24.1.2垂直于弦的直径（基础篇）讲义 2025-2026学年人教版（2012）数学九年级上册

24.1.2垂直于弦的直径 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 圆的对称性 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴。 垂径定理 （1）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。如图所示，直径为MD，AB是弦， 且CD⊥AB，M A B D o ⌒ ⌒ 垂足为C AC=BC AM=BM C 垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 如上图所示，直径MD与非直径弦AB相交于点C， CD⊥AB⌒ ⌒ AC=BC AM=BM⌒ ⌒ AD=BD 注意：因为圆的两条直径必须互相平分，所以垂径定理的推论中，被平分的弦必须不是直径，否则结论不成立。 型 习 练 题 利用垂径定理求值 1．如图，是的直径，是的弦，于点，连接．若，，则的半径的长为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查圆周角定理，垂径定理，连接，由垂径定理得到，由圆周角定理得到，判定是等腰直角三角形，求出，于是得到的半径的长为． 【详解】解：连接， ∵直径于点E， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴的半径的长为． 故选：D． 2．如图，圆形拱门的形状是以点为圆心的圆的一部分，点是的弦的中点，连接并延长交于点，若，，则的半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理的应用、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题关键．连接，先证明，设半径为，在中列方程求出即可． 【详解】解：连接， ∵点是的弦的中点， ， 设半径为，则， ∵，， ∴， 在中，， ， 解得：， 则的半径为， 故选：C． 3．下列说法中①在同一平面内，到定点的距离等于定长的所有点组成的图形是圆；②半径相等的两个半圆是等弧；③相等的圆心角所对的弧相等；④平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．正确的个数有（    ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查圆的基本概念，包括圆的定义、等弧的条件、圆心角与弧的关系以及垂径定理的逆命题．根据以上知识逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：∵ ① 在同一平面内，到定点的距离等于定长的所有点组成的图形是圆，这是圆的定义，正确； ∵ ② 半径相等的两个半圆，弧长相等且均为半圆，故能重合，是等弧，正确； ∵ ③ 相等的圆心角所对的弧相等，需在同圆或等圆中才成立，否则不一定，错误； ∵ ④ 平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，但弦为直径时，平分弦的直径不一定垂直于弦，错误； ∴ 正确的有①和②，共2个． 故选：B． 4．如图，为的直径，点在上，连接，以为边作菱形，交于点，垂足为，若，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D． 【答案】B 【分析】本题考查圆中求线段长，涉及垂径定理、勾股定理和菱形性质等知识，熟记垂径定理及勾股定理求线段长的方法是解决问题的关键． 先由垂径定理得到，，则，在中，由勾股定理求出，进而由菱形性质得到，最后数形结合表示出线段求解即可得到答案． 【详解】解：如图所示： ，为的直径， ，， 则， 在中，，则由勾股定理可得， 四边形为菱形， ， 则， 故选：B． 5．如图，将一把两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心O，另一边所在直线与半圆相交于点，，量出半径，弦，则直尺的宽度为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，圆的性质． 作于点，连接，则，，可得，，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：作于点，连接，则，， ∵，， ∴，， ∴， ∴直尺的宽度为． 故选：B． 利用垂径定理求平行弦问题 6．已知在⊙O中，半径，弦，且，，则与的距离为（     ）． A．7或17 B．7 C．7或12 D．12 【答案】A 【分析】本题考查圆中两条平行线间的距离，解题的关键是根据勾股定理分别求出两弦的弦心距，分两弦在圆的同侧和异侧进行讨论．由勾股定理，垂径定理，分两种情况讨论，即可求解． 