第5卷 立体几何 2026年江苏省（职教高考) 《数学真题同源卷》（教师讲解卷）

编写说明：2026年江苏省职教高考《数学真题同源卷》专辑。立足江苏省职教高考数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 江苏省2026年职教高考《数学真题同源卷》 第5卷 立体几何 （教师讲解卷） 【概念回顾】 1.柱体、锥体、台体和球体的表面积和体积 名称 几何体 表面积 体积 柱体(棱柱和圆柱) S表面积＝S侧＋2S底 V＝ S底h 锥体(棱锥和圆锥) S表面积＝S侧＋S底 V＝S底h 球 S＝ 4πR2 V＝πR3 2. 平面的基本性质 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内． 公理2：过不共线的三点，有且只有一个平面． 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． 3.异面直线所成角、平行公理及等角定理 (1)异面直线所成的角 ①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角或直角叫做异面直线a与b所成的角． ②范围：. (2)平行公理：平行于同一条直线的两条直线平行. (3)等角定理：空中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. 4.空间中的位置关系（八大判定定理与性质定理） 关系判定口诀：“证明线面平行，就在面内找条线；证明线面垂直，面内两条交线要垂直”. 【真题精讲】 1.（江苏省·2025年高考真题）在斜三棱柱中，底面，四边形为正方形. （1）求证：平面平面； （2）设，求四棱锥的体积. 2.（江苏省·2024年高考真题）已知长方体的体积是，点P、Q分别在侧棱和上，且，则四棱锥的体积是（ ） A B. C. D. 3.（江苏省·2023年高考真题）将图中所示的直角梯形绕所在的直线旋转一周，由此形成的几何体体积是（ ） A.96 B.128 C. D. 【举一反三】 4.（江苏省·2022年高考真题）若圆锥和圆柱的底面半径均为，高均为，则此圆锥与圆柱的侧面积之比是（ ） A． B． C． D． 5.（重庆市·2025年高考真题）已知正四棱锥的底面边长为1，侧棱和底面夹角为，则正四棱锥的体积是（ ）． A． B． C． D． 6.（安徽省·2024年高考真题）某粮囤由圆柱体和圆锥形的顶组成，它的直观图如图所示.已知圆柱的底面直径为8m，高为4m，圆锥的母线与底面圆的直径成角，则此粮囤的容积（单位:m³）为（ ） A． B． C． D． 7.若正四棱锥的侧棱长为2，且侧棱与底面所成的角为60°，则该正四棱锥的体积为（ ） A． B． C． D． 8.（山东·2024年高考真题）正三棱锥的棱长都是2，是的中点，则下列结论：①；②与异面；③与平面所成的角是；④正三棱锥的体积是；其中正确的结论的序号是（ ） A．①② B．①③ C．③④ D．②④ 9.如图，长方体中，，，，O为上底面中心.求：    (1)四棱锥的体积； (2)二面角的大小. 10.如图，在正三棱柱中，，，点为的中点.    (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积. 【拓展提升】 一、选择题 11．已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的2倍，则侧棱与底面所成角的余弦值为（ ）. A． B． C． D． 12．如图已知正方体，M，N分别是，的中点，则（ ）    A．直线与直线垂直，直线MN平面 B．直线与直线平行，直线MN平面 C．直线与直线平行，直线MN⊥平面 D．直线与直线垂直，直线MN⊥平面    13．如图，在三棱锥中，两两互相垂直，为的中点，且，则直线与所成角的大小为（ ） A． B． C． D． 14．已知直线、，平面、，满足且，则“”是“”的（ ）条件. A．必要非充分 B．充分非必要 C．充要 D．既非充分又非必要 15．已知平面α和平面β，直线，直线 则下列结论一定成立的是 （ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若m与n是异面直线，则 二、填空题 16．在棱长为2的正四面体中，顶点到底面的距离为 . 17．如图，在四棱锥中，底面是边长为4的菱形，，，，则该四棱锥的高为 ，体积为 ． 18．如图所示，在三棱柱中，底面，，，直线与侧面所成的角为，则该三棱柱的侧面积为 .    三、解答题 19．如图，在直三棱柱中，，分别是的中点．已知，．    (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的大小． 20．如图，在三棱锥中，平面ABC，，，，分别是棱，，的中点，，.    (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求点到平面的距离； 21.已知分别是正方体的边上的点，若，则异面直线与所成的角等于_____. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2026年江苏省职教高考《数学真题同源卷》专辑。立足江苏省职教高考数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 江苏省2026年职教高考《数学真题同源卷》 第5卷 立体几何 （教师讲解卷） 【概念回顾】 1.柱体、锥体、台体和球体的表面积和体积 名称 几何体 表面积 体积 柱体(棱柱和圆柱) S表面积＝S侧＋2S底 V＝ S底h 锥体(棱锥和圆锥) S表面积＝S侧＋S底 V＝S底h 球 S＝ 4πR2 V＝πR3 2. 平面的基本性质 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内． 公理2：过不共线的三点，有且只有一个平面． 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． 3.异面直线所成角、平行公理及等角定理 (1)异面直线所成的角 ①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角或直角叫做异面直线a与b所成的角． ②范围：. (2)平行公理：平行于同一条直线的两条直线平行. (3)等角定理：空中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. 4.空间中的位置关系（八大判定定理与性质定理） 关系判定口诀：“证明线面平行，就在面内找条线；证明线面垂直，面内两条交线要垂直”. 【真题精讲】 1.（江苏省·2025年高考真题）在斜三棱柱中，底面，四边形为正方形. （1）求证：平面平面； （2）设，求四棱锥的体积. 【答案】（1）证明见解析（2） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的性质及判定、面面垂直的判定证明即可； （2）根据等体积法以及棱锥的体积公式求解即可. 【小问1详解】 因为平面平面，所以， 因为四边形为正方形，所以， 因为平面，所以平面， 又因为平面，所以平面. 【小问2详解】 连接， 因为底面，所以， 因为为斜三棱柱，所以为平行四边形，所以， 因为四边形为正方形，所以， 因为，， 所以， 所以， 则的体积为. 2.（江苏省·2024年高考真题）已知长方体的体积是，点P、Q分别在侧棱和上，且，则四棱锥的体积是（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用长方体的性质，结合棱柱与棱锥的体积公式即可得解. 【详解】依题意，设，则正方体体积， 因为，所以， 所以， 又，所以， 所以四棱锥的体积. 故选：A. 3.（江苏省·2023年高考真题）将图中所示的直角梯形绕所在的直线旋转一周，由此形成的几何体体积是（ ） A.96 B.128 C. D. 【答案】 【解析】 【分析】本题可将旋转后形成的几何体看作是圆柱与圆锥的组合体，分别计算圆柱和圆锥的体积，再将两者体积相加即可得到该几何体的体积。 【详解】 直角梯形绕所在直线旋转一周后，形成的几何体是：底面半径为，高为的圆柱，和底面半径为，高为的圆锥的组合体。 根据圆柱体积公式（其中为底面半径，为高），已知，，则： 根据圆锥体积公式（其中为底面半径，为高），已知，，则： 该几何体的体积， 故选： 【举一反三】 4.（江苏省·2022年高考真题）若圆锥和圆柱的底面半径均为，高均为，则此圆锥与圆柱的侧面积之比是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查圆锥和圆柱的侧面积计算，需要分别根据圆锥和圆柱的侧面积公式求出侧面积，再求比值。 【详解】 圆锥的侧面积公式为（其中为圆锥的母线长）。已知圆锥的底面半径为，高为，根据勾股定理可得母线长。 所以圆锥的侧面积。 圆柱的侧面积公式为（其中为圆柱的高）。 已知圆柱的底面半径为，高为，所以圆柱的侧面积。 圆锥与圆柱的侧面积之比为。 故选：D 5.（重庆市·2025年高考真题）已知正四棱锥的底面边长为1，侧棱和底面夹角为，则正四棱锥的体积是（ ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】先根据正四棱锥的底面边长以及侧棱和底面夹角求得棱锥的高，结合棱锥体积公式，即可求解. 【详解】 如图所示，在正四棱锥中底面边长为1，侧棱与底面所成角为， 顶点在底面的投影为正方形的中心，平面， 即是侧棱与底面的所成的角，即， 因为，即， 则在中，， 所以正四棱锥的体积为. 故选：C 6.（安徽省·2024年高考真题）某粮囤由圆柱体和圆锥形的顶组成，它的直观图如图所示.已知圆柱的底面直径为8m，高为4m，圆锥的母线与底面圆的直径成角，则此粮囤的容积（单位:m³）为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意结合圆锥的体积公式与圆柱的体积公式即可得解. 【详解】因为圆柱的底面直径为8m，所以圆柱与圆锥的底面半径为， 圆锥的母线与底面圆的直径成角，且底面的高垂直于底面半径，所以圆锥的高为， 所以圆锥的体积为， 圆柱的体积为， 所以粮仓的容积为， 故选：. 7.若正四棱锥的侧棱长为2，且侧棱与底面所成的角为60°，则该正四棱锥的体积为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】求出底面正四边形的对角线的长，然后求出边长，求出棱锥的高，即可求出正四棱锥的体积． 【详解】设正四棱锥的底面边长为a， 因为正四棱锥的侧棱长为2，且侧棱与底面所成的角为60°， 所以底面对角线的长为， 底面边长为，解得． 所以正四棱锥的高为， 所以正四棱锥的体积为. 故选：C. 8.（山东·2024年高考真题）正三棱锥的棱长都是2，是的中点，则下列结论：①；②与异面；③与平面所成的角是；④正三棱锥的体积是；其中正确的结论的序号是（ ） A．①② B．①③ C．③④ D．②④ 【答案】D 【解析】 【分析】根据正三棱锥的性质，结合平行直线、异面直线、线面角的定义和锥体的体积公式逐一判断即可. 【详解】 取的中点分别为，连接交于点, 如图所示与不平行，故①不正确， 因为与既不平行又不相交，所以异面，故②正确； 因为正三棱锥，是底面中线的交点， 所以平面，所以是与平面的线面角， 因为正三棱锥的棱长是，是正三角形， 所以，，， 在中，，， 所以， 所以，故③错误； 因为， , 所以正三棱锥的体积，故④正确. 故选：D. 9.如图，长方体中，，，，O为上底面中心.求：    (1)四棱锥的体积； (2)二面角的大小. 【答案】(1) (2) 【解析】 【分析】（1）作出辅助线，根据四棱锥的体积公式计算即可； （2）通过辅助线找到即为二面角的平面角，再由正切值即可求解角度. 【详解】（1）连接，，，，作于点H，如图，    易得是四棱锥的高，且， ∴； （2）取底面的中心S，取棱的中点T，连接，，，如图，    ∵， ∴， 又∵平面，平面， ∴， ∴即为二面角的平面角， ∵在中，， ∴， 即二面角的大小为. 10.如图，在正三棱柱中，，，点为的中点.    (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解析】 【分析】（1）取与的交点，证，即可证得平面. （2）先求的面积，再由三棱锥的体积公式可得. 【详解】（1）连接 ,与相交于，连接，则是的中点. 又为的中点，所以，平面，平面. 所以平面．    （2）在正三棱柱中，，，点为的中点， ， . 故三棱锥的体积． 【拓展提升】 一、选择题 11．已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的2倍，则侧棱与底面所成角的余弦值为（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正三棱锥的结构特征及线面角的定义求解. 【详解】如图，在正三棱锥中，设，则，    顶点在底面上的射影为正的中心，即为侧棱与底面所成的角， 因此，，所以侧棱与底面所成角的余弦值为. 故选：A 12．如图已知正方体，M，N分别是，的中点，则（    ）    A．直线与直线垂直，直线MN平面 B．直线与直线平行，直线MN平面 C．直线与直线平行，直线MN⊥平面 D．直线与直线垂直，直线MN⊥平面 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，利用正方体的几何结构特征，结合线面平行和线面垂直的判定与性质，进行判定，即可求解. 【详解】如图所示，连接，因为正方形，且为的中点， 所以点为的中点，又由为的中点，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 在正方体中， 因为平面，且平面，所以， 又因为正方形，可得， 因为，且平面，所以平面， 又因为平面，所以，所以A正确，B、C错误； 在中，可得与不垂直，所以与平面不垂直， 因为，所以与平面不垂直，所以D错误. 故选：A.    13．如图，在三棱锥中，两两互相垂直，为的中点，且，则直线与所成角的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用已知条件得出相关点的坐标，进而得出的坐标，利用向量夹角的余弦公式求解． 【详解】在三棱锥中，两两互相垂直，以为坐标原点，建立如下图所示空间直角坐标系， 为的中点，且，则，， ， ，设所成的角为， ， ，，即直线与所成角的大小为． 故选：C． 14．已知直线、，平面、，满足且，则“”是“”的（    ）条件. A．必要非充分 B．充分非必要 C．充要 D．既非充分又非必要 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间中的垂直关系和充分条件、必要条件的定义进行判定. 【详解】因为，所以， 若，则，即“”是“”的必要条件； 如图，在长方体中，设平面为平面、平面为平面，， 令，则，但是与平面不垂直， 即“”不是“”的充分条件； 所以“”是“”的必要非充分条件. 故选：A. 15．已知平面α和平面β，直线，直线 则下列结论一定成立的是 （    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若m与n是异面直线，则 【答案】B 【解析】 【分析】由空间点、线、面的位置关系，逐项判断即可 【详解】对于A，直线，直线，若，则或平面和平面相交，故A错误； 对于B，直线，直线，若，则，故B正确； 对于C，直线，直线，若，则或平面和平面相交，故C错误； 对于D，直线，直线，若与为异面直线，则或平面和平面相交，故D错误. 故选：B 二、填空题 16．在棱长为2的正四面体中，顶点到底面的距离为 . 【答案】/ 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正四面体的结构特征计算即得. 【详解】依题意，正的外接圆半径，则， 所以顶点到底面的距离. 故答案为： 17．如图，在四棱锥中，底面是边长为4的菱形，，，，则该四棱锥的高为 ，体积为 ． 【答案】 4 【解析】 【分析】先利用菱形的性质定理及线面垂直的判定定理得平面，进而利用面面垂直的判定定理得平面平面．然后建立空间直角坐标系，设，利用和求得点P坐标即可求解锥体的高，最后利用棱锥的体积公式计算即可． 【详解】连接交于点，连接．因为四边形是菱形， 所以，且为的中点． 因为，所以． 又因为，平面，且，所以平面． 而平面，所以平面平面． 故以OA所在直线为x轴，OB所在直线为y轴，过O点作平面的垂线作为z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系. 因为，所以，， 则， 由题意平面即为平面xOz，故设. 因为，所以，即. 又，所以，所以， 由，得，解得， 所以，所以，所以该四棱锥的高为4； 又菱形的面积为， 所以该四棱锥的体积为. 故答案为：4； 18．如图所示，在三棱柱中，底面，，，直线与侧面所成的角为，则该三棱柱的侧面积为 .    【答案】/ 【解析】 【解析】 【分析】由线面垂直的判定定理可得平面，得到直线与侧面所成的角为，然后由题目条件可得，的长度，从而可得侧面积. 【详解】    连接， 因为底面，，底面， 所以，， 又，所以， 又，，，平面， 所以平面， 所以直线与侧面所成的角为，即， 所以， 所以在中，， 该三棱柱的侧面积为. 故答案为：. 三、解答题 19．如图，在直三棱柱中，，分别是的中点．已知，．    (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解析】 【分析】（1）方法一：利用勾股定理证，建系，求出平面的法向量，由即可证得；方法二：连结，交于点，利用三角形中位线定理证明，再由线线平行证得线面平行即可； （2）根据（1）的方法一建系，求出平面的法向量，利用空间向量的夹角公式求解即得. 【详解】（1）方法一：因为，， 由，可得， 如图，以为轴的正方向，建立空间直角坐标系，      则 设平面的法向量为， 则， 故可取， 因，因平面，故平面 方法二：连结，交于点，连结， 因为点分别是的中点，所以， 平面平面，. 所以平面； （2）仿照（1）方法一建系，则， 于是， 设平面的法向量为， 所以，故可取， 设与平面所成角为， 则， 因，则 即直线与平面所成角的大小为． 20．如图，在三棱锥中，平面ABC，，，，分别是棱，，的中点，，.    (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求点到平面的距离； 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【解析】 【分析】（1）利用线面平行判定定理即可求证； （2）建立空间直角坐标系，然后求出直线的方向向量及平面的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求解； （3）利用点到平面距离的向量法即可求解. 【详解】（1）由题意知、分别、中点，则得， 因为平面，平面， 所以平面. （2）由平面ABC，，则可以点为坐标原点，以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，，， 所以，，， 设平面的一个法向量为， 则，令，则得， 设直线与平面所成角为，则， 故线与平面所成角的正弦值为.    （3）由（2）可得，平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离为. 21.已知分别是正方体的边上的点，若，则异面直线与所成的角等于_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用平面几何证得，再利用平行线的传递性得到，从而得到为异面直线与所成的角（或其补角），再证得是等边三角形，从而得解. 【详解】连接， 因为在正方体中，，又， 所以，故， 因为在正方体中，， 所以四边形是平行四边形，则， 所以，则为异面直线与所成的角（或其补角）， 在正方体中，为其面对角线，易得， 所以是等边三角形，所以，即异面直线与所成的角为. 故答案为：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $