第5卷 立体几何 2026年江苏省（职教高考）《数学真题同源卷》（学生练习卷）（课件）

《数学真题同源卷》 江苏省2026职教高考 学生练习卷答案 第5卷 立体几何 选择题 1.已知圆锥的底面半径为，高为2，正方体棱长为，若点 A，B，C，D在该圆锥的侧面上，点，，，在该圆锥的底面上，则 ( ) A.2 B. C.1 D. 选择题 【详解】过正方体的一组对棱 作圆锥的截面，如图所示， 由题意可得： ， 面对角线 ， 所以 ， 由 ，可得 ， 所以 解得： ， 故选： 选择题 2.如图所示，在正方形铁皮上剪下一个扇形和一个直 径为4的圆，使之恰好围成一个圆锥，则圆锥的高为 ( ) A. B. C. D. 【详解】由图知，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，圆锥底面圆的半径为 ， 设扇形半径为，则有，解得，因此圆锥的母线长为， 所以圆锥的高 故选：D 选择题 3.已知长方体的体积是，点P、Q分别在侧棱和上， 且，则四棱锥的体积是( ) A B. C. D. 选择题 【详解】依题意，设，则正方体体积， 因为，所以， 所以， 又，所以， 所以四棱锥的体积 故选： 选择题 4.已知圆柱的底面半径为2，高为3，垂直于圆柱底面的平 面截圆柱所得截面为矩形(如图).若底面圆的弦 所对的圆心角为，则圆柱被分成两部分中较大部分的体 积为( ) A. B. C. D. 选择题 【详解】设截面将圆柱分成的两部分中较大部分 的体积为，圆柱的体积为，将圆柱的底面分成的 两部分中，较大部分的面积为，圆柱的底面积为, 则， ，， 所以依题意可得，则 ., 故选： 选择题 5.已知以边长为4的正方形为底面的四棱锥，四条侧棱分别为，则 该四棱锥的高为( ) A. B. C. D. 【详解】底面为正方形，边长为4，当相邻的棱长相等时， 不妨设，， 分别取，的中点，，连接，，， 选择题 如图所示： 则，，且，，平面 ， 故平面，且平面， 所以平面平面， 过作的垂线，垂足为，即， 由平面平面，平面， 所以平面， 选择题 由题意可得：，，， 则，即， 则， 故， 所以四棱锥的高为，当相对的棱长相等时，不妨设， ， 因为，此时不能形成三角形，与题意不符，这样情况 不存在. 故选： 选择题 6.如图，正方体的棱长为2，点分 别是的中点，过点的平面截该正方体所得 的截面记为，则截面的面积为( ) A. B. C. D. 选择题 【详解】延长，与直线相交于， 连接与分别交于点，连 接， 则五边形即为截面， 正方体的棱长为2，点分 别是的中点， 由得， ，， 故， 选择题 因为平面，平面， 所以，， 由勾股定理得， 取的中点，连接，则，且 ， 由勾股定理， 其中， 由相似关系可知，， 故 选择题 7.将图中所示的直角梯形ABCD绕AB所在的直线旋转一周，由此形 成的几何体体积是( ) A.96 B.128 C. D. 选择题 【详解】直角梯形ABCD绕AB所在直线旋转一周后，形成的几何体是：底面半 径为4，高为5的圆柱，和底面半径为4，高为的圆锥的组合体。 根据圆柱体积公式(其中r为底面半径，h为高)，已知，，则： 根据圆锥体积公式(其中r为底面半径，h为高)，已知，， 则： 该几何体的体积 ， 故选：C 选择题 8.正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形，则它的体积为( ) A. B. C. D.或 选择题 【详解】如图，正三棱柱，其侧面展开图为 一个矩形， 当矩形长、宽分别为6和4时，正三棱柱的高为4，底面 的边长为2， 此时； 当矩形长、宽分别为4和6时，正三棱柱的高为6，底面 的边长为， 此时 所以正三棱柱的体积为或 故选：D 选择题 9.在长方体中，若，，则与 所成角的余弦值为( ) A. B. C. D. 选择题 【详解】解：如图，连接， 在长方体中，因为，所以与所成角等于与所成的角； 在中，， 由余弦定理得 故选： 选择题 10.已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列结论正确的是 ( ) A.若，则 B.若，则 C.若，则 D.若，则 【详解】对于A，若，则或，故A错误； 对于B，若，则或与是异面直线，故B错误； 对于C，若，则或，故C错误； 对于D，若，则，又因为所以，故D正确， 故选： 选择题 11.已知直线平面，为直线，则“，”是“”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【详解】直线平面，则且， 反之，若，则，， 所以“，”是“”的必要不充分条件. 故选：B 选择题 12.如图所示，在正三棱柱中， ，则异面直线与所成角的余弦 值为( ) A. B. C. D. 选择题 【详解】连接，由棱柱的性质得， 所以是异面直线与所成角或其补角； 由正三棱柱的性质及， 得，， ， 在中，由余弦定理， 得 ， 即异面直线与所成角的余弦值为 故选： 填空题 13.如图，平面，点为垂足，平面 若 ，则____. 填空题 【详解】设，因，则， 因平面，平面，则， 又平面，故平面，因平面，则 在中，则， 在中，，故 故答案为： 填空题 14.如图所示，是长方体，其中，，点 是棱上一点，若异面直线与互相垂直，则_______. 填空题 【详解】如图所示，作，连接AF， 则，且， 即四边形ADEF为平行四边形，所以， 故在矩形中 ， 解得 故答案为： 填空题 15.如图，平面正方形的边长为3， ，则到平面的距离是___. 填空题 【详解】因为，平面，平面 ， 所以平面， 即点到平面的距离等于到平面的距离， 过点作于点， 因为平面，平面， 所以， 又，，平面， 所以平面， 填空题 因为平面，所以， 又，平面， 所以平面， 故的长即为到平面的距离， 因为，，故， 则 填空题 16.如图，在空间四边形中，， 平面平面，且，则与 平面所成角的正弦值是________. 填空题 【详解】设是的中点，连接，由于 ， 所以，由于平面平面，且交 线为， 平面，所以平面，由于平面， 所以， 设，而， 所以，所以 ， 填空题 三角形的面积为， 设到平面的距离为， 则，即 ， 所以与平面所成角的正弦值是 故答案为： 填空题 17.在正四面体中，点分别为棱的中 点，则异面直线所成角的余弦值为________. 填空题 【详解】连接，因为分别为的中点，所以， 因异面直线所成角的范围为，则异面直线所成角 为， 设正四面体的棱长为，则， ， 根据余弦定理， ， 则异面直线所成角的余弦值为 故答案为： 解答题 18.如图，四棱锥中，底面，，点在线段上， 且 (1)求证：平面； 解答题 【详解】因为平面，平面， 所以 因为，， 所以 又，平面， 所以平面； 解答题 (2)若，，，，求两条异面直线和 所成的角. 【详解】取中点，连接和 因为，，所以为等腰直角三角形. 由，可知，， 故为等腰直角三角形.于是有，则，所以是 异面直线和所成的角或其补角， 由勾股定理易知， 所以， 即异面直线和所成的角为 解答题 19.在斜三棱柱 中，底面，四边 形为正方形. (1)求证：平面平面； 【详解】因为平面平面，所以， 因为四边形为正方形，所以， 因为平面，所以平面， 又因为平面，所以平面 解答题 (2)设，求四棱锥的体积. 【详解】连接，因为底面，所以， 因为为斜三棱柱，所以为平行四边形， 所以，因为四边形为正方形， 所以，因为，， 所以， 所以，则的体积为 解答题 20.如图，是圆柱的底面直径，是圆柱的母线且 ，点是圆柱底面圆周上的点. (1)求圆柱的表面积； 【详解】根据题意，圆柱的底面半径，圆柱的高 ， 圆柱的上下底面积和为，圆柱的侧面积为， 所以圆柱的表面积为 解答题 (2)证明：平面平面； 【详解】由题意可知，底面，底面，则， 由直径所对的圆周角为直角，可得， 又，平面，平面， 所以平面，又因为平面， 所以平面平面 解答题 (3)若，是的中点，点在线段上，求的最小值. 【详解】将绕着旋转到，使其与共面， 且在的反向延长线上，当，，三点共线时， 的最小值为， 因为，，， ， 解答题 所以，，， 所以在中， 由余弦定理可得 ， 所以的最小值为 $