【详解】解：当在点的两侧，作于M，延长交于N，连接， ，，， 则， ， ，， ， 此时弦与的距离为17； 当在点O的同侧，作于Q，交于P，连接， 同理，， ，， ， 此时弦与的距离为7， 弦与的距离为17或7． 故选：A． 7．已知的半径为，弦，，，则，之间的距离为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】此题考查了垂径定理，勾股定理．过点O作于点E，延长交于点F，连接，由得到，利用垂径定理得到，，利用勾股定理求出，再分当在圆心同侧时，当在圆心两侧时求出答案． 【详解】解；如图所示，当平行弦，在圆心的同侧时， 过点作，垂足为，延长交于点，连接，， 则，． 在中，． 在中，． 故EF． 如图所示，当平行弦，在圆心的异侧时， 过点作，垂足为，延长交于点，连接，， 则，． 在中，． 在中，． 故． 综上，，之间的距离为或， 故选：D． 8．⊙O的半径是10，弦，，则弦与的距离是（    ） A．2 B．14 C．2或14 D．7或1 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理的应用．作于E，于F，由垂径定理得，由于，易得E、O、F三点共线，在和中，利用勾股定理分别计算出与，然后讨论：当圆心O在弦与之间时，与的距离；当圆心O在弦与的外部时，与的距离． 【详解】解：如图，作于E，于F，连， 则， ∵， ∴E、O、F三点共线， 在中，， 在中，， 当圆心O在弦与之间时，与的距离； 当圆心O在弦与的外部时，与的距离． 所以与的距离是14或2． 故选：C． 9．已知在中两条平行弦，，，的半径是10，则AB与CD间的距离是（    ） A．6或12 B．2或14 C．6或14 D．2或12 【答案】B 【分析】由勾股定理，垂径定理，分两种情况讨论：①当和位于圆心同侧时和②当和位于圆心异侧时，即可求解． 【详解】解：分类讨论：①当和位于圆心同侧时，如图，连接，过点O作于点E，交于点F．    ∵， ∴， ∴，． ∵， ∴，， ∴，即此时AB与CD间的距离是2； ②当和位于圆心异侧时，如图，连接，过点O作于点P，延长交于点Q．    ∵， ∴， ∴，． ∵， ∴，， ∴，即此时AB与CD间的距离是14． 综上可知AB与CD间的距离是2或14． 故选B． 【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，解题关键是分两种情况讨论，作辅助线构造直角三角形． 10．半径为5，弦，，，则与间的距离为（    ） A．1 B．7 C．1或7 D．3或4 【答案】C 【分析】过点作，为垂足，交与，连，，由，得到，根据垂径定理得，，再在中和在中分别利用勾股定理求出，，然后讨论：当圆点在、之间，与之间的距离；当圆点不在、之间，与之间的距离． 【详解】解：过点作，为垂足，交与，连，，如图， ， ， ，， 而，， ，， 在中，，； 在中，，； 当圆点在、之间，与之间的距离； 当圆点不在、之间，与之间的距离； 所以与之间的距离为7或1． 故选：C． 【点睛】本题考查了垂径定理，即垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧．也考查了勾股定理以及分类讨论的思想的运用． 利用垂径定理求同心圆问题 11．如图，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过，，O三点，那么这条圆弧所在圆的圆心为图中的（　　） A．点D B．点E C．点F D．点G 【答案】B 【分析】根据图形作线段和的垂直平分线，两线的交点即为圆心，根据图形得出即可． 【详解】解：如图 作线段和的垂直平分线，交于点E，即为弧的圆心， 故选：B． 【点睛】本题考查了垂径定理，线段垂直平分线性质，坐标与图形性质的应用． 12．将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则杯底有水面AB的宽度是（　　）cm. A．6 B． C． D． 【答案】C 【分析】作OD⊥AB于C，交小圆于D，可得CD=2，AC=BC，由AO、BO为半径，则OA=OD=4；然后运用勾股定理即可求得AC的长，即可求得AB的长. 【详解】解：作OD⊥AB于C，交小圆于D，则CD=2，AC=BC， ∵OA=OD=4，CD=2， ∴OC=2， ∴AC=， ∴AB=2AC=. 故答案为C. 【点睛】本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，作出辅助线、构造出直角三角形是解答本题的关键. 13．已知△ABC的边BC= ，且△ABC内接于半径为2的⊙O，则∠A的度数是（ ） A．60° B．120° C．60°或120° D．90° 【答案】C 【分析】连接OB，OC，作OD⊥BC，利用垂径定理和特殊角的三角函数可求得∠BOD=60°，从而求得答案.注意弦所对的圆周角有锐角和钝角两种情况. 【详解】①当△ABC时锐角三角形时， 连接OB，OC，过点O作OD⊥BC于点D， ∴  ， ∵OB=2 ∴ ∴∠BOD=60° ∴∠BOC=2∠BOD=2×60°=120°， ∵=， ∴； ②当△ABC时钝角三角形时，如图， 由①可知∠E=60°， ∵四边形ABEC是圆内接四边形， ∴∠E+∠A=180°， ∴∠A=180°-60°=120°. 故∠A的度数为60°或120°. 故答案为：C 【点睛】本题考查了垂径定理、圆周角定理和解直角三角形．正确作出辅助线是解题的关键. 14．如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于C点，AB=12cm，AO=8cm，则OC长为（ ）cm A．5 B．4 C． D． 【答案】D 【详解】解： O为圆心的两个同心圆的圆心，大圆的弦AB与小圆相切于C点， C点是AB的中点，即AC=BC==6； 并且OC⊥AB，在中， 由勾股定理得， 所以；AO=8cm， 所以， 所以OC= 故选： 【点睛】本题考查弦心距，勾股定理，解答本题要求考生掌握弦心距的概念和性质，熟悉勾股定理的内容. 垂径定理的推论 15．下列说法不正确的是（   ） ①平分弦的直径垂直于弦；②平分弦的直径平分弦所对的弧；③垂直平分弦的直线必定经过圆心；④平分弧的直径垂直平分弧所对的弦． A．③④ B．②④ C．①② D．①②③④ 【答案】C 【分析】此题考查了垂径定理及其推论． 根据垂径定理及其推论判断各说法的正误，注意弦为直径时的特殊情况． 【详解】解：∵ 当弦为直径时，平分弦的直径可能不垂直于弦， ①错误； ∵ 当弦为直径时，平分弦的直径可能不平分弦所对的弧， ②错误； ∵ 垂直平分弦的直线必过圆心（垂径定理推论），③正确； ∵ 平分弧的直径必垂直平分弧所对的弦（垂径定理逆定理）， ④正确． ∴ 不正确的是①②， 故选C 16．下列关于圆的说法不正确的是（    ） A．平分弧的直径垂直平分弧所对的弦 B．平分弦的直径平分弦所对的弧 C．垂直平分弦的直径必定经过圆心 D．垂直于弦的直径平分弦所对的弧 【答案】B 【分析】本题主要考查了垂径定理， 根据垂径定理及其逆定理逐项判断即可. 【详解】解：因为平分弧的直径垂直平分弧所对的弦，所以A正确； 因为平分弦（不是直径）的直径平分弧所对的弦，所以B不正确； 因为垂直平分弦的直径必定经过圆心，所以C正确； 因为垂直于弦的直径平分弦所对的弧，所以D正确. 故选：B. 17．下列命题中，正确的是（   ） A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径 B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦 C．弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心 D．在一个圆内平分一条弧和平分它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心 【答案】D 【分析】本题考查的是垂径定理，熟知平分弦的直径垂直这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．根据垂径定理对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、两条直径互相平分，但不一定垂直，故本选项错误，不符合题意； B、平分一条弧的直径垂直于这条弧所对的弦，故本选项错误，不符合题意； C、弦的垂直平分线必经过这条弦所在圆的圆心，故本选项错误，不符合题意； D、在一个圆内平分一条弧和平分它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心，故本选项正确，符合题意． 故选：D． 18．下列命题中，假命题是（   ） A．垂直平分弦的直线经过圆心； B．平分弦的直径垂直这条弦； C．平分弦和弦所对弧的直线经过圆心； D．平分弦所对弧的直径垂直这条弦 【答案】B 【分析】本题考查了命题真假的判断，垂径定理及其推论，熟练掌握定理是解题的关键．根据垂径定理及其推论，对于一个圆和一条直线来说如果一条直线具备下列，①经过圆心，②垂直于弦，③平分弦（弦不是直径），④平分弦所对的优弧，⑤平分弦所对的劣弧，五个条件中的任何两个，那么也就具备其他三个，逐项判断即可． 【详解】解：A、垂直平分弦的直线经过圆心，故该选项为真命题，不符合题意； B、平分弦（弦不是直径）的直径垂直这条弦， 故该选项为假命题，符合题意； C、平分弦和弦所对弧的直线经过圆心，故该选项为真命题，不符合题意； D、平分弦所对弧的直径垂直这条弦，故该选项为真命题，不符合题意； 故选：B． 19．如图、已知为的直径，点为的中点．则下列结论中一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理及其推论，根据垂径定理中“知二推三”进行推理论证，即可解题． 【详解】解：为的直径，点为的中点． ， 故选：B． 垂径定理的实际应用 20．如图是排水管示意图，截面是半径为5分米的圆，管内水面分米，则水深等于（   ） A．分米 B．分米 C．2分米 D．3分米 【答案】C 【分析】本题主要考查的是垂径定理的应用，由题意知，交于点C，由垂径定理可得出的长，在中，根据勾股定理求出的长，由即可得出结论． 【详解】解：连接， 由题意知，交于点C， ∵分米， ∴（分米）， 在中，根据勾股定理得： （分米）， ∴（分米）． 故选：C． 21．某项目化研究小组只用一张矩形纸条和刻度尺，来测量一次性纸杯杯底的直径．小敏同学想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯底．纸条的上下边缘分别与杯底相交于、、、四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，，．则该纸杯杯底的直径为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查垂径定理的应用，勾股定理．由垂径定理求出，的长，设，由勾股定理得到，求出的值，得到的长，由勾股定理求出长，即可求出纸杯的直径长． 【详解】解：如图，设圆心，过点O作于N，交于点M，连接，， ， ∵， ， ，， 设， ， ，， ， ， ， ， ， 纸杯的直径为． 故选：B． 22．如图，一条排水管的截面为圆，已知排水管的半径为10，水面宽为16，某天下雨后，水面宽度变为12，则此时排水管水面上升了（    ） A．2 B．14 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查垂径定理和勾股定理的运用，解题的关键是垂径定理． 利用垂径定理和勾股定理，分别计算初始水面和新水面距圆心的距离，排水管水面上升的值就是两个距离的和． 【详解】设圆心为，半径． 初始水面宽，作于，则． ，， ． 新水面宽，作于，则． ，， ． 初始水面距圆心6，新水面距圆心8， 排水管水面上升了． 23．如图，圆弧形桥拱的跨度米，拱高米，则拱桥的半径为（   ） A．3米 B．10米 C．12米 D．20米 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理的应用和勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键． 设圆弧形桥拱的圆心是O，半径为r米，连接，则O、D、C三点共线，根据垂径定理得米，再由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】解：设圆弧形桥拱的圆心是O，半径为r米，如图，连接，则O、D、C三点共线， ∵拱高为， ∴， ∵米， ∴米， 在中，根据勾股定理，得：， 即， 解得：， 即拱桥的半径为10米， 故选：B． 24．小明为了测量铁球的半径，将铁球放入如图所示的工件槽内，并测得，（点，均在上），铁球的半径，则铁球的半径是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了垂径定理和勾股定理的应用，解题的关键是利用垂径定理求出弦长的一半，再利用勾股定理建立方程求解铁球的半径． 根据垂径定理可得，设铁球的半径为，则，，在中，根据勾股定理可得，解关于的方程即可求解． 【详解】如图，设交于点， ，， ， 设铁球的半径为，则， ，，， 四边形是矩形， ， ， ， 在中， 根据勾股定理，可得， 即， 解得， 因此，铁球的半径是， 故选：． 学科网（北京）股份有限公司 $ 24.1.2垂直于弦的直径 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 圆的对称性 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴。 垂径定理 （1）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。如图所示，直径为MD，AB是弦， 且CD⊥AB，M A B D o ⌒ ⌒ 垂足为C AC=BC AM=BM C 垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 如上图所示，直径MD与非直径弦AB相交于点C， CD⊥AB⌒ ⌒ AC=BC AM=BM⌒ ⌒ AD=BD 注意：因为圆的两条直径必须互相平分，所以垂径定理的推论中，被平分的弦必须不是直径，否则结论不成立。 型 习 练 题 利用垂径定理求值 1．如图，是的直径，是的弦，于点，连接．若，，则的半径的长为（   ） A．3 B． C． D． 2．如图，圆形拱门的形状是以点为圆心的圆的一部分，点是的弦的中点，连接并延长交于点，若，，则的半径为（   ） A． B． C． D． 3．下列说法中①在同一平面内，到定点的距离等于定长的所有点组成的图形是圆；②半径相等的两个半圆是等弧；③相等的圆心角所对的弧相等；④平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．正确的个数有（    ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．如图，为的直径，点在上，连接，以为边作菱形，交于点，垂足为，若，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D． 5．如图，将一把两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心O，另一边所在直线与半圆相交于点，，量出半径，弦，则直尺的宽度为（　　） A． B． C． D． 利用垂径定理求平行弦问题 6．已知在⊙O中，半径，弦，且，，则与的距离为（     ）． A．7或17 B．7 C．7或12 D．12 7．已知的半径为，弦，，，则，之间的距离为（    ） A． B． C． D．或 8．⊙O的半径是10，弦，，则弦与的距离是（    ） A．2 B．14 C．2或14 D．7或1 9．已知在中两条平行弦，，，的半径是10，则AB与CD间的距离是（    ） A．6或12 B．2或14 C．6或14 D．2或12 10．半径为5，弦，，，则与间的距离为（    ） A．1 B．7 C．1或7 D．3或4 利用垂径定理求同心圆问题 11．如图，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过，，O三点，那么这条圆弧所在圆的圆心为图中的（　　） A．点D B．点E C．点F D．点G 12．将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则杯底有水面AB的宽度是（　　）cm. A．6 B． C． D． 13．已知△ABC的边BC= ，且△ABC内接于半径为2的⊙O，则∠A的度数是（ ） A．60° B．120° C．60°或120° D．90° 14．如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于C点，AB=12cm，AO=8cm，则OC长为（ ）cm A．5 B．4 C． D． 垂径定理的推论 15．下列说法不正确的是（   ） ①平分弦的直径垂直于弦；②平分弦的直径平分弦所对的弧；③垂直平分弦的直线必定经过圆心；④平分弧的直径垂直平分弧所对的弦． A．③④ B．②④ C．①② D．①②③④ 16．下列关于圆的说法不正确的是（    ） A．平分弧的直径垂直平分弧所对的弦 B．平分弦的直径平分弦所对的弧 C．垂直平分弦的直径必定经过圆心 D．垂直于弦的直径平分弦所对的弧 17．下列命题中，正确的是（   ） A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径 B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦 C．弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心 D．在一个圆内平分一条弧和平分它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心 18．下列命题中，假命题是（   ） A．垂直平分弦的直线经过圆心； B．平分弦的直径垂直这条弦； C．平分弦和弦所对弧的直线经过圆心； D．平分弦所对弧的直径垂直这条弦 19．如图、已知为的直径，点为的中点．则下列结论中一定正确的是（   ） A． B． C． D． 垂径定理的实际应用 20．如图是排水管示意图，截面是半径为5分米的圆，管内水面分米，则水深等于（   ） A．分米 B．分米 C．2分米 D．3分米 21．某项目化研究小组只用一张矩形纸条和刻度尺，来测量一次性纸杯杯底的直径．小敏同学想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯底．纸条的上下边缘分别与杯底相交于、、、四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，，．则该纸杯杯底的直径为（   ） A． B． C． D． 22．如图，一条排水管的截面为圆，已知排水管的半径为10，水面宽为16，某天下雨后，水面宽度变为12，则此时排水管水面上升了（    ） A．2 B．14 C．6 D．8 23．如图，圆弧形桥拱的跨度米，拱高米，则拱桥的半径为（   ） A．3米 B．10米 C．12米 D．20米 24．小明为了测量铁球的半径，将铁球放入如图所示的工件槽内，并测得，（点，均在上），铁球的半径，则铁球的半径是（    ） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $