，则等于（ ） A. B. C. D. 【考点】等差数列的性质；84：等差数列的通项公式． 【分析】根据题意，由等比数列的性质可得（a3）2=4×49，结合解a3＜0可得a3的值，进而由等差数列的性质a5=2a3﹣a1，计算即可得答案． 【解答】解：根据题意，a3是4与49的等比中项， 则（a3）2=4×49，解可得a3=±14， 又由a3＜0，则a3=﹣14， 又由a1=﹣5， 则a5=2a3﹣a1=﹣23， 故选：B． 【考试题型2】等比数列的通项公式及前n项和 例1.（23山东真题）若成等比数列，则实数x的值是（ ）． A. B. C. 6或－6 D. 8或－8 【答案】A 【分析】根据等比数列的定义即可求解. 【详解】若成等比数列， 则， 解得. 故选：A. 例2.（20山东真题）在等比数列中，，，则等于（    ） A．256 B．-256 C．512 D．-512 【答案】A 【分析】求出等比数列的公比，再由等比数列的通项公式即可求解. 【详解】设等比数列的公比为， 因为，，所以， 所以， 故选：A. 例3.（15山东真题）在等比数列中，，，则等于（    ） A． B．5 C． D．9 【答案】D 【分析】由等比数列的项求公比，进而求即可. 【详解】由题设，， ∴． 故选：D 【考试题型3】等差数列的应用 例1.（23山东真题）如图所示，从A到B修筑一段公路需要50车的石料，石料厂S到A的距离是1000米.现用一辆车依次把石料从S运送到施工路段，第1车石料卸在A处，然后每隔50米卸一车石料，分别卸在，的位置.运送第1车石料该车往返的路程记作米，第2车往返的路程记作米，，第50车往返的路程记作米.求： （1）该车运送第20车石料往返的路程； （2）该车所有往返的路程之和. 【答案】（1）3900米 （2）222500米 【分析】（1）根据已知条件可知数列为等差数列，求出首项和公差，再根据等差数列的通项公式即可求解； （2）利用等差数列的前n项和公式即可求解. 【小问1详解】 把记为数列，则该车运送第20车石料往返的路程是， 因为在数列中，从第2项起，每一项与前一项的差都等于， 所以数列为等差数列，其中，公差， 则. 【小问2详解】 由（1）可知，该车所有往返的路程之和是等差数列的前50项和， 因为，， 所以. 答：该车所有往返的路程之和是222500米. 例2.（21山东真题）在《九章算术》中有如下问题：“有甲、乙、丙、丁、戊五人分斤小米，其中甲、乙两人所分小米的斤数之和与丙、丁、戊三人所分小米的斤数之和相等，且甲、乙、丙、丁、戊五人所分小米的斤数成等差数列，问每人各分多少斤.”那么，甲所分小米的斤数是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【分析】根据等差数列的性质列式求解即可. 【详解】设该等差数列为，其公差为. 由已知得,即, 即. 解得. 所以甲所分小米的斤数是8. 故选：C. 【考试题型4】等比数列的应用 例1.（22山东真题）如图所示，已知等边的边长为6，顺次连接各边的中点，构成，再顺次连接各边的中点，构成，依此进行下去，直至构成，这个新构成的三角形的边长依次记作，，，. （1）求，，的值； （2）若的边长小于0.01，求的最小值. 【答案】（1）3，， （2）10 【分析】（1）由题意，根据中位线定理可知，所有的新三角形都是正三角形，后面三角形的边长是前面三角形边长的，据此可求解； （2）由（1）可知，，，，构成以首项，公比的等比数列，从而可得，令，解不等式可求解. 【小问1详解】 因为分别是的中点， 所以为正三角形，且边长， 同理可得，； 【小问2详解】 由（1）知，，，，构成以首项，公比的等比数列， 所以的边长， 因为的边长小于0.01， 所以，即， 又因为，则，故的最小值为10. 例2.（17山东真题）某职业学校的王亮同学到一家商贸公司实习，恰逢该公司要通过海运出口一批货物，王亮同学随公司负责人到保险公司洽谈货物运输期间的投保事宜，保险公司提供了交纳保险费的两种方案： ①一次性交纳50万元，可享受9折优惠； ②按照航行天数交纳：第一天交纳0.5元，从第二天起每天交纳的金额都是前一天的2倍，共需交纳20天. 请通过计算，帮助王亮同学判断哪种方案交纳的保费较低. 【答案】 解：若按方案①续费，需续费万元； 若按方案②续费，则每天的续费额组成等比数列，其中，，， ∴共需缴费万元， ∴方案①缴纳的保费较低. 七、专题归纳小结 【专题内容总结1等差数列的通项公式及前n项和】 1.牢记等差数列的通项公式和前n项和公式。 2.注意等差数列通项公式的变形，变形后的公式甚至比原公式的适用范围更广。 【专题内容总结2等比数列的通项公式及前n项和】 3.等比数列的通项公式与等差数列区别记忆。 4.牢记从开始的通项公式和求和公式。 【专题内容总结3等差数列的应用】 5.等差数列往往会结合现实中的工程问题，要学会观察题目中的规律。 【专题内容总结4等比数列的应用】 6.如果以串数字是正负交替排列的，通常都是等比数列。 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $