第5卷 立体几何 2026年江苏省（职教高考）《数学真题同源卷》（教师讲解卷）（课件）

第5卷 立体几何 《数学真题同源卷》 江苏省2026职教高考 教师讲解卷答案 概念回顾 1.柱体、锥体、台体和球体的表面积和体积 名称 几何体 表面积 体积 柱体(棱柱和圆柱) 锥体(棱锥和圆锥) 球 概念回顾 2. 平面的基本性质 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内. 公理2：过不共线的三点，有且只有一个平面. 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的 公共直线. 概念回顾 3.异面直线所成角、平行公理及等角定理 (1)异面直线所成的角 ①定义：设是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线，把 与所成的锐角或直角叫做异面直线与所成的角. ②范围： (2)平行公理：平行于同一条直线的两条直线平行. (3)等角定理：空中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. 概念回顾 4.空间中的位置关系(八大判定定理与性质定理) 关系判定口诀： “证明线面平行，就在面内找条线； 证明线面垂直，面内两条交线要垂直”. 真题精讲 1.(江苏省年高考真题)在斜三棱柱 中，底面，四边形为正方形. (1)求证：平面平面； 【详解】因为平面平面，所以， 因为四边形为正方形，所以， 因为平面，所以平面， 又因为平面，所以平面 真题精讲 (2)设，求四棱锥的体积. 【详解】连接，因为底面，所以， 因为为斜三棱柱，所以为平行四边 形，所以， 因为四边形为正方形，所以， 真题精讲 因为，， 所以， 所以， 则的体积为 真题精讲 2.(江苏省年高考真题)已知长方体的体积是，点P、Q 分别在侧棱和上，且，则四棱锥的体积是( ) A B. C. D. 真题精讲 【详解】依题意，设，则正方体体积 ， 因为，所以， 所以， 又，所以， 所以四棱锥的体积 故选： 真题精讲 3.(江苏省年高考真题)将图中所示的直角梯形ABCD绕AB所 在的直线旋转一周，由此形成的几何体体积是( ) A.96 B.128 C. D. 真题精讲 【详解】直角梯形ABCD绕AB所在直线旋转一周后，形成的几何体是：底面半 径为4，高为5的圆柱，和底面半径为4，高为的圆锥的组合体。 根据圆柱体积公式(其中r为底面半径，h为高)，已知，，则： 根据圆锥体积公式(其中r为底面半径，h为高)，已知，， 则： 该几何体的体积 ， 故选：C 举一反三 4.(江苏省年高考真题)若圆锥和圆柱的底面半径均为，高均为，则此 圆锥与圆柱的侧面积之比是( ) A. B. C. D. 举一反三 【详解】圆锥的侧面积公式为 (其中l为圆锥的母线长)。已知圆锥的 底面半径为R，高为，根据勾股定理可得母线长。 所以圆锥的侧面积。 圆柱的侧面积公式为 (其中h为圆柱的高)。 已知圆柱的底面半径为R，高为，所以圆柱的侧面积 。 圆锥与圆柱的侧面积之比为。 故选：D 举一反三 5.(重庆市年高考真题)已知正四棱锥的底面边长为1，侧棱和底面夹角为 ，则正四棱锥的体积是( ). A. B. C. D. 举一反三 【详解】 如图所示，在正四棱锥中底面边长为1，侧棱与底面所成角为， 顶点在底面的投影为正方形的中心，平面， 即是侧棱与底面的所成的角，即， 因为，即， 则在中，， 所以正四棱锥的体积为 故选：C 举一反三 6.(安徽省年高考真题)某粮囤由圆柱体和圆锥形的顶 组成，它的直观图如图所示.已知圆柱的底面直径为，高 为，圆锥的母线与底面圆的直径成角，则此粮 囤的容积(单位 为( ) A. B. C. D. 举一反三 【详解】因为圆柱的底面直径为，所以圆柱与圆锥的底面半径为， 圆锥的母线与底面圆的直径成角，且底面的高垂直于底面半径，所以 圆锥的高为， 所以圆锥的体积为， 圆柱的体积为， 所以粮仓的容积为， 故选：A. 举一反三 7.若正四棱锥的侧棱长为2，且侧棱与底面所成的角为，则该正四棱锥的体积 为( ) A. B. C. D. 【详解】设正四棱锥的底面边长为a，因为正四棱锥的侧棱长为2，且侧棱与底面 所成的角为，所以底面对角线的长为，底面边长为 ，解得 所以正四棱锥的高为， 所以正四棱锥的体积为 故选： 举一反三 8.(山东年高考真题)正三棱锥的棱长都是2，是的中点，则下 列结论：①；②与异面；③与平面所成的角是；④正三 棱锥的体积是；其中正确的结论的序号是( ) A.①② B.①③ C.③④ D.②④ 举一反三 取的中点分别为，连接交于点, 如图所示与不平行，故①不正确， 因为与既不平行又不相交，所以异面，故②正确； 因为正三棱锥，是底面中线的交点，所以平面，所以 是与平面的线面角，因为正三棱锥的棱长是2，是正三角形， 所以，，，在中，， ，所以，所以，故③错误； 【详解】 举一反三 因为， , 所以正三棱锥的体积，故④正确. 故选： 举一反三 9.如图，长方体中，，，，O为上底 面中心.求： (1)四棱锥的体积； 举一反三 【详解】连接，，，，作于点H，如图， 易得是四棱锥的高，且， ； 举一反三 (2)二面角的大小. 【详解】取底面的中心S，取棱的中点T，连接，，，如图， ，，又平面， 平面，， 即为二面角的平面角， 在中，，， 即二面角的大小为 举一反三 10.如图，在正三棱柱中，，，点为的中点. (1)求证：平面； 【详解】连接 ,与相交于，连接，则是 的中点. 又为的中点，所以，平面， 平面 所以平面 举一反三 (2)求三棱锥的体积. 【详解】在正三棱柱中，，，点为的中点， ， 故三棱锥的体积 拓展提升 11.已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的2倍，则侧棱与底面所成角的余弦值为 ( ). A. B. C. D. 拓展提升 【详解】如图，在正三棱锥中，设，则， 顶点在底面上的射影为正的中心，即为 侧棱与底面 所成的角， 因此，，所以侧棱与底面 所成角的余弦值为 故选：A 拓展提升 12.如图已知正方体，M，N分别是 ，的中点，则( ) A.直线与直线垂直，直线MN平面 B.直线与直线平行，直线MN平面 C.直线与直线平行，直线平面 D.直线与直线垂直，直线平面 拓展提升 【详解】如图所示，连接，因为正方形，且 为的中点， 所以点为的中点，又由为的中点，所以 ， 又因为平面，平面，所以平面， 在正方体中， 因为平面，且平面，所以， 拓展提升 又因为正方形，可得， 因为，且平面，所以平面， 又因为平面，所以，所以A正确，B、C错误； 在中，可得与不垂直，所以与平面不垂直， 因为，所以与平面不垂直，所以D错误. 故选： 拓展提升 13.如图，在三棱锥中，两两互相垂直， 为的中点，且，则直线与所成 角的大小为( ) A. B. C. D. 拓展提升 【详解】在三棱锥中，两两互相垂 直，以为坐标原点，建立如下图所示空间直角坐标系， 为的中点，且，则 ，， ， ，设所成的角为 ， ， ，，即直线与所成角的大小为 故选： 拓展提升 14.已知直线、，平面、，满足且，则“”是“” 的( )条件. A.必要非充分 B.充分非必要 C.充要 D.既非充分又非必要 拓展提升 【详解】因为，所以， 若，则，即“”是“”的必要 条件； 如图，在长方体中，设平面为平面、平面 为平面，， 令，则，但是与平面不垂直， 即“”不是“”的充分条件； 所以“”是“”的必要非充分条件. 故选： 拓展提升 15.已知平面和平面，直线，直线 则下列结论一定成立的是 ( ) A.若，则 B.若，则 C.若，则 D.若与是异面直线，则 拓展提升 【详解】对于A，直线，直线，若，则或平面和平面 相交，故A错误； 对于B，直线，直线，若，则，故B正确； 对于C，直线，直线，若，则或平面和平面相交，故 C错误； 对于D，直线，直线，若与为异面直线，则或平面和平面 相交，故D错误. 故选：B 拓展提升 16.在棱长为2的正四面体中，顶点到底面的距离为________. 【详解】依题意，正的外接圆半径，则， 所以顶点到底面的距离 故答案为： 拓展提升 17.如图，在四棱锥中，底面是边长为4的 菱形，，，，则 该四棱锥的高为___，体积为____. 【详解】连接交于点，连接因为四边形是菱形， 所以，且为的中点. 因为，所以 又因为，平面，且，所以平面 而平面，所以平面平面 故以OA所在直线为轴，OB所在直线为轴，过O点作平面的垂线作为轴， 拓展提升 建立如图所示的空间直角坐标系. 因为，所以， ， 则， 由题意平面即为平面，故设 因为，所以，即 又，所以，所以， 拓展提升 由，得 ，解得， 所以，所以，所以该四棱锥 的高为4； 又菱形的面积为 ， 所以该四棱锥的体积为 故答案为：4； 拓展提升 18.如图所示，在三棱柱中，底面， ，，直线与侧面所成的角 为，则该三棱柱的侧面积为_________________. 拓展提升 【详解】 连接，因为底面，，底面， 所以，，又，所以 ， 又，，，平面， 所以平面，所以直线与侧面所成的角为， 即，所以，所以在中，， 该三棱柱的侧面积为 故答案为： 拓展提升 19.如图，在直三棱柱中，，分别是 的中点.已知， (1)证明：平面； 拓展提升 【详解】方法一：因为，， 由，可得， 如图，以为轴的正方向，建立空间直角坐 标系， 设平面的法向量为， 则 拓展提升 则， 故可取， 因，因平面，故平面 方法二：连结，交于点，连结， 因为点分别是的中点，所以， 平面平面，. 所以平面； 拓展提升 (2)求直线与平面所成角的大小. 【详解】方法一建系，则， 于是， 设平面的法向量为， 拓展提升 所以，故可取， 设与平面所成角为， 则， 因，则 即直线与平面所成角的大小为 拓展提升 20.如图，在三棱锥中，平面ABC，，，，分别是 棱，，的中点，， 拓展提升 (1)证明：平面； 【详解】由题意知、分别、中点，则得， 因为平面，平面， 所以平面 拓展提升 (2)求直线与平面所成角的正弦值； 【详解】由平面ABC，，则可以点为 坐标原点，以，，所在直线为，，轴建立空 间直角坐标系， 则，，，， ，，， 所以，，， 设平面的一个法向量为， 拓展提升 则，令，则得 ， 设直线与平面所成角为，则 ， 故线与平面所成角的正弦值为 拓展提升 (3)求点到平面的距离； 【详解】由(2)可得，平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离为 拓展提升 21.已知分别是正方体的边上的点，若， 则异面直线与所成的角等于__. 拓展提升 【详解】连接， 因为在正方体中，，又， 所以，故， 因为在正方体中，， 所以四边形是平行四边形，则， $