湖南省衡阳市衡阳县第四中学2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题（B卷）

衡阳县四中2025年下学期期中考试 高二数学参考答案（B卷） 1【答案】B 【详解】因为，所以，所以. 2.答案：C 解析：因是等差数列,故,于是 3【答案】B 【详解】解：由图象知：， 4．答案：D 解析：由题意知,故抛物线标准方程为:, 所以抛物线的焦点坐标为. 5．答案：D 解析：直线方程为， 直线方程为， 所以所求距离为. 6.答案：C 解析：由于双曲线其中一条渐近线为,故,故, 7．【答案】C 【详解】设圆心为， 由题意得，即， 解得，故圆心，半径， 故圆的标准方程为. 8．答案：C 解析：P为所在平面内的动点,且,点P的轨迹为以C为圆心,2为半径的圆, ,,,取的中点D,则, . 9【答案】BCD 解析：因为，又， 所以数列是首项为9，公差为的等差数列. 记公差为d，则，所以，. 选项A：.所以选项A错误. 选项B：因为公差为，所以数列是递减数列.所以选项B正确. 选项C：当，，即.所以选项C正确. 选项D：，所以选项D正确. 10.答案：ABC 解析：对A：由题意可得且，故A正确； 对B：若椭圆C的焦点在x轴上，则，故B正确； 对C：若，则， 则周长为，故C正确； 对D：若，则椭圆C的离心率，故D错误. 11.答案：ACD 解析：等轴双曲线的渐近线方程为,故A正确; 由双曲线的方程可知,所以以为直径的圆,圆心为,半径为,则圆的方程为,故B错误; 点在圆上,不妨设点在直线上, 所以由解得, 则点P的横坐标为,故C正确; 由上述分析可得的面积为,故D正确. 故选:ACD. 12【答案】3. 由斜率公式求得l斜率为3 13. 【答案】 【详解】由题意得,即,解得或. 当时，两直线方程都为，两直线重合，不合题意，舍去； 当时，两直线方程分别为和，此时两直线平行，符合题意. 14.答案：13 解析：y2＝2×4x，故F(2，0)，记抛物线C的准线为l，则 l：x＝－2，记点P到l的距离为d，点Q(6，3)到l的距离为d′，则|PQ|＋|PF|＋|QF|＝|PQ|＋d＋≥d′＋5＝ 8＋5＝13. 15．答案：(1) (2)或 解析：(1)因为直线l过点，直线l的斜率为2； 所以所求为，即； (2)当直线l在x轴、y轴上的截距都为0时，所求为， 当直线l在x轴、y轴上的截距都为a，时，设所求为， 由题意，解得符合题意，故所求为； 综上所述，符合题意的直线方程为或. 16．答案：(1) (2)双曲线的方程为，渐近线方程为 解析：(1)由题意可知：，可得， 则，所以椭圆的方程为. (2)由(1)可知：的顶点为，短轴长为， 设双曲线的实轴长为，虚轴长为，焦距为， 由题意可知：，且焦点在x轴上，则， 所以双曲线的方程为，渐近线方程为. 17．答案：(1) (2)，取得最大值56 解析：(1)由题意可知：， 当时，， 当时，， 当时，显然成立， ∴数列的通项公式； (2)法一：， 由二次函数图象及知，取得最大值56. 18．答案：（1）; （2）能,理由见解析. 解析：（1）由题设,可设抛物线方程为,由图知：,, 所以,则,故抛物线所在抛物线的方程. （2）由题设,令,要使装载集装箱的车能安全通过隧道,则, 由（1）并将点代入可得：,故. 所以此车能安全通过隧道. 19.【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【小问1详解】由题意，双曲线的焦距为，则，即， 由，得，所以双曲线的方程为. 【小问2详解】依题意，直线的方程为， 联立，即， 设，，则，， 所以弦长. 【小问3详解】 证明：依题意，设直线的方程为，，， 联立，即，则， 且，，即， 而，， 所以 为定值. 学科网（北京）股份有限公司 $ 衡阳县四中2025年下学期期中考试 高二数学试题卷（B卷） 命题人：杜超群 （本试卷共2页，试卷满分150分，考试时间120分钟） 1、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项符合题目要求. 1. 直线的倾斜角等于（ ） A. 0° B. 45° C. 30° D. 90° 2.记等差数列的前n项和为,若,,则( ) A.63 B.70 C.84 D.126 3. 如图，若直线，，，的斜率分别为，，，，则（ ） A. B. C. D. 4．若抛物线（）的焦点到准线的距离为4,则该抛物线的焦点坐标为( ) A. B. C. D. 5．直线与直线间的距离是( ) A. B. C. D.1 6. 已知双曲线的其中一条渐近线为,则C的离心率为( ) A. B. C.2 D. 7．已知圆经过，两点，且圆心在直线上，则圆的标准方程是（ ） A. B. C. D. 8．在中,,,,P为所在平面内的动点,且.则的最大值为( ) 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知数列的前n项和为，，，则下列说法正确的是( ) A. B.是递减数列 C.当时， D. 10．已知椭圆的两个焦点为，，P为C上不与，共线的点，则下列说法正确的有( ) A.实数m的取值范围是 B.若椭圆C的焦点在x轴上，则 C.若，则周长为 D.若，则椭圆C的离心率为 11.已知分别是双曲线的上、下焦点,点P是其一条渐近线上一点,且以线 段为直径的圆经过点P,则( ) A.双曲线C的渐近线方程为 B.以为直径的圆的方程为 C.点P的横坐标为 D.的面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知,两点在直线l上,则直线l的斜率为________. 13. 若直线与直线平行，则_________. 14. 已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，点P在C上，若点Q(6，3)，则△PQF周长的最小 值为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知直线l过点，根据下列条件分别求直线l的方程： (1)直线l的斜率为2； (2)直线l在x轴、y轴上的截距相等． 16．已知椭圆长轴长为8，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)以的焦点为顶点，短轴为虚轴的双曲线记为，求的方程及其渐近线方程. 17．已知是等差数列的前n项和，且. (1)求数列的通项公式； (2)n为何值时，取得最大值并求其最大值. 18．某市为庆祝建党104周年,举办城市发展巡展活动,巡展的车队要经过一个隧道,隧道横断面由一段抛物线及一个矩形的三边组成,尺寸如图（单位：m）. （1）以隧道横断面抛物线的顶点O为原点,以抛物线的对称轴为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系,求该段抛物线所在抛物线的方程; （2）若车队空车时能通过此隧道,现装载一集装箱,箱宽,车与集装箱总高4m,此车能否安全通过隧道？请说明理由. 19. 已知双曲线的焦距为且左右顶点分别为，，过点的直线l与双曲线C的右支交于M，N两点． （1）求双曲线的方程； （2）若直线的斜率为，求弦长； （3）记直线，的斜率分别为，，证明：是定值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $