专题04 函数的性质6大考点（期末真题汇编，青海、宁夏专用）高一数学上学期人教A版

专题04 函数的性质 6大高频考点概览 考点01 函数的单调性 考点02 函数的奇偶性、周期性 考点03 抽象函数求值 考点04 函数性质的综合应用 考点05 利用函数性质解不等式 考点06 函数的新定义 地 城 考点01 函数的单调性 一、单选题 1．(24-25高一上·宁夏银川唐徕中学·期末)已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数的对称轴与单调性的关系即可求解. 【详解】函数的图象，抛物线对称轴为，开口向上， 故，解得，所以实数a的取值范围是. 故选：B 2．(23-24高一上·宁夏青铜峡宁朔中学·期末)下列函数中，定义域是且为增函数的是 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别求出选项中各函数的定义域，并判断其单调性，从而可得结论. 【详解】对于，，是上的减函数，不合题意； 对于，是定义域是且为增函数，符合题意； 对于，，定义域是，不合题意； 对于，，定义域是，但在上不是单调函数，不合题，故选B. 【点睛】本题主要考查函数的定义域与单调性，意在考查对基础知识的掌握与灵活运用，属于基础题. 3．(23-24高一上·宁夏银川育才中学·期末)下列函数中，既是偶函数又在上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】A选项，是奇函数，错误；BD选项，不满足单调性，错误；C选项，满足要求. 【详解】，定义域为， 因为，所以是奇函数，A错误； 在上单调递增，故B错误； 定义域为R，且，故为偶函数， 又开口向下，在上单调递减，符合要求，C正确； 在上单调递增，故D错误. 故选：C 4．(24-25高一上·宁夏石嘴山·期末)已知，，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数解析式可得为偶函数且在上单调递增，由对数运算计算可得结果. 【详解】易知定义域为， 由可知为偶函数， 则， 当时，有，故在上单调递增， 而， 又，即，因此， 故选：A． 三、填空题 5．(23-24高一上·宁夏石嘴山·期末)已知对于任意两个不相等实数，都有成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，确定函数的单调性，再利用分段函数单调性列出不等式组，求解不等式组即得. 【详解】由对于任意两个不相等实数，都有成立，得函数在R上单调递增， 而函数，因此，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 6．(24-25高一上·宁夏吴忠同心县四校·期末)已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据二次函数、一次函数、分段函数的单调性列不等式，解不等式即可. 【详解】由二次函数，一次函数，分段函数的单调性可知，解得， 故实数的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题 7．(23-24高一上·青海西宁·期末)已知函数，且． (1)判断函数在上的单调性，并用定义法证明； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)增函数，证明见解析； (2)或. 【分析】（1）首先求得函数表达式，分离常数即可判断，按定义法证明即可. （2）由单调性解不等式结合一元二次不等式的解法即可得解. 【详解】（1）函数在上是增函数． 证明如下： 由已知，则，即，解得， 所以， 任取，且， 则 ， 因为，所以，即， 又，，所以， 即，则， 所以函数在上为增函数． （2）由（1）知函数在上为增函数， 由，可得 ， 即，，解得或， 所以的取值范围为或. 8．(24-25高一上·宁夏吴忠同心县四校·期末)已知函数为奇函数，其函数图象经过点. (1)求，的值； (2)证明：函数在区间上单调递增； (3)若命题：“，”为真命题，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由可求出，再由函数的图象经过点，可求出的值； （2）由（1）知，再由定义法证明函数在区间上单调递增； （3）将题意转化为“，，由（2）知，函数在区间上单调递增，求出，即可得出答案. 【详解】（1）解：由题知的定义域为，因为函数为奇函数， 所以，，即， 所以，对恒成立，所以，故. 因为函数的图象经过点，即，解得， 所以，. （2）证明：由（1）知. 令，则 . 因为，所以，，， 所以，即， 故函数在区间上单调递增. （3）解：由（2）知，当时，函数单调递增，故. 若命题为真命题，则，解得， 故实数的取值范围为. 地 城 考点02 函数的奇偶性、周期性 一、单选题 1．(23-24高一上·宁夏固原·期末)下列函数中，在定义域内既是单调函数，又是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据解析式可直接判断出单调性和奇偶性. 【详解】对于A：为奇函数且在上单调递增，满足题意； 对于B：为非奇非偶函数，不合题意； 对于C：为非奇非偶函数，不合题意； 对于D：在整个定义域内不具有单调性，不合题意. 故选：A. 2．(24-25高一上·宁夏银川第二中学·期末)设函数，若是奇函数，则的值是（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】根据为奇函数，可求得，代入可得答案. 【详解】若是奇函数，则， 所以，， . 故选：D. 3．(23-24高一上·青海西宁大通县·期末)已知函数的定义域为R，且，当时，，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】根据题意得到的周期为1，从而，代入求解即可. 【详解】因为，所以，函数的周期为1， 所以． 故选：A． 4．(24-25高一上·宁夏吴忠吴忠中学·期末)已知是定义在R上的偶函数，且周期.若当时，，则（    ） A．4 B．16 C． D． 【答案】B 【分析】由函数的奇偶性和周期性求解即可. 【详解】因为. 故选：B. 5．(24-25高一上·宁夏固原西吉中学·期末)已知是R上的偶函数且满足，若，，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据是R上的偶函数且，得的周期为6，再利用周期性可得答案. 【详解】因为是R上的偶函数，所以， 由得， 可得的周期为6， 若，则， 解得. 故选：B. 二、多选题 6．(23-24高一上·宁夏青铜峡宁朔中学·期末)已知是定义在上的偶函数，当时，，则下列结论中正确的是（    ） A． B．的最大值为 C．在上是增函数 D．的解集为 【答案】ABD 【分析】根据是偶函数，结合二次函数的性质，以及一元二次不等式的求解，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择. 【详解】对：∵是偶函数，∴，A正确； 对：∵时，，∴由对称性可知的最大值为，B正确； 对：当时，，又的对称轴为， ∴在上是减函数，C错误； 对：时，的解集为， 时，无解，故D正确. 故选：ABD. 7．(23-24高一上·青海西宁大通县·期末)已知定义在上的偶函数满足，当时，，则（    ） A．的图象关于点对称 B． C．当时， D．在上单调递减 【答案】AC 【分析】由题设可判断A；令可判断BD；求出时的解析式，再由为偶函数求出可判断C. 【详解】对于A，由题设，可知的图象关于点对称，故A正确； 对于B，在中，令，得，故B错误； 对于C，当时，，所以，又， 所以，即当时，， 而为偶函数，所以当时，， 综上可知，当时，，故C正确； 对于D，由B的解析可知，故D错误. 故选：AC. 三、填空题 8．(23-24高一上·宁夏银川金凤区唐徕中学·期末)函数，设函数的最大值为，最小值为，则的值为 . 【答案】4 【分析】结合已知条件，利用奇函数性质即可求解. 【详解】由题意，， 不妨令， 因为， 故，即， 因为，所以为奇函数，关于原点对称， 故，， 由奇函数性质可知，，即. 故答案为：4. 9．(23-24高一上·宁夏石嘴山·期末)我们知道，函数的图象关于轴成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数.已知函数，则该函数图象的对称轴为 ；若该函数有唯一的零点，则 . 【答案】 / 【分析】根据偶函数的性质，结合函数对称性的性质进行求解即可. 【详解】的图象关于轴对称，有唯一的零点，， 故. 故答案为： 四、解答题 10．(24-25高一上·青海名校联盟·期末)判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)奇函数 (2)偶函数 (3)非奇非偶函数 【分析】（1）（2）（3）利用函数奇偶性的定义可判断出函数的奇偶性. 【详解】（1）的定义域为. 因为，所以为奇函数. （2）的定义域为，因为，所以为偶函数. （3）的定义域为，因为，且， 所以为非奇非偶函数. 11．(23-24高一上·青海海北州·期末)已知二次函数在处取得最大值，指数函数. (1)求的值； (2)设函数，试判断的奇偶性，并说明理由. 【答案】(1) (2)偶函数，理由见解析 【分析】（1）根据二次函数的性质，结合指数幂运算性质进行求解即可； （2）根据函数奇偶性的定义进行判断证明即可. 【详解】（1）因为该二次函数的对称轴为 所以由题意可得， 得， 则， 则. （2）为偶函数. 理由如下： ，其定义域为，关于原点对称. 因为， 所以为偶函数. 地 城 考点03 抽象函数求值 一、单选题 1．(24-25高一上·宁夏石嘴山·期末)定义在上的函数满足条件①，②，，则的值为（    ） A．0 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】由，取可求，由，取可求，再取，，可求结论. 【详解】因为，取可得， 又，可得， 因为，取可得， 所以，又， 故， 由，取，， 可得， 故选：D. 2．(24-25高一上·青海名校联盟·期末)若对任意恒成立，且，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】赋值可解. 【详解】由对任意恒成立， 令，得， 解得. 故选：B. 3．(24-25高一上·宁夏银川一中·期末)已知定义域为R的函数满足：为偶函数，，且，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】由题意根据函数满足的条件等式，推出函数的一个周期，再利用赋值法求出以及，结合函数周期，即可求得答案. 【详解】由题意知定为域为R的函数满足：为偶函数， 即，即，结合， 得，即， 故，即， 则，故8为函数的一个周期， 由于，，故令，则， 结合，令，得， 对于，令，则， 故， 故选：B 【点睛】关键点睛：本题考查了抽象函数的求值问题，解答的关键是根据函数满足的条件，推出函数周期，进而结合赋值法求值，即可求解答案. 二、解答题 4．(23-24高一上·宁夏银川唐徕中学·期末)已知函数的定义域是的一切实数，对定义域内的任意 ，都有且当时，. （1）求证：是偶函数； （2）求证：在上是增函数； （3）试比较与的大小． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）. 【解析】（1）利用赋值法先求出f（1）＝0，f（﹣1）＝0，再令x1＝﹣1，x2＝x代入，化简可得结果； （2）利用单调性的定义进行证明，设x2＞x1＞0，则，然后由当时，，可证得结果； （3）由偶函数的性质和函数在上是增函数，可比较两函数值的大小 【详解】（1）由题意知，对定义域内的任意x1，x2都有f（x1•x2）＝f（x1）+f（x2）， 令x1＝x2＝1，代入上式解得f（1）＝0， 令x1＝x2＝﹣1，代入上式解得f（﹣1）＝0， 令x1＝﹣1，x2＝x代入上式， ∴f（﹣x）＝f（﹣1•x）＝f（﹣1）+f（x）＝f（x）， ∴f（x）是偶函数； （2）设x2＞x1＞0，则 ∵x2＞x1＞0，∴，∴0， 即f（x2）﹣f（x1）＞0，∴f（x2）＞f（x1） ∴f（x）在（0，+∞）上是增函数； （3）∵f（x）是偶函数，∴， 又f（x）在（0，+∞）上是增函数，且， ∴， 即. 5．(23-24高一上·宁夏银川金凤区唐徕中学·期末)设函数是定义在上的减函数，且满足， (1)求的值； (2)如果，求的取值集合． 【答案】(1)0 (2) 【分析】（1）采用赋值法，令即可求得结果； （2）结合已知条件和单调性将函数值不等关系转化为自变量的不等关系，由此求解出结果. 【详解】（1）令，所以，所以， 所以. （2）因为，所以， 又因为， 所以， 又因为函数是定义在上的减函数， 所以，解得或， 所以不等式的解集为. 地 城 考点04 函数性质的综合应用 一、多选题 1．(24-25高一上·宁夏石嘴山·期末)已知定义在上的奇函数满足，且时，，给出下列结论正确的是（    ） A．； B．若，则关于的方程在上所有根之和为4； C．函数关于直线对称； D．函数在上是减函数. 【答案】ABD 【解析】由已知得周期性，又由奇偶性及函数关系式得对称性，从而可判断各选项． 【详解】是奇函数，则，又满足， ∴，∴是周期函数，8是它的一个周期． A．由得，A正确； B．时，，∴在上单调递增，， ∵，、 ∴的图象关于直线对称，则在上单调递减，， 又， ∴点与点关于点对称， ∴的图象关于成中心对称． ∴时，， 时，则关于的方程在上只有两个根，且关于2对称， ∴，B正确； C．若函数又关于直线对称，由B知是其对称中心，则与题意不符，故C错误； D．由B的推导，在上单调递减，的图象关于成中心对称．则在上递减，从而在上是减函数， ∵是奇函数， ∴在上是减函数．D正确． 故选：ABD． 【点睛】关键点点睛：本题考查函数的奇偶性、单调性、周期性与函数图象的关系，综合性较强，难度较大，属于中档题．解题关键是利用函数关系式及周期性、奇偶性得出两个对称性，关于直线对称，关于点成中心对称． 2．(24-25高一上·宁夏银川一中·期末)设函数的定义域为为奇函数，为偶函数.当时，，则下列结论正确的有（    ） A． B．在上单调递减 C．点是函数的一个对称中心 D．方程有5个实数解 【答案】AD 【分析】根据题意可得是函数的一个周期，由对称性作出函数部分图象和的草图，数形结合判断各个选项得解. 【详解】为奇函数，函数的图象关于点成中心对称， 为偶函数，函数的图象关于直线成轴对称. 则且， ，即， 所以， 是函数的一个周期. 当时，，则可作出函数部分图象和的草图如下. 由图可知A，D正确，B，C不正确. 故选：AD.    二、解答题 3．(24-25高一上·宁夏银川唐徕中学·期末)函数是定义在实数集上的奇函数，当时，. (1)判断函数在的单调性，并给出证明； (2)求函数在时的解析式； (3)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)在上单调递减，证明见解析 (2)当时， (3) 【分析】（1）利用函数单调性的定义判断并证明即可； （2）利用奇函数的定义以及已知的函数解析式求解即可； （3）先利用奇函数的定义将不等式进行变形，然后利用函数的单调性去掉“”，转化为对任意的恒成立，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）在上单调递减．证明如下： 当时，，设， 因为，所以，， 故，即， 所以在上单调递减． （2）令，则， 又当时，，所以， 因为为上的奇函数，所以， 即当时，． （3）因为对任意的，不等式恒成立， 即对任意的恒成立， 因为为奇函数，， 则对任意的恒成立， 因为在上单调递减，且为奇函数， 则在上单调递减，故在上单调递减， 所以对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 因为， 所以当时，， 所以，即实数的取值范围为． 4．(24-25高一上·宁夏吴忠青铜峡第一中学·期末)已知定义域为的函数是奇函数. (1)求的值； (2)证明在上的单调性. (3)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）由可得答案； （2）由函数单调性的定义证明即可； （3）由题意结合函数的单调性、函数的奇偶性脱去符号，转化为对恒成立，利用可得答案. 【详解】（1）由于定义域为的函数是奇函数， 所以，即，解得， 所以，由于，定义域关于原点对称， 且， 所以是奇函数，故； （2）在上是减函数， 证明如下：设任意， 则， ， 所以， 所以在上是减函数； （3）不等式恒成立， 由奇函数得到，所以， 由在上是减函数，可得对恒成立， 即对恒成立， 则，解得. 即实数的取值范围是. 【点睛】方法点睛：对于抽象函数求值或范围的问题，一般利用函数的奇偶性、单调性脱去函数的符号“”，转化为解不等式(组)的问题求解. 5．(24-25高一上·宁夏吴忠吴忠中学·期末)已知函数为奇函数． (1)求实数的值并判断的单调性（无需证明）； (2)若，求的取值范围； (3)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)，在和上单调递减； (2) (3) 【分析】（1）根据奇函数的定义求实数的值，根据复合函数的单调性及奇偶性判断函数的单调性； （2）根据函数的单调性，利用分类讨论的方法求解； （3）将双变量双函数相等关系的问题转化为两函数值域的包含关系. 【详解】（1）函数中，， 因为为奇函数，所以，即， 整理得，所以，即， 其定义域为， 由复合函数的单调性可知，在和上单调递减； 因为，在和上单调递增， 所以在在和上单调递减， 所以在和上单调递减； （2）因为在和上单调递减，并且， 当时，则，可得； 当时，则，可得； 画出函数图像 由图像可知： 当时，，解得； 当，，无解； 当，，此时解得； 综上所述，的取值范围为； （3）， 当时，，故， 所以在上值域为， 又 ，， 令，，则， 所以当时，，当时，， 所以函数在上值域为， 因为对任意的，总存在，使得成立， 所以，所以，解得， 所以实数的取值范围为. 6．(23-24高一上·宁夏石嘴山·期末)已知函数是奇函数. （1）求a，b的值； （2）证明：是区间上的减函数； （3）若，求实数m的取值范围. 【答案】（1），（2）证明见解析（3） 【解析】（1）由于函数是奇函数，且有意义，则，定义域关于原点对称，列出方程，即可得到，； （2）运用单调性的定义，注意作差、变形，同时运用指数函数的单调性，即可判断符号，得到结论成立； （3）运用奇函数的定义和函数是区间上的减函数，得到不等式组，注意定义域的运用，解出它们即可得到范围． 【详解】（1）∵函数，是奇函数， ∴，且， 即，. （2）证明：由（1）得，， 设任意且， ∴ ， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴，∴. ∴是区间上的减函数． （3）∵， ∴， ∵奇函数， ∴， ∵是区间上的减函数， ∴，即有， ∴， 则实数的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：利用奇函数的性质及函数的单调性解决满足的实数m的取值范围问题，要特别注意定义域，考防止遗漏，造成求解的错误，属于中档题． 7．(23-24高一上·宁夏银川育才中学·期末)已知定义在上的函数是奇函数． (1)求实数，的值； (2)判断函数的单调性； (3)若，不等式有解，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2)在上为减函数 (3) 【分析】（1）由，求得，再由，求得，结合函数的奇偶性的定义，即可求解； （2）化简，根据函数的单调性的定义及判定方法，即可求解； （3）根据题意化简不等式为在有解，结合正弦函数和二次函数的性质，即可求解. 【详解】（1）解：由题意，定义在上的函数是奇函数， 可得，解得，即， 又由，可得，解得，所以， 又由，所以，. （2）解：由， 设，则， 因为函数在上是增函数且， 所以，即， 所以在上为减函数. （3）解：由函数在上为减函数，且函数为奇函数， 因为， 即， 可得， 又由对任意的，不等式有解， 即在有解， 因为，则，所以， 所以，即实数的取值范围是. 地 城 考点05 利用函数性质解不等式 一、单选题 1．(24-25高一上·宁夏吴忠同心县四校·期末)已知是定义域为的偶函数，且当时，是增函数.若，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据偶函数的性质，结合函数的单调性，把函数不等式转化成代数不等式求解. 【详解】因为函数是定义域为的偶函数，且当时，是增函数.则当时，是减函数. 所以由. 故选：B 二、填空题 2．(23-24高一上·青海西宁大通县·期末)若函数在上是减函数，且，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意，转化为不等式，即可求解. 【详解】由函数在上是减函数，因为，可得，解得，所以实数的取值范围是. 故答案为：. 3．(24-25高一上·宁夏石嘴山·期末)设是定义在上的奇函数，对任意的，满足：，若，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】令，由条件可得的奇偶性与单调性，分为三种情况讨论，结合，得到不等式的解集. 【详解】因为为上的奇函数，所以，. 不妨设，由得， 则，可得， 令，则在上单调递增， 的定义域为， 且， 故为偶函数，在上单调递减， 当时，， 因为，所以， 故，即，解得； 当时，， 因为，所以， 故，解得； 当时，，符合题意， 故不等式的解集为. 故答案为：. 4．(24-25高一上·宁夏银川第二中学·期末)设是定义在上的偶函数，且对任意的、，有，，则的解集为 . 【答案】 【分析】分析函数的单调性，可得出，分、两种情况解原不等式，即可得出所求不等式的解集. 【详解】对任意的、，有， 不妨设，则， 所以函数在上为增函数， 又因为函数是定义在上的偶函数， 则该函数在上为减函数，且， 所以， 当时，则，解得； 当时，则，解得. 综上所述，不等式的解集为. 故答案为：. 5．(24-25高一上·宁夏银川一中·期末)已知的定义域为，对任意的，且都有且，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】由不等关系构造新的函数并得到单调性，对已知不等式按构造函数进行转换，利用单调性列出不等式后解得的解集. 【详解】不妨设，则， 令，则，∴在上单调递增， 可得， ∵，∴， 则，. 故答案为： 6．(23-24高一上·宁夏银川第二中学·期末)已知函数满足，对任意的都有恒成立，且，则关于的不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】构造新函数，求得函数为上的偶函数，得出，在由任意的都有恒成立，得到函数在为单调递增函数，结合函数的取值，即可求解. 【详解】由题意，设函数， 因为函数满足，即， 则，所以函数为上的偶函数， 又由，则， 因为对任意的都有恒成立， 则函数在为单调递增函数， 所以当时，，此时， 当时，，此时， 所以的解集为. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性和函数的单调性的综合应用，其中解答中根据题设条件，构造新函数，结合函数的奇偶性和单调性求解是解答的关键，着重考查了构造思想，以及推理与运算能力，属于中档试题. 7．(23-24高一上·宁夏银川唐徕中学·期末)若函数y = f（x）为偶函数，且在（0， + ）上是减函数，又f（1） = 0，则的解集为 【答案】 【分析】根据题意作出函数的图象，如图，利用函数的奇偶性将不等式化简，结合图象即可求出不等式的解集. 【详解】由题意知，作出符合条件的函数图象，如图，    由函数为偶函数，得， 即，结合图象可知， 当x>0,时，f(x)<0，则x>1； 当x<0时，f(x)>0，则-1<x<0， 所以的解集为. 故答案为： 8．(23-24高一上·宁夏银川金凤区唐徕中学·期末)已知奇函数的定义域为，且在上单调递减，，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】根据函数的奇偶性及单调性得到大概趋势，则分两种或讨论即可. 【详解】因为函数是定义域为的奇函数，则，， 在上单调递减，由，得或得或，即.故解集为 故答案为：. 地 城 考点06 函数的新定义 一、单选题 1．(23-24高一上·宁夏银川唐徕中学·期末)已知函数的定义域为，若，满足，则称函数具有性质．已知定义在上的函数具有性质，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数新定义可推得，恒成立，即，的值域M，满足，求出M，列出不等式，即可求得答案. 【详解】由题意得定义在上的函数具有性质， 即，满足， 即，恒成立； 记函数，的值域为M，， 则由题意得, 当，即时，在单调递减， 则，即,此时不满足，舍去； 当，即时，在时取得最大值， 即，即 , 要满足，需，解得或 ， 而，故，即m的取值范围为， 故选：D 【点睛】方法点睛：根据函数新定义，要能推出，恒成立，继而将问题转化为集合之间的包含问题，因此要求出函数的值域，根据集合的包含关系列不等式求解即可. 二、多选题 2．(24-25高一上·宁夏银川一中·期末)对于任意实数a，b，定义运算“⊗”：.设函数，且关于x的方程恰有三个实数根，则（   ） A．实数t可能的取值为 B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据题意求函数的解析式，进而作出图象，结合图象判断ABC；对于D：根据，代入整理即可判断. 【详解】当，即时，则； 当，即时，则； 综上所述：， 作出函数的图象，如图所示： 若关于x的方程恰有三个实数根， 可知，且， 即实数t的值不可能为，故A错误，B正确； 又因为，故C正确； 由题意可知：，即， 可得，故D正确； 故选：BCD. 三、填空题 3．(23-24高一上·青海西宁大通县·期末)记表示不超过x的最大整数，例如，，已知函数则 ；若函数恰有3个零点，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 0 【分析】直接代入可求得；有3个零点方程有3个不同的实数根，即的图象与函数的图象有3个交点，数形结合可求. 【详解】； 有3个零点方程有3个不同的实数根，即的图象与函数的图象有3个交点， 由题可知当，显然不成立，所以，做出与的图象如图． 两函数图象在y轴的左侧只有1个交点，故y轴右边有2个交点， 则，解得． 故答案为：0； 试卷第1页，共3页 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 函数的性质 6大高频考点概览 考点01 函数的单调性 考点02 函数的奇偶性、周期性 考点03 抽象函数求值 考点04 函数性质的综合应用 考点05 利用函数性质解不等式 考点06 函数的新定义 地 城 考点01 函数的单调性 一、单选题 1．(24-25高一上·宁夏银川唐徕中学·期末)已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．(23-24高一上·宁夏青铜峡宁朔中学·期末)下列函数中，定义域是且为增函数的是 A． B． C． D． 3．(23-24高一上·宁夏银川育才中学·期末)下列函数中，既是偶函数又在上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 4．(24-25高一上·宁夏石嘴山·期末)已知，，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 5．(23-24高一上·宁夏石嘴山·期末)已知对于任意两个不相等实数，都有成立，则实数的取值范围为 . 6．(24-25高一上·宁夏吴忠同心县四校·期末)已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为 . 四、解答题 7．(23-24高一上·青海西宁·期末)已知函数，且． (1)判断函数在上的单调性，并用定义法证明； (2)若，求的取值范围． 8．(24-25高一上·宁夏吴忠同心县四校·期末)已知函数为奇函数，其函数图象经过点. (1)求，的值； (2)证明：函数在区间上单调递增； (3)若命题：“，”为真命题，求实数的取值范围. 地 城 考点02 函数的奇偶性、周期性 一、单选题 1．(23-24高一上·宁夏固原·期末)下列函数中，在定义域内既是单调函数，又是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高一上·宁夏银川第二中学·期末)设函数，若是奇函数，则的值是（    ） A．2 B． C．4 D． 3．(23-24高一上·青海西宁大通县·期末)已知函数的定义域为R，且，当时，，则（    ） A． B． C．1 D． 4．(24-25高一上·宁夏吴忠吴忠中学·期末)已知是定义在R上的偶函数，且周期.若当时，，则（    ） A．4 B．16 C． D． 5．(24-25高一上·宁夏固原西吉中学·期末)已知是R上的偶函数且满足，若，，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 6．(23-24高一上·宁夏青铜峡宁朔中学·期末)已知是定义在上的偶函数，当时，，则下列结论中正确的是（    ） A． B．的最大值为 C．在上是增函数 D．的解集为 7．(23-24高一上·青海西宁大通县·期末)已知定义在上的偶函数满足，当时，，则（    ） A．的图象关于点对称 B． C．当时， D．在上单调递减 三、填空题 8．(23-24高一上·宁夏银川金凤区唐徕中学·期末)函数，设函数的最大值为，最小值为，则的值为 . 9．(23-24高一上·宁夏石嘴山·期末)我们知道，函数的图象关于轴成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数.已知函数，则该函数图象的对称轴为 ；若该函数有唯一的零点，则 . 四、解答题 10．(24-25高一上·青海名校联盟·期末)判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3). 11．(23-24高一上·青海海北州·期末)已知二次函数在处取得最大值，指数函数. (1)求的值； (2)设函数，试判断的奇偶性，并说明理由. 地 城 考点03 抽象函数求值 一、单选题 1．(24-25高一上·宁夏石嘴山·期末)定义在上的函数满足条件①，②，，则的值为（    ） A．0 B． C．1 D． 2．(24-25高一上·青海名校联盟·期末)若对任意恒成立，且，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．(24-25高一上·宁夏银川一中·期末)已知定义域为R的函数满足：为偶函数，，且，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、解答题 4．(23-24高一上·宁夏银川唐徕中学·期末)已知函数的定义域是的一切实数，对定义域内的任意 ，都有且当时，. （1）求证：是偶函数； （2）求证：在上是增函数； （3）试比较与的大小． 5．(23-24高一上·宁夏银川金凤区唐徕中学·期末)设函数是定义在上的减函数，且满足， (1)求的值； (2)如果，求的取值集合． 地 城 考点04 函数性质的综合应用 一、多选题 1．(24-25高一上·宁夏石嘴山·期末)已知定义在上的奇函数满足，且时，，给出下列结论正确的是（    ） A．； B．若，则关于的方程在上所有根之和为4； C．函数关于直线对称； D．函数在上是减函数. 2．(24-25高一上·宁夏银川一中·期末)设函数的定义域为为奇函数，为偶函数.当时，，则下列结论正确的有（    ） A． B．在上单调递减 C．点是函数的一个对称中心 D．方程有5个实数解 二、解答题 3．(24-25高一上·宁夏银川唐徕中学·期末)函数是定义在实数集上的奇函数，当时，. (1)判断函数在的单调性，并给出证明； (2)求函数在时的解析式； (3)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 4．(24-25高一上·宁夏吴忠青铜峡第一中学·期末)已知定义域为的函数是奇函数. (1)求的值； (2)证明在上的单调性. (3)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 5．(24-25高一上·宁夏吴忠吴忠中学·期末)已知函数为奇函数． (1)求实数的值并判断的单调性（无需证明）； (2)若，求的取值范围； (3)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 6．(23-24高一上·宁夏石嘴山·期末)已知函数是奇函数. （1）求a，b的值； （2）证明：是区间上的减函数； （3）若，求实数m的取值范围. 7．(23-24高一上·宁夏银川育才中学·期末)已知定义在上的函数是奇函数． (1)求实数，的值； (2)判断函数的单调性； (3)若，不等式有解，求实数的取值范围． 地 城 考点05 利用函数性质解不等式 一、单选题 1．(24-25高一上·宁夏吴忠同心县四校·期末)已知是定义域为的偶函数，且当时，是增函数.若，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 2．(23-24高一上·青海西宁大通县·期末)若函数在上是减函数，且，则实数的取值范围是 . 3．(24-25高一上·宁夏石嘴山·期末)设是定义在上的奇函数，对任意的，满足：，若，则不等式的解集为 . 4．(24-25高一上·宁夏银川第二中学·期末)设是定义在上的偶函数，且对任意的、，有，，则的解集为 . 5．(24-25高一上·宁夏银川一中·期末)已知的定义域为，对任意的，且都有且，则不等式的解集为 . 6．(23-24高一上·宁夏银川第二中学·期末)已知函数满足，对任意的都有恒成立，且，则关于的不等式的解集为 ． 7．(23-24高一上·宁夏银川唐徕中学·期末)若函数y = f（x）为偶函数，且在（0， + ）上是减函数，又f（1） = 0，则的解集为 8．(23-24高一上·宁夏银川金凤区唐徕中学·期末)已知奇函数的定义域为，且在上单调递减，，则不等式的解集为 . 地 城 考点06 函数的新定义 一、单选题 1．(23-24高一上·宁夏银川唐徕中学·期末)已知函数的定义域为，若，满足，则称函数具有性质．已知定义在上的函数具有性质，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 2．(24-25高一上·宁夏银川一中·期末)对于任意实数a，b，定义运算“⊗”：.设函数，且关于x的方程恰有三个实数根，则（   ） A．实数t可能的取值为 B． C． D． 三、填空题 3．(23-24高一上·青海西宁大通县·期末)记表示不超过x的最大整数，例如，，已知函数则 ；若函数恰有3个零点，则实数a的取值范围是 ． 试卷第1页，共3页 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